1. No category

FISICA
GENERAL
UNA INTRODUCCION A LOS FLUIDOS, VIBRACIONES
Y TERMODINAMICA
2016
Actualización # 11 (18/01/16)
Desde el 2009
Colección Soldovieri de textos de Ciencia
(EN REDACCION Y REVISION)
Un texto con numerosos ejemplos
e ilustraciones.
SOLDOVIERI
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
ADVERTENCIA
TEXTO EN
REDACCION Y
REVISION
SOLDOVIERI C., Terenzio
Por Terenzio Soldovieri C. fecha 8:50 , 20/01/2016
FISICA GENERAL
Una introducción a los Fluidos, Vibraciones
y
Termodinámica
con numerosos ejemplos e ilustraciones
1era edición (preprint)
(EN REDACCION Y REVISION)
Comenzado en 2009 - Actualización # 11 (18/01/2016)
Escrito usando LATEX
Copyright c 2016 Terenzio Soldovieri C.
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Soldovieri C., Terenzio
Profesor Agregado - Departamento de Física
Centro de Modelado Científico (CMC)
Facultad Experimental de Ciencias (FEC)
La Universidad del Zulia (LUZ)
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
[email protected] - [email protected]
PIN: 568EEB0F
www.cmc.org.ve/tsweb
+584124271575
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Colección Soldovieri de textos de Ciencia.
Copyright c 2016 Soldovieri C., Terenzio.
Todos los derechos reservados.
Editorial: (por establecer)
ISBN: (por establecer)
República Bolivariana de Venezuela.
Gráficos: Soldovieri C., Terenzio.
Portadas: Soldovieri C., Terenzio.
Escritura electrónica: Soldovieri C., Terenzio.
Procesador: este libro fue elaborado usando LATEX.
Web del autor: www.cmc.org.ve/tsweb
Colección Soldovieri de textos de
Ciencia
Física General - Una introducción a los Fluidos, Vibraciones y Termodinámica.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton - Solucionario.
El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. (coautor)
La Transformación de Legendre para Estudiantes de Ciencias.
? ? ? ? ? ? ??
DEDICATORIA
El presente texto que he logrado con gran esfuerzo, tenacidad y luchando contra
todas las adversidades que he tenido que enfrentar en mi vida académica y, especialmente, personal se lo dedico de todo corazón, al igual que todos mis otros textos:
A mi difunto padre Raffaele Soldovieri Mastursi y a mi madre Rita Elena
Carmona.
A a mis hijos Terenzio José Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona.
A mi compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera. Mi hermosa,
tierna y muy tropical negra-novia. La persona que, con su amor y atención
desinteresada, ha hecho de mi una nueva persona.
Se lo dedico también a todos los que fueron mis estudiantes en la Licenciatura
de Física de nuestra muy ilustre Universidad del Zulia, nuestra indudable Alma Máter,
a todos aquellos estudiantes que no lo fueron y aquellos de otras universidades de
nuestro país y del extranjero que estudian Física y carreras afines que, con esfuerzo y
sacrificio, liberan obtáculos tras obtáculos para conseguir sus sueños. A todos ellos,
especialmente, me debo y son la razón de todo el presente esfuerzo académico.
i
AGRADECIMIENTOS
A
quí van los agradecimientos.
ii
INDICE GENERAL
PREFACIO
v
I
1
MECANICA DE FLUIDOS
1 HIDROSTATICA
2
1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico . .
1.1.1 Densidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Peso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Acciones mecánicas sobre los fluidos . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La presión y sus unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 La presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Manómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Rango de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática . . . . . . . .
1.7 Presión Vs orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Variación de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida
en reposo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica) . .
iii
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por un fluido
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3
4
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5
10
10
10
12
12
13
16
16
17
18
19
21
27
INDICE GENERAL
1.9 Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . .
1.11 Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . .
1.11.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos
1.11.3 Equilibrio de los cuerpos flotantes . .
1.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 HIDRODINAMICA
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2.1 Métodos de análisis utilizados para describir el estado de movimiento de
un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Características generales del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Trayectorias y líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un
grifo en la base de un recipiente (Teorema de Torricelli) . . . . . . .
2.5.2 Efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2.1 Aplicaciones del efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Tubo o medidor de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
VIBRACIONES
58
58
58
59
61
63
63
68
74
74
78
79
79
86
89
106
3 OSCILACIONES
3.1 Oscilador armónico simple . . .
3.1.1 Significado físico de ! . .
3.1.2 Significado físico de A . .
3.1.3 Velocidad y aceleración
28
32
32
35
37
37
40
40
46
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SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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112
Pág.: iv
INDICE GENERAL
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.1.3.1 Para una solución del tipo x (t) = A Cos (!t + 'o )
3.1.3.2 Para una solución del tipo x (t) = A Sen (!t + 'o )
Resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Unidades de k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Energía de un oscilador armónico simple . . . . . . . . .
Algunos sistemas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 El péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Resonancia en la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Resonancia en la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 MOVIMIENTO ONDULATORIO
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4.1 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Según el medio en que se propaguen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Según el número de dimensiones que involucran . . . . . . . . . . .
4.2.3 Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación
4.2.4 De acuerdo a las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Períodicas y no periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Pulso, tren de ondas, frente de onda y rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Descripción de la propagación de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Ecuación de onda y principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Fase, constante de fase y velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Fase y constante de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Velocidad de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Ondas transversales en una cuerda tensa . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Ondas logitudinales en una barra elástica . . . . . . . . . . . . . . .
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220
Pág.: v
INDICE GENERAL
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.8.3 Ondas longitudinales en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Energía y potencia para una onda armónica en una cuerda . . . . . . . . 232
Intensidad de una onda tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Ondas longitudinales armónicas de sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Interacción de las ondas con las barreras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.12.1 Reflexión y transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.12.2 Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.13.1 Interferencia constructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.13.2 Interferencia destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.14.1 En una cuerda fija en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.14.2 En una cuerda fija en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.14.3 En tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.14.3.1 En un tubo abierto en ambos extremos . . . . . . . . . . . . 271
4.14.3.2 En un tubo cerrado en uno de sus extremos . . . . . . . . . 277
Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.15.1 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sentido284
4.15.1.1 La fuente trata de adelantar al observador . . . . . . . . . 284
4.15.1.2 El observador trata de adelantar a la fuente . . . . . . . . . 286
4.15.2 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sentidos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.15.2.1 Acercándose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.15.2.2 Alejándose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.17.1 La naturaleza del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.17.2 El sonido y su propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.17.3 Sonido físico y sensación sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.17.4 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.17.4.1 Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4.17.4.2 Tono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.17.4.3 Timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: vi
INDICE GENERAL
III
TERMODINAMICA FENOMENOLOGICA
315
5 TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
320
5.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Termómetros y escalas de temperatura
5.3 Dilatación térmica . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Dilatación lineal . . . . . . . . . .
5.3.2 Dilatación volumétrica . . . . . .
5.4 Compresión térmica . . . . . . . . . . . .
5.5 Asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 CALORIMETRIA
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capacidad calorífica . . . . . . . .
Calor específico . . . . . . . . . . .
Calor de fusión . . . . . . . . . . . .
Calor de vaporización . . . . . . . .
Calor de combustión . . . . . . . .
Equilibrio térmico y ley cero . . . . .
Equivalente en agua de un cuerpo
Calor específico de un sólido . . .
Calor específico de los líquidos . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . .
336
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7 LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
320
321
323
323
325
327
328
Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El calor y el trabajo mecánico . . . . . . .
Energía interna . . . . . . . . . . . . . . . .
Primera ley de la termodinámica . . . . .
7.5.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Algunas ejemplos donde se aplica
Energía interna de un gas ideal . . . . . .
Capacidades caloríficas de un gas ideal
Energía interna de un gas real . . . . . . .
Procesos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . .
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Pág.: vii
INDICE GENERAL
7.10 Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Máquina térmica de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12.2 Entropía de algunos sistemas termodinámicos notables
7.12.2.1 Entropía de un cuerpo sólido . . . . . . . . . . .
7.12.2.2 Entropía de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . .
7.12.2.3 Entropía de un gas de van der Waals . . . . . .
7.13 Segunda ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.14 Tercera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15 Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15.1 Máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15.2 Refrigeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.16 Motores de combustión externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.16.1 Máquina de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.17 Motores de combustión interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.17.1 Motor de explosión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.17.2 Motor diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV
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APENDICES Y BIBLIOGRAFIA
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420
A FACTORES DE CONVERSION
421
B DERIVACION
424
B.1
B.2
B.3
B.4
Definición de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . .
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivadas de las funciones más comunes . . . . .
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C ECUACIONES DIFERENCIALES
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D MINIBIOGRAFIAS
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D.1 ISAAC NEWTON 1642 - 1727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: viii
INDICE GENERAL
D.2 BLAISE PASCAL 1623 - 1662 . . . . . . . . . . . . .
D.3 ARQUIMEDES 287 - 212 a.C. . . . . . . . . . . . . .
D.4 JOSEPH LOUIS LAGRANGE 1736 - 1813 . . . . . .
D.5 LEONHARD EULER 1707 - 1783 . . . . . . . . . . . .
D.6 DANIEL BERNOULLI 1700 - 1782 . . . . . . . . . . .
D.7 EVANGELISTA TORRICELLI 1608 - 1647 . . . . . . .
D.8 GIOVANNI BATTISTA VENTURI 1746 - 1822 . . . . .
D.9 HENRI PITOT 1695 - 1771 . . . . . . . . . . . . . . .
D.10 JAMES PRESCOTT JOULE 1818 - 1889 . . . . . . . .
D.11 NICOLAS LEONARD SADI CARNOT 1796 - 1832 . .
D.12 ROBERT BOYLE 1627 - 1691 . . . . . . . . . . . . . .
D.13 EDME MARIOTTE 1620 - 1684 . . . . . . . . . . . .
D.14 GALILEO GALILEI 1564 - 1642 . . . . . . . . . . . .
D.15 DANIEL GABRIEL FAHRENHEIT 1686 - 1736 . . . . .
D.16 ANDERS CELSIUS 1701 - 1744 . . . . . . . . . . . .
D.17 WILLIAM THOMSON KELVIN 1824 - 1907 . . . . . .
D.18 SIR HUMPHRY DAVY 1778 - 1829 . . . . . . . . . . .
D.19 JULIUS VON MAYER 1814 - 1878 . . . . . . . . . . .
D.20 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ 1646 - 1716 . . . . .
D.21 RUDOLF EMANUEL CLAUSIUS 1822 - 1888 . . . . .
D.22 SVANTE AUGUST ARREHENIUS 1859 - 1927 . . . . .
D.23 MAX KARL ERNST LUDWIG PLANCK 1858 - 1947 .
D.24 JOHANNES DIDERIK VAN DER WAALS 1837 - 1923
D.25 CHRISTIAN DOPPLER 1803 - 1853 . . . . . . . . . .
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Pág.: ix
INDICE DE FIGURAS
1.1 Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumen
dV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en reposo debe ser nula porque, de lo contrario, dicha componente haría que
el fluido fluyera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtención
de las ecuaciones fundamentales de la Hidrostática. . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes direcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 En un mismo punto, p no depende de la orientación. . . . . . . . . . . . . . 19
!
1.6 G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gravedad
esté dirigida a lo largo del eje z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Los puntos del plano imaginario están sometidos a la misma presión. . . 20
1.8 Variación de la presión con la altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Presión medida desde la superficie libre de un fluido . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con
fondo inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su
extremo inferior en una cubeta abierta de mercurio. . . . . . . . . . . . . . 25
1.12 Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico. . . . . . . . . . . 26
1.13 Vasos comunicantes en forma de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.14 Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio. . . . . . . . . . . . 30
1.15 Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y
mercurio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
x
INDICE DE FIGURAS
1.16 Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de
agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
!
1.18 Determinación del empuje E de Arquímedes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19 Empuje vs Peso de un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.20 (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es
mayor que su peso; (b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye.
Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igual módulo, el cuerpo flota.
1.21 Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante
una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.22 Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento
que flota en un lago. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.23 Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, totalmente sumergido en un tanque de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.24 Problema 43: Cable anclado en el fondo de un lago que sostiene una
esfera hueca de plástico bajo su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.25 Problema 44: Dos depósitos que contienen agua y que están unidos mediante un conducto que puede abrirse o cerrarse mediante una llave. . .
1.26 Problema 64: Cálculo de presión en un tubo en forma de U con uno de
sus extremos cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.27 Problema 67: Cálculo de la fuerza que debe aplicarse en la palaca de
un gato hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.28 Problema 71: Cilindro de madera de roble de longitud L flotando parcialmente sumergido en agua dulce, suspendido por uno de sus extremos de
un hilo a una altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.29 Problema 72: Cálculo de la fuerza que actúa sobre la superficie plana de
una presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Diagrama de línea de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(A) Líneas de corriente o flujo laminar. (B) Flujo turbulento. . . . . . . . . . .
Línea de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tubo de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río. . . . . . . .
Flujo de fluidos: Para la derivación de la Ecuación de Bernoulli. . . . . . . .
Teorema de Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una perforación lateral a cierta profundidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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63
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67
69
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Pág.: xi
INDICE DE FIGURAS
2.10 El tubo o medidor de Venturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.11 Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en
forma de U anexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.12 Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales. 84
2.13 Sección transversal de un tubo de Pitot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.14 Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se
desplaza hacia el Norte en presencia de un viento en contra hacia el
Oste del Sur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.15 Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificio
lateral de un depósito, tomando en cuenta la velocidad de la superficie
del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.16 Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal con
diferentes secciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.17 Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empalmada a un tubo en forma de T de menor sección con tubos manométricos anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.18 Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi con
mercurio como líquido manométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.19 Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos corrientes que forman un río. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.20 Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de una
presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.21 Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluido
que sale por un orificio lateral de un depósito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.22 Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta que
contiene gasolina, al cual se le ha efectuado un disparo. . . . . . . . . . . 98
2.23 Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se le
sopla aire sobre uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.24 Problema 45: Presa con un tapón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.25 Problema 46: Sifón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.26 Problema 47: Jarra con orificio en el fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.27 Problema 52: Agua que fluye por un tubo que tiene un estrechamiento. . 101
2.28 Problema 53. Depósito abierto unido a un conducto con diferentes secciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.29 Problema 55: Depósitos abiertos muy grandes unidos por un conducto. . 102
2.30 Problema 57: Tubo horizontal con estrechamiento, al cual se ha anexado
un tubo en forma de U que sirve de manómetro. . . . . . . . . . . . . . . . 103
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: xii
INDICE DE FIGURAS
2.31 Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.104
2.32 Problema 63: Dispositivo automático para un calentador de agua. . . . . 104
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo kx. .
Interpretación de 'o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero. . .
Energía en el oscilador armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuerzas actuantes en un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuerzas en un péndulo físico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida
por uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 3.30: Un anillo de radio r suspendido de una varilla. . . . . . . . .
Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por
una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscilador sub-amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variación de A en un oscilador forzado ( 1 < 2 ). . . . . . . . . . . . . . . .
Variación de la amplitud de la velocidad respecto a ! f . . . . . . . . . . . .
Problema 39: Sistemas con dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 45: Masa unida a dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas.
Problema 91: Péndulo simple con punto de inflexión. . . . . . . . . . . . . .
Problema 114: Péndulo cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto mediante dos hilos inextensibles y sin masa atados a sus extremos. . . . . . . .
Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos
a un bloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie
horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin rozamiento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular
a la varilla y que esta unida a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Ejemplo de la propagación de una perturbación. . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ondas superficiales que se forman al arrojar una piedra en un estanque
tranquilo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Una onda (a) longitudinal y (b) onda transversal. . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 (a) Pulso y (b) tren de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE DE FIGURAS
4.5 (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente de
onda circular y (d) frente de onda esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia la
derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Ilustración de un pulso del tipo f (x vt) que se mueve en sentido +x y
f (x + vt) que se mueve en sentido x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en
la misma cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Onda senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Representación de una onda senoidal progresiva. . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en una
gráfica
contra t “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientras
que en una gráfica contra x “adelante de” significa “a la derecha de”.
4.12 Pulso en una cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derecha
en la cuerda con una velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (pero
no infinitesimal) parte del pulso de longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14 Barra eslástica antes y después de ser deformada. . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchura
dx que, a causa de una perturbación, se traslada , y se deforma d , de
modo que la nueva anchura del elemento es dx + d . . . . . . . . . . . . .
4.16 Fuerzas sobre un elemento de una barra elástica. . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. . . . . . . . . .
4.18 Elemento de fluido de masa masa o Sdx en el cual se muestran las presiones aplicadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en el
tiempo t = 0, para una onda transversal que viaja por una cuerda. . . . .
4.20 Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en sus
extremos, separadas por un intervalo de tiempo t. . . . . . . . . . . . . .
4.21 Elemento de masa m y longitud x de una cuerda sobre la cual viaja
una onda senoidal hacia la derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22 Intensidad de una onda esférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23 Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas
unidimensionales armónicas en un tubo largo y delgado que contiene un
fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24 Comparación entre s y p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE DE FIGURAS
4.25 Pulsos reflejado y transmitido en dos cuerdas unidas de diferente densidad lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.26 Cuerda unida a un punto que puede moverse libremente. . . . . . . . . .
4.27 Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un
agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.28 Esquema de la interacción de un frente de onda plano con un obstáculo
que tiene un agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.29 Esquema de la interacción de un haz de partículas con un obstáculo que
tiene un agujero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.30 Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un
agujero cuya dimensión es grande con respecto a la longitud de onda. .
4.31 Dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 que se originan en fuentes puntuales y cuya interferencia queremos calcular en cierto punto O. . . . . .
4.32 Interferencia constructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.33 Interferencia destructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.34 Interferencia entre dos ondas (caso intermedio). . . . . . . . . . . . . . . .
4.35 Cuerda tensada de longitud ` sujeta en ambos extremos a dos soportes
fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.36 Primeros tres armónicos de una cuerda fija en ambos extremos. . . . . . .
4.37 Cuerda fijada, en uno de sus extremos, a una pared. . . . . . . . . . . . . .
4.38 Algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos. . . . . . .
4.39 Ejemplo 4.42: Cuerda sujeta en uno de sus extremos y con el otro extremo
unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra
sin fricción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.40 Tubo de órgano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.41 Algunos armónicos para el caso de un tubo abierto en ambos extremos.
La perturbación sonora es generada por un parlante en uno de los extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.42 Algunos armónicos para el caso de un tubo cerrado en uno de sus extremos. La perturbación sonora es generada por un parlante en el extremo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.43 Ejemplo 4.54: Aparato que puede emplearse para medir la velocidad del
sonido en el aire usando la condición de resonancia. . . . . . . . . . . . .
4.44 Efecto Doppler para una velocidad de movimiento de la fuente emisora
menor que la velocidad de propagación de la onda. . . . . . . . . . . . .
4.45 Efecto Doppler para fuente y observador en movimiento en ls misma dirección y sentido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE DE FIGURAS
4.46 Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circular
con rapidez constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.47 Ondas de choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.48 Onda de choque en una cubeta de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.49 Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . .
4.50 Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . .
4.51 Problema 23: Onda de choque de un avión supersónico. . . . . . . . . . .
4.52 Estructura de un fenómeno termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.53 Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
290
291
291
292
303
318
319
5.1 Pirómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.2 Problema 29: Lámina rectangular sometida a un aumento de temperatura.331
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Dispositivo utilizado por Joule para medir el equivalente mecánico del calor339
Capacidad calorífica de distintos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Calor de fusión del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Calor de vaporización del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Calorímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Proceso termodinámico genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trabajo realizado por un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama para un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico . . .
Procesos isocórico e isobárico para un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparación de comportamientos isotérmico y adiabático para un mol
de gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gas ideal encerrado en un dispositivo de cilindro y émbolo. . . . . . . . . .
La temperatura dada de una masa de gas aumenta en la misma cantidad ya sea por un proceso a presión constante ab o por un proceso a
volumen constante ac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diversos estados de un gas cuando efectúa un ciclo . . . . . . . . . . . . .
Representación gráfica del ciclo en un diagrama pV . . . . . . . . . . . . .
Proceso reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Todo ciclo reversible puede aproximarse mediante una serie de ciclos de
Carnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H
La integral dS de la entropía para un ciclo reversible es igual a cero. Por
Rb
tanto, la diferencia de entropía entre los estados a y b, Sa Sb = a dS, es
la misma para la trayectoria I que para la II. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6
7.7
7.8
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7.11
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394
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INDICE DE FIGURAS
7.14 Máquina de combustión externa (izquierda) y máquina de combustión
interna (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15 Máquina térmica real (izquierda) y máquina térmica perfecta (derecha).
7.16 Refrigerador real (izquierda) y refrigerador “perfecto” (derecha). . . . . .
7.17 Refrigerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.18 Caldera de vapor. (A) cilindro con agua y vapor, (B) válbula de seguridad, (C) tubo de conducción del vapor, (D) entrada del agua a la
caldera, (E) manómetro, (F) nivel, (G) chimenea, (H) fogón, (I) sección
tubular de la caldera, (J) tabiques deflectores del calor y (K) colector de
cenizas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.19 Cilindro o distribuidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.20 Transformación del movimiento rectilíneo en circular en la máquina de
vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.21 Motor de explosión de cuatro tiempos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.22 Carburador (partes fundamentales). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.23 Sistema de encendido del motor de un automóvil. . . . . . . . . . . . . . .
7.24 Motor diesel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.25 Problema 12: Ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico7.26 Problema 13: Ciclo reversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.27 Problema 16: Sistema termodinámico que pasa de su estado inicial A
hasta otro estado B y regresa de nuevo a A a través del estado C como
lo muestra la trayectoria ABCA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.28 Problema 17: Cilindro que contiene gas y que está cerrado por un émbolo móvil. El cilindro se sumerge en una mezcla de hielo y agua. . . . . .
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PREFACIO
A
quí va el Prefacio.
Terenzio Soldovieri C.
xviii
PREFACIO
Albert Einstein 1879 - 1955
“Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos
las mismas cosas”. “Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible”. “Lo importante es no dejar de hacerse preguntas”. “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para
penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”. “La alegría de ver y
entender es el más perfecto don de la naturaleza”.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: xix
PARTE I
MECANICA DE FLUIDOS
1
CAPITULO 1
HIDROSTATICA
Contenido
1.1
1.2
1.3
Densidad absoluta, densidad relativa y peso especí…co . . . . . . . . .
3
1.1.1
Densidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3
Peso especí…co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Acciones mecánicas sobre los ‡uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Fuerzas de super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.2
Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
La presión y sus unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1
La presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.2
Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4
Manómetros
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5
Rango de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6
Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7
Presión Vs orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.8
Variación de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.9
1.8.1
Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un ‡uido en reposo) 21
1.8.2
Con la altura (medida de la presión atmosférica) . . . . . . . . . . . . .
27
Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.10 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.10.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.10.2 Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.11 Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.11.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.11.3 Equilibrio de los cuerpos ‡otantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Antes de definir lo que es la hidrostática, es necesario definir lo que es un fluido:
Se denomina fluido toda aquella sustancia que cede inmediatamente a
cualquier fuerza tendente a alterar su forma, con lo que fluye y se adapta a la
forma del recipiente. Los fluidos pueden ser líquidos o gases.
Las partículas que componen un líquido no están rígidamente adheridas entre sí,
pero están más unidas que las de un gas. El volumen de un líquido contenido en
un recipiente hermético permanece constante, y el líquido tiene una superficie límite
definida. En contraste, un gas no tiene límite natural, y se expande y difunde en el
aire disminuyendo su densidad. A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos,
porque los sólidos pueden fluir muy lentamente cuando están sometidos a presión,
como ocurre por ejemplo en los glaciares.
Se denomina hidrostática a la parte de la mecánica de fluidos que estudia
el equilibrio de los mismos.
En el presente estudio, la estructura molecular exacta de un fluido no desempeña
un papel directo, así, podremos considerar que los fluidos son medios continuos. Una
masa dada de fluido tiene un volumen definido. Como el fluido es completamente deformable, toma la forma de su recipiente. Este ejerce una fuerza sobre él, que debe ser
normal a la superficie, porque cualquier componente tangencial ejercería una fuerza
cortante sobre el fluido y éste respondería deformándose hasta que desapareciera la
fuerza de corte.
1.1
Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico
Si deseamos estudiar el comportamiento de un fluido bajo ciertas condiciones o
la de un sólido inmerso total o parcialmente en un determinado fluido, existen magSOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 3
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
nitudes físicas que atañen por igual a los sólidos y a los líquidos y que, además, son
propias de cada sustancia en particular. Estas cantidades son:
1.1.1 Densidad absoluta
La densidad absoluta (o simplemente densidad) se define como la razón entre
la masa de una sustancia y su volumen. Matemáticamente se escribe:
m
V
donde m es la masa de una cantidad de sustancia cuyo volumen es V .
=
(1.1)
A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente
depende solamente del tipo de material de que está constituido y no de la forma ni
del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo
característico de cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones
de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura a la que
se refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha de indicar,
junto con dicho valor, la presión (de la cual hablaremos más adelante).
La unidad de medida en el S.I. de Unidades es Kg=m3 , también se utiliza frecuentemente la unidad g=cm3 .
En la tabla 1.1 se muestran las densidades de algunos sólidos y líquidos a 20o C
(Tomadas de [12] págs.36 37) .
1.1.2 Densidad relativa
La densidad relativa (o gravedad específica) R de una sustancia es la relación
o cociente entre la densidad de la misma y la correspondiente a otra sustancia que
se toma como patrón. En los sólidos y líquidos la densidad relativa se suele referir al
agua a 40 C. La abreviaremos R y es un número sin dimensiones. Matemáticamente:
R
=
H2 0
(40 C)
(1.2)
En [3] pág. 385 y en [4] pág. 252, podemos encontrar también tablas con las densidades de ciertos
materiales.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 4
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Sustancia
Densidad (g=cm3 )
Sustancia
Densidad (g=cm3 )
Acero
Aluminio
Cinc
Cobre
Cromo
Estaño
Hierro
Magnesio
Níquel
7; 7 7; 9
2; 7
7; 15
8; 93
7; 15
7; 29
7; 88
1; 76
8; 9
Oro
Plata
Platino
Plomo
Silicio
Sodio
Titanio
Vanadio
Wolframio
19; 31
10; 5
31; 46
11; 35
2; 3
0; 975
4; 5
6; 02
19; 34
Sustancia
Densidad (g=cm3 )
Sustancia
Densidad (g=cm3 )
Aceite
Acido sulfúrico
Agua
Agua de mar
Alcohol etílico
0; 8 0; 9
1; 83
1; 0
1; 01 1; 03
0; 79
Bromo
Gasolina
Glicerina
Mercurio
Tolueno
3; 12
0; 68 0; 72
1; 26
13; 55
0; 866
Tabla (1.1): Densidad de algunos sólidos y líquidos a 20o C.
Como la densidad del agua a 40 C es 1; 00 g=cm3 = 1; 00:103 Kg=m3 ; la densidad relativa de cualquier sustancia será prácticamente igual, numéricamente, a su densidad
especificada en g=cm3 o 10 3 veces su densidad especificada en Kg=m3 :
La determinación de densidades de líquidos tiene importancia no sólo en la física,
sino también en el mundo del comercio y de la industria. Por el hecho de ser la densidad una propiedad característica (cada sustancia tiene una densidad diferente)
su valor puede emplearse para efectuar una primera comprobación del grado de
pureza de una sustancia líquida.
1.1.3 Peso específico
Se denomina peso específico de una sustancia al producto de su densidad
por la aceleración de la gravedad y representa la fuerza con que la tierra atrae a un
volumen unidad de la misma sustancia considerada.
Matemáticamente podemos escribir,
=
w
V
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(1.3)
Pág.: 5
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
donde w es el peso de la sustancia. O al utilizar (1.1) y tener presente que w = mg,
entonces,
= g
(1.4)
Como podemos notar de (1.3) el peso específico de una sustancia depende de la
intensidad g del campo gravitacional en el cual dicha sustancia se encuentre inmersa.
Es fácil notar que lo mismo no ocurre con su densidad ¿por qué?.
Ejemplo 1.1: Hallar la densidad y la densidad relativa de la gasolina sabiendo que 51g
de ésta ocupan un volumen de 75 cm3 .
Solución: Al usar (1.1),
=
m
51 g
=
= 0; 68 g=cm3
V
75 cm3
y, al usar (1.2),
R
=
H2 0
(40 C)
=
0; 68 g=cm3
= 0; 68
1; 00 g=cm3
Ejemplo 1.2: Hallar el volumen que ocupan 300 g de mercurio sabiendo que su densidad es de 13; 6 g=cm3 .
Solución: Al usar (1.1),
m
V =
=
300 g
= 22; 1 cm3
13; 6 g=cm3
Ejemplo 1.3: Calcular la densidad, el peso específico y la densidad relativa del aluminio, sabiendo que 3 m3 pesan 8100 Kp.
Solución: La masa se obtiene a partir de,
w
8100:9; 8 N
=
= 8100 Kg
g
9; 8 m=s2
ahora, al usar (1.1), (1.3) y (1.2), se obtiene,
m=
R
=
8100 Kg
m
= 2700 Kg=m3
=
V
3 m3
=
w
8100 Kp
=
= 2700 Kp=m3
V
3 m3
=
H2 0
(40 C)
=
2700 Kg=m3
= 2; 7
1; 00:103 g=cm3
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.4: Una estrella de neutrones es mucho menor que nuestro Sol, y tiene la
densidad de un núcleo atómico. Una estrella de neutrones característica tiene
un radio de 10 Km y una masa de 2:1030 Kg, la masa del Sol. ¿Cuánto pesaría
un volumen de 1 cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la gravedad en la
superficie de la Tierra?.
Solución: Primero calculemos la densidad
est
=
est
de la estrella. A partir de (1.1),
mest
Vest
(1)
y si suponemos que la estrella es esférica de radio rest , entonces su volumen Vest viene
dado por,
4 3
(2)
Vest =
r
3 est
ahora, al sustituir (2) en (1), obtenemos,
est
3 mest
3
2:1030 Kg
18 Kg
=
3 = 0; 5:10
3
3
4 rest
4 3; 14: (10:10 m)
m3
g
= 0; 5:1012 3
cm
=
Por último, la masa de 1 cm3 de esa estrella, a partir de (1.1), vendrá dada por,
m=
est V
= 0; 5:1012
g
:1cm3 = 0; 5:1012 g
cm3
y su peso w es,
w = mg = 0; 5:1012 g:980
cm
= 4; 90:1014 dinas
2
s
= 4; 90:109 N
Ejemplo 1.5: Determinar la masa y el peso del aire en una habitación, cuya área del
suelo es de 20 m2 y la altura, 3; 0 m. Densidad del aire 1; 29 Kg=m3 .
Solución: El volumen V de la habitación será,
V = 20 m2 :3; 0 m = 60 m3
por lo tanto, al usar (1.1), resulta,
m = V = 1; 29Kg=m3 :60 m3 = 77; 4 Kg
y el peso w será,
w = mg = 77; 4 Kg:9; 8
m
= 7; 6:102 N
s2
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.6: El oro puede aplastarse hasta obtener un grosor de 0; 10 m. ¿Qué superficie puede recubrirse con una hoja de oro si su masa es de 2; 0 g?. Densidad del
oro 1; 93:104 Kg=m3 .
Solución: Si S y d la superficie y el grosor de la hoja de oro respectivamente, entonces su volumen V vendrá dado por,
V = Sd
que al sustituirlo en (1.1), resulta,
=
m
m
)S=
Sd
d
y teniendo presente que 1 m = 10 6 m,
S=
2; 0:10 3 Kg
= 1; 04 m2
1; 93:104 Kg=m3 :0; 10
Ejemplo 1.7: Una pieza de hierro fundido con volumen exterior de 3; 1 dm3 posee la
masa de 21 Kg. ¿Existen en ella oquedades? Si existen, ¿qué volumen ocupan?.
Densidad del hierro fundido 7; 4:103 Kg=m3 .
Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la densidad de la pieza de
hierro a ver si corresponde con la densidad conocida del hierro. Al usar (1.1) con
V = Vext (volumen exterior de la pieza), resulta,
21Kg
Kg
m
=
= 6; 8:103 3
3
3
Vext
3; 1:10 m
m
=
que, como no son iguales, significa que la pieza posee oquedades. Ahora, siendo V
el volumen real del hierro que constituye la pieza y Voq el volumen de las oquedades,
podemos escribir,
V = Vext Voq
que al sustituir en (1.1), resulta,
=
m
m
=
) Voq = Vext
V
Vext Voq
m
y si sustituimos los valores correspondientes,
Voq = 3; 1:10 3 m3
21Kg
7; 4:103 Kg=m3
= 2; 6:10 4 m3
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.8: Una aleación de oro y plata con densidad de 1; 4:104 Kg=m3 tiene la masa
de 0; 40 Kg. Determinar el porcentaje y la masa de oro en la aleación, considerando que el volumen de la aleación es igual a la suma de los volúmenes de
sus partes integrantes.Se sabe que la densidad del oro es 1; 93:104 Kg=m3 y la de
la plata es 1; 05:104 Kg=m3 .
Solución: Sea m, V y la masa, el volumen y la densidad de la aleación; mAu , VAu y
Au la masa, el volumen y la densidad del oro; y mAg , VAg y Ag la masa, el volumen y la
densidad de la plata. El porcentaje de oro en la aleación vendrá dado por mmAu :100%.
Al cociente mmAu lo denominaremos f por comodidad.
La masa de la aleación vendrá dada por,
m = mAu + mAg
(1)
mAu mAg
+
m
m
(2)
que al dividirla por m resulta,
1=
o también,
mAg
mAg
)
=1 f
m
m
Por otro lado, el volumen de la aleación vendrá dado por,
1=f+
(4)
V = VAu + VAg
pero, por (1.1),
V =
VAu =
(3)
m
(5)
mAu
(6)
Au
VAg =
mAg
(7)
Ag
Al sustituir estos tres volúmenes en (4) obtenemos,
m
=
mAu
+
Au
mAg
(8)
Ag
que al dividir por m queda como,
1
=
1
mAu
1
+
m
Ag
Au
o también,
1
=
1
Au
f+
1
Ag
mAg
m
mAg
m
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(9)
(10)
Pág.: 9
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ahora, al sustituir (3) en (10) para
1
=
mAg
m
1
resulta,
f+
Au
1
(1
f)
(11)
Ag
de donde,
f=
Ag
Au
Au
(12)
Ag
que al sustituir los valores correspondientes a las densidades resulta,
f = 0; 548
(13)
es decir, la aleación contiene un 54; 8 % de oro.
Por último, la masa de oro la encontramos a partir de la definición que le dimos a
f , es decir,
f
1.2
mAu
) mAu = f m
m
) mAu = 0; 548:0; 40 Kg = 0; 22 Kg
=
Acciones mecánicas sobre los fluidos
Para estudiar la estática de un fluido es conveniente dividir las fuerzas actuantes
sobre un elemento de volumen en dos categorías principales:
1.2.1 Fuerzas de superficie
Son las fuerzas que ejercen los elementos en contacto con el elemento dV , como
otros elementos de fluido, paredes, cuerpos en contacto, etc.
Lo anterior es en el sentido de que el volumen considerado puede pensarse estar
encerrado en una especie de película de contorno que lo mantiene separado de
!
todo aquello que le circunda. La denotaremos como F S :
1.2.2 Fuerzas de volumen
Son aquellas acciones ejercidas por elementos capaces de ejercer fuerzas proporcionales al volumen dV del elemento considerado
Por ejemplo: la fuerza gravitacional o la fuerza centrífuga, que siendo proporcionales
a la masa dm contenida en el elemento de volumen dV , resultan proporcionales al
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.1): Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumen dV .
mismo volumen por efectode la relación dM = dV; con uniforme dentro de dV: La
!
denotaremos como F V .
Considerando un elemento de volumen dV en forma de paralelepípedo, como el
mostrado en la figura 1.1, donde una de sus caras tiene un área dS cuyo vector normal
es !
n ; la fuerza de superficie que del exterior se ejerce sobre dS; está representada por
!S
dF :
!
La fuerza de volumen saliente del elemento de volumen dV es indicada con d F V y
puede ser expresada mediante la relación:
!
!
d F V = G dm
(1.5)
!
que evidencia la proporcionalidad directa a la masa, donde G representa un vector
que tiene las dimensiones de una aceleración. Por ejemplo, en el caso de que la
!
fuerza de volumen sea sólo el peso, se tiene que G = !
g ; donde !
g es la aceleración
debida a la gravedad.
!
!
Es de utilidad el descomponer d F S en una componente d F Sn normal a dS y una
!
componente d F St tangencial a dS: Estas componentes se les denominan esfuerzos y
se definen como:
p=
dFnS
dS
(esfuerzo normal)
(1.6)
dFtS
(esfuerzo tangencial o de corte)
(1.7)
dS
Notemos que los esfuerzos, que son cantidades escalares, poseen las dimensiones
de una fuerza por unidad de superficie.
=
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.3
La presión y sus unidades
1.3.1 La presión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca
dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que
penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo
impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde,
en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre una
mayor superficie, puede caminar sin dificultad.
Existe una diferencia en la manera en que una fuerza superficial actúa sobre un
fluido y sobre un sólido. En un sólido no existe ninguna restricción respecto a la dirección de tal fuerza, pero en un fluido en reposo, la fuerza superficial debe estar siempre
dirigida perpendicularmente a la superficie de dicho fluido (ver figura 1.2). Un fluido en
reposo no puede soportar una fuerza tangencial, ya que, en ese caso, las diferentes
capas de fluido simplemente resbalarían unas sobre las otras (de hecho, es esta habilidad de los fluidos para resistir dichas fuerzas tangenciales lo que les permite cambiar
su forma o fluir). Por lo tanto, para un fluido sin movimiento el esfuerzo de corte (1.7)
es nulo, siendo no nulo el esfuerzo normal (1.6) al cual se le da el nómbre de presión.
Podemos escribirla simplemente como,
Figura (1.2): La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en reposo debe ser nula
porque, de lo contrario, dicha componente haría que el fluido fluyera.
dF
(1.8)
dS
donde suponemos de antemano que dF es el elemento de fuerza normal aplicado
sobre el elemento de superficie dS. Entonces,
p=
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
La presión es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o un
gas perpendicularmente a dicha superficie.
En forma no diferencial,
p=
F
S
(1.9)
1.3.2 Unidades
De acuerdo con (1.8) las unidades de presión se obtienendividiendo las unidades
de fuerza entre las unidades de superficie.
En el sistema M.K.S.C. la unidad de presión es el pascal, se representa por
P a y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton
de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un
metro cuadrado. 1 P a equivale, por tanto, a 1 N=m2 .
Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando
en la actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.
La atmósfera (atm) se define como la presión que a 0o C ejercería el peso de
una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección sobre su base.
Es posible calcular su equivalencia en N=m2 sabiendo que la densidad del mercurio
es igual a 13; 6:103 Kg=m3 y recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes:
Peso (N ) = masa (Kg):9; 8 m=s2
Masa = volumen:densidad
Fuerza
Presión =
Superficie
Como el volumen del cilindro que forma la columna es igual a la superficie de la
base por la altura, se tendrá:
masa.9; 8m=s2
Superficie
Superficie:0; 76m:13; 6:103 Kg=m3 :9; 8m=s2
=
Superficie
Presión = 1 atm =
es decir:
1 atm = 1; 013:105 P a
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Pág.: 13
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
En el sistema C.G.S.S. la unidad de presión es la baria (o bar), se representa
por bar y se define como la presión correspondiente a una fuerza de una dina
de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un
centímetro cuadrado. 1 bar equivale, por tanto, a 1 din=cm2 .
En meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mbar) o milésima parte del
bar,
1 mbar = 102 P a
1 atm = 1013 mbar
1 bar = 1
din
= 0; 1 P a
cm2
Ejemplo 1.9: Calcular la presión, en pascales, ejercida por una tachuela cuya punta
tiene una sección transversal de 0; 02 mm2 , cuando sobre ella se aplica una fuerza
de 0; 5 Kp.
Solución: Al usar (1.9),
p=
F
0; 5:9; 8 N
=
= 2; 45:108 P a
S
0; 02:10 6 m2
Ejemplo 1.10: Un cuerpo en forma de cubo tiene una arista de 16 cm y un peso específico de 2; 4 p=cm3 . Calcular la presión que ejerce sobre el suelo apoyándose sobre
una de sus caras.
Solución: La superficie S de una cara del cubo de arista a vendrá dada por (por ser
cuadradas las caras de un cubo),
S = a2
y su volumen por,
V = a3
Por otro lado, al usar (1.3),
w= V =F
Entonces, al usar (1.9),
F
V
a3
=
= 2 = a
S
S
a
p
p
= 2; 4 3 :16 cm = 38; 4
cm
cm2
p =
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.11: Calcular la fuerza que actúa sobre el tapón de un colchón de aire de
los usados en las playas, sabiendo que tiene una presión de 1; 4 atm y que el radio
del tapón es de 1; 5 mm.
Solución: La superficie S de un tapón circular de radio r es dada por,
S = r2
entonces, al usar (1.9),
F = pS = r2 p
= 3; 14: 1; 5:10 4 m
2
: 1; 4:1; 013:105
N
m2
= 0; 01 N
Ejemplo 1.12: Calcular la presión que ejerce una columna de concreto de 6 cm de
radio y 1; 8 m de altura, si tiene un peso específico de 4; 3 p=cm3 .
Solución: El volumen V de una columna cilíndrica de radio r y altura h viene dado
por,
V = r2 h
y la superficie S de la base viene dada por,
S = r2
Por otro lado, a partir de (1.3) su peso w que es igual a la fuerza F que la misma
ejerce, viene dado por,
w= V =F
entonces, al usar (1.9),
r2 h
F
V
= 2 =
= h
S
r
r2
p
p
= 4; 3 3 :1; 8.102 cm = 774
cm
cm2
p =
Es interesante hacer notar que la presión no depende del radio de la columna de
concreto y sólo depende de su altura. Un comportamiento análogo observaremos,
más adelante, para columnas de fluido en reposo sobre una superficie.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.4
Manómetros
La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entre
la presión de un fluido y la presión atmosférica local. Para pequeñas diferencias de
presión se emplea un manómetro que consiste en un tubo en forma de U con un
extremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abierto a la
atmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferencia
entre los niveles del líquido en ambas ramas indica la diferencia entre la presión del
recipiente y la presión atmosférica local. Para diferencias de presión mayores se utiliza
el manómetro de Bourdon, llamado así en honor al inventor francés Eugène Bourdon.
Este manómetro está formado por un tubo hueco de sección ovalada curvado en
forma de gancho. Los manómetros empleados para registrar fluctuaciones rápidas de
presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionan una
respuesta instantánea.
Un manómetro es un instrumento que, en generál, mide la diferencia entre
la presión de un fluido determinado almacenado en un contenedor y la presión
atmosférica local
Debido a lo anterior, hay que sumar presión atmosférica al valor indicado por el
manómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro corresponde a un vacío parcial.
Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10 6 mm de mercurio de presión absoluta) pueden medirse con el llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumen
conocido del gas cuya presión se desea medir, lo comprime a temperatura constante
hasta un volumen mucho menor y mide su presión directamente con un manómetro.
La presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de Boyle-Mariotte. Para
presiones aún más bajas se emplean distintos métodos basados en la radiación, la
ionización o los efectos moleculares.
1.5
Rango de presiones
Las presiones pueden variar entre 10 8 y 10 2 mm de mercurio de presión absoluta en aplicaciones de alto vacío, hasta miles de atmósferas en prensas y controles
hidráulicos.
Con fines experimentales se han obtenido presiones del orden de millones de atmósferas, y la fabricación de diamantes artificiales exige presiones de unas 70000 atSOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 16
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
mósferas, además de temperaturas próximas a los 3000 C.
En la atmósfera, el peso cada vez menor de la columna de aire a medida que
aumenta la altitud hace que disminuya la presión atmosférica local. Así, la presión
baja desde su valor de 101325 P a al nivel del mar hasta unos2350 P a a 10700 m (35000
pies, una altitud de vuelo típica de un reactor).
Por presión parcial se entiende la presión efectiva que ejerce un componente gaseoso determinado en una mezcla de gases.
La presión atmosférica total es la suma de las presiones parciales de sus componentes (oxígeno, nitrógeno, dióxido de carbono y gases nobles).
1.6
Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática
Consideremos el elemento de volumen mostrado en la figura 1.3. Encontremos la
consecuencia de imponer la condición de equilibrio traslacional sobre las fuerzas de
superficie dirigidas a lo largo del eje y. En esta dirección intervienen sólo las contribuciones de la fuerza de superficie relativas a las caras ABCD y EF GH, mientras que las
contribuciones de las otras fuerzas son ortogonales al eje y, por lo tanto:
!
d F SEF GH
!
!
d F SABCD + d F Vy = 0
(1.10)
Figura (1.3): Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtención de las ecuaciones
fundamentales de la Hidrostática.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ahora, indicando con (x; y; z) las coordenadas de la cara EF GH y con (x; y + dy; z)
las coordenadas de la cara ABCD; la expresión 1.10 se puede escribir como:
p (x; y; z) dxdz
p (x; y + dy; z) dxdz + Gy dxdydz = 0
(1.11)
pudiéndose escribir, depués de unos cambios triviales, como (verificarlo):
@p
= Gy
@y
(1.12)
Procediendo de manera análoga con los otros dos ejes, se obtiene (ejercicio):
8
@p
>
= Gx
>
>
>
< @x
@p
= Gy
>
@y
>
>
>
: @p = G
z
@z
que representan las ecuaciones fundamentales de la hidrostática.
1.7
(1.13)
Presión Vs orientación
Consideremos un elemento de fluido en equilibrio como el mostrado en la figura
1.4: la cara ABCD es perpendicular al eje y y tiene un área dS, la cara EF GH tiene
una normal n
b0 que forma un ángulo con el eje y y su área es dS 0 , mientras que el
volumen del elemento es dV = dS4y: La proyección de la fuerza a lo largo del eje y
debe dar una suma nula (¿por qué?):
pdS
p0 dS 0 Cos
+ Gy dS4y = 0
(1.14)
Si hacemos tender 4y a cero la contribución de la fuerza de volumen Gy dS4y es
infinitésimo de orden superior a los términos pdS y p0 dS 0 Cos y ,por lo tanto, puede ser
despreciado. Entonces:
pdS
p0 dS 0 Cos
=0
(1.15)
pero de la figura ?? es trivial encontrar que (verificar):
dS 0 Cos
= dS
(1.16)
en consecuencia,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.4): Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes direcciones.
Figura (1.5): En un mismo punto, p no depende de la orientación.
p = p0
(en un mismo punto)
(1.17)
En cada punto, la presión posee un valor independiente de la orientación
de la superficie sobre la cual ella es ejercida (ver figura 1.5).
1.8
Variación de la presión
Supongamos que la aceleración debida a la gravedad esté dirigida a lo largo del
!
eje z como se muestra en la figura 1.6, por lo tanto se tiene que el vector G de las
ecuaciones (1.13), para este caso en particular, es:
!
G = (0; 0; g)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(1.18)
Pág.: 19
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
!
Figura (1.6): G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gravedad esté dirigida
a lo largo del eje z.
donde g es el módulo de la aceleración debida a la gravedad en el lugar considerado
y el signo negativo es debido a la orientación con respecto al eje z.
Consideremos el caso en el cual la fuerza de volumen sea el peso. En este caso la
fuerza de volumen sobre un elemento de masa dm = dV tiene la expresión:
!
!
d F V = G dV = !
g dV
(1.19)
entonces, para este caso en particular, las ecuaciones 1.13 quedan escritas como:
Figura (1.7): Los puntos del plano imaginario
están sometidos a la misma presión.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
8
>
>
>
>
<
indicándonos que:
>
>
>
>
:
@p
=0
@x
@p
=0
@y
@p
=
g
@z
(1.20)
Los planos horizontales en un fluido en equilibrio por acción de la gravedad
son superficies isobáricas (Ver figura 1.7).
1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un fluido
en reposo)
La conclusión de la sección anterior nos indica que, en un campo gravitacinal
como el mostrado en la figura 1.6, la presión depende sólo de la coordenada z: p =
p (z) : Por lo tanto la tercera ecuación de las (1.20), se escribe ahora:
Figura (1.8): Variación de la presión con la altura
@p
dp
=
=
g ) dp =
gdz
(1.21)
@z
dz
y, al integrar la ecuación (1.21) con las condiciones mostradas en la figura 1.8, resulta:
pA = pB + gh
(Ley de Stevino)
(1.22)
o también, al usar (1.4), podemos escribir,
pA = pB + h
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(1.23)
Pág.: 21
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.9): Presión medida desde la superficie libre de un fluido
La cantidad gh corresponde a la presión hidrostática ph ejercida sobre la
base de una columna homogénea de fluido en equilibrio de altura h, por efecto
de la fuerza de gravedad.
ph = gh = h
(1.24)
Para las situaciones ordinarias de un líquido en un recipiente abierto (como el agua
de una piscina, un lago o el océano) existe una superficie libre en la parte superior, por
lo tanto, es conveniente medir las distancias desde esta superficie, es decir, hacemos
que h sea la profundidad en el líquido como se muestra en la figura 1.9 donde pB = po
representa la presión debida a la atmósfera de encima. Entonces,
p = po + gh
(1.25)
En estas circunstancias, a la diferencia p po , o lo que es lo mismo gh, se le
denomina presión manométrica y p se denomina presión absoluta.
Su nombre proviene de los manómetros ya que, como vimos en la sección 1.4, esta
sería justametnte la que mediría un instrumento de este tipo.
Ejemplo 1.13: Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la
profundidad es de 3; 5 m y en el otro de 1 m. La piscina tiene 15 m de largo y 7 m
de ancho. Hallar la fuerza total sobre el fondo.
Solución: La situación está representada en la figura 1.10.
Si tomamos como base la cara abcd que es un trapecio, entonces el volumen interior
de la piscina de largo L y ancho A vendrá dado por,
V =
(h1 + h1 ) L
A
2
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(1)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.10): Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con fondo inclinado.
Ahora bien, la fuerza F total sobre el fondo de la piscina no es más que el peso w
del líquido contenido en ella. Este peso, vendrá dado por,
w = mg = F
(2)
m= V
(3)
pero según (1.1),
entonces, al sustituir (1) en (3) y el resultado obtenido en (2),
F = g
(h1 + h1 ) L
A
2
(4)
que al sustituir los valores respectivos resulta,
Kg
m (1m + 3; 5m) :15m
:9;
8
:
:7m
m3
s2
2
= 2315250 N
F = 1:103
Ejemplo 1.14: Un tanque en forma de paralelepípedo de 10 x 15 cm de sección recta
y 30 cm de altura, está lleno de gasolina. Calcular la presión y la fuerza sobre el
fondo del tanque. Se sabe que el tanque está sellado y que la densidad de la
gasolina es 0; 68 g=cm3 .
Solución: Como el tanque está sellado po = 0, por lo tanto, a partir de (1.25),la
presión sobre el fondo será,
p = gh = 0; 68
cm
dinas
g
:980 2 :30 cm = 19992
3
cm
s
cm2
Por otro lado, La superficie S del fondo del tanque vendrá dada por,
S = 10 cm:15 cm = 150 cm2
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
que al introducirla en (1.9), resulta,
F = pS = 19992
dinas
:150 cm2 = 3:106 dinas
cm2
Es fácil mostrar que esta fuerza corresponde al peso del volumen de gasolina contenido en el tanque (ejercicio).
Ejemplo 1.15: Calcular la presión necesaria en un sistema de alimentación de aceite
que ha de elevarse 25; 5 m en vertical. Densidad del aceite 3; 12 cmg 3 .
Solución: Al usar (1.25) con po = 0,
g
cm
:980
:25; 5:102 cm
3
2
cm
s
6 dinas
= 7; 79:10
cm2
p =
gh = 3; 12
Ejemplo 1.16: La sección recta de un pistón de una bomba es de 35 cm2 . Hallar la
fuerza que se debe aplicar para elevar gasolina a 42 m de altura. La densidad de
la gasolina es 0; 68 g=cm3 . Resp.: 135 Kp.
Solución: A partir de (1.9),
p=
F
S
y a partir de (1.25) con po = 0,
p = gh
que al igualarlas resulta,
F
= gh ) F = ghS
S
entonces,
F = 0; 68
g
cm
:980 2 :42:102 cm:35cm2 = 1; 08:107 dinas
3
cm
s
Ejemplo 1.17: ¿Cuál es la presión a 1 m de la superficie del océano?. Densidad del
agua de mar 1; 03:103 Kg=m3 y que po = 1; 01:105 P a es la presión atmosférica en la
superficie del océano.
Solución: Al usar (1.25) se obtiene,
Kg
m
:9; 8 2 :1m
3
m
s
5
5
5
= 1; 01:10 P a + 1; 00:10 P a = 2; 01:10 P a
p = po + gh = 1; 01:105 P a + 1; 03:103
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.11): Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo inferior en
una cubeta abierta de mercurio.
Ejemplo 1.18: Una columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo
inferior está en una cubeta abierta de mercurio. La columna está cerrada en su
extremo superior, después de evacuar todo el aire de la parte vacía; creando
una región al vacío. ¿Cuál es la altura H de la columna de mercurio?. Densidad
del mercurio 13; 6:103 Kg=m3 y presión atmosférica 1; 01:105 P a.
Solución: Al usar (1.22), con pA = p1 , pB = p2 y h = H, se obtiene,
p1 = p2 + gH ) H =
p1
p2
g
pero p2 = 0, puesto que hemos evacuado todo el aire en este punto y p1 es la presión
atmosférica, entonces,
1; 01:105 P a
H=
= 0; 76 m
m
13; 6:103 Kg
:9;
8
3
2
m
s
Ejemplo 1.19: Un depósito cúbico, sellado, de 1; 5 m de arista está lleno de agua. Hallar
la fuerza que se ejerce (a) sobre el fondo y (b) sobre una de las caras laterales.
Solución:
(a) La presión ejercida sobre el fondo viene dada por (1.25) con po = 0,
p = gh
(1)
la superficie del fondo, por ser cuadrada,
S = L2
(2)
donde L es la arista del cubo, y la fuerza por (1.9),
F = pS
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(3)
Pág.: 25
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ahora, al sustituir (1) y (2) en (3),
ghS = gL3
Kg
m
= 1:103 3 :9; 8 2 : (3m)3 = 264600 N
m
s
F =
(4)
(b) La figura 1.12 muestra una de las caras del cubo, en la cual se ha dibujado un
elemento de superficie dS que viene dado por,
Figura (1.12): Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico.
dS = Ldz
(5)
y además,de (1.8),
p=
dF
dS
(6)
por lo tanto,
dF = pLdz
(7)
dp
g
(8)
L
pdp
g
(9)
y de (1.21),
dz =
Ahora, al sustituir (8) en (7) se obtiene,
dF =
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Pág.: 26
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
que al ser integrada,
Z
F
L
g
Z
dF =
0
Z
0
pdp
gL
gL
L
pdp
g 0
L ( gL)2
F =
g 2
1
F =
gL3
2
F =
(10)
que al comparar con (4), nos damos cuenta que es su mitad, por lo tanto,
F = 132300 N
es la fuerza sobre una de sus caras.
1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica)
Si suponemos que la densidad
restre,
es proporcional a la presión en la atmósfera ter=
o
p
po
(1.26)
(Ley de Boyle pV =ctte y ) con o = 1; 20 Kg=m3 (a 20 o C) y po = 1; 01:105 P a la densidad
del aire y la presión atmosférica al nivel del mar respectivamente, se puede tener una
idea razonable de la variación de la presión con la altura (ecuación barométrica).
Usando esta suposición y la de que se pueden despreciar las variaciones de g con la
altura, podemos encontrar la presión p a una altura y por encima del nivel del mar,
encontrándose que:
!
0
g
p0
p = p0 e
donde z es la altura sobre el nivel del mar,
0
z
(1.27)
y p0 son la densidad y la presión atmos0
férica a nivel del mar respectivamente, siendo g
p0
= 0; 116 Km
1
y p0 = 1 atm. De
esta manera (1.27) queda como,
p = p0 e
0;116Km
1z
(1.28)
Ejemplo 1.20: Encuentre la altura a la cual la presión atmosférica es de 0; 5 atm.
y
En [7] pág. 345, se presenta un estudio más detallado de esta Ley.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 27
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución: Al usar (1.28) resulta,
p = p0 e
) z=
0;116Km
1z
) ln
atm
ln 0;5
1 atm
0; 116Km
1
p
p0
=
ln
1
0; 116Km z ) z =
p
p0
0; 116Km
1
) z = 5; 98 Km
Ejemplo 1.21: Encuentre el valor de la presión atmosférica a una altura de 3000 m.
Solución: Al usar (1.28) resulta,
p = p0 e
= e
0;116Km
0;348
1z
= 1 atm e
0;116Km
1 :3
Km
atm = 0; 706 atm
Ejemplo 1.22: Calcular la fuerza que ejerce la atmósfera terrestre sobre un cuerpo
cuya sección transversal es de 10 m2 a una altura de 5 Km sobre el nivel del mar.
Solución: Al usar (1.28) resulta,
p = p0 e
= e
0;116Km
0;58
1z
= 1 atm e
0;116Km
1 :5
Km
atm = atm
y ahora de (1.9),
F = pS = :10m2 = P a
1.9
Vasos comunicantes
Con el término de vasos comunicantes se entiende un sistema de recipientes
unidos entre sí mediante conductos y que presentan hacia el exterior dos o más
aberturas, no pequeñas, de manera tal que los efectos de capilaridad sean despreciables.
Un vaso comunicante típico es el tubo en forma de U mostrado en la figura 1.13.
Supongamos inicialmente que este tubo está parcialmente lleno de un líquido 1 de
densidad 1 ; luego vertimos otro líquido 2 de densidad 2 por uno de los lados hasta
que queda a una distancia d sobre el nivel del líquido 1.
Los puntos sobre C están a la misma presión (¿por qué?), por lo tanto, la disminución
de la presión desde C en cada superficie es la misma, puesto que, cada superficie está
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Pág.: 28
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.13): Vasos comunicantes en forma de U
a la presión atmosférica (los extremos están descubiertos). De todo esto podemos
escribir:
h1
=
h2
2
(1.29)
1
En un sistema de vasos comunicantes, con líquidos en equilibrio, las alturas
alcanzadas por éstos son inversamente proporcionales a las densidades de los
líquidos.
Al anterior enunciado se le conoce como la ley de los vasos comunicantes.
La ecuación (1.29) puede ser escrita en función de los pesos específicos al usar
(1.4), resultando,
h1
(1.30)
= 2
h2
1
Ejemplo 1.23: En un tubo en forma de U hay dos líquidos no miscibles que alcanzan
alturas de 14 cm y 9 cm, respectivamente. Si el más denso tiene un peso específico
de 1; 3 p=cm3 , calcular el peso específico del más liviano.
Solución: Al usar (1.30), siendo h1 = 9 cm, h2 = 14 cm y
2
=
h1
h2
1
=
1
= 1; 3 p=cm2 , se obtiene,
9cm
p
p
:1; 3 3 = 0; 83 3
14cm
cm
cm
Ejemplo 1.24: Se dispone de un tubo en forma de U, cuyas ramas tienen secciones
iguales a 5 cm2 . En una de las ramas hay mercurio cuyo peso específico es 13; 6
p=cm3 y en la otra 250 cm3 de agua de peso específico 1 p=cm3 . Calcular la diferencia de niveles entre las dos columnas.
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Pág.: 29
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución: Sean
spectivamente; y
(1.30),
1,
h1 el peso específico y la altura de la columna de mercurio re2 , h2 lo mismo pero para la columna de agua entonces, según
h1
=
h2
2
(1)
1
La altura h2 vendrá dada por,
V2 = Sh2 ) h2 =
V2
250cm3
=
= 50 cm
S
5cm2
(2)
donde V2 es el volumen de agua y S es la sección del tubo. Al sustituir (2) en (1), se
obtiene,
1 cmp 3
2
50 cm = 3; 70 cm
h1 = h2 =
13; 6 cmp 3
1
entonces, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2
h1 = 50 cm
3; 70 cm = 46; 3 cm
Ejemplo 1.25: Se vierten mercurio y agua por un tubo en forma de U de sección transversal 2 cm2 . Si se vierten 163; 2 cm3 de agua y a continuación cierta cantidad de
mercurio, como se señala en la figura 1.14, calcular la diferencia de niveles entre
los líquidos.
Figura (1.14): Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio.
Solución: Si el subíndice 1 es para el mercurio y el 2 para el agua, entonces la altura
de la columna de agua vendrá dada por:
V2
163; 2 cm3
V2 = Sh2 ) h2 =
=
= 81; 6 cm
S
2 cm2
entonces, al usar (1.29), se obtiene,
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Pág.: 30
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
h1
=
h2
2
1
) h1 = h2
2
= 81; 6 cm
1
1 cmg 3
= 6 cm
13; 6 cmg 3
por lo tanto, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2
h1 = 81; 6 cm
6 cm = 75; 6 cm
Ejemplo 1.26: Un tubo en U simple contiene mercurio. Cuando en su rama derecha se
vierten 13; 6 cm de agua, ¿a qué altura se eleva el mercurio en el brazo izquierdo
a partir de su nivel inicial?. Densidad del mercurio 13; 6 g=m3 .
Solución: La figura 1.15(a) muestra el tubo en forma de U cuando contiene sólo
mercurio y la figura 1.15(b) cuando se ha vertido agua en él.
Figura (1.15): Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y mercurio.
Es fácil notar que la altura a la cual se eleva el mercurio con respecto a su nivel en
la figura 1.15(a) es,
hHg
h=
(1)
2
donde hHg es la altura de la columna de mercurio con respecto al eje que pasa por la
interface como se muestra en la figura 1.15(b).
hHg
=
hH2 O
H2 O
) hHg =
Hg
H2 O
hH2 O
(2)
Hg
Ahora bin, al sustituir (2) en (1) nos queda,
h=
1
2
H2 O
hH2 O
(3)
Hg
y al sustituir los valores correspondientes,
h=
1 1 cmg 3
13; 6 cm = 0; 5 cm
2 13; 6 cmg 3
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Pág.: 31
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.10
Teorema de Pascal
1.10.1
Enunciado
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13) fueron obtenidas para una
fuerza de volumen cualquiera, que en el caso particular de la fuerza de gravedad
(fuerza conservativa) se reducen al sistema (1.20).
En el caso en el cual la fuerza de volumen dada por (1.5),
!
!
d F V = G dm
sea una fuerza conservativa cualquiera, las
como,
8
>
Gx =
>
>
>
<
Gy =
>
>
>
>
: G =
z
(1.31)
!
componentes de G pueden ser escritas
@U
@x
@U
(1.32)
@y
@U
@z
donde U = U (x; y; z) es la función potencial (energía potencial por unidad de masa).
Por ejemplo, en el caso particular de la fuerza de gravedad, como vimos antes,
!
G = (0; 0; g)
(1.33)
U (x; y; z) = U (z) = gz + ctte
(1.34)
se obtiene, a partir de (1.32),
que no es más que el conocido potencial gravitatorio.
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13), pueden ser escritas, usando (1.32), como,
8
@p
@U
>
= Gx =
>
>
>
@x
< @x
@p
@U
= Gy =
(1.35)
>
@y
@y
>
>
>
@U
: @p = G =
z
@z
@z
Estas ecuaciones nos permiten encontrar la diferencia de presión existente entre
el punto P
(x; y; z) y el punto Q
(x + dx; y + dy; z + dz) en términos de la variación
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 32
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
correspondiente de energía potencial, de la siguiente manera,
dp = p (x + dx; y + dy; z + dz) p (x; y; z)
@p
@p
@p
=
dx +
dy + dz
@x
@y
@z
@U
@U
@U
=
dx
dy
dz
@x
@y
@z
=
dU
de aquí que,
dp =
(1.36)
dU
En el interior de un fluido homogéneo (densidad constante), la diferencia de presión
entre dos a y b puntos a distancia finita puede ser obtenida integrando (1.36) como
sigue,
Z b
Z b
dU ) pb pa =
(Ub Ua )
dp =
a
a
)
p=
(1.37)
U
concluyéndose, que para una fuerza de volumen conservativa,
En un fluido homogéneo, las superficies isobáricas
superficies equipotenciales U = 0.
p = 0 coinciden con las
Esta propiedad generaliza el caso particular, ya visto, de la fuerza de gravedad,
para el cual los planos horizontales (equipotenciales) eran isobáricos.
Una consecuencia de (1.36) es el denominado teorema de Pascal que se enuncia
así:
En un fluido homogéneo en reposo, un incremento de presión, producido
en un punto cualquiera del fluido (líquido o gas), se transmite inalterado a
cualquier otro punto del fluido.
A partir de (1.36) se deduce que, en un campo conservativo, la diferencia de presión 4p entre dos puntos de un fluido homogéneo en reposo depende de la diferencia
4U de energía potencial de la fuerza de volumen entre los dos puntos. Pero 4U depende sólo de las coordenadas espaciales y por lo tanto, en particular, no depende
de la fuerza de superficie, por consiguiente ninguna presión adicional puede hacer
variar 4p: En otras palabras, el fluido realiza una transmisión hidráulica total de la presión ejercida sobre su superficie.
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Pág.: 33
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.27: El cuello de un matraz tiene una sección transversal de 3 cm2 y el fondo
de 36 cm2 . Si se llena totalmente con agua y se trata de introducir un corcho
empleando una fuerza de 9 Kp. ¿Cuál es la fuerza sobre el fondo adicional a la
ya aplicada por el fluido que contiene?.(ver figura 1.16).
Figura (1.16): Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de agua.
Solución: Aquí intervienen dos presiones, la presión debida al agua contenida en
el matraz y la presión originada al introducir el corcho. Estamos interesados en ésta
última.
Al usar (1.9), la presión p en el cuello del matraz originada por el corcho, viene dada
por,
F
9 Kp
Kp
=
=3
2
S
3 cm
cm2
De acuerdo con el teorema de Pascal este incremento de presión se transmite
inalterado a todos los puntos del fluido. Por lo tanto, según (1.9), la presión p0 sobre el
fondo del matraz es,
p=
F0
Kp
0
0
)
F
=
pS
=
3
:36cm2 = 108 Kp
S0
cm2
Si se quiere hallar la fuerza total sobre el fondo, entonces debe sumarse la fuerza
debida al fluido que contiene.
p0 = p =
Ejemplo 1.28: La sección interna del cuello de una botella mide 4 cm2 y la sección de
la base mide 50 cm2 . Está totalmente llena con un fluido de densidad igual a 1; 09
g=cm3 . Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 2 Kp. Calcular la
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,
sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 30 cm.
Solución: Aquí intervienen dos presiones, la presión pf debida a la columna de
fluido sobre la base de la botella y la presión pt originada por el tapón que, según el
teorema de Pascal, se trasmite a todo el fluido con la misma intesidad.
La pf la encontramos al usar (1.25),
pf = po +
f gh
pero po = 0 (la presión atmosférica no actúa sobre la superficie del fluido por estar
tapada la botella), entonces,
pf =
f gh
= 1; 09
g
cm
din
:980 2 :30 cm = 32046 2
3
cm
s
cm
y la presión pt por (1.9), que calculamos en el cuello,
pt =
Ft
Scuello
=
2:9; 8:105 din
din
= 490000 2
2
4 cm
cm
la cual te trasmite íntegramente hasta el fondo de la botella.
Por lo tanto, la presión total pT sobre el fondo de la botella es,
pT = pf + pt = 32046
din
din
din
+
490000
=
522046
cm2
cm2
cm2
y de aquí que, al usar (1.9), la fuerza total FT sobre el fondo sea,
FT = pT Sf ondo = 522046
din
:50cm2 = 26102300 din
cm2
= 26; 635 Kp
1.10.2
Prensa hidráulica
Existen numerosos aparatos que aprovechan este teorema, entre ellos está la llamada Prensa Hidráulica. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental
del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado.
La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de
Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el
fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de la maquinaria industrial. Consiste, en esencia, (ver figura 1.17) en dos
cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.17): Prensa hidráulica
Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno
de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre
el émbolo de menor sección Si se ejerce una fuerza Fi la presión pi (el subíndice i
representa las catidades que llamaremos de entrada) que se origina en el líquido en
contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del
líquido, de modo que, si las mismas cantidades se representan mediante el subíndice
o (el subíndice o representa las catidades que llamaremos de entrada) para el émbolo
de mayor sección, podemos escribir:
pi = po
(1.38)
Fi
Fo
=
Si
So
(1.39)
So
Fo
=
Si
Fi
(1.40)
o finalmente,
A la cantidad FFoi se le denomina ganancia mecánica de la prensa
hidráulica y es igual a la razón de las superficies.
Ejemplo 1.29.: Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son
1200 cm2 y 30 cm2 . Si se aplica al émbolo más pequeño una fuerza de 10 Kp, ¿cuál
es la fuerza resultante sobre el otro émbolo?, ¿Cuál es su ganancia mecánica?.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución:
Fo
Fi
So
1200 cm2
=
) Fo = Fi
= 10Kp
= 400 Kp
So
Si
Si
30 cm2
ganancia mecánica =
1200 cm2
So
=
= 40
Si
30 cm2
lo que significa que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor será multiplicada por
40.
Ejemplo 1.30: El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 50 cm ¿qué
fuerza debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 4; 5 cm para elevar un coche
de masa 4800 Kg?.
Solución: Si rg y rp son los radios del émbolo grande y del pequeño respectivamente,
estonces sus secciones transversales serán,
Sg =
rg2
(1)
Sp =
rp2
(2)
y de (1.40),
Fg
Sp
Sg
=
) Fp = Fg
Sp
Fp
Sg
(3)
Por último, al sustituir (1) y (2) en (3),
Fp =
rp2
Fg =
rg2
rp
rg
2
Fg
(4)
y como Fg es el peso que va a elevar el émbolo grande, es decir,
Fg = 4800 Kg:9; 8
entonces,
Fp =
4; 5 cm
50 cm
m
= 47040 N
s2
2
:47040 N = 381; 024 N
1.11
Principio de Arquímedes
1.11.1
Enunciado
El Principio de Arquímedes se enuncia como sigue:
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Un cuerpo inmerso total o parcialmente recibe, en un campo gravitatorio,
!
un empuje E (empuje de Arquímedes) vertical orientado hacia arriba, cuyo
módulo es igual a la fuerza peso de la masa fluida desalojada y cuyo punto de
aplicación coincide con el centro de gravedad de la masa fluida del cuerpo.
Consideremos el cilindro mostrado en la figura 1.18, el cual se encuentra sumergido
totalmente en un fluido de densidad f que está contenido en un recipiente que está
sometido a una presión externa po . La base y la tapa poseen un área S y están separadas por una altura h: El fluido ejerce una presión, según (1.22), dada por,
p1 = po +
(1.41)
f gh1
contra la tapa del cilindro, y la fuerza debida a esta presión es:
!
Figura (1.18): Determinación del empuje E de Arquímedes.
F1 = p1 S = po +
f gh1
S
(1.42)
dirigida hacia abajo. De manera análoga, es trivial encontrar que la fuerza F2 sobre el
fondo del cilindro viene dada por,
F2 = po +
f gh2
S
(1.43)
dirigida hacia arriba. La fuerza resultante debida a la presión del fluido, que es el
!
empuje de Arquímedes E ; actúa hacia arriba y tiene una magnitud,
E = F2
F1 =
f gV
(1.44)
o también, al usar (1.4), podemos escribir,
E=
f
V
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(1.45)
Pág.: 38
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
donde V = Sh es el volumen del cilindro puesto que está completamente sumergido
o el volumen de la parte sumergina si estuviera parcialmente sumergido.
Para un cuerpo cualquiera, V corresponde al volumen de fluido desalojado
por la parte del cuerpo sumergida o la totalidad de su volumen si está completamente sumergido.
Como f es la densidad del fluido, el producto f gV = mf g es el peso del fluido
que tiene un volumen igual al del cilindro, de este modo, la fuerza de empuje sobre el
cilindro es igual al peso del fluido que éste desaloja. El resultado se cumple independientemente de la forma del objeto y notemos que no depende de la acción externa
debida a po .
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el empuje y el peso del cuerpo, que
no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto (ver figura
1.19).
Figura (1.19): Empuje vs Peso de un cuerpo.
En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y
por tanto coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
A la diferencia entre el peso real w = mg de un cuerpo y el empuje originado
por un fluido en el cual se encuentra inmerso, se le denomina peso aparente wa
de dicho cuerpo,
wa = w E
(1.46)
El aire es un fluido y también ejerce una fuerza de empuje. Los objetos comunes
pesan menos en el aire que cuando están en el vacío. Debido a que la densidad del
aire es muy pequeña, el efecto para los sólidos comunes es apenas perceptible. Sin
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Pág.: 39
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
embargo, existen ciertos objetos que flotan en el aire, por ejemplo los globos llenos de
helio.
1.11.2
Equilibrio de los cuerpos sumergidos
De acuerdo con el principio de Arquímedes:
Para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza
de empuje E y el peso w han de ser iguales en magnitudes y, además, han de
aplicarse en el mismo punto.
En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento , con lo cual
se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = w equivale de hecho a
que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del
cuerpo sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el
centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la
fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y w forman un par que hará
girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas.
1.11.3
Equilibrio de los cuerpos flotantes
Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso
(E > w) (ver figura 1.20).
En el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas;
tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo.
Figura (1.20): (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es mayor que su peso;
(b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye. Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igual
módulo, el cuerpo flota.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de una ola
en el mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de
fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento
del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para recuperar
la verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendo
la carga de modo que rebaje la posición del centro de gravedad, con lo que se
consigue aumentar el brazo del par.
En general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que la de
éste.
Ejemplo 1.31.: Una pieza fundida pesa 40 Kp y ocupa un volumen de 5 dm3 . Por medio
de una cuerda se suspende en un líquido de densidad relativa 0; 76. Hallar el
empuje de Arquímedes y la tensión de la cuerda.
Solución:
Figura (1.21): Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante una cuerda.
El empuje de Arquímedes viene dado por,
E =
f gV
=
R H2 O gV
Kg
m
:9; 8 2 5:10
3
m
s
= 37; 24 N = 3; 8 Kp
= 0; 76:1:103
3
m3
La tensión T de la cuerda vendrá dada por el peso aparente del cuerpo en el agua
(ver figura 1.21), por lo tanto,
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.22): Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento que flota en un
lago.
T = wa = w
E = 40 Kp
3; 8 Kp = 36; 2 Kp
Ejemplo 1.32.: Una tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento tiene
una longitud L = 1 m, ancho a = 80 cm y profundidad d = 60 cm; su masa es
M = 200 Kg. La tina flota en un lago, ¿cuántas personas de 80 Kg de masa cada
una pueden estar en la tina sin que esta se hunda?.
Solución: La situación planteada en el problema se representa en la figura 1.22. Si
mp es la masa de cada persona, entonces el peso total wT de n personas vendrá dado
por,
wT = nmp g
(1)
y el peso wtin de la tina por,
(2)
wtin = M g
entonces, el peso total w de la tina más las n personas será,
w = wtin + wT = M g + nmp g
(3)
y además, el empuje E originado por el volumen de agua desplazada VH2 O , según
(1.44), viene dado por,
E = H2 O gVH2 O
(4)
Vayámonos al caso límite. La mayor cantidad de agua que puede desplazar la
tina es cuando se hunde hasta su borde. En este cado VH2 O = adL, por lo tanto (4) la
podemos escribir como,
E = H2 O gadL
(5)
Para que la tina quede en equilibrio, debe cumplirse que w = E. Entonces, de (3) y
(5),
M g + nmp g =
n =
H2 O gadL
H2 O adL
M
mp
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
y al sustituir los valores correspondientes,
1:103 Kg
:0; 8 m:0; 6 m:1 m
m3
80 Kg
= 3; 5
n =
200 Kg
es decir, 3 personas.
Ejemplo 1.33.: Hallar la fracción de volumen que se sumergirá al flotar en bromo un
trozo de magnesio. La densidad del bromo es 3; 12 g=cm3 y la del magnesio 1; 76
g=cm3 .
Solución: La masa mM g del trozo de magnesio, según (1.1), viene dada por,
mM g =
(1)
M g VM g
donde M g y VM g son la densidad y el volumen total del trozo de magnesio respectivamente. Entonces su peso wM g es,
wM g = mM g g =
(2)
M g gVM g
Por otro lado, al usar (1.44), el empuje E originado por el bromo será,
E=
(3)
Br gVM g(s)
donde Br y VM g(s) son la densidad del bromo y el volumen del trozo de magnesio que
se encuentra sumergido (que corresponde al volumen de bromo desalojado). Ahora
bien, cuando el trozo de magnesio flota, debe cumplirse que wM g = E. Por lo tanto,
de (2) y (3) se obtiene,
M g gVM g
=
VM g(s)
=
VM g
Br gVM g(s)
Mg
Br
que es la fracción de volumen pedida. Al sustituir los valores correspondientes,
1; 76 cmg 3
VM g(s)
=
= 0; 564
VM g
3; 12 cmg 3
que representa un 56; 4 %.
Ejemplo 1.34.: Una esfera metálica pesa 29; 4 N en el aire y 18; 5 N en el agua. ¿Cuál
es su densidad?.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución: Si we = 29; 4 N es el peso real de la esfera (que es igual a su peso real,
puesto que, el aire ejerce un empuje despreciable) waH2 O = 18; 5 N es su peso aparente
en el agua, entonces de (1.46) podemos escribir,
waH2 O = we
(1)
E
Por otro lado, el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre la esfera
metálica viene dado (con f igual a la densidad del agua H2 O ), según (1.44), por,
E=
(2)
H2 O gV
donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por la esfera, que como está
completamente sumergida, es igual a su volumen Ve . Por lo tanto, al sustituir (2) en (1),
se obtiene,
waH2 O = we
we
Ve =
H2 O gVe
waH2 O
H2 O g
(3)
Por último, la densidad de la esfera la podemos encontrar usando (1.1), esto es,
e
=
me
Ve
(4)
y sustituyendo (3) en (4) resulta,
e
=
H2 O
me g
we waH2 O
(5)
e
=
H2 O
we
waH2 O
(6)
pero me g = we , entonces,
we
que al sustituir los correspondientes valores, resulta,
e
= 1:103
Kg
29; 4N
Kg
= 2; 7:103 3
3
m 29; 4N 18; 5N
m
Ejemplo 1.35.: Un globo de plomo lleno de aire, con radio externo R = 0; 1 m, se encuentra totalmente sumergido en un tanque de agua. ¿Cuál es el espesor t de
la capa de plomo, si el globo ni flota ni se hunde (se encuentra en equilibrio)?. La
densidad del plomo es P b = 11; 3:103 Kg=m3 .
Solución: En la figura 1.23 se muestra esquemáticamente la situación mostrada en
el problema, donde r representa el radio interno del globo.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura (1.23): Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, totalmente sumergido
en un tanque de agua.
El volumen del plomo VP b entre el radio exterior y el interior resulta de restarle el
volumen contenido hasta el radio interior Vint , del volumen contenido hasta el radio
exterior Vext , por lo tanto,
VP b = Vext Vint
(1)
pero,
4 3
R
3
4 3 4
=
r =
(R
3
3
(2)
Vext =
Vint
t)3
(3)
entonces, al sustituir (2) y (3) en (1),
VP b =
4 3
R
3
4
(R
3
t)3 =
4
3
R3
(R
t)3
(4)
Con este volumen y la densidad del plomo, al usar (1.1), podemos calcular la masa
mP b del plomo como sigue [usando (4)],
mP b =
P b VP b
=
4
3
Pb
R3
(R
t)3
(5)
R3
(R
t)3
(6)
y, por lo tanto, su peso wP b será [usando (5)],
wP b = mP b g =
4
3
P bg
El peso del aire contenido en el globo es despreciable ¿por qué?.
Por otro lado, el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre el globo viene
dado (con f igual a la densidad del agua H2 O ), según (1.44), por,
E=
H2 O gV
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(7)
Pág.: 45
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por el globo, que como está
completamente sumergido, es igual a su volumen externo (V = Vext ). Por lo tanto, al
usar (2),
4
E = H2 O gVext =
gR3
(8)
3 H2 O
Ahora bien, como el globo se encuentra en equilibrio,
(9)
wP b = E
entonces, al sustitur 6 y 8 en 9, obtenemos,
4
3
P bg
R3
(R
t)3
=
Pb
R3
(R
t)3
=
4
3
H2 O gR
H2 O R
t = R 1
de aquí que,
t = 0; 1 m 1
1.12
s
3
1
1:103 Kg
m3
11; 3:103 Kg
m3
!
3
3
r
3
1
H2 O
Pb
= 0; 003 m = 3 mm
Problemas
1. El patrón del kilogramo de masa está hecho de una aleación que consta del 90
por 100 de platino y el 10 por 100 de iridio. Determinar la densidad de la aleación
y el volumen del patrón, considerando el volumen de la aleación igual a la suma
de los volúmenes de las partes integrantes. Densidad del platino 2; 15:104 Kg=m3 y
densidad del iridio 2; 24:104 Kg=m3 . Resp.: 2; 16:104 Kg=m3 ; 4; 62:10 5 m3 .
2. Una aleación está compuesta por 2; 92 Kg de estaño y 1; 46 Kg de plomo. ¿Qué
densidad tendrá la aleación si se considera que su volumen es igual a la suma de
los volúmenes de las partes integrantes?. Resp.: 8; 3:103 Kg=m3 .
3. Un cuerpo permanece en equilibrio en la zona de separación entre dos líquidos no
miscibles, de densidad 1 y 2 respectivamente ( 1 < 2 ) ; con una fracción f2 de su
volumen total inmerso en el líquido 2. Mostrar que la densidad del cuerpo viene
Vi
dada por: = 1 + f2 ( 2
1 ) : La fracción f2 = VT donde Vi es el volumen inmerso
del cuerpo y VT es su volumen total.
4. Obtener la segunda y tercera de las ecuaciones (1.13).
5. Integrar (1.21), para obtener (1.22).
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Pág.: 46
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
6. Obtener (1.27).
7. Muestre que, en general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que la
de éste.
8. Hallar la densidad absoluta y relativa del alcohol etílico, sabiendo que 63; 3 g ocupan un volumen de 80; 0 cm3 . Resp.: 0; 791 g=cm3 , 0; 79L:
9. Calcular el volumen de 40 Kg de tetracloruro de carbono cuya densidad relativa es
de 1; 60. Resp.: 25 L:
10. Calcular el peso de medio metro cúbico de aluminio cuya densidad relativa vale
2; 70. Resp.: 1350 Kp:
11. Un bidón tiene capacidad para contener 110 Kp de agua o 72; 6 Kp de gasolina.
Hallar:
11.1. La capacidad del bidón en m3 . Resp.: 0; 11 m3 .
11.2. la densidad de la gasolina en g=cm3 , la densidad relativa de la gasolina. Resp.:
0; 66g=cm3 ; 0; 66.
11.3. el peso específico en Kp=m3 . Resp.: 660 Kp=m3 .
12. El metal osmio, denso, y el butano líquido a la temperatura ambiente, ligero, tienen
densidades relativas de 22; 5 y 0; 6, respectivamente. Calcular el peso específico del
osmio en Kp=cm3 y la densidad del butano en Kp=L. Resp.: 2; 25:10 2 Kp=cm3 ; 0; 6
Kp=L.
13. Un volumen de 0; 7752 m3 de aire pesa 1 Kp. Hallar la densidad del aire en g=cm3 y
en g=L. Resp.: 1; 29:10 3 -g=cm3 y 1; 29 g=L.
14. Una plancha de goma espuma, de 33 x 24 x 6; 40 cm, tiene una masa de 350 g. Una
esponja de celulosa, de 7 x 12 x 2; 5 cm, tiene 12 g dc masa. La lana de vidrio de
una balsa tiene un peso específico de 160 Kp=m3 y el corcho de los tapones 240
Kp=m3 . Hallar las densidades relativas de estos productos sintéticos y del corcho.
Resp.: 0; 069; 0; 057; 0; 16, y 0; 24.
15. Un depósito cúbico de 3 m de lado está lleno de agua. Hallar la fuerza que se
ejerce sobre el fondo y sobre una de las caras laterales. Resp.: 2; 7:104 Kp; 1; 35:104
Kp.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
16. Un profesor observa la “eterna negrura” del océano a 1000 m bajo la superficie
a través de un ocular de cuarzo fundido de forma circular de 15 cm de diámetro.
Calcular la fuerza que soporta el ocular a dicha profundidad. La densidad relativa
del agua del mar es de 1; 03. Resp.: 18200 Kp.
17. Una esfera hueca de acero inoxidable, de 20 cm de radio, se evacúa, de modo
que en su interior se haga vacío. (a)¿Cuál es la suma de las magnitudes de las
fuerzas que actúan tratando de comprimir la esfera?, (b) hay un agujero circular de
4 cm de diámetro en un lado de la esfera, para tener acceso al interior, calcule la
fuerza necesaria para jalar una placa plana y destapar el agujero, una vez hecho
el vacío. ¿Piensa usted que podría quitar esa tapa tirando de ella?.Resp.: (a) 5; 1:104
N ; (b) 1; 3:102 N que equivale a levantar 13 Kg..
18. Suponiendo que la atmósfera en la superficie del Sol tiene la misma presión que en
la superficie de la Tierra, 1 atm, y sin tener en cuenta los efectos de la temperatura,
¿cuál sería la altura de una columna de mercurio en un barómetro en el Sol?. Repita
lo anterior para el planeta Marte, que tiene un valor en la superficie de g igual al
de Mercurio. Para el Sol g = 274 m=s2 , para Mercurio g = 3; 73 m=s2 y densidad del
mercurio 13; 3:103 Kg=m3 . Resp.: 0; 027 m y 2; 0 m.
19. En una cámara de presión para pruebas, una persona comienza a actuar en
forma anormal cuando la presión manométrica es mayor que 40 lbf =pulg 2 . La presión manométrica es la presión en exceso a la presión atmosférica. Es un efecto
bien conocido que limita la profundidad a la cual se zambullen los buzos sin escafandra, y a la que pueden respirar aire puro (de sus tanques de aire). En el agua
de mar, cuya densidad es 1; 03 g=cm3 , ¿a qué profundidad debe limitarse el buzo?.
Resp.: 27; 3 m.
20. De una plancha rectangular de 50 x 100 cm y espesor uniforme se corta un cuadrado
de 25 cm de lado, cuyo centro se halla a 12; 5 cm por encima de la arista inferior de
100 cm, Se sumerge la plancha verticalmente con las aristas de 100 cm paralelas a
la superficie de manera que la arista superior queda a 6 m de la superficie libre de
agua. Hallar la fuerza que actúa sobre la plancha. Resp.: 7970 Kp.
21. Un tanque en forma de paralelepípedo de 30 x 40 cm de sección recta y 20 cm de
altura, está lleno de agua. Calcular la presión y la fuerza sobre el fondo del tanque:
21.1. En unidades M.K.S.C. Resp.: 1; 96.103 N=m2 ; 2; 35:102 N .
21.2. en unidades C.G.S.S. Resp.: 1; 96:104 din=cm2 ; 2; 35:107 din.
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22. Un recipiente de forma cúbica, de 50 cm de arista, está cerrado por su parte superior. En una de sus caras laterales se coloca un tubo vertical con su centro a 30
cm del fondo. La altura de agua en el tubo, por encima del centro del orificio, es
de 70 cm y la sección recta del tubo vale 100 cm2 . Hallar la fuerza sobre cada cara,
incluyendo la superior e inferior. Resp.: 1230 N sobre la cara superior, 2450 N sobre
la inferior, 1760 N sobre la cara lateral que contiene el orificio para el tubo y 1840 N
sobre las demás caras.
23. Calcular la presión necesaria en un sistema de alimentación de agua que ha de
elevarse 50 m en vertical. Resp.: 5:104 Kp=m2 . o bien, 500 Kp=cm2 .
24. La sección recta de un pistón de una bomba es de 45 cm2 . Hallar la fuerza que se
debe aplicar para elevar agua a 30 m de altura. Resp.: 135 Kp.
25. El diámetro del pistón grande de una prensa hidráulica es de 60 cm y la sección
recta del pistón pequeño de 5 cm2 . Se aplica a este último pistón una fuerza de 50
Kp; hallar la fuerza ejercida sobre el pistón grande. ¿Qué presiones se ejercen sobre
cada pistón en Kp=cm2 ?. Resp.: 28260 Kp; 10 Kp=cm2 .
26. Un depósito que contiene aceite de densidad relativa 0; 80 pesa 160 Kp al colocarlo sobre una báscula. Se sumerge en el aceite, colgado de un hilo, un cubo de
aluminio, de densidad relativa 2; 7 de 20 cm de arista. Hallar:
26.1. La tensión en el hilo. Resp.: 15; 2 Kp.
26.2. la lectura que indicaría la báscula. Resp.: 166; 4 Kp.
27. Para sumergir totalmente en agua y luego en aceite un bloque de madera, se
necesitan aplicar fuerzas hacia abajo de 21 y 7 Kp, respectivamente, Si el volumen
del bloque es de 85 dm3 , hallar la densidad relativa del aceite. Resp.: 0; 835.
28. Hallar la aceleración del movimiento de una bola de hierro de densidad relativa
7; 8:
28.1. Al caer por su propio peso en agua. Resp.: 8; 5 m=s2 .
28.2. al elevarse cuando se la sumerge en mercurio de densidad relativa 13; 5. Resp.:
7; 15 m=s2 .
29. Un cubo de metal de 10 cm de arista pesa 7 Kp cuando se sumerge en agua.
Calcular su peso aparente al sumergirlo en glicerina, cuya densidad relativa vale
1; 26. Resp.: 6; 74 Kp.
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30. Un globo tiene una capacidad de 1000 m3 . Hallar su fuerza ascensional cuando se
llena con gas helio. Peso específico medio del aire = 1; 29 Kp=m3 , peso específico
medio del helio 0; 18 Kp=m3 . Resp.: 1110 Kp.
31. Una pieza de aleación de magnesio pesa 0; 50 Kp en aire, 0; 30 Kp en agua y 0; 32
Kp en benceno. Calcular la densidad relativa de la aleación y del benceno. Resp.:
2; 5 y 0; 9.
32. Un resorte pesa 3; 572 p en aire y 3; 1468 p en agua. ¿De qué aleación, bronce o
latón está constituido el resorte en cuestión? Las densidades relativas de ambas
aleaciones son 8; 8 y 8; 4 respectivamente. Resp.: Latón.
33. Una pirámide metálica cuadrangular, cuya base mide 12 cm por lado, tiene 5; 5 Kg
de masa. ¿Cuál es la presión que ejerce esta pirámide sobre la mesa en la que
se encuentra?. Suponga que aumenta la temperatura ambiente y que el metal se
dilata, ¿aumentará o disminuirá la presión como resultado de la dilatación?. Resp.:
3; 7:103 mN2 ; disminuye.
34. Hallar la fracción de volumen que se sumergirá al flotar en mercurio un trozo de
cuarzo. La densidad relativa del cuarzo es 2; 65 y la del mercurio 13; 6. Resp.: 0; 195.
35. Un cuerpo pesa 10 Kp en aire y 6 Kp en un líquido cuya densidad relativa vale 0; 8.
Hallar la densidad relativa del cuerpo. Resp.: 2.
36. Sobre un cubo de madera, flotando en agua, se coloca un bloque de 0; 2 Kp. Al
retirar el bloque, el cubo se eleva 2 cm. Calcular la arista de dicho cubo. Resp.: 10
cm.
37. Un corcho pesa 0; 5 p en aire. Un plomo pesa 8; 6 p en agua. El corcho se une al
plomo y el conjunto pesa 7; 1 p en agua. Calcular la densidad relativa del corcho.
Resp.: 0; 25.
38. Un hombre y una piedra están en una balsa que flota en una piscina de 10 m de
largo por 7 m de ancho. La piedra pesa 35 Kp y tiene una densidad relativa de 2; 5.
Si el hombre arroja la piedra fuera de borda, ¿en cuánto se elevará el nivel de agua
de la piscina por el cambio que se ha experimentado?. Se desprecia la superficie
de la balsa. Resp.: 0; 35 mm.
39. Se coloca un cubo de hielo en un vaso con agua, ¿qué fracción del cubo sobresale del nivel del agua? ( hielo = 917 Kg=m3 y agua = 1:103 Kg=m3 ). Resp.: 8; 3%.
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40. Hallar a qué altura la presión atmosférica es 1=5 de la presión a nivel del mar. Resp.:
13; 9 Km.
41. Un trozo de aluminio se suspende de una cuerda y después se sumerge por completo en un recipiente con agua. La masa del aluminio es 1; 0 Kg y su densidad es
2; 7.103 Kg=m3 . Calcule la tensión en la cuerda antes y después de que se sumerge
el aluminio. Resp.: 9; 8N antes y 6; 2N después.
42. Disponemos de una plancha de cierto material de 1 dm de espesor. Calcular la
superficie mínima que se debe emplear para que flote en agua, sosteniendo a un
naufrago de 70 Kg. La densidad del material es de 0; 3 g=cm3 . Nota: entendemos
por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera
del agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella. Debe considerarse el
peso de la plancha y del naufrago. Resp.: 1 m2 .
43. Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plástico
bajo su superficie (ver fig. 1.24). El volumen de la esfera es V = 0; 3 m3 y la tensión del
cable 900 N . (a) ¿Qué masa tiene la esfera?, (b) El cable se rompe y la esfera sube
a la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera
estará sumergida?. Densidad del agua de mar 1; 03 g=cm3 . Resp.: (a) 217; 2 Kg; (b)
70%.
Figura (1.24): Problema 43: Cable anclado en el fondo de un lago que sostiene una esfera hueca de
plástico bajo su superficie.
44. El depósito de la figura 1.25 contiene agua. (a) Si abrimos la llave de paso, ¿qué
altura tendrá el agua en cada lado del depósito cuando se alcance el equilibrio?,
(b) ¿qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
el equilibrio?. Resp.: (a)
de la izquierda).
55
m
3
(izquierda) y
25
m
3
(derecha); (b) 33; 33 (de la derecha al
Figura (1.25): Problema 44: Dos depósitos que contienen agua y que están unidos mediante un conducto que puede abrirse o cerrarse mediante una llave.
45. Un recipiente tiene la forma de un prisma de base cuadrada de 10 cm de lado.
Contiene mercurio hasta una altura de 8 cm. y encima del mismo, agua hasta una
altura de 10 cm. sobre el mercurio. Calcular la presión manométrica y la fuerza total
sobre el fondo. También la presión en un punto a 4 m, 8 cm, 13 cm y a 18 cm del fondo.
Resp.: 113; 8 p=cm2 ; 11; 88 Kp; 64; 4 p=cm2 ; 5 p=cm2 ; 0.
46. Un tanque rectangular lleno de agua tiene 6 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de
profundidad. Calcular la fuerza total sobre el fondo y sobre cada pared. Resolver
el mismo problema suponiendo que la superficie del agua se encuentra a 50 cm del
borde del tanque. Resp.: 1; 2:105 Kp; 5:104 Kp; 7; 5:104 Kp.
47. El tanque del problema anterior está tapado herméticamente. En su tapa se ha
hecho un orificio y se ha ajustado en el mismo un tubo vertical de 6 m de largo, de
modo que el tanque y el tubo están llenos de agua. Calcular la fuerza total sobre
el fondo, sobre cada pared y sobre la tapa. Resp.: 2; 64:105 Kp; 1; 70:105 Kp; 2; 55:105
Kp; 1; 44:105 Kp.
48. Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la profundidad
es de 3 m y en el otro de 1; 2 m. La piscina tiene 25 m de largo y 10 m de ancho.
Hallar la fuerza total sobre el fondo. Resp.: 5; 25:105 Kp.
49. Una represa tiene un muro de contención de 50 m de altura estando el nivel del
agua a 1 m del borde. En la base del muro hay una compuerta rectangular de 4 m
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
de altura y 5 m de ancho. Qué fuerza debe ejercerse sobre la compuerta para que
el agua no la abra? Resp.: 9; 40:105 Kp.
50. Un pedazo de metal pesa 180 p en el aire y 140 p en el agua. ¿Cuál es el volumen
y la densidad del metal?. Resp.: 40 cm3 ; 4; 5 g=cm3 .
51. Un cuerpo experimenta un empuje de 25 p si se sumerge en agua, y de 23 p si se
sumerge en aceite. Hallar la densidad del aceite. Resp.: 0; 92 g=cm3 .
52. Una batisfera, que es un recipiente utilizado para la investigación, tiene 2; 4 m de
diámetro y 8400 Kg de masa. Se suelta de un submarino, a 50 m bajo la superficie
del agua. ¿Flotará o se hundirá?. Densidad del agua de mar 1; 03:103 Kg=m3 . Resp.:
Se hunde.
53. Una caja cúbica cuyo contenido se ignora, flota en el agua con el 25 % de su volumen sobre la superficie. ¿Cuál es la densidad promedio de la caja y su contenido?.
Resp.: 7; 5:102 Kg=m3
54. Un grupo de Boy Scouts trata de construir una balsa y recorrer un río. La masa de
cuatro, con sus equipos, es de 400 Kg. Hay árboles con diámetro promedio de 20
cm y una densidad relativa de 0; 8. Determine el área mínima de la balsa de troncos
que les permitirá flotar sin mojarse. Resp.: 12; 7 m2 .
55. Considérese un globo esférico lleno de helio, con una densidad de 0; 18 Kg=m3 . La
densidad del aire es 1; 3 Kg=m3 . ¿Cuál debe ser el radio del globo para elevar una
carga de 100 Kg, incluyendo la masa propia?. Resp.: 2; 8 m.
56. Un recipiente de 50 g de masa contiene 1; 2 Kg de agua y descansa en una báscula. De otra báscula de resorte se cuelga un bloque de aluminio de 1; 5 Kg. La
densidad relativa del aluminio es 2; 7. El bloque se sumerge por completo en agua.
Calcule las indicaciones de ambas básculas. Resp.: 17; 7 N y para la de resorte
9; 3N .
57. Una esfera de radio R, de material con densidad media 0; 75 g=cm3 , se sumerge en
agua. ¿Cuál es la altura de la parte de la esfera que sobresale del agua?. Resp.:
0; 65R.
58. Un bloque de madera tiene un volumen de 150 cm3 . Para mantenerlo sumergido
en agua hace falta ejercer sobre él una fuerza hacia abajo de 60 p. Hallar su densidad.Resp.: 0; 6 p=cm3 .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
59. Una esfera de hierro que pesa 136 p y tiene una densidad igual a 7; 8 g=cm3 flota en
mercurio. Calcular el volumen del casquete emergente. Qué fuerza sería necesario
ejercer sobre la esfera para mantenerla sumergida?. Resp.: 7; 5 cm3 , 102 p.
60. Una cadena que pesa 21 p está fabricada con una aleación de cobre y oro.
Cuando la cadena se suspende de un dinamómetro, mientras está sumergida en
agua sin tocar las paredes ni el fondo del recipiente donde está el agua , el dinamómetro indica 19; 5 p. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación , si su densidad es
19; 3 p=cm3 y la del cobre es 8; 9 p=cm3 ?. Resp.:14; 2 p.
61. Un depósito lleno de agua tiene un peso total de 18; 5 Kp. Una piedra de volumen
1; 5 dm3 se suspende de una cuerda y se introduce en el agua sin tocar las paredes
ni el fondo del depósito, mientras el depósito está sobre una balanza. ¿Cuántos Kp
indicará la balanza con la piedra sumergida?. Resp.: 20 Kp.
62. El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 20 cm ¿qué fuerza
debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 2 cm para elevar un coche de peso
1500 Kp?. Resp.: 33 lbf .
63. Un corcho posee una densidad de 200 Kg=m3 . Determinar que fracción del volumen del corcho se sumerge cuando el corcho flota en agua. Resp.: 0; 2 es decir
20%.
64. Determinar la presión en A debida al desnivel de mercurio (densidad 13; 6 g=cm3 )
en las ramas del tubo en U de la figura 1.26. La distancia CD es de 20 cm y la DE de
4 cm. Resp.: 131327; 2 P a.
Figura (1.26): Problema 64: Cálculo de presión en un tubo en forma de U con uno de sus extremos
cerrados.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
65. Un tubo en U se coloca verticalmente y se llena parcialmente con mercurio (densidad 13; 6 g=cm3 ). En una de las ramas se vierte una columna de 10 cm de agua.
(a) ¿Cuál será el desnivel entre las superficies libres de mercurio de ambas ramas?.
A continuación se vierte aceite en la otra rama del tubo hasta conseguir nivelar las
superficies libres del mercurio, para lo que se necesita una columna de 12 cm de
aceite. ¿Cuál es la densidad del aceite?. Resp.: (a) 7; 35 mm; b) 833 Kg=m3 .
66. Un cilindro vertical, de 30 cm de diámetro, contiene agua, sobre cuya superficie
descansa un émbolo perfectamente ajustado al cilindro y atravesado por un tubo
abierto por sus dos extremos, de 1 cm de diámetro. El peso del émbolo con el tubo
es de 10 Kg ¿Hasta qué altura por encima de la base inferior del émbolo subirá el
agua por el interior del tubo?. Resp.: 14; 2 cm.
67. Dado el gato hidráulico representado en la figura 1.27, calcular la fuerza mínima
que hay que realizar sobre la palanca para iniciar el movimiento de elevación de
un coche de 800 Kg de masa. Datos: DA = 2 cm, DB = 10 cm, CE = 75 cm, CD = 5
cm. Resp.: 22; 25 N , perpendicular a la barra.
Figura (1.27): Problema 67: Cálculo de la fuerza que debe aplicarse en la palaca de un gato hidráulico.
68. Un iceberg flota sobre el agua del mar (densidad 1; 03 g=cm3 ) y tiene sumergidas
nueve décimas de su volumen. Hallar la densidad del hielo. Resp.: 0; 927 g=cm3 .
69. Un bloque de madera flota sobre el agua, teniendo sumergidos los dos tercios de
su volumen; en el aceite, sumerge nueve décimos de su volumen. Hallar la densidad
del aceite y de la madera. Resp.: 0; 74 g=cm3 y 0; 67 g=cm3 .
70. Una pelota de ping-pong, de masa 3 g y con un volumen externo de 24 cm3 , está
sujeta mediante un hilo ligero al fondo de un recipiente que contiene agua. Calcular: (a) La tensión del hilo, (b) se somete al recipiente a una aceleración vertical y
hacia arriba de 4; 9 m=s2 . Calcular la nueva tensión del hilo, (c) ¿cuál será la tensión
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
del hilo en caída libre? y (d) se somete al recipiente a una aceleración de 4; 9 m=s2
en dirección horizontal. Calcular la tensión del hilo y el ángulo que forma con la
vertical. Resp.: (a) 0; 2058 N ; (b) 0; 3087 N ; (c) 0 N y (d) 0; 2301 N ; 26; 57 .
71. Un cilindro de madera de roble (de densidad 800 Kg=m3 ) de 1 m de longitud y 1 cm2
de sección, se halla flotando parcialmente sumergido en agua dulce, suspendido
por uno de sus extremos de un hilo a una altura h = 225 mm, tal como se muestra
en la figura 1.28. Calcular: (a) La longitud de la parte sumergida y el ángulo que
forma el cilindro con la horizontal, (b) la fuerza de empuje que ejerce el agua sobre
el cilindro y (c) la tensión en el hilo. Resp.: (a) 0; 55 m; 30; 2o ; (b) 0; 542 N y (c) 0; 242 N .
Figura (1.28): Problema 71: Cilindro de madera de roble de longitud L flotando parcialmente sumergido
en agua dulce, suspendido por uno de sus extremos de un hilo a una altura h.
72. Determinar la fuerza que actúa sobre la superficie plana de la presa (ver figura
1.29) y la situación de la línea de acción (recta soporte) de dicha fuerza sobre el
dique. La anchura de la presa a = 10 m; la profundidad del agua h = 5 m. Resp.:
1; 225:106 N aplicada a 3; 33 m por debajo del nivel del agua.
Figura (1.29): Problema 72: Cálculo de la fuerza que actúa sobre la superficie plana de una presa.
73. La sección interna del cuello de una botella mide 3; 5 cm2 y la sección de la base
mide 45 cm2 . Está totalmente llena con un fluido de peso específico igual a 0; 86
p=cm3 . Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 600 p. Calcular
la fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,
sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 25 cm. Resp.: 8; 68 Kp.
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CAPITULO 2
HIDRODINAMICA
Contenido
2.1
Métodos de análisis utilizados para describir el estado de movimiento
de un ‡uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.1.1
Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.1.2
Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.2
Características generales del ‡ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.3
Trayectorias y líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.4
Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . .
63
2.5
2.4.1
Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.2
Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . .
68
Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1
2.6
74
Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un grifo en la
base de un recipiente (Teorema de Torricelli) . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.5.2
Efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.5.3
Tubo o medidor de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.5.4
Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Ahora pasamos del estudio de los fluidos en reposo al estudio más complicado
de los fluidos en movimiento,
57
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
La rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de las leyes de los fluidos
en movimiento es la denominada hidrodinámica.
Muchos aspectos del movimiento de los fluidos todavía no se entienden por completo; aún así, adoptando algunas simplificaciones, puede obtenerse una buena comprensión de esta materia.
2.1
Métodos de análisis utilizados para describir el estado
de movimiento de un fluido
Para conocer el estado de movimiento de un fluido en cada instante de tiempo
pueden emplearse dos métodos. El primero es conocido con el nombre de Lagrange
y el segundo, con el nombre de Euler .
2.1.1 Método de Lagrange
Este método fue aplicado primeramente por Joseph Louis Lagrange y es una generalización directa del concepto de la mecánica de las partículas.
Consiste en dividir el movimiento de un fluido en elementos de volumen infinitesimales, a los cuales podemos llamar partículas del fluido, y entonces seguir
su movimiento.
Como puede imaginarse, este procedimiento implica un esfuerzo formidable. Podríamos indicar las coordenadas (x; y; z) a cada una de las partículas del fluido y entonces especificarlas como función del tiempo t. Luego las coordenadas (x; y; z) en el
tiempo t de la partícula que se encontraba en (xo ; yo ; zo ) en el instante to quedarían determinadas por las funciones x (xo ; yo ; zo ; to ; t) ; y (xo ; yo ; zo ; to ; t) ; z (xo ; yo ; zo ; to ; t) (es decir,
las trayectorias de las partículas) que describirían el movimiento del fluido.
2.1.2 Método de Euler
Fue ideado por Leonhard Euler.
El método de Euler no sigue a cada partícula como el anterior, sino que
observa todas las que pasan por un determinado punto del espacio a través
del tiempo. Consiste en describir el movimiento de un fluido especificando la
!
densidad (x; y; z; t) y la velocidad V (x; y; z; t) en el punto (x; y; z) y el tiempo t.
En [8] pág. 91 se estudian, con bastante profundidad y detalle, ambos métodos.
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Pág.: 58
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Cualquier cantidad usada al describir el estado del fluido, por ejemplo la presión
p, tendría entonces un valor definido en cada punto del espacio y en cada instante
del tiempo. Aunque esta descripción del movimiento del fluido se enfoque a un punto
en el espacio, más que a una partícula del fluido, no podemos evitar seguir a las
partículas mismas, por lo menos durante intervalos de tiempo cortos dt, ya que son a
ellas, después de todo, y no a los puntos del espacio, a las que se aplican las leyes de
la mecánica.
El método que seguiremos en el desarrollo de nuestro estudio de la Hidrodinámica
será el de Euler.
2.2
Características generales del flujo
Antes entendamos bien lo que es un flujo.
Se entiende como flujo al movimiento de las partículas del medio fluido continuo, tales como gases, vapores o líquidos, por canales o conductos cerrados
o abiertos.
Un gráfico de velocidades se llama diagrama de línea de flujo, como el mostrado
en la figura 2.1.
Figura (2.1): Diagrama de línea de flujo.
Ahora bien, para entender la naturaleza de las simplificaciones que hagamos, consideremos primero algunas características generales del flujo de los fluidos:
1. Puede ser estacionario (permanente) o no estacionario (no permanente). Se dice
que un flujo es estacionario cuando la velocidad !
v del fluido en cualquier punto
no varía con el tiempo, en cualquier otro punto una partícula puede viajar con una
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
velocidad diferente, pero otra partícula que pase por este segundo punto se comporta allí justo como lo hizo la primera partícula cuando pasó por ese punto. Estas
condiciones pueden conseguirse cuando las velocidades del flujo son pequeñas.
Por otro lado, un flujo se dice que es no estacionario cuando las velocidades !
v son
una función del tiempo en un punto dado.
2. Puede ser rotacional o irrotacional. Se dice que un flujo es irrotacional cuando un
elemento de fluido en un punto dado no tiene una velocidad angular neta alrededor de dicho punto. Esto podemos visualizarlo al imaginar una pequeña rueda de
paletas sumergida en un líquido que fluye. Si la rueda de paletas se mueve sin girar,
el flujo es irrotacional; si gira, entonces el flujo es rotacional. El flujo rotacional incluye
el movimiento vertical como ocurre en los remolinos.
3. Puede ser compresible o incompresible. Por lo general podemos considerar que
los líquidos fluyen incompresiblemente. Pero un gas muy compresible puede, en
ocasiones, sufrir cambios tan poco importantes en su densidad que entonces su
flujo puede considerarse casi como incompresible.
4. Puede ser viscoso o no viscoso. La viscosidady en el movimiento de los fluidos es
el análogo de la fricción en el movimiento de los sólidos. En muchos casos, tales
como en los problemas de lubricación, es sumamente importante. Sin embargo,
a veces puede ignorarse. La viscosidad introduce fuerzas tangenciales entre las
capas del fluido en movimiento relativo y se traduce en una disipación de la energía
mecánica.
Podemos distinguir dos tipos principales de flujo (ver figura 2.2):
1. Si el flujo es uniforme de modo que los estratos contiguos del mismo se deslicen entre
sí de manera continua, se dice que el flujo es una línea de corriente o flujo laminar.
Al rebasar cierta velocidad que depende de un gran número de factores, el flujo
se hace turbulento.
2. El flujo turbulento se caracteriza por círculos pequeños a manera de remolinos, erráticos, llamados corrientes parásitas o remolinos. Las corrientes parásitas absorben
y
Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza.
Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen
con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas
adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene
un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una
medida de su viscosidad.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.2): (A) Líneas de corriente o flujo laminar. (B) Flujo turbulento.
una gran cantidad de energía y aunque cierta cantidad de fricción interna debida
a la visocosidad se presenta en los flujos laminares, ésta es mucho mayor cuando el
flujo es turbulento.
El estudio del movimiento de un fluido que se hará en este texto se limita a la
dinámica de fluidos para flujos de régimen estacionario, incompresibles, no viscosos
e irrotacionales.
2.3
Trayectorias y líneas de corriente
Ya hemos definido las trayectorias como el camino recorrido por cada una de
las partículas cuando describimos el método de Lagrange en la sección 2.1.1. La
pregunta ahora es ¿cuáles serán las líneas características del movimiento si usamos el
método de Euler descrito en la sección 2.1.2?.
Figura (2.3): Línea de corriente.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Considérese un punto P dentro de un fluido (ver figura 2.3). Como la velocidad en dicho punto no cambia en el transcurso del tiempo (régimen estacionario), toda partícula que llega a P pasa con la misma rapidez y en la misma
dirección y sentido. Lo mismo sucede con otros puntos en el fluido, digamos Q
y R. Por consiguiente, al trazar la trayectoria de la partícula, esta curva será
la trayectoria de toda partícula que llegue a P . Esta curva se llama línea de
corriente.
Las líneas de corriente no pueden cortarse en un punto regular, pues si así sucediera,
la partícula que acertase a pasar en el instante t por el punto de intersección tendría
simultáneamente dos velocidades distintas, que serían tangentes a cada una de las
dos líneas.
La condición de tangencia entre línea de corriente y velocidad se expresa matemáticamente por el paralelismo entre la cuerda infinitésima y la dirección de la velocidad.
En consecuencia:
dy
dz
dx
=
=
vx
vy
vz
(2.1)
Las (2.1) constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden,
cuya integración da dos parámetros. Para cada par de valores de estos parámetros
se tiene una curva, por lo que las líneas de corriente son un sistema doblemente infinito
(las trayectorias constituyen una familia triplemente infinita) en cada instante t:
Puede apreciarse claramente la diferencia entre trayectorias y líneas de corriente:
Las trayectorias se refieren a cada partícula, mientras que las líneas de corriente están definidas por las velocidades de todas en cada instante.
En un flujo estacionario, la distribución de las líneas de corriente del flujo es estacionario en el tiempo. En este tipo de flujo la trayectoria de la partícula y la línea de
flujo coinciden.En principio podríamos dibujar una línea de corriente que pasara por
cualquier punto del fluido.
Supongamos que el flujo es estacionario y escojamos un número finito de
líneas de corriente para formar un haz como el mostrado en la figura 2.4. Esta
región tubular se denomina tubo de flujo.
Los límites de dicho tubo están formados por líneas de corriente y siempre son
paralelos a la velocidad de las partículas del fluido. Por lo tanto, el fluido no puede
cruzar el borde de un tubo de flujo comportándose (el tubo), en cierta manera, como
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Figura (2.4): Tubo de flujo.
una tubería que tuviese la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salir
por el otro.
2.4
Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica
2.4.1 Ecuación de continuidad
Estudiemos ahora el flujo laminar estacionario de un tubo de flujo como el mostrado
en la figura 2.5 y determinemos la variación de la rapidez del fluido con relación al
tamaño del tubo. Escojamos el tubo lo suficientemente pequeño para que la velocidad a través de cualquier sección transversal sea, en esencia, constante.
En la figura 2.5, !
v1 representa la velocidad cuando pasa a través del área de sección transversal S1 y !
v2 la velocidad cuando pasa a través del área de sección transversal S2 :
El flujo de masa Qm (también denominado caudal másico) se define como
la masa 4m de fluido que pasa por un punto dado por unidad de tiempo 4t:
Qm =
4m
4V
S4l
=
=
= Sv
4t
4t
4t
(2.2)
En la figura 2.5 el volumen de fluido que pasa por S1 en el tiempo 4t es exactamente S1 4l1 donde 4l1 es la distancia que el fluido recorre en el tiempo 4t: Como la
4l1
4m
velocidad del fluido que pasa por S1 es v1 =
; el flujo de masa
a través de S1
4t
4t
es ( donde 4V1 = S1 4l1 es el volumen de masa 4m), viene dado por:
Qm en S1 =
1 S1 v 1
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(2.3)
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Figura (2.5): Ecuación de continuidad.
De manera análoga, para S2 se puede escribir:
flujo de masa en S2 =
2 S2 v 2
(2.4)
ahora, debido a las características de un tubo de flujo (ver sección 2.3), el flujo de
masa en S1 debe ser igual al flujo de masa en S2 ; por lo tanto:
1 S1 v 1
=
2 S2 v 2
(2.5)
que es la denominada ecuación de continuidad. Si el flujo es incompresible, entonces
1 = 2 y por lo tanto:
S1 v 1 = S 2 v 2
(2.6)
La ecuación de continuidad (2.6) establece que:
Donde el área de la sección transversal de un tubo de flujo (o simplemente
de un tubo) es grande, la velocidad es baja; y que donde el área es pequeña,
la velocidad es alta.
Por último, al igual que definimos flujo de masa Qm , podemos definir también flujo
de volumen QV de la siguiente manera:
El flujo de volumen QV (también denominado caudal) se define como el
volumen 4V de fluido que pasa por un punto dado por unidad de tiempo 4t:
QV =
S4l
4V
=
= Sv
4t
4t
(2.7)
y, por lo tanto, al comparar (2.7) con (2.2),
Qm = QV
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(2.8)
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Ejemplo 2.1.: Por una tubería uniforme de 8 cm de diámetro fluye aceite con una velocidad media de 3 m=s. Calcular el caudal QV entonces, si S1 = 40 cm2 ; S2 = 10
cm2 ; = 1:103 Kg=m3 y QV = 3000 cm3 =s expresándolo en a) m3 =s, b) m3 =h.
Solución: Al usar la ecuación(2.7) y siendo D el diámetro de la tubería, obtenemos,
QV m3 =s
QV m3 =s
1
1
D2 =
(0; 08 m)2 3 m=s = 0; 015 m3 =s
4
4
m3
3600 s
= 54
= 0; 015m3 =s
1h
h
= Sv =
Ejemplo 2.2.: Sabiendo que la velocidad del agua en una tubería de D1 de diámetro
es 2 m=s, hallar la velocidad que adquiere al circular por una sección de la tubería
de la mitad del diámetro.
Solución: Al usar la ecuación de continuidad (2.6), siendo S1 =
además, D2 = 12 D1 obtenemos:
1
4
D12 y S2 =
1
4
D22 , y
1
m
1
D12 v1 =
D12 v2 ) v2 = 4v1 ) v2 = 8
4
16
s
Ejemplo 2.3.: Por una tubería horizontal (de sección S1 ) de 15 cm de diámetro fluye
agua y tiene un estrechamiento de sección S2 de 5 cm de diámetro. La velocidad
del agua en la tubería es de 50 cm=s, hallar la velocidad v2 en el estrechamiento.
Solución: Al usar la ecuación de continuidad (2.6), obtenemos:
1
1
D12 v1 =
D22 v2 ) v2 =
4
4
D1
D2
2
v1 ) v2 = 450
cm
s
Ejemplo 2.4.: Por una tubería de 15; 5 cm de diámetro circula agua con una velocidad
media de 5 m=s. Hallar el caudal o flujo volumétrico.
Solución: La sección transversal de la tubería es,
S=
1
D2
4
((1))
y, de (2.7), se tiene,
QV = Sv
((2))
ahora bien, al sustituir (1) en (2),
QV =
entonces,
QV =
1
D2 v
4
1
1
m
m3
D2 v =
: 15; 5:10 2 m :5 = 1; 22
4
4
s
s
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Ejemplo 2.5.: La velocidad de la glicerina en una tubería de 24 cm de diámetro es
de 7; 5 m=s. Hallar la velocidad que adquiere en un estrechamiento de 5 cm de
diámetro.
Solución: Si V1 , S1 son la velocidad de la glicerina en la tubería y la sección transversal de la tubería respectivamente; y V2 , S2 la velocidad de la glicerina en el estrechamiento
y la sección transversal del estrechamiento respectivamente, entonces, a partir de
(2.6),
S1
V2 = V1
(1)
S2
pero,
1
D12
4
1
=
D22
4
S1 =
(2)
S2
(3)
entonces, al sustituir (2) y (3) en (1),
V2 =
1
4
1
4
D12
V1 =
D22
D1
D2
2
V1
de aquí que,
V2 =
24 cm
5 cm
2
:7; 5
m
m
= 172; 8
s
s
Ejemplo 2.6.: La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 35 cm de
radio, donde su velocidad es 8; 6 cm=s, a otra región en donde el radio se ha
reducido a 0; 15 cm, debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclerosis).¿Cuál es la velocidad de la sangre en la zona más estrecha?.
Solución: De la misma forma que en el ejemplo anterior, si V1 , S1 son la velocidad de
la sangre en la arteria gruesa y la sección transversal de la arteria gruesa de diámetro
D1 respectivamente; y V2 , S2 la velocidad de la sangre en la arteria reducida y la
sección transversal de la arteria reducida de diámetro D2 respectivamente, entonces,
a partir de (2.6),
2
2
D1
0; 35 cm
cm
m
V2 =
V1 =
:8; 6
= 46; 82
D2
0; 15 cm
s
s
Ejemplo 2.7.: La figura 2.6 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un
río. Una corriente tiene una anchura de 10 m, una profundidad de 4 m, y una
velocidad de 3 m=s. La otra corriente tiene 7 m de anchura, 2 m de profundidad,
y fluye a razón de 1 m=s. La anchura del río es de 12 m y la velocidad de su
corriente es de 5 m=s. ¿Cuál es su profundidad?.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.6): Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río.
Solución: Aquí tenemos dos flujos Q1 y Q2 que representan las corrientes que confluyen. Tenemos también un tercero Q3 que representa el flujo de la corriente resultante. Si a1 ,h1 son el ancho y la profundidad de la corriente 1 respectivamente; a2 ,h2 el
ancho y la profundidad de la corriente 2 respectivamente y a3 ,h3 el ancho y la profundidad de la resultante respectivamente, entonces,
S1 = a1 h1
(1)
S2 = a2 h2
(2)
S3 = a3 h3
(3)
y, a partir de (2.7) tomando en cuenta (1), (2) y (3),
Q1 = S1 v1 = a1 h1 v1
(4)
Q2 = S2 v2 = a2 h2 v2
(5)
Q3 = S3 v3 = a3 h3 v3
(6)
Ahora, por conservación de la masa, el flujo suministrado por la corriente 1 más el
suministrado por la corriente 2 debe ser igual al flujo de la corriente resultante, por lo
tanto,
Q1 + Q2 = Q3
(7)
y sustituyendo (4), (5) y (6) en (7),
a1 h1 v1 + a2 h2 v2 = a3 h3 v3 ) v3 =
entonces,
h3 =
a1 h1 v1 + a2 h2 v2
a3 h3
10 m:4 m:3 ms + 7 m:2 m:1
12 m:5 ms
m
s
(8)
= 2; 23 m
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2.4.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli)
Fue formulado en 1738 por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, y anteriormente por Leonhard Euler.
El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujo
uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo, trayendo
como consecuencia, que el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión.
El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices
de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor
velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre
esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona
la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es
un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de
presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco.
El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo
reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se
aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados tubos de venturi, que miden
la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de
entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con
lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.
Para deducir la ecuación de Bernoulli, supongamos que el flujo tiene las siguientes
características:
1. es laminar.
2. es incompresible y
3. la viscosidad es lo suficientemente pequeña para ignorarla.
De manera general, consideremos un tubo de flujo que varía (a lo largo de la longitud del tubo) en sección transversal así como en altura sobre un nivel de referencia
(ver figura 2.7). Consideremos la cantidad de fluido marcada más oscura y calculemos
el trabajo realizado para moverla desde la posición mostrada en (a) a la mostrada en
(b). En este proceso el fluido en 1 fluye una distancia 4l1 y fuerza al fluido en 2 a moverse una distancia 4l2 . El fluido a la izquierda del punto 1 ejerce una presión p1 sobre
el fluido y realiza una cantidad de trabajo dada por:
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Pág.: 68
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.7): Flujo de fluidos: Para la derivación de la Ecuación de Bernoulli.
(2.9)
W1 = F1 4l1 = p1 S1 4l1
y en el punto 2; el trabajo realizado es,
(2.10)
p2 S2 4l2
W2 =
el signo negativo es debido a que la fuerza ejercida sobre el fluido se opone al movimiento.
Así mismo se realiza un trabajo sobre el fluido por medio de la fuerza de gravedad y
como, el efecto neto del proceso mostrado en la figura 2.7 es mover una masa m de
volumen S1 4l1 (= S2 4l2 ) del punto 1 al punto 2, el trabajo hecho por la gravedad es:
W3 =
mg (z2
(2.11)
z1 )
el signo negativo es debido a que, en la figura 2.7, el movimiento es hacia arriba
contra la fuerza de gravedad. Entonces, el trabajo total W realizado sobre el fluido
viene dado por:
(2.12)
W = W1 + W2 + W3
= p1 S1 4l1
p2 S2 4l2
mg (z2
z1 )
ahora, al aplicar el teorema del trabajo y la energía:
1 2 1 2
mv
mv = p1 S1 4l1
2 2 2 1
que podemos escribir como (ejercicio):
p2 S2 4l2
mgz2 + mgz1
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(2.13)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
1
1 2
(2.14)
v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2
2
2
que es la expresión matemática del teorema de Bernoulli y se denomina ecuación de
Bernoulli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser cualesquiera dos puntos a lo largo de un
tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli puede escribirse como:
p1 +
p+
1 2
v + gz = ctte
2
(2.15)
en todos los puntos del fluido.
Ejemplo 2.8.: En el ejemplo 2.3 encontrar la presión p2 en el estrechamiento si la presión
en la tubería es de 1; 2 Kp=cm2 .
Solución: Al usar la ecuación de Bernoulli (2.14), y por ser la tubería horizontal (z1 =
z2 ) obtenemos:
p1 +
1
1
1 2
v1 = p2 + v22 ) p2 = p1 +
v12 v22
2
2
2
Kp
1 3 Kg
m 2
m
= 1; 2 2 + 10
0;
50
4; 50
3
cm
2
m
s
s
Kp
1 Kp
Kp
= 1; 2
= 1; 098
2
2
cm
9; 8 cm
cm2
2
Ejemplo 2.9.: Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen
permanente. En un punto en que la presión vale 9:104 P a la velocidad es de 6
m=s. Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de
circulación es de 14 m=s.
Solución: Si v1 , p1 son la velocidad del agua y la presión respectivamente en el
primer punto; y v2 , p2 son la velocidad del agua y la presión respectivamente en el
segundo punto, entonces, de (2.14),
1 2
1
v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2
2
2
y como el tubo es horizontal z1 = z2 ,
p1 +
p2 = p1 +
1
2
v22
v12
de aquí que,
1
Kg
p2 = 9:104 P a + :1:103 3
2
m
4
4
= 9:10 P a 8:10 P a
6
m
s
2
14
m
s
2
= 1:104 P a
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Ejemplo 2.10.: Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con
un flujo de 0; 10 L=s, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad
inicial del chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué
presión debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente abajo del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una
altura de 0; 25 m, y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta
los efectos de la turbulencia, como es la desintegración del chorro. Densidad del
agua 1:103 Kg=m3 . Resp.: (a) 3; 1m=s; 0; 32 cm; (b) 4; 9:103 P a, manométricos; (c) 2; 2
m=s; 0; 38 cm.
Solución:
(a) Para calcular la velocidad voz del chorro en el extremo del tubo usamos la ecuación
de Bernoulli (2.14),de manera que,
po +
1 2
1
voz + gzo = p + vz2 + gz
2
2
Si colocamos el origen de nuestro sistema de referencia en el extremo del tubo,
entonces zo = 0 y z = h. Además, vz = 0, po = p, por lo tanto,
1 2
v
= gh
2 oz
r
p
m
m
2gh = 2:9; 8 2 :0; 50m = 3; 1
voz =
s
s
Por otro lado, al usar (2.7),
QV = Svoz = ro2 voz
de aquí que,
ro =
r
QV
=
voz
s
0; 10:10 3 m3 =s
= 0; 0032 m = 0; 32 cm
3; 1 ms
(b) La presión suministrada por la bomba será la misma presión (manométrica) que en
la base de una columna de agua en reposo de la misma altura que la del chorro,
por lo tanto al usar la ley de Stevino de la hidrostática (1.22),
p
po =
p =
gh
gh = 1:103
Kg
m
:9; 8 2 :0; 5m = 4; 9:103 P a
3
m
s
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(c) Para calcular la velocidad vz del chorro a la altura de 0; 25 m, usamos nuevamente
la ecuación de Bernoulli (2.14),de manera que,
po +
1
1 2
voz + gzo = p + vz2 + gz
2
2
1 2
1 2
v
=
v + gh
2 oz
2 z
r
p
m
2
voz
2gh =
3; 1
vz =
s
2
2:9; 8
m
m
:0; 25m = 2; 2
2
s
s
y el radio del chorro a esa altura vendrá dado por la ecuación de continuidad (2.6),
So voz = Svz
ro2 voz =
r 2 vz
s
r
3; 1 ms
voz
r =
0; 32cm = 0; 38 cm
ro =
vz
2; 2 ms
Ejemplo 2.11.: El agua, cuya densidad es 1:103 Kg=m3 , pasa por un tubo horizontal.
El área de sección transversal, en una parte del tubo, es de 60 cm2 . Cuando el
líquido entra a otra parte del tubo, con 100 cm2 de área transversal, la presión
manométrica es 5; 0:103 P a mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en las dos partes del tubo.
Solución: Si v1 , S1 son la velocidad del líquido y la sección transversal del tubo en
la parte más angosta; y v2 , S2 son la velocidad del líquido y la sección transversal del
tubo en la parte más ancha, entonces, de (2.6),
S1 v 1 = S2 v 2 ) v 2 =
S1
v1
S2
(1)
De (2.14),
1 2
1
v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2
2
2
y como el tubo es horizontal z1 = z2 , entonces,
p1 +
p2
p1 =
1
2
v12
v22 =
p
(2)
(3)
ahora, al sustituir (1) en (3) y despejar v2 ,
1
2
v12
S12 2
v
S22 1
=
p ) v 1 = S2
s
2 p
(S22 S12 )
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(4)
Pág.: 72
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
que es muy parecida a la ecuación del tubo de Venturi que veremos más adelante.
Entonces,
s
2:5; 0:103 P a
v1 = 1; 00:10 2 m
1:103 Kg
: (1; 00:10 2 m)2 (0; 60:10 2 m)2
m3
m
= 4; 0
s
y al sustituir este resultado en (1),
v2 =
m
60 cm2
m
:4; 0 = 2; 4
2
100 cm
s
s
Ejemplo 2.12.: El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa,
en un sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una
rapidez de 0; 80 m=s por un tubo de 7; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la presión de 6; 0 atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 5; 6 cm de
diámetro ubicado en el segundo piso 8; 0 m arriba?.
Solución: Si se asigna el subíndice 1 a las cantidades medidas en el sótano y con 2
a las medidas en el segundo piso, entonces, de (2.6),
S1 v 1 = S2 v 2 ) v 2 =
S1
v1
S2
(1)
pero,
1
D12
4
1
D22
=
4
S1 =
(2)
S2
(3)
ahora, al sustituir (2) y (3) en (1),
1
4
1
4
v2 =
D12
v1 ) v2 =
D22
D1
D2
2
(4)
v1
de aquí que,
v2 =
7; 0 cm
5; 6 cm
2
:0; 80m=s = 1; 25
m
s
Por otro lado, a partir de(2.14),
p1 +
1 2
1
v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2
2
2
1
p2 = p1 +
v12 v22 + g (z1
2
z2 )
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Pág.: 73
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
nótese que de acuerdo a como se ha planteado el problema, la altura h a la cual se
encuentra el punto 2 con respecto al 1 es,
h = z2
z1 ) z1
p2 = p1 +
1
2
z2 =
h
por lo tanto,
v12
v22
gh
de aquí que,
1
Kg
m
p2 = 6; 0:1; 013:105 P a + :1:103 3
0; 80
2
m
s
Kg
m
1:103 3 :9; 8 2 :8; 0 m
m
s
= 6; 08:105 P a 461; 25 P a 78400 P a
2
1; 25
m
s
2
= 5; 3:105 P a
2.5
Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales
La ecuación de Bernoulli y la de continuidad pueden ser aplicadas a una gran
variedad de situaciones, entre ellas están:
2.5.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un
grifo en la base de un recipiente (Teorema de Torricelli)
Consideremos la figura 2.8 en la que v1 es la velocidad con la que sale el líquido
contenido en el recipiente a través del grifo colocado en su base a una profundidad
h con respecto a la superficie del fluido.
Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande comparado con el del grifo,
se puede suponer v2 ' 0 (velocidad con que la superficie del líquido disminuye en
altura respecto a la base del recipiente); entonces a partir de la ecuación de Bernoulli
(2.14) se obtiene,
v1 =
p
2gh
(2.16)
resultado que se conoce como Teorema de Torricelli.
El teorema de Torricelli relaciona la velocidad de salida de un líquido a
través del orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima
de dicho agujero.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.8): Teorema de Torricelli.
Aunque se observa que es un caso especial de la ecuación de Bernoulli, fue descubierto un siglo antes que Bernoulli por Evangelista Torricelli, de ahí su nombre.
Ejemplo 2.13.: Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificio
situado 12; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que la
sección dcl orificio vale 3 cm2 , ¿ qué volumen de fluido sale durante un minuto?.
Solución: Al usar (2.16),
v=
p
2gh =
r
2:9; 8
m
m
:12;
5
m
=
15;
7
s2
s
Por otro lado, el volumen de fluido que sale durante 1 min viene dado por (2.7),
QV =
V
= Sv ) V = Svt
t
de aquí que,
m
:60 s = 0; 28 m3
s
Ejemplo 2.14.: Hallar el caudal, expresándolo en L=s, de un líquido que fluye por un
orificio de 0; 5 cm2 de sección a 5 m por debajo de la superficie libre del mismo.
V = 3:10 4 m2 :15; 7
Solución: De la misma forma que en el ejemplo anterior, al usar (2.16),
r
p
m
m
v = 2gh = 2:9; 8 2 :5 m = 9; 9
s
s
Por otro lado, el volumen de fluido que sale durante 1 min viene dado por (2.7),
QV = Sv
de aquí que,
QV = 0; 5:10 4 m2 :9; 9
m
= 5; 0:10
s
4
m3
s
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Ejemplo 2.15.: Un gran tanque (ver figura 2.9) de almacenamiento se llena hasta una
altura ho . Si el tanque se perfora a una altura h medida desde el fondo del tanque
, ¿a qué distancia de la pared del tanque cae la corriente?.
Figura (2.9): Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una perforación lateral a cierta
profundidad.
Solución: Al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
p
v = 2g (ho h)
(1)
La corriente realiza un movimiento análogo a un lanzamiento horizontal de proyectiles.
Al usar las ecuaciones para este tipo de movimiento estudiadas en el curso de física I,
(ver, por ejemplo [3], cap. 4) podemos encontrar el tiempo de caida tc mediante,
1
g (t to )2
(2)
2
que, tomando to = 0, voz = 0 (por ser un lanzamiento horizontal) zo = h y que cuando
toca el suelo z = 0 (se ha tomado un sistema de referencia cuyo origen se encuentra
al mismo nivel del fondo del tanque), queda como,
z = zo + voz (t
0=h
1 2
gt ) t =
2
s
to )
2h
= tc (tiempo que tarda en llegar al suelo)
g
(3)
Por otro lado, el alcance horizontal R viene dado por,
R = vx tc
(4)
donde vx = v [dada por (1)], por lo tanto, al sustituir (1) y (3) en (4), se obtiene,
s
p
2h
R =
2g (ho h)
g
p
= 2 h (ho h)
que es la distancia pedida.
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Pág.: 76
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Ejemplo 2.16.: El tanque de la figura 2.9, se llena hasta una altura de 10 m. Si el tanque
se perfora a una altura 3 m medida desde el fondo del tanque y se sabe que el
flujo volumétrico en el orificio es de 30 L=min, ¿cuál es la sección del orificio?.
Solución: Al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
p
v = 2g (ho h)
(1)
y de (2.7),
QV = Sv ) S =
QV
v
(2)
Ahora, al sustituir (1) en (2),
QV
S=p
2g (ho
entonces,
(3)
h)
30:103 cm3
60
s
S = p
2:980 sm2 : (1000 m
= 0; 427 cm
300 m)
2
Ejemplo 2.17.: Un tanque como el mostrado en la figura 2.9 se le practica un orificio
de 15 cm2 a una profundidad de 4 m con respecto a la superficie del agua que
contiene. Este tanque es utilizado para llenar un pequeño depósito en forma de
paralelepípedo cuyas dimensiones son 4 m x 3 m x 1 m, ¿en cuánto tiempo se
llena el pequeño depósito?.
Solución: Lo primero que se debe calcular es el flujo volumétrico en el orificio practicado. Entonces, al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
p
(1)
v = 2gh
y el volumen del depósito será,
V = 4 m:3 m:1 m = 12 m3
(2)
De (2.7),
QV =
V
V
= Sv ) t =
t
Sv
(3)
y,Ahora, al sustituir (1) y (2) en (3),
t =
V
p
S 2gh
12 m3
p
15:10 4 m2 2:9; 8 sm2 :4 m
= 903; 5 s = 15; 1 min
=
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Ejemplo 2.18.: El flujo volumétrico de un fluido contenido en un gran tanque, como
el mostrado en la figura 2.9, a través de un orificio practicado en la pared es
de 0; 1 m3 =s. Si la sección transversal del orificio es de 1:10 2 m2 , calcular a qué
profundidad se encuentra el orificio respecto de la superficie del fluido contenido
en el tanque.
Solución: Al usar (2.16), la profundidad a la que se encuentra el orificio es,
v=
p
2gh ) h =
v2
2g
(1)
Por otro lado, a partir de (2.7),la velocidad de salida del fluido a través del orificio es,
QV = Sv ) v =
QV
S
(2)
Ahora, al sustituir (2) en (1),
h=
1
2g
QV
S
2
(3)
entonces,
1
h =
2:9; 8 sm2
3
0; 1 ms
1:10 2 m2
!2
1 s2
m2
:0; 22 2
19; 6 m
s
= 5; 1 m
=
2.5.2 Efecto Venturi
El efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentro de un conducto
cerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la velocidad cuando pasa por
una zona de sección menor. Si en este punto del conducto se introduce el extremo
de otro conducto, se produce una aspiración del fluido contenido en este segundo
conducto.
El efecto Venturi se explica por el Principio de Bernoulli y el principio de continuidad
de masa estudiados antes. Si el caudal de un fluido es constante pero la sección
disminuye, necesariamente la velocidad aumenta. Por el teorema de conservación
de la energía si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de
la presión disminuye forzosamente.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
2.5.2.1
Aplicaciones del efecto Venturi
1. Aeronáutica: Aunque el efecto Venturi se utiliza frecuentemente para explicar la
sustentación producida en alas de aviones el efecto Venturi por sí solo no es suficiente para explicar la sustentación.
2. Motor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con el
aire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento.
3. Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y aceleración
de fluidos.
También son aplicaciones de este fenómeno la trompa de agua, que es un aparato
utilizado en los laboratorios para hacer el vacío, los pulverizadores y el mechero Bunsen.
2.5.3 Tubo o medidor de Venturi
Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseñado para medir la velocidad de un fluido aprovechando el efecto Venturi. Sin embargo, algunos se utilizan
para acelerar la velocidad de un fluido obligánole a atravesar un tubo estrecho en
forma de cono. Estos modelos se utilizan en numerosos dispositivos en los que la velocidad de un fluido es importante y constituyen la base de aparatos como el carburador.
La aplicación en la medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formado
dos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza
consecuentemente a mayor velocidad (ver figura 2.10). La presión en el tubo Venturi
puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y la
canalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permite
medir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad.
Para encontrar la expresión matemática que permite calcular la velocidad, supongamos que un líquido de densidad fluye a través de la tubería, cuya sección transversal tiene un área S1 (sección de entrada) como se muestra en la figura 2.10.
En la garganta, esta área se reduce a S2 (sección de salida) y allí se fija un tubo
manométrico, tal como se muestra. Supongamos que el líquido manométrico, por
ejemplo, mercurio, tuviese una densidad 0 , al aplicar la ecuación de Bernoulli (2.14)
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Pág.: 79
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.10): El tubo o medidor de Venturi.
y la ecuación de continuidad (2.5) en los puntos 1 y 2, se puede demostrar que la
rapidez del flujo en S1 viene dada por:
v 1 = S2
s
2( 0
(S12
) gh
S22 )
(2.17)
ahora, si se quiere determinar el flujo de volumen, sólo tenemos que usar la ecuación
(2.7):
La ecuación (2.17) también puede ser escrita como,
s
24p
v 1 = S2
(S12 S22 )
donde 4p = p1
(2.18)
p2 es la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2.
Si D1 es el diámetro de la sección de entrada y D2 el de la sección de salida, entonces las ecuaciones (2.17) y (2.18) pueden ser escritas, respectivamente, como,
s
2( 0
) gh
v1 = D22
(2.19)
4
(D1 D24 )
v1 = D22
s
24p
(D14 D24 )
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(2.20)
Pág.: 80
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Cuando se utiliza un tubo de Venturi hay que tener en cuenta un fenómeno
que se denomina cavitación. Este fenómeno ocurre si la presión en alguna sección del tubo es menor que la presión de vapor del fluido. Para este tipo particular de tubo, el riesgo de cavitación se encuentra en la garganta del mismo, ya
que aquí al ser mínima el área y mínima la velocidad, la presión es la menor que
se puede encontrar en el tubo. Cuando ocurre la cavitación se generan burbujas localmente, que se trasladan a lo largo del tubo. Si estas burbujas llegan
a zonas de presión elevada, pueden colapsar produciendo as?icos de presión
local con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo.
Ejemplo 2.19: Por un tubo de Venturi que tiene un diámetro de 40 cm en la sección
de entrada y de 20 cm en la sección más angosta, circula agua. La caída o
diferencia de presiones entre la sección mayor y la de garganta, medida en el
aparato, es de 5:105 N=m2 . Hallar el valor del caudal.
Solución: Al usar (2.20) encontramos la rapidez de la gasolina en la sección de
entrada,
s
24p
v1 = D22
(D14 D24 )
entonces, si D1 = 40 cm = 40:10
N=m2 ,
v1 =
2
2
20:10 m
v
u
u
= 0; 04 m2 t
= 0; 04 m2
= 0; 04 m
2
s
r
m, D2 = 5 cm = 5:10
2
s
2
m,
= 1:103 Kg=m3 y 4p = 5:105
2:5:105 mN2
1:103 Kg
(40:10 2 m)4
m3
106
1:103 Kg
[25; 6:10
m3
Kg: m2
s
m2
3 m4
(20:10 2 m)4
1; 6:10 3 m4 ]
Kg
106 m:s
2
24 Kg:m
4; 17:104
1
m2 :s2
1
= 0; 04 m2 :204; 21
m:s
m
= 8; 2
s
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Pág.: 81
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
y ahora, al usar (2.7),
QV
= S1 v 1
D12
=
v1
4
2
m
(40:10 2 m)
:8; 2
=
4
s
m3
= 1; 03
s
Ejemplo 2.20: Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 30 cm y una garganta de 10 cm
de diámetro. La presión del agua en el tubo es 70 KP a y en la garganta es de 20
KP a. Calcule el flujo de volumen a través del tubo.
Solución: Al usar (2.20) encontramos la rapidez de la gasolina en la sección de
entrada,
s
24p
v1 = D22
(D14 D24 )
entonces, si D1 = 30 cm = 30:10 2 m, D2 = 10 cm = 10:10 2 m, = 1:103 Kg=m3 y 4p = 70
KP a 20 KP a = 50 KP a = 50:103 P a.
s
2:50:103 mN2
2
2
v1 = 10:10 m
1:103 Kg
(30:10 2 m)4 (10:10 2 m)4
m3
v
u
m
4 Kg: s2
u
100:10
2
m
= 1:10 2 m2 t
3 m4
1:103 Kg
[8;
1:10
1:10 4 m4 ]
m3
s
Kg
106 m:s
2
= 1:10 2 m2
8 Kg:m
r
1
= 1:10 2 m2 1; 25:105 2 2
m :s
1
= 1:10 2 m2 :353; 6
m:s
m
= 3; 5
s
y ahora, al usar (2.7),
QV
= S1 v 1
D12
=
v1
4
2
(30:10 2 m)
m
=
:3; 5
4
s
m3
= 0; 25
s
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Pág.: 82
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Ejemplo 2.21: La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.11 es de 60 cm2
en las partes anchas y de 30 cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua
del tubo es de 4000 cm3 =s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U ( Hg = 13; 6:103 Kg
).
m3
Figura (2.11): Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en forma de U
anexo.
Solución: Si el subíndice 1 se refiere a la sección ancha y el 2 a la sección estrecha,
entonces, S1 = 60 cm2 , S2 = 30 cm2 , = 1 g=cm3 y QV1 = QV2 = 4000 cm3 =s (QV debe ser
constante en todas las secciones transversales del tubo).
(a) Al usar (2.7),
QV1 = S1 v1 (sección ancha) ) v1 =
QV1
)
S1
3
v1
4000 cms
=
60 cm2
cm
= 66; 67
s
y, al usar (2.6),
S1 v 1 = S 2 v 2
60 cm2
cm
v2 =
:66; 67
2
30 cm
s
cm
= 133; 34
s
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Pág.: 83
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(b) Al usar (2.18),
s
"
#
2
1 2
24p
S1
) 4p = v1
v 1 = S2
1 )
(S12 S22 )
2
S2
"
#
2
g
60 cm2
1
cm 2
:1
4p =
: 66; 67
1
2 cm3
s
30 cm2
= 6; 67:103
din
cm2
(c) De (2.17) y (2.18),
4p = (
) gh ) h =
(
4p
)g
)
din
6; 67:103 cm
2
h =
g
g
13; 6 cm3 1 cm3 :980 cm
s2
3 g
6; 67:10 cm:s2
h =
12348 cmg2 :s2
h = 0; 54 cm
Ejemplo 2.22: Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática
verticales (ver figura 2.12). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 40 y 10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua
de 300 L=s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra
a 5; 00 m por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua
por el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?, c)
¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?.
Figura (2.12): Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.
Solución:
DA = 2rA = 2:40 cm = 80 cm
DB = 2rB = 2:10 cm = 20 cm
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(a) Al usar (2.6),
QVA = QVB = QVC = SA vA )
QVC
vA =
2
rA
3
300:103 cms
vA =
(40 cm)2
cm
= 59; 68
s
vA
y ahora, al usar (2.20),
2
vA = vC = DB
1 2
v
4p =
2 A
1 2
4p =
v
2 A
"
"
s
2
rA
2
rB
24p
1
) 4p = vA2
4
4
(DA DB )
2
#
SA
SB
2
#
1 )
2
1
#
4
rA
rB
"
1
1
g
cm
4p =
:1 3 : 59; 68
2 cm
s
2
:
"
40 cm
10 cm
4
#
1
din
= pA pB
cm2
Por otro lado, la presiones manométricas en A y B son,
4p = 454117; 06
pA =
H2 O gH
pB =
H2 O gh
por lo tanto,
4p = pA
pB =
H2 O g
(H
h) ) h = H
g
4p
H2 O
din
454117; 06 cm
2
g
:1
980 cm
s2
cm3
5 g
1; 97:10 cm:s2
:1 cmg 3
980 cm
s2
h = 500 cm
h = 500 cm
h = 36; 6 cm
(b) Las presiones manométricas en A y B vienen dadas por,
pA =
pB =
g
cm
din
:980 2 :500 cm = 4; 9:105 2
3
cm
s
cm
g
cm
4 din
:980
:36;
6
cm
=
3;
6:10
H2 O gh = 1
cm3
s2
cm2
H2 O gH
=1
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Pág.: 85
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(c) Para que succione aire por el tubo central, la presión en pB tiene que ser nula, por
lo tanto,
din
4p = pA pB = 4; 9:105 2
cm
y al usar (2.20),
s
24p
2
vA = vC = DB
4
4
(DA
DB
)
s
din
2:4; 9:105 cm
2
= (20 cm)2
4
g
1 cm3 (80 cm)
(20 cm)4
s
g
2:4; 9:105 cm:s
2
= (20 cm)2
4; 08:107 g:cm
cm
= 62
s
entonces, al usar (2.7),el caudal viene dado por,
QVA = QVB = QVC = SA vA
=
rA vA
=
(40 cm)2 :62
= 3; 12:105
cm
s
cm3
s
2.5.4 Tubo de Pitot
El Tubo de Pitot es un aparato se usa para medir la rapidez del flujo de un gas de
densidad mediante el uso de un manómetro anexo (ver figura 2.13).
En el caso del tubo de Pitot mostrado en la figura 2.13, el manómetro es un tubo
en forma de U que contiene un fluido de densidad 0 . Consideremos a dicho gas,
por ejemplo el aire, fluyendo por las aberturas en a. Estas aberturas son paralelas a la
dirección del flujo y están situadas lo suficientemente lejos como para que la velocidad
y la presión fuera de ellas tengan los valores del flujo libre.
Por lo tanto la presión en el brazo izquierdo del manómetro, que está conectado
a estas aberturas, es la presión hidrostática pa ; de la corriente de gas. La abertura
del brazo derecho del manómetro es perpendicular a la corriente. La velocidad se
reduce a cero en el punto b y el gas se estanca en ese sitio. La presión en b es la presión
total de empuje pb : Por lo tanto, al aplicar la ecuación de Bernoulli en los puntos a y b
obtenemos:
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.13): Sección transversal de un tubo de Pitot.
v=
s
2 0 gh
(2.21)
la cual determina la rapidez del gas.
Ejemplo 2.23: Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire
al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el
tubo en forma de U es mercurio Hg = 1; 36:104 Kg=m3 y h = 10; 00 cm, encuentre
la velocidad del flujo del aire. Tome Aire = 1; 25 Kg=m3 .
Solución: Al usar (2.21),
v =
=
s
s
2 0 gh
2:1; 36:104
= 146
m
s
Kg
:9; 8 sm2 :10; 00:10 2
m3
1; 25 Kg
m3
m
Ejemplo 2.24: Se utiliza un fluido de densidad 820 Kg=m3 como líquido manométrico
en un tubo de Pitot montado en un avión para medir la velocidad del aire. Si la
diferencia máxima de altura entre las columnas de líquido es de 0; 8 m, ¿cuál es
la velocidad máxima del aire que se puede medir?. La densidad del aire es 1; 3
Kg=m3 .
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución: Al usar (2.21),
v =
=
s
s
2 0 gh
2:820
= 99; 5
m
s
Kg
:9; 8 sm2 :0; 8
m3
1; 3 Kg
m3
m
Ejemplo 2.25: Un tubo de Pitot está montado sobre un soporte en un túnel de viento,
en el cual circula un gas de densidad 0; 2 Kg
, el manómetro diferencial acoplado
m3
al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 0; 05 cm de mercurio
(densidad 13; 6 :103 Kg
). ¿Cuál es la velocidad del avión?.
m3
Solución: Al usar (2.21),
v =
=
s
s
2 0 gh
:9; 8 sm2 :0; 05:10
2:13; 6:103 Kg
m3
= 14; 90
2
m
0; 6 Kg
m3
cm
s
Ejemplo 2.26: Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de un
gas al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en
el tubo en forma de U es mercurio ( Hg =13; 6:103 Kg=m3 ), la velocidad del flujo de
aire es de 103 m=s y h = 5cm, encuentre la densidad del gas.
Solución: Al usar (2.21),
v =
=
s
2 0 gh
)
=
2 0 gh
)
v2
2:13; 6:103 Kg
:9; 8 sm2 :0; 05m
m3
= 1; 26
103 ms
2
Kg
m3
Ejemplo 2.27: Una avioneta que vuela hacia el norte tiene un tubo de Pitot para medir
su velocidad. La avioneta tiene un viento en contra de vv = 56 Km=h, 45o hacia
el Oste del Sur : (a) si la diferencia de niveles en el mercurio es de 3 cm, ¿cuál
es la velocidad aparente de la avioneta?, (b) ¿cuál es la velocidad real sobre el
y Aire = 1; 293:10 3 Kg
.
suelo?. Se sabe que: Hg = 13; 6 Kg
m3
m3
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución:
(a) A partir de (2.21), la velocidad registrada por el tubo de Pitot (velocidad aparente
de la avioneta) es,
s
2 Hg gh
vapar =
=
s
Aire
2:13; 6 Kg
:9; 8 sm2 :3:10 2 m
m3
1; 293:10
3 Kg
m3
= 78; 6
m
Km
= 283
s
h
(b) Por ser el viento en contra, el tubo de Pitot registra mayor velocidad de la que
realmente lleva el avion respecto del suelo. Llamemos va a la velocidad aparente
Figura (2.14): Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se desplaza hacia el
Norte en presencia de un viento en contra hacia el Oste del Sur.
(la que mide el indicador), vvx a la componente de la velocidad del viento que va
hacia el Sur y va a la velocidad del avión. Entonces, de la figura 2.14, podemos
escribir,
Km
va = vapar vvx = vapar vv Cos 45o = 243; 4
h
Como podemos ver, el avión viaja hacia el Norte a menos velocidad de la que
registra el tubo de Pitot.
2.6
Problemas
1. Por una tubería de 10 cm de diámetro circula agua con una velocidad media de 3
m=s. Hallar el caudal y expresarlo en m3 =s, en m3 =h y L=min. Resp.: 23; 55:10 3 m3 =s;
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
84; 78m3 =h; 1413 L=min.
2. La velocidad de la glicerina en una tubería de 15 cm de diámetro es de 5 m=s. Hallar
la velocidad que adquiere en un estrechamiento de 10 cm de diámetro. Resp.: 11; 25
m=s.
3. Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificio situado 8 m
por debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que la sección dcl orificio
vale 6 cm2 , ¿ qué volumen de fluido sale durante un minuto?. Resp.:12; 5 m=s; 0; 45
m3 .
4. Por un canal de 1; 0 m de profundidad y 0; 5 m de ancho, pasa agua a un flujo de
2 toneladas métricas por segundo. En determinado punto, el canal se ensancha a
0; 8 m. ¿Qué velocidad tiene el agua en el canal más ancho?. Resp.: 2; 5 m=s.
5. Se usa una bomba de diafragma para sacar agua de dentro de un barco. El
diámetro de la manguera de la bomba es 3; 0 cm y el agua es impulsada por la
manguera hacia arriba, y sale por una escotilla a 5; 0 m sobre el nivel del agua, a
una velocidad de 4; 0 m=s. Calcule la potencia de bombeo. Resp.: 1; 6:102 W att.
6. Por la cabina de un barco pasan rachas de viento a 60 mi=h. En la cabina el aire
está en reposo, y su presión es de 1 atm. ¿Cuáles son la presión fuera de la cabina,
y la presión neta sobre las paredes por las que pasa el viento?. Resp.: 4; 7:102 P a;
manométricas p =.4; 7:102 P a.
7. Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con un flujo de
0; 10 L=s, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial del
chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué presión
debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente abajo
del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una altura de 0; 25 m,
y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta los efectos de la
turbulencia, como es la desintegración del chorro. Resp.: (a) 3; 1m=s; 0; 32 cm; (b)
4:9:103 P a, rnanométricos; (c) 2; 2 m=s; 0; 38 cm.
8. Un líquido, cuya densidad es 1; 4:103 Kg=m3 , pasa por un tubo horizontal. El área de
sección transversal, en una parte del tubo, es de 75 cm2 . Cuando el líquido entra
a otra parte del tubo, con 150 cm2 de área transversal, la presión manométrica es
2; 0:104 P a mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en las
dos partes del tubo. Resp.: . v1 = 6; 2 m=s, v2 = 3; 1 m=s, ambas a lo largo del tubo.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
9. Un tanque abierto de agua está sobre una superficie plana. La superficie del agua
en el tanque está a una altura h sobre la superficie. Se abre un pequeño agujero a una profundidad z por debajo de la superficie de agua. (a) Demuestre que
el chorro de agua llegará a la superficie plana a una distancia D de la orilla del
tanque, siendo
p
D = 4z(h z)
(b) Demuestreque el agujero se debe colocar a una profundidad
h
2
para que el chorro llegue a una distancia horizontal máxima.
z=
10. Hallar el caudal, expresándolo en L=s, de un líquido que fluye por un orificio de 1
cm2 de sección a 2; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Resp.: 0; 7 L=s.
11. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la presión vale 0; 46 Kp=cm2 la velocidad es de 2 m=s.
Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de circulación es de 4 m=s. Resp.: 0; 4 Kp=cm2 .
12. Verificar la ecuación (2.18). Ayuda: Suponer un tubo horizontal al utilizar la ecuación
(2.14) y luego usar la ecuación (2.6).
13. Por un tubo de Venturi que tiene un diámetro de 20 cm en la sección de entrada y
de 10 cm en la sección más angosta, circula gasolina dc densidad relativa 0; 82. La
caída o diferencia de presiones entre la sección mayor y la de garganta, medida
en el aparato, es de 0; 3 Kp=cm2 . Hallar el valor del caudal. Resp.: 4; 11 m3 =min.
14. El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa, en un
sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una rapidez
de 0; 50 m=s por un tubo de 4; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la presión de 3; 0
atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 2; 6 cm de diámetro
ubicado en el segundo piso 5; 0 m arriba? [usar las ecuaciones (2.6) y (2.14)]: Resp.:
1; 2 ms ; 2; 5:105 P a.
15. Un fluido A fluye tres veces más rápido que el fluido B a través del mismo tubo
horizontal. ¿Cuál tiene más densidad y cuántas veces más?. Resp.: B = 3 A .
16. En un proceso de enfriamiento industrial, el agua circula a través de un sistema. Si
el agua se bombea desde el primer piso a través de un tubo de 6; 0cm de diámetro
con una rapidez de 0; 45 m=s bajo una presión de 400 torr ¿cuál será la presión en el
piso siguiente 4; 0 m arriba en un tubo con un diámetro de 2; 0 cm?. Resp.: 5; 7:103 P a.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
17. El agua fluye a través de un tubo horizontal de 7; 0 cm de diámetro bajo una presión
de 6; 0 P a con un flujo volumétrico de 25 L= min. En un punto los depósitos de calcio
reducen el área transversal del tubo a 30 cm2 . ¿Cuál es la presión en este punto?
(suponga que el agua es un fluido ideal). Resp.: 2; 2 P a.
18. El flujo volumétrico de agua a través de una manguera de jardín es de 66 cm3 =s,
la manguera y la boquilla tienen una sección transversal de 6; 0 cm2 y 1; 0 cm2 , respectivamente. (a) Si la boquilla está a 10 cm arriba del grifo, ¿cuál es la rapidez de
flujo a través del grifo y la boquilla? (b) ¿cuál es la diferencia de presión entre estos
puntos? (suponga que el agua es un fluido ideal).
19. Una manguera de 2; 0 cm de diámetro es utilizada para llenar con agua una cubeta de 20; 0 L. Si se tarda 1; 00 min para lenar la ubeta, ¿cuál es la velocidad a la
cual el agua sale de la mangera? (1L = 1000cm3 ). Resp.: 106 cm=s.
20. Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire al medir la
diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo en forma
de U es mercurio ( Hg = 1; 36:104 Kg=m3 ) y h = 5; 00 cm, encuentre la velocidad del
flujo del aire. Tome Aire = 1; 25 Kg=m3 . Resp.: 103 m=s.
21. Un tubo horizontal de 10; 0 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo
conecta a un tubo de 5; 0 cm de diámetro. Si a presión del agua en el tubo más
grande es de 8; 0:104 P a y la presión en el tubo más pequeño es de 6; 0:104 P a, ¿qué
valor tiene el flujo volumétrico en los tubos?. Resp.: 0; 0128 m3 =s.
22. Deduzca la ecuación (2.16).
23. Deduzca la ecuación (2.17).
24. Deduzca la ecuación (2.21).
25. En la figura 2.15 tome en cuenta la rapidez de la superficie del fluido en el tanque
y muestre que la rapidez del fluido que sale por el agujero de la base es (S1 y S2 son
las secciones transversales del orificio y del tanque respectivamente),
s
2gh
v 1 = S2
2
S2 S12
Muestre, además, que si S2
S1 entonces,
p
v1 = 2gh
que es el resultado del Teorema de Torricelli.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.15): Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificio lateral de un
depósito, tomando en cuenta la velocidad de la superficie del fluido.
26. Del gran depósito de agua mostrado en la figura 2.16, cuyo nivel se mantiene
constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la
abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y
B es P B P A = 500 P a. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de
la conducción son SA = SC = 10 cm2 y SB = 20 cm2 , calcular las velocidades y las
presiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es la
p
p
atmosférica, igual a 105 P a. Resp.: vA = vC = 2 3 3 m=s, vB = 33 m=s, pA = pC = 105 P a,
pB = 100500 P a.
Figura (2.16): Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal con diferentes secciones
transversales.
27. Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en
forma de T de menor sección (ver fig. 2.17), colocamos tubos manométricos A y
B, como indica la figura y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los niveles
superiores del líquido en tales tubos. (a) Sabiendo que la sección del tubo estrecho
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta, (b)
Calcúlese el flujo de volumen QV , si el área de la sección mayor es 40 cm2 . Resp.: (a)
99; 5 m=s, (b) 0; 4 L=s.
Figura (2.17): Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empalmada a un tubo en
forma de T de menor sección con tubos manométricos anexos.
28. El QV en una tubería por la que circula agua (ver fig. 2.18) es 208 L=s. En la tubería
hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si
las secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2 , calcular el desnivel h que se produce
en el mercurio. Densidad del mercurio 13; 6 g=cm3 . Resp.:h = 8; 2 cm.
Figura (2.18): Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como
líquido manométrico.
29. La sangre circula por una arteria aorta de 1 cm de radio a 30 cm=s. ¿Cuál es el flujo
de volumen?. Resp.: 5; 65 L=min.
30. La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 3 cm de radio, donde
su velocidad es 10 cm=s, a otra región en donde el radio se ha reducido a 0; 2 cm,
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclerosis).¿Cuál es la velocidad
de la sangre en la zona más estrecha?. Resp.: 22; 5 cm=s.
31. En la pared de un recipiente con agua se practican dos agujeros uno sobre el
otro, de área 0; 2 cm2 . La distancia entre los agujeros es 50 cm. En el recipiente se
introducen cada segundo 140 cm de agua de manera que el nivel de la misma
permanece constante. Encontrar el punto de intersección de los dos chorros de
agua que salen del orificio. Resp.: x = 2; 089 m y z = 3; 200 m. con respecto a un
sistema de coordenadas cartesianas cuyo origen se sitúa en la superficie del fluido.
32. Un tubo de 34; 5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2; 62 m=s.
¿Cuánto tiempo le tomará descargar 1600 m3 de agua?. Resp.: 1 h 49 min.
33. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0; 75 pulg está conectada a un aspersor que consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cada
uno de 0; 050 pulg de diámetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de
3; 5 pies=s, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor?. Resp.: 32; 81 pies=s.
34. La figura 2.19 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Una
corriente tiene una anchura de 8; 2 m, una profundidad de 3; 4 m, y una velocidad
de 2; 3 m=s. La otra corriente tiene 6; 8 m de anchura, 3; 2 m de profundidad, y fluye
a razón de 2; 6 m=s. La anchura del río es de 10; 7 m y la velocidad de su corriente es
de 2; 9 m=s. ¿Cuál es su profundidad?. Resp.: 3; 9 m.
Figura (2.19): Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos corrientes que forman
un río.
35. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una
velocidad de 5; 30 m=s por medio de una manguera uniforme de 9; 70 mm de radio. La manguera pasa por una ventana situada a 2; 90 m sobre el nivel del agua.
¿Cuánta potencia proporciona la bomba?. Resp.: 44; 52 W atts.
36. Un río de 21 m de anchura y 4; 3 m de profundidad irriga una superficie de 8500
Km2 donde la precipitación (pluvial) promedio es de 48 cm=a~
no. Una cuarta parte
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
de ésta regresa posteriormente a la atmósfera por evaporación, pero el resto corre
finalmente por el río. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente del río?. Resp.:
1; 1 m=s.
37. ¿Cuánto trabajo efectúa la presión al bombear 1; 4m3 de agua por un tubo de 13
mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de
1; 2 atm?. Resp.: 1; 7:105 J.
38. La toma de agua de una presa (véase la figura 2.20) tiene un área de sección
transversal de 7; 60 pies2 . El agua fluye en ella a una velocidad de 1; 33 pies=s. En la
planta Hidroeléctrica que está situada a 572 pies abajo del punto de toma, el agua
fluye a razón de 31 pies=s. (a) Halle la diferencia de presión, en lbf =pulg 2 , entre la
toma y la descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promedio
del agua es de 62; 4 lb=pies3 . Resp.: (a) 241; 37 lbf =pulg 2 ; (b) 0; 32 pies2 .
Figura (2.20): Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de una presa.
39. Por una tubería con un área de la sección transversal de 4; 20 cm2 circula el agua a
una velocidad de 5; 18 m=s. El agua desciende gradualmente 9; 66 m mientras que
el área del tubo aumenta en 7; 60 cm2 . (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel
inferior? (b) La presión en el nivel superior es de 152 KP a; halle la presión en el nivel
inferior. Resp.: (a) 2; 86 m=s; (b) 256 KP a.
40. Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1; 2 Kg=m3 ) sobre el tejado
de una casa a una velocidad de 110 Km=h. (a) ¿Cuál es la diferencia de presión
entre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) ¿Cuál sería la fuerza
ascensional en un tejado de 93 m2 de área?. Resp.: (a) 560 P a; (b) 52097 N .
41. Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2; 52 cm. La
tubería se dobla hacia arriba hasta una altura de 11; 5 m donde se ensancha y se
une con otra tubería horizontal de 6; 14 cm de radio interior. ¿Cuál debe ser el flujo
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
volumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?. Resp.: 23; 2
m=s.
42. Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se taladra un orificio a una profundidad h bajo la superficie del agua (véase figura 2.21).
(a) Demuestre que la distancia x desde la base de la pared hasta donde cae la
corriente al suelo está dada por
x = 2[h(H
h)]1=2 :
(b) Podría taladrarse un orificio a otra profundidad de modo que esta segunda
corriente tuviese el mismo alcance? De ser así, a qué profundidad? (c) ¿A qué
profundidad debería estar el orificio para hacer que la corriente de salida caiga al
suelo a la distancia máxima a partir de la base del tanque? ¿Cuál es esta distancia
máxima?. Resp.: (b) sí, a una profundidad H h; (c) h = H=2.
Figura (2.21): Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluido que sale por un
orificio lateral de un depósito.
43. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, haciéndole un orificio a 53; 0 m bajo la superficie de la gasolina. El tanque se ha sellado y
se ha sometido a una presión absoluta de 3; 10 atm, como se muestra en la figura
2.22. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660 Kg=m3 . ¿A qué velocidad
comienza la gasolina a salir disparada por el orificio?. Resp.: 36; 3 m=s.
44. Si una persona sopla aire a una velocidad de 15; 0 m=s en la parte superior de un
lado de un tubo en U que contiene agua (ver figura 2.23), ¿cuál será la diferencia
entre los niveles del agua en los dos lados? Suponga que la densidad del aire sea
de 1; 20 Kg=m3 . Resp.: 0; 0137 m.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.22): Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta que contiene gasolina,
al cual se le ha efectuado un disparo.
Figura (2.23): Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se le sopla aire sobre uno
de sus extremos.
45. El agua dulce embalsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de
15; 2 m. Un tubo horizontal de 4; 30 cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6; 15
m bajo la superficie del agua, como se muestra en la figura 2.24. En la salida del
tubo se ha colocado un tapón. (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y las
paredes del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en
3; 00 h?. Resp.: (a) 234 N ; (b) 172 m3 .
46. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funciona
corno se muestra en la figura 2.25. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero una
vez se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que el nivel descienda por debajo de la
abertura del tubo en A. El líquido tiene una densidad y una viscosidad despreciable. (a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.24): Problema 45: Presa con un tapón.
líquido en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el
sifón puede elevar el agua?. Resp.: (a) vC = [2g(d+h2 ]1=2 ; (b) pB = po H2 O g(h1 +d+h2 );
(c) x = 10; 33 m.
Figura (2.25): Problema 46: Sifón.
47. Una jarra contiene 15 vasos de jugo de naranja. Cuando se abre la espitaz del
fondo transcurren 12; 0 s para llenar de jugo un vaso. Si dejamos la espita abierta
z
Tubo de longitud y grosor no muy grandes que se mete en el agujero de una cuba u otra vasija, para
que por él salga el licor que esta contiene.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(ver figura 2.26), ¿cuánto tiempo tardarán en llenarse los 14 vasos restantes hasta
agotar el jugo?. Resp.: 341; 9 s.
Figura (2.26): Problema 47: Jarra con orificio en el fondo.
48. Un tubo de Pitot está montado en el ala de un aeroplano para determinar la
velocidad del aeroplano con relación al aire, el cual tiene una densidad de 1; 03
Kg=m3 . El tubo contiene alcohol e indica una diferencia de nivel de 26; 2 cm. ¿Cuál
es la velocidad del aeroplano respecto al aire? La densidad del alcohol es de 810
Kg=m3 . Resp.: v = 63; 5 m=s.
49. Una placa cuadrada de 9; 10 cm de lado y 488 g de masa está embisagrada a lo
largo de uno de los lados. Si se sopla aire sobre la superficie superior únicamente,
¿qué velocidad debe tener el aire para mantener horizontal a la placa?. El aire
tiene una densidad de 1; 21 Kg=m3 . Resp.: v = 30; 9m=s.
50. Un aeroplano tiene un área total (de las dos alas) de 25 m2 . A cierta velocidad
del aire, éste fluye sobre la superficie superior del ala a razón de 49; 8 m=s y sobre la
superficie inferior del ala a 38; 2 m=s. (a) Halle la masa del aeroplano. Suponga que
el aeroplano viaja a velocidad constante y que los efectos de la fuerza ascensional
asociados con el fuselaje y el conjunto de la cola son pequeños. Explique la fuerza
ascensional si el aeroplano, que vuela a la misma velocidad que el aire está (b) en
vuelo nivelado; (c) ascendiendo a 15o y (d) descendiendo a 15o . La densidad del
aire es de 1; 17 Kg=m3 . Resp.: (a) m = 1523; 38 Kg; (b), (c) y (d) el ángulo no afecta.
51. Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 25; 4 cm y una garganta de 11; 3 cm de
diámetro. La presión del agua en el tubo es 57; 1 KP a y en la garganta es de 32; 6
KP a. Calcule el flujo de volumen a través del tubo. Resp.: QV = 0; 071 m3 =s.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
52. Fluye agua por un tubo de 3; 0 mm de diámetro que tiene un estrechamiento de
2; 5 mm de diámetro. Si el nivel del agua en los tubos verticales es 1; 21 m y 1; 20 m,
como se ilustra en la figura 2.27, ¿cuál es la velocidad del agua en el tubo de 3; 0
mm de diámetro?. Resp.: 1; 12 m=s.
Figura (2.27): Problema 52: Agua que fluye por un tubo que tiene un estrechamiento.
53. Desde un depósito fluye agua en régimen estacionario, como se ilustra en la figura
2.28. La altura del punto 1 es 10 m, la de los puntos 2 y 3 es 1 m. La sección transversal
en el punto 2 es de 0; 04 m2 y de 0; 02 cm2 en el punto 3. La superficie del depósito
es muy grande comparada con las secciones transversales del conducto. (a) Calcúlese la presión manométrica en el punto 2. (b) Calcúlese el caudal expresado en
metros cúbicos por segundo. Resp.:
Figura (2.28): Problema 53. Depósito abierto unido a un conducto con diferentes secciones transversales.
54. El área de la sección transversal de una tubería horizontal por la que circula agua
es de 10 cm2 . En una sección, el área de la sección transversal es de 5 cm2 . La
diferencia de presiones entre ambas secciones es 300 P a. ¿Cuántos metros cúbicos
de agua saldrán de la tubería en 1 min?. Resp.:
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
55. Dos depósitos abiertos muy grandes A y F (véase figura 2.29), contienen el mismo
líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C sale del fondo
del depósito A, y un tubo vertical E se abre en el estrechamiento de C y se introduce
en el líquido del depósito F . Supóngase que el régimen es laminar y que no hay
viscosidad. Si la sección transversal en C es la mitad que en D y si D se encuentra a
una distancia h1 , por debajo del nivel del líquido en A, ¿qué altura h2 alcanzará el
líquido en el tubo E? A) Exprésese la respuesta en función de h1 . Despréciense las
variaciones de la presión atmosférica con la altura. Resp.:
Figura (2.29): Problema 55: Depósitos abiertos muy grandes unidos por un conducto.
56. La diferencia de presión entre la conducción principal y el estrechamiento de un
medidor de Venturi es de 105 P a. Las áreas de la conducción y el estrechamiento
son 0; 1 m2 y 0; 005 m2 , respectivamente. ¿Cuántos metros cúbicos por segundo circulan por el conducto? El líquido del conducto es agua. Resp.:
57. La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.30 es de 40 cm2 en las partes
anchas y de 10 cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 3000
cm3 =s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese la
diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre
). Resp.: (a) 75 cm
las columnas de mercurio del tubo en U ( Hg = 13; 6:103 Kg
y 300
m3
s
cm
din
;(b) 4; 22:104 cm
2 y (c) 3; 4 cm.
s
58. Se utiliza agua como líquido manométrico en un tubo de Pitot montado en un
avión para medir la velocidad del aire. Si la diferencia máxima de altura entre las
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.30): Problema 57: Tubo horizontal con estrechamiento, al cual se ha anexado un tubo en forma
de U que sirve de manómetro.
columnas de líquido es de 0; 1 m, ¿cuál es la velocidad máxima del aire que se
puede medir? La densidad del aire es 1; 3 Kg=m3 ?. Resp.: 38; 8 ms .
59. Supóngase que el líquido manométrico del problema anterior es mercurio. ¿Cuál
es la velocidad máxima del aire que se puede medir?. Se sabe que: Hg = 13; 6 Kg
.
m3
Resp.: 4; 53 ms .
60. En un experimento realizado en un túnel aerodinámico, la presión sobre la superficie superior del ala de un avión fue de 0; 90:105 P a y la presión sobre la superficie
inferior de 0; 91:l05 P a. Si el área de cada superficie es 40 m2 , ¿cuál es la fuerza de
sustentación neta sobre el ala?. Resp.:
61. Un avión de 6000 Kg de masa tiene un ala de 60 m2 de área. Si la presión sobre la
superficie inferior del ala es de 0; 60:105 P a en vuelo horizontal a una altura de 4000
m, ¿cuál es la presión sobre la superficie superior del ala?. Resp.:
62. Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver
figura 2.31). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 25 y
10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 200 L=s, el nivel del
agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 3; 00 m por encima del
eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál
es la presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se
succionará aire por el tubo central?. Resp.: a) 98; 5 cm; b) 0; 29 atm; 0; 095 atm; c) 244
L=s.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura (2.31): Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.
63. Un dispositivo automático para un calentador de agua funciona según el esquema
indicado en la figura 2.32. Si la válvula V que da la salida al gas necesita una fuerza
de 6 N para abrirse, determine el flujo volumétrico de agua mínimo necesario para
poner en marcha el dispositivo. Resp.: 0; 5 L=s.
Figura (2.32): Problema 63: Dispositivo automático para un calentador de agua.
64. Un tubo de Pitot está montado en el ala de una avioneta. Cuando la avioneta
está a una altura en la que la densidad del aire es de 1; 20 g=L, el manómetro diferencial acoplado al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 15 cm de
alcohol (densidad 0; 81 g=cm3 ). ¿Cuál es la velocidad del avión?. Resp.: 44; 5147 m=s
(unos 160 Km=h).
65. Un depósito abierto, de grandes dimensiones, que desagua a través de una tubería de 10 cm de diámetro, recibe un aporte de agua de 50 L=s. El diámetro del
depósito es mucho mayor que la tubería de desagüe. Después de abrir la llave de
la tubería, se alcanza el estado estacionario en el que el nivel de agua permanece
constante. ¿Cuál es este nivel?. (Suponer un coeficiente de contracción Cc = 0; 5).
Resp.: 8; 27 m.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
66. Un depósito abierto, cilíndrico de eje vertical y sección recta S1 , está lleno de
agua hasta una altura H por encima de su fondo. Determinar el tiempo necesario
para que se vacíe el depósito a través de un orificio bien perfilado, de área S2 ,
practicado en su fondo. Se sabe que: S1 = 2m2 ; S2 = 10cm2 ; H = 3m. Resp.: 1564; 92 s
(unos 26 minutos).
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PARTE II
VIBRACIONES
106
CAPITULO 3
OSCILACIONES
Contenido
3.1
3.2
3.3
3.4
Oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.1
Signi…cado físico de ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
3.1.2
Signi…cado físico de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
3.1.3
Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
Resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.1
Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.2.2
Unidades de k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
3.2.3
Energía de un oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
Algunos sistemas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.3.1
El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.3.2
El péndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
El oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.1
Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
3.4.2
Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.4.3
Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
3.5
Oscilador forzado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.6
Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.6.1
Resonancia en la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
3.6.2
Resonancia en la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
107
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.7
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Los procesos que se distinguen por uno u otro grado de repetición, reciben el
nombre de oscilaciones, es decir, movimientos repetidos de un lado a otro en torno
a una posición central, o posición de equilibrio.
En dependencia de la naturaleza física del proceso que se repite se distinguen las
siguientes oscilaciones: mecánicas, electromagnéticas, electromecánicas, etc. En
este capítulo sólo consideraremos las mecánicas.
Las oscilaciones más sencillas son las armónicas, es decir, aquellas donde
la magnitud que oscila varía con el tiempo según la ley del seno o coseno.
Este tipo de oscilaciones es de particular importancia por las siguientes razones:
1. En la naturaleza y en física aplicada las oscilaciones tienen, con frecuencia, un
carácter próximo al de las armónicas y,
2. los procesos periódicos de otra índole (con otra dependencia del tiempo) pueden
ser representados como la superposición (suma) de varias oscilaciones armónicas.
Es buena idea, a este nivel, hacer un repaso referente a la cinemática del movimiento
circular uniforme (m.c.u.) estudiados en el curso de física I, pues existe una relación estrecha entre el movimiento oscilatorio y el m.c.u. Podría consultar, por ejemplo, el
capítulo 4 del texto [3] o del texto [17].
3.1
Oscilador armónico simple
Consideremos una partícula que puede moverse a lo largo del eje x como se
muestra en la figura 3.1 en virtud de una fuerza externa de la forma,
Figura (3.1): Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo
F (x) =
kx
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kx.
(3.1)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde k es una constante positiva.
La Segunda Ley de Newton establece que,
F =
dp
d2 x
=m 2
dt
dt
(3.2)
dx
de la partícula estudiada. Entonces, de (3.1) y de
donde p es el momentum lineal m
dt
(3.2), podemos escribir:
m
d2 x
=
dt2
kx )
d2 x
+ !2x = 0
dt2
(3.3)
donde,
k
(3.4)
m
que, como puede observarse, es una constante para un sistema dado. La expresión
(3.3) recibe el nombre de ecuación de movimiento del oscilador armónico simple.
!2 =
Se denomina oscilador armónico simple a toda partícula cuyo momimiento
este gobernado por una ecuación de movimiento del tipo (3.3).
Al resolver la ecuación (3.3) podemos encontrar la manera como la posición x de
la partícula con respecto al tiempo. Cuando sabemos como depende la posición de
una partícula con respecto al tiempo, conocemos también su trayectoria.
Sus soluciones son (ver apéndice C):
x (t) = A Cos (!t + 'o )
(3.5)
x (t) = A Sen (!t + 'o )
(3.6)
La cantidad (!t + ') se llama la fase del movimiento y la constante 'o se denomina
constante de fase o fase inicial, que es un ángulo que mediremos en radianes (rad) .
Usaremos de ahora en adelante (3.5) como solución, a menos que sea indicado lo
contrario.
Un radián (rad) es la medida del águlo que sustenta un arco cuya longitud es igual a su radio.
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Pág.: 109
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.1.1 Significado físico de !
Determinemos ahora el significado físico de la constante !: Si en la solución (3.5)
2
se aumenta el tiempo t en
, nos queda (verificarlo):
!
x t+
2
!
= A Cos ! t +
2
!
+ ' = A Cos (!t + ')
(3.7)
y, como podemos observar, la solución simplemente se repite a sí misma después de
2
un tiempo t =
, por lo tantoy ,
!
2
es el período
!
del movimiento y ! es la frecuencia angular.
Entonces, de (3.4), podemos escribir,
2
=
=2
!
r
m
k
(3.8)
de aquí que, la frecuencia f del oscilador venga dada por:
#=
1
1
=
2
r
k
m
(3.9)
La frecuencia angular ! tiene como unidadesz ,
rad rad rad
,
,
, etc.
s min h
y la frecuencia #,
1
ós
s
1
ó min
min
1
= Hertz (Hz)
1
= revoluciones por minuto (rpm)
1
ó h 1 , etc.
h
y
z
En el capítulo 5 (sección 5.9) del texto [2] se definen los términos: periodo, frecuencia y frecuencia
angular en un Movimiento Circular (que son los mismos para que para el OAS, pues está estrechamente
relacionado con él), mostrándose además, las relaciones matemáticas entre ellos (ver asignación ?? al
final de este capítulo).
En la práctica obviamos la unidad rad.
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Pág.: 110
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.1.2 Significado físico de A
La costante A tiene un significado físico sencillo. La función coseno puede tomar
los valores de 1 a 1. El desplazamiento x medido desde la posición central de equilibrio x = 0 tiene, por lo tanto, el valor máximo de A [ver ecuación (3.5)]. Así pues,
A es la amplitud del movimiento.
Como A no queda determinada por la ecuación diferencial (3.3), de ella resultan
muchos posibles movimientos de amplitudes distintas, pero todas ellas tienen la misma
frecuencia y período. La frecuencia en un oscilador armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento.
Dos movimientos armónicos simples pueden tener la misma amplitud y frecuencia pero distinta constante de fase 'o :
En la figura 3.2 se ilustra el significado de 'o , para lo cual se han tomado como
ejemplo dos oscilaciones,
x(t) = A Sen (!t)
x(t) = A Sen (!t + 'o )
que están desfasadas en 'o radianes. Observamos que la fase 'o corresponde a un
deslizamiento de la curva de posición en función del tiempo hacia tiempos menores
o mayores.
Figura (3.2): Interpretación de 'o .
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Pág.: 111
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.1.3 Velocidad y aceleración
3.1.3.1
Para una solución del tipo x (t) = A Cos (!t + 'o )
La velocidad y la aceleración de la partícula serán, a partir de (3.5), las siguientes,
v=
dx
=
dt
!A Sen (!t + 'o )
dv
= ! 2 A Cos (!t + 'o ) = ! 2 x
dt
Es obvio que la velocidad y la aceleración máxima vienen dadas por,
a=
(3.10)
(3.11)
vmax =
!A
(3.12)
amax =
!2A
(3.13)
la vmax resulta cuando el argumento del seno en (??) toma valores de 2 , 32 , 52 , 72 ,... es
decir,
(2n 1)
, con n = 1; 2; 3; :::
(3.14)
2
y la amax resulta cuando el argumento del coseno en (??) toma valores de 0, , 2 , 3 ,
... es decir,
(n 1) , con n = 1; 2; 3; :::
(3.15)
Por lo tanto, los tiempos para los cuales ocurren (??) y (??) son, respectivamente (ejercicio),
1 (2n 1)
t=
'o , para vmax
(3.16)
!
2
1
[(n 1)
'o ] , para amax
(3.17)
!
La distancia total d (NO EL DESPLAZAMIENTO) recorrida por la partícula, transcurrido
un tiempo t de su movimiento, viene dada por,
t=
d=
2A
(! t + 'o )
(3.18)
que puede ser obtenida sabiendo que en un período completo la distancia recorrida
por la partícula es de 4A y sabiendo que !t = 2 rad.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.1.3.2
Para una solución del tipo x (t) = A Sen (!t + 'o )
La velocidad y la aceleración de la partícula serán, a partir de (3.6), las siguientes,
v=
dx
= !A Cos (!t + 'o )
dt
(3.19)
dv
= ! 2 A Sen (!t + 'o ) = ! 2 x
dt
Es obvio que la velocidad y la aceleración máxima vienen dadas por,
a=
(3.20)
vmax =
!A
(3.21)
amax =
!2A
(3.22)
que son las mismas obtenidas en la sección anterior.
La vmax resulta cuando el argumento del coseno en (3.19) toma valores de 0, , 2 ,
3 ,... es decir,
(n 1) , con n = 1; 2; 3; :::
(3.23)
y la amax resulta cuando el argumento del seno en (3.20) toma valores de 2 , 32 , 52 , 72 ,...
es decir,
(2n 1)
, con n = 1; 2; 3; :::
(3.24)
2
Aquí, como vemo, se invierten los resultados con respecto a los de la sección anterior. Por lo tanto, los tiempos para los cuales ocurren vmax y amax son, respectivamente
(ejercicio),
1
t = [(n 1)
'o ] , para vmax
(3.25)
!
1 (2n 1)
t=
'o , para amax
(3.26)
!
2
La distancia total d (NO EL DESPLAZAMIENTO) recorrida por la partícula, transcurrido
un tiempo t de su movimiento, viene dada por,
d=
2A
(3.27)
(! t + 'o )
que es la misma obtenida en la sección anterior, como era de esperarse.
Ejemplo 3.1: La posición de una partícula en está dada por la expresión
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 t +
2
donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) frecuencia y
período del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase,
y (d) la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 0; 5 s.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 8; 0 m
rad
! = 5; 0
s
'o =
rad
2
(a) Como ! = 5; 0
rad
,
s
entonces,
=
2
2:
=
!
5; 0
rad
s
= 0; 4 s
y,
#=
1
=
1
= 2; 5 s
0; 4 s
1
= 2; 5 Hz
(b) La amplitud fue encontrada por comparación resultando,
A = 8; 0 m
(c) De la misma manera, la constante de fase 'o fue encontrada por comparación
resultando,
' = rad
2
(d) A partir de la ecuación dada,
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 t +
2
para t = 0; 5s,
x = 8; 0 m Cos 5; 0:
rad
:0; 5 s + rad
s
2
= 8; 0 m Cos 2; 5 rad +
2
rad
= 8; 0 m Cos (3 )
=
8m
Para hallar la velocidad usamos (3.10),
v =
=
=
dx
=
dt
!A Sen (!t + 'o )
rad
:8; 0m Sen 5; 0 :0; 5 s +
s
2
m
5; 16
s
5; 0
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
y, por último, al usar (3.11),
a =
dv
=
dt
! 2 A Cos (!t + 'o ) =
rad
=
5; 0
s
m
= 1; 97:103 2
s
!2x
2
: ( 8 m)
Ejemplo 3.2: Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MAS
a partir del origen en t = 0, siguiendo la ecuación,
x (t) = 4; 00 cm Sen (1; 00 t)
Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b)
la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre y (c) la distancia
total recorrida entre t = 0 y t = 2; 00 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.6). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 4; 00 cm
rad
! = 1; 00
s
'o = 0 rad
(a) Según (3.21),
cm
rad
:4; 00 cm = 4
s
s
Por otro lado,según (3.19) la ecuación para la rapidez correspondiente a la solución
senoidal viene dada por (puesto que ' = 0 rad),
vmax =
!A =
1; 00
v = !A Cos (!t)
al hacer v = vmax (pues como se desplaza hacia la derecha la primera vmax es
positiva), podemos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
vmax = !A Cos (!t) ) Cos (!t) =
) t=
1
Cos
!
1
vmax
!A
vmax
!A
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces,
t =
=
=
=
=
1
vmax
Cos 1
!
!A
!
cm
4
1
s
Cos 1
rad
:4;
00 cm
1; 00 rad
1;
00
s
s
1
s
Cos 1 (1)
1; 00 rad
s
1
:0 rad
1; 00 rad
0s
o también, al usar (3.25) para n = 1 (¿por qué?),
1
[(n
!
1
=
1; 00
= 0s
t =
1)
rad
s
'o ]
:0 rad
(b) Según (3.22),
amax =
!2A =
1; 00
rad
s
2
:4; 00 cm =
4
2 cm
s2
Por otro lado,según (3.20) la ecuación para la aceleración correspondiente a la
solución senoidal viene dada por (puesto que ' = 0 rad),
a=
! 2 A Sen (!t)
al hacer a = amax (tomando amax positiva pues se desplaza hacia la derecha),
podemos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
amax
amax =
! 2 A Sen (!t) ) Sen (!t) =
!2A
1
amax
) t = Sen 1
!
!2A
entonces,
1
amax
t =
Sen 1
!
!2A "
#
2 cm
4
1
s2
=
Sen 1
2
rad
rad
1; 00 s
1; 00 s :4; 00 cm
1
s
=
Sen 1 (1)
1; 00 rad
1
s
=
: rad
1; 00 rad 2
= 0; 5 s
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Pág.: 116
CAPITULO 3. OSCILACIONES
o también, al usar (3.26) para n = 1 (¿por qué?),
1 (2n 1)
!
2
1
1
=
rad 2
1; 00 s
= 0; 5 s
t =
'o
(d) Al usar (3.27),
2A
d =
(! t + 'o ) =
2:4 cm
1; 00
rad
:2s + 0
s
= 16 cm
Ejemplo 3.3: La posición de una partícula viene dada por,
x = 5cm Cos (9:90t)
(a) ¿cuál es la velocidad máxima y en qué tiempo se da?, (b) ¿cuál es la aceleración máxima y en qué tiempo se da?. Se sabe que t está dado en segundos.
Solución:
(a) Según (3.12),
rad
:5cm =
s
Por otro lado, al usar (3.16) para n = 1 (¿por qué?),
vmax =
!A =
9:90
1 (2n 1)
!
2
1 1
=
2
9:90 rad
s
= 0; 159 s
t =
49; 5
cm
s
'o
(b) Según (3.13),
amax =
!2A =
7; 0
rad
s
2
:25; 0 cm =
1225
cm
s2
Por otro lado, al usar (3.17) para n = 1 (¿por qué?),
1
[(n 1)
!
1
=
(0)
7; 0 rad
s
= 0s
t =
'o ]
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.4: La posición de un objeto es
x (t) = 25; 0 cm Cos (7; 0t + =4)
donde x está dada en metros y t en segundos. Calcule: (a) la velocidad y la
aceleración en t = =3 s, (b) la velocidad máxima y el primer tiempo a la cual
ésta ocurre, y (c) la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre.
Solución:
(a) Por ser cosenoidal la ecuación para la velocidad y la aceleración vienen dadas
por (3.10) y (3.11) respectivamente, por lo tanto,
dx
= !A Sen (!t + 'o )
dt
rad
rad
:25; 0 cm Sen 7; 0
: s + rad
=
7; 0
s
s 3
4
31
cm
=
175
Sen
rad
s
12
cm
= 169; 04
s
v =
a =
dv
=
dt
! 2 A Cos (!t + 'o )
2
rad
rad
=
7; 0
: s + rad
:25; 0 cm Cos 7; 0
s
s 3
4
cm
31
=
1225 2 : Cos
rad
s
12
cm
= 317; 05 2
s
(b) Según (3.12),
vmax =
!A =
7; 0
rad
:25; 0 cm =
s
175
cm
s
Por otro lado, como vimos antes,
v=
!A Sen (!t + 'o )
al hacer v = vmax (la primera vmax es positiva), podemos encontrar el tiempo en la
que esta ocurre como sigue,
!A Sen (!t + 'o ) ) Sen (!t + 'o ) =
i
1h
vmax
Sen 1
'o
) t=
!
!A
vmax =
vmax
!A
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces,
t =
=
=
=
=
=
i
1h
vmax
Sen 1
'o
!
!A
"
!
cm
175
1
s
Sen 1
rad
rad
7; 0 s
7; 0 s :25; 0 cm
h
i
1 s
: Sen 1 ( 1)
rad
7 rad
4
3
1 s
:
rad
rad
7 rad
2
4
1 5
s:
7 4
0; 56 s
4
rad
#
o también, al usar (3.16) para n = 2 (¿por qué?),
1 (2n 1)
!
2
1
3
=
rad
2
7; 0 s
= 0; 56 s
t =
'o
1
4
(c) Según (3.13),
amax =
!2A =
7; 0
rad
s
2
:25; 0 cm =
1225
cm
s2
Por otro lado,según (3.11) la ecuación para la aceleración correspondiente a la
solución senoidal viene dada por,
a=
! 2 A Cos (!t + 'o )
al hacer a = amax (tomando amax positiva pues se desplaza hacia la derecha),
podemos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
! 2 A Cos (!t + 'o ) ) Cos (!t + 'o ) =
i
1h
amax
) t=
Cos 1
'
o
!
!2A
amax =
amax
!2A
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces,
t =
=
=
=
=
=
i
1h
amax
Cos 1
'
o
!
!2A
"
!
cm
1225
1
s2
Cos 1
2
rad
rad
7; 0 s
7; 0 s :25; 0 cm
h
i
1 s
Cos 1 ( 1)
rad
7; 0 rad
4
1 s
:
rad
rad
7; 0 rad
4
1 s 3
:
rad
7; 0 rad 4
0; 33 s
4
rad
#
o también, al usar (3.17) para n = 2 (¿por qué?),
1
[(n 1)
!
1
=
7; 0 rad
s
= 0; 33 s
t =
'o ]
1
4
Ejemplo 3.5: Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su
desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
x (t) = 4; 00m Cos
t+
4
donde t está en segundos y los ángulos en el argumento del coseno están en
radianes. Determine: (a) La amplitud, la frecuencia y el período del movimiento,
(b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1; 00 s, (c) la velocidad
y aceleración máxima del cuerpo, (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 1; 00 s,
y (e) la fase del movimiento en t = 2; 00 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 4; 00 m
rad
! =
s
'o =
rad
4
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
(a) Como podemos ver A = 4; 00 m y ! =
rad
.
s
Ahora,
rad
!
#=
= s = 0; 5 Hz
2
2
#=1)
=
1
1
=
=2s
#
0; 5 Hz
(b) Para encontrar la posición usamos la ecuación dada,
x (t) = 4; 00m Cos
t+
4
:1; 00 +
= 4; 00m Cos
4
= 4; 00m ( 0; 707)
=
2; 83 m
y, al usar (3.10) y (3.11),
v =
!A Sen (!t + 'o )
1
:4; 00m: Sen :1; 00 +
=
s
4
m
( 0; 707)
=
:4
s
m
= 8; 89
s
a =
! 2 A Cos (!t + 'o )
1
s
=
=
4; 00:
m
= 27; 9 2
s
2
:4; 00m Cos
2
:1; 00 +
4
m
( 0; 707) 2
s
(c) Al usar (3.12) y (3.13),
vmax =
amax =
A! =
2
A! =
1
:4; 00m =
s
1
s
4
m
s
2
:4; 00m =
4
2m
s2
(d) Para calcular el desplazamiento entre t = 0 y t = 1; 00 s, primero calculamos la
posición xo en t = 0, luego calculamos la posición x para t = 1; 00 s y por último las
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Pág.: 121
CAPITULO 3. OSCILACIONES
restamos,
xo = 4; 00m Cos
:0 +
4
= 4; 00m Cos
4
= 4; 00m (0; 707)
= 2; 83 m
x = 4; 00m Cos
:1; 00 +
4
5
= 4; 00m Cos
4
= 4; 00m ( 0; 707)
=
2; 83 m
entonces, el desplazamiento vendrá dado por,
x=x
xo =
2; 83 m
2; 83 m =
5; 66 m
(e) La fase del movimiento es el argumento del coseno en la ecuación para la posición, por lo tanto,
9
fase = t + = :2; 00 + =
4
4
4
3.2
Resortes
3.2.1 Ley de Hooke
Los resortes dan lugar al movimiento armónico simple. La ley de fuerza para el
resorte es la Ley de Hooke, según la cual,
La fuerza ejercida por un resorte cuando se re deforma (comprimiéndolo o
estirándolo) es proporcional a dicha deformación.
Si el extremo del resorte lo cambiamos de la posición !
r o a la posición !
r , entonces
la fuerza ejercida por el resorte al resistirse a ser deformado vendrá dada por,
!
F =
k (!
r
!
r o)
(3.28)
donde K es la llamada constante de elasticidad del resorte, cuyo valor depende del
material que lo constituye.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Aquí nos concentraremos sólo en movimientos en una dimensión, por ejemplo en
el eje x. En este caso (3.28), se escribe,
F =
kx
(3.29)
si colocamos el origen de nuestro sistema de referencia en la posición inicial del extremo del resorte a estirar, de manera que xo = 0. Así, la fuerza es proporcional a la
posición del extremo. El signo menos de la ecuación (3.29) hace que la fuerza sea
fuerza de restauración. Un desplazamiento en dirección +x da lugar a una fuerza que
actúa en dirección x, y viceversa. La segunda ley de Newton nos da la relación entre
la fuerza y la aceleración,
F = kx = ma
(3.30)
donde m es la masa de la partícula sujeta al resorte y a su aceleración. Así, la aceleración de una masa en el extremo de un resorte es proporcional a su desplazamiento
del punto de equilibrio,
k
a=
x
(3.31)
m
Como ya vimos antes, una partícula que esté sometida a una fuerza del tipo (3.29)
realiza un movimiento armónico simple, por lo tanto, los resortes originan este tipo de
movimiento (si despreciamos la fricción).
3.2.2 Unidades de k
Es fácil notar que las unidades de k están formadas por el cociente entre una
unidad de fuerza y una unidad de longitud, por lo tanto, en el sistema M.K.S.C., la
unidad es,
N
Kg
= 2
m
s
en el c.g.s.s.,
din
g
= 2
cm
s
y en el sistema inglés,
lbf
pie
El período y la frecuencia vienen dadas por (3.8) y (3.9) respectivamente.
Ejemplo 3.6: Una masa de 200 g está conectada a un resorte ligero cuya constante
de elasticidad es 5; 00 N=m y puede oscilar libremente, sobre una pista horizontal sin fricción. Si la masa se desplaza 5; 00 cm desde el equilibrio y se suelta a
partir del reposo como se muestra en la figura 3.3. Encuentre: (a) El período de
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
su movimiento, (b) la velocidad máxima, (c) la aceleración máxima y (d) el desplazamiento, la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. Supóngase que la posición viene dada por (3.5).
Figura (3.3): Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero.
Solución: La amplitud se define como la máxima posición de la partícula con respecto a su posición de equilibrio, punto en el cual la partícula debe tener velocidad
nula (está en reposo). Por lo tanto, en este caso la amplitud es,
A = 5; 00 cm = 5; 00:10
(a) Al usar (3.8),
=2
r
m
=2
k
s
2
m
0; 2 Kg
= 1; 26 s
5; 00N=m
(b) Al usar (3.8),
=
2
2
2
rad
)!=
=
= 5; 00
!
1; 26 s
s
entonces, de(3.12),
vmax =
A! =
1
5; 00 :5; 00:10 2 m =
s
0; 250
m
s
(c) Al usar (3.13),
amax =
2
A! =
1
5; 00
s
2
:5; 00:10 2 m =
1; 25
m
s2
(d) Al usar (3.5), (3.10), (3.11) y tomar 'o = 0 (pues no se sice nada sobre esta constante) obtenemos,
x (t) = A Cos (!t + 'o )
= 5; 00:10 2 m Cos (5; 00t)
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Pág.: 124
CAPITULO 3. OSCILACIONES
v =
dx
=
dt
1
5; 00 :5; 00:10 2 m Sen (5; 00t)
s
m
0; 250 Sen (5; 00t)
s
=
=
a =
!A Sen (!t + 'o )
dv
=
dt
! 2 A Cos (!t + 'o )
2
1
:5; 00:10 2 m Cos (5; 00t)
s
m
1; 25 2 Cos (5; 00t)
s
=
5; 00
=
Ejemplo 3.7: Una masa de 20; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical
fijo a una viga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 7; 30
s. Encuentre la constante de elasticidad del resorte.
Solución: Al usar (3.8),
=2
r
entonces,
k=
2
7; 30s
m
)k=
k
2
2
m
2
:20; 00 Kg = 14; 81
N
m
Ejemplo 3.8: Un automóvil de 1300 Kg se construye con un armazón soportado por
cuatro resortes. Cada resorte tiene una constante de elasticidad de 20000 N=m.
Si dos personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 160 Kg.
Encuentre: (a) La frecuencia de vibración del auto cuando pasa por un bache
en una calle y (b) el tiempo que tarda el automóvil en ejecutar dos vibraciones
completas. Suponga que la masa está distribuida uniformemente.
Solución: Si la masa está distribuida uniformemente, entonces cada resorte soporta
1/4 de la masa total (masa del automóvil + masa de las personas). Por lo tanto, la
masa soportada por cada resorte es,
m=
1300 Kg + 160 Kg
= 365 Kg
4
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Pág.: 125
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(a) Al usar (3.9),
r
1 K
# =
2 sm
1 20000 N
m
=
2
365 Kg
s
1 20000 Kg
s2
=
2
365 Kg
= 1; 18 Hz
(b) El período es,
=
1
= 0; 85 s
1; 18 Hz
que es el tiempo empleado para realizar una oscilación completa. Para dos es el
doble, por lo tanto,
2:0; 85 s = 1; 70 s
Ejemplo 3.9: Un resorte se estira 0; 400 m cuando se le cuelga una masa de 1; 00 Kg.
El resorte se estira una distancia adicional de 0; 200 m de su punto de equilibrio y
luego se suelta. Determínese (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de la
oscilación, (c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período y
la frecuencia.
Solución:
(a) La constante k la calculamos a partir de la deformación que sufre el resorte a
consecuencia de aplicarle una fuerza igual a peso correspondiente a la masa de
1; 00 Kg, por lo tanto, al usar (3.30),
F =
entonces,
kz ) k =
F
)k=
z
( mg)
mg
)k=
y
z
1; 00Kg:9; 8 sm2
N
= 24; 5
k=
0; 400 m
m
(b) La amplitud va a ser la máxima separación a partir del punto de equilibrio. Cuando
al resorte se le cuelga la masa dada, éste se estira y alcanza una posición de equilibrio. A partir de allí, se estira una distancia adicional de 0; 200 m, en consecuencia,
A = 0; 200 m
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Pág.: 126
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(c) A partir de (3.4), la frecuencia angular viene dada por,
s
r
24; 5 N
rad
k
m
!=
=
= 4; 95
m
1; 00Kg
s
y la máxima rapidez se obtiene a partir de (3.12),
vmax =
!A =
4; 95
rad
:0; 200 m =
s
0; 99
m
s
(d) A partir de (3.13), la aceleración máxima viene dada por,
amax =
rad
4; 95
s
2
! A=
2
:0; 200 m =
4; 9
m
s2
(e) A partir de (3.8),
=
2
2
=
= 1; 269 s
!
4; 95 rad
s
y a partir de (3.9),
#=
1
=
1
= 0; 78 Hz
1; 269 s
Ejemplo 3.10: Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante igual
a 3; 00 N=m y experimenta un MAS con una amplitud de 15; 0 cm. Cuando la masa
está a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo,
se mide su velocidad y se encuentra un valor igual a +5; 00 cm=s. Calcule (a) la
masa del bloque, (b) el período del movimiento y (c) la aceleración máxima del
bloque. Supóngase que la posición viene dada por (3.5).
Solución: Primeramente tomamos 'o = 0, pues no ne dice nada sobre esta constante. Además, mientras no se diga lo contrario, nuestra ecuación de x(t) será de
tipo cosenoidal (3.5), pues es la solución que escogimos para desarrollar el presente
capítulo.
(a) Como v es positiva significa que el bloque se está moviendo hacia la derecha
entonces, en este momento, a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y
el punto extremo x es positiva y vale x = A=2, por lo tanto,
x = A Cos (!t) )
A
= A Cos (!t) ) !t =
2
3
(1)
Ahora bien, según (3.10), la rapidez para ' = 0 correspondiente a esta solución
viene dada por,
v = !A Sen (!t)
(2)
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Pág.: 127
CAPITULO 3. OSCILACIONES
y, al sustituir (1) en (2),
v=
!A Sen
pero, según (3.4),
!=
entonces, al sustituir (4) en (3),
r
r
(3)
3
k
m
(4)
kA2
k
A Sen
) v2 =
Sen2
m
3
m
3
2
A
) m=k
Sen2
v
3
v =
que al sustituir los valores correspondiente,
N 15; 0 cm
m = 3; 00
m 5; 00 cm
s
= 20; 25 Kg
(b) A partir de (4),
!=
s
2
Sen2
3
3; 00 N
rad
m
= 0; 385
20; 25 Kg
s
y, usar (3.8),
2
2
=
= 16; 3 s
!
0; 385 rad
s
=
(c) Por último, a partir de (3.13),
amax =
=
!2A =
2; 2
0; 385
rad
s
2
:15; 0 cm
cm
s2
3.2.3 Energía de un oscilador armónico simple
Como vimos antes, la posición de una partícula cuya ecuación de movimiento
sea (3.3) es,
x (t) = A Cos (!t + 'o )
(3.32)
por lo tanto, la energía cinética T vendrá dada por (ejercicio):
1
1
T = mv 2 = m
2
2
dx
dt
2
1
= m! 2 A2 Sen2 (!t + 'o )
2
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(3.33)
Pág.: 128
CAPITULO 3. OSCILACIONES
que, al usar la conocida identidad Sen2
escrita como (ejercicio),
=1
Cos2
y la ecuación (3.32); puede ser
1
(3.34)
T = m! 2 A2 x2
2
de la cualpodemos observar que T es máxima para x = 0 y nula cuando x = A (en los
extremos).
Al combinar (3.33) y (3.34), obtenemos,
1 2 1
mv = m! 2 A2
2
2
x2 ) v =
p
! A2
x2
(3.35)
La velocidad máxima se obtiene cuando x = 0 obteniéndose, en concordancia con
(??),
v = !A
(3.36)
La energía potencial vendrá dada por el trabajo realizado para desplazar a la
partícula desde una posición 0 hasta una posición x en contra de la fuerza (3.1); por lo
tanto:
U (x) =
Z
x
F (x) dx
(3.37)
0
de aquí que, al usar (3.1) en (3.37), nos queda (ejercicio):
1
U (x) = kx2
2
Entonces, la energía mecánica total E de la partícula será (ejercicio):
(3.38)
1
E = T + U = kA2
(3.39)
2
que, como es fácil apreciar, es una constante para una amplitud dada. Como la
energía mecánica es constante, se dice que el OAS es un sistema es conservativo
De lo anterior podemos observar que durante una oscilación hay un intercambio
continuo de energías potencial y cinética. Al alejarse de la posición de equilibrio,
la energía potencial aumenta a expensas de la energía cinética; lo inverso sucede
cuando la partícula se acerca hacia la posición de equilirio.
La figura 3.4 es la representación gráfica de la energía potencial (3.38). Para una
energía total dada E, correspondiente a la línea horizontal, los límites de la oscilación
están determinados por sus intersecciones con la curva de energía potencial ( a estos
puntos se les da el nombre de puntos de retorno y en ellos T = 0 ). Como la parábola
es simétrica, los límites de oscilación (puntos de retorno) se encuentran a distancias
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 129
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.4): Energía en el oscilador armónico simple.
iguales a A del origen. En cualquier punto x la energía cinética T está dada por la
distancia entre la curva U (x) y la línea E:
Ejemplo 3.11: ¿Cuál es la energía total de una masa m que se mueve con amplitud
de 25 cm en una mesa plana sin fricción, y está fija a un resorte cuya constante es
33 N=m?.
Solución: Al usar la ecuación (3.39),
1
1 N
E = kA2 = :33 : 25:10 2 m
2
2 m
2
= 1; 03 J
Ejemplo 3.12: Un automóvil que tiene una masa de 2500 Kg se dirige hacia un muro
de ladrillos en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un
resorte de constante igual a 8; 0:106 N=m y se comprime 5; 00 cm cuando el auto se
lleva al reposo. ¿cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo
que no se pierde energía durante el impacto con la pared?.
Solución: Aquí, por conservación de la energía, toda la energía cinética T que
poseía el automóvil antes de detenerse se convierte en energía potencial U del parachoques que se comporta como resorte, de aquí que,
T =U
(1)
1
T = mv 2
2
(2)
1
U = kx2
2
(3)
pero por (3.33),
y por (3.38),
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 130
CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces, al sustituir (2) y (3) en (1),
1 2 1 2
mv = kx ) v =
2
2
por lo tanto,
v=
s
r
k
x
m
8; 0:106 N
m
m
:5; 00:10 2 m = 2; 83
2500 Kg
s
Ejemplo 3.13: Una masa de 0; 500 Kg conectada a un resorte ligero de k = 20; 0 N=m
oscila sobre una pista horizontal sin fricción. Calcular: (a) La energía total del
sistema y la velocidad máxima de la masa si la amplitud del movimiento es 3; 00
cm, (b) la velocidad de la masa cuando la posición es 2; 00 cm, (c) la energía
cinética y potencial del sistema cunado x = 2; 00 cm y (d) los valores de x para los
cuales la velocidad de la masa es igual a 0; 100 m=s.
Solución:
(a) Al usar la ecuación (3.39),
1
N
1
E = kA2 = :20; 0 : 3; 00:10 2 m
2
2
m
2
= 9; 00:10
3
J
La velocidad máxima se consigue cuando la energía potencial de la masa se hace
cero, por lo tanto, su energía cinética T se hace igual a la energía total E [ver
ecuación (3.39)], entonces, al usar(3.33),
r
2E
1 2
T = mv = E ) v =
2
m
de aquí que,
v =
s
s
2:9; 00:10 3 J
0; 500 Kg
2
18; 00:10 3 Kg: ms2
=
0; 500 Kg
m
= 0; 190
s
(b) Según (3.4),
!=
s
20; 0N=m
rad
= 6; 32
0; 500Kg
s
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Pág.: 131
CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces, de (3.35),
p
! A2 x 2
q
1
6; 32
(3; 00:10 2 m)2
s
m
0; 141
s
v =
=
=
(2; 00:10 2 m)2
(c) Al usar (3.34),
1
m! 2 A2 x2
2
1
1
=
:0; 500 Kg: 6; 32
2
s
= 4; 99:10 3 J
T =
2
h
3; 00:10 2 m
2
2; 00:10 2 m
2
i
y de (3.38),
1 2
kx
2
1
N
=
:20; 0 : 2; 00:10 2 m
2
m
= 4; 00:10 3 J
U (x) =
2
Observemos que,
T + U t 9; 00:10 3 J = E
(d) Al usar (3.35),
v=
p
! A2
v
!
2
0:100 ms
6; 32 1s
2; 55 cm
2
x2 ) x =
entonces,
x =
=
s
(3; 00:10
0; 0255 m =
r
A2
2 m)2
Ejemplo 3.14: Una persona de 120 Kg salta desde una ventana a una red contra incendio 10 m abajo, con lo que ésta se estira 2; 0 m. (a) Suponga que la red se
comporta como un resorte simple y calcule cuánto se estiraría si la persona estuviera encima de ella, (b) ¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 15
m?.
Solución: Tomemos mp la masa de la persona, h la distancia entre la ventana y la
red, y x el estiramiento de la red.
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Pág.: 132
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Lo primero que tenemos que calcular es la constante de elasticidad k de la red.
Para esto, calculamos primero la rapidez v de la persona cuando llega a la red. Este
movimieto lo realiza en caida libre, por lo que,
v 2 = 2gh
(1)
y la energía cinética T en este momento es, por (3.33),
1
T = mv 2
2
(2)
y la energía potencial U adquirida por la red debido al estiramiento x (puesto que la
red se comporta como un resorte) por (3.38),
1
U = kz 2
2
(3)
donde se ha usado z en vez de x ya que el movimiento es vertical.
Por conservación de la energía, toda la energía cinética que tenía la persona al
tocar la red debe convertirse en energía potencial de la red cuando detiene a la
persona, por lo tanto,
T =U
(4)
Al sustituir (2) y (3) en 4 tomando en cuenta (1),
1
1
2mgh
m (2gh) = kz 2 ) k =
2
2
y2
por lo tanto,
k=
2:120Kg:9; 8 sm2 :10 m
= 5; 88:103
2
(2; 0 m)
(5)
N
m
(a) La persona aplica una fuerza F sobre la red igual a su peso w,
F =w=
(6)
mg
Por otro lado, según (3.29), la fuerza que aplica la red sobre la persona es,
F =
(7)
kz
entonces, al igualar (6) y (7) resulta,
mg =
por lo tanto,
z=
kz ) z =
mg
k
120Kg:9; 8 sm2
= 0; 2 m
5; 88:103 N
m
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Pág.: 133
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) Al usar (5),
2mgh
k=
)z=
y2
entonces,
z=
s
r
2mgh
k
2:120Kg:9; 8 sm2 :15m
= 2; 4 m
5; 88:103 N
m
Ejemplo 3.15: Una masa de 5; 0 Kg, fija a un resorte, tiene MAS a lo largo del eje x, y
su período es 1; 0 s. Si la energía total de resorte y masa es 750; 0 J, ¿cuál es la
amplitud de la oscilación?.
Solución: Al usar (3.8),
=2
r
entonces,
k=
2
1; 0 s
m
)k=
k
2
2
m
2
:5; 0 Kg = 197; 39
N
m
Ahora, al usar la ecuación (3.39),
1
E = kA2 ) A =
2
entonces,
A=
s
r
2E
k
2:750; 0 N m
= 2; 76 m
197; 39 N
m
Ejemplo 3.16: Un resorte con un pollo de 3; 5 Kg en su extremo, se comprime 5 cm
respecto al equilibrio y se suelta. La constante del resorte es k = 10 N=m. Con la
conservación de la energía, calcular la rapidez máxima del pollo.
Solución: Al usar la ecuación (3.39), la energía mecánica total viene dada por,
1
E = kA2
2
(1)
y de (3.33), la energía cinética viene dada por,
1
T = mv 2
2
(2)
Por conservación de energía, el pollo alcanza la rapidez máxima cuando toda la
energía mecánica E se hace igual a su energía cinética T , por lo tanto,
E=T
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(3)
Pág.: 134
CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces, al sustituir (1) y (2) en (3),
1 2 1 2
kA = mv ) v =
2
2
por lo tanto,
v=
s
r
k
A
m
(4)
10 N
cm
m
:5 cm = 8; 45
3; 5Kg
s
Es de hacer notar que (4) corresponde con (3.12) puesto que ! =
q
k
.
m
Ejemplo 3.17: La posición de una partícula ligada a un resorte de constante 1:103
está dada por la expresión,
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 t +
N
m
en
2
donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) la energía mecánica
total, (b) la energía cinética y la potencial en t = 0; 19 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 8; 0 m
rad
! = 5; 0
s
rad
'o =
2
(a) Al usar (3.39),
1 2
kA
2
1
N
=
:1:103 : (8; 0 m)2
2
m
= 3; 2:104 J
E =
(b) En t = 5 s,
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 :0; 19 +
2
= 8; 0 m: (0; 9968)
= 7; 97 m
y, al usar (3.34),
1
T = m! 2 A2
2
x2
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Pág.: 135
CAPITULO 3. OSCILACIONES
pero de (3.4),
!2 =
k
m
entonces,
1
k A2 x 2
2
1
N
=
:1:103 : (8; 0 m)2
2
m
2
= 2; 40:10 J
T =
(7; 97 m)2
Por último, a partir de (3.38),
1 2
kx
2
1
N
=
:1:103 : (7; 97 m)2
2
m
4
= 3; 18:10 J
U =
Observemos que,
T + U = 3; 2:104 J = E
3.3
Algunos sistemas armónicos
3.3.1 El péndulo simple
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del
punto O por una cuerda de longitud ` y de masa despreciable como se muestra
en la figura 3.5.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones debemos encontrar la ecuación
de movimiento de la partícula. Esta se mueve en un arco de circunferencia de radio
`: Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso !
w = m!
g y la tensión de la
!
cuerda que denotaremos como T c : De la figura se ve que la componente tangencial
del peso es,
wx =
mg Sen
(3.40)
donde el signo menos se debe a que se opone siempre al desplazamiento s = CA: La
ecuación de movimiento tangencial vendrán dada entonces, a partir de (3.2), por:
Fx = wx = max
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(3.41)
Pág.: 136
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.5): Fuerzas actuantes en un péndulo simple.
en la que la aceleración tangencial ax viene dada por,
d2 s
d2 (` )
d2
=
=
`
(3.42)
dt2
dt2
dt2
puesto que s = CA = ` (longitud de arco). Entonces, de (3.40), (3.41) y (3.42) podemos
escribir,
ax =
d2
g
+ Sen = 0
2
dt
`
ahora, si cuponemos oscilaciones de pequeña amplitud (esto es,
tonces:
(3.43)
pequeño), en-
(3.44)
Sen '
por lo tanto, (3.43) se escribe ahora como:
d2
g
+
=0
2
dt
`
(3.45)
que es idéntica a (3.3) con,
g
`
entonces, el período de un péndulo simple es:
!2 =
=2
s
(3.46)
`
g
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(3.47)
Pág.: 137
CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde podemos notar que el período es independiente de la masa del pédulo. Su
frecuencia será,
r
1
1 g
#= =
(3.48)
2
`
Ejemplo 3.18: Un péndulo simple tiene un período de 7; 50 s en la Tierra, (a)¿cuál es su
longitud?, (b) ¿cuál sería su período en la luna donde gluna = 1; 67 m=s2 ?.
Solución:
(a) A partir de (3.47),
s
=2
entonces,
`=
7; 50 s
2
(b) Igualmente, a partir de (3.47),
s
Luna
=2
`
gLuna
`
)`=
g
2
2
:9; 8
=2
2
g
m
= 13; 96 m
s2
s
13; 96 m
= 18; 17 s
1; 67m=s2
Ejemplo 3.19: Un péndulo simple tiene una longitud de 10; 00 m. Determine el cambio
en su período si éste se toma desde un punto donde g = 9; 80 m=s2 hasta una
elevación donde la aceleración en caída libre disminuye a 9; 70 m=s2 .
Solución: A partir de (3.47),
=2
para el primer caso,
1
entonces el cambio
`
g
=2
s
10; 00 m
= 6; 346975 s
9; 80 sm2
=2
s
10; 00 m
= 6; 379608 s
9; 70 sm2
y para el segundo caso,
2
s
P en el período vendrá dado por,
=
2
1
= 6; 379608 s
6; 346975 s = 3; 26:10 2 s
es decir, el período aumentó cuando el péndulo fue elevado hasta su nueva posición.
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Pág.: 138
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.20: El péndulo de un reloj (tomado como pédulo simple) tiene un período
de 2 s cuando g = 9; 8 m=s2 . Si la longitud del péndulo, se incrementa en 4 mm
¿cuánto se atrasará el reloj en 24 horas?.
Solución: A partir de (3.47),
=2
entonces,
2s
2
`=
s
`
)`=
g
2
2
:9; 8
2
g
m
= 0; 9929 m
s2
Ahora, si esta longitud la incrementamos en 1mm = 10 3 m,
s
0; 9929 m + 0; 004m
= 2; 003 s
=2
9; 8 sm2
por lo tanto, el período se incrementa en 0; 003 s cada 2 s. En 24 h, que son 86400 s, este
incremento corresponderá a un tiempo de,
86400:0; 003 s
= 129; 6 s
2
que representa el atraso del reloj debido al incremento en la longitud del péndulo.
Ejemplo 3.21: Un péndulo simple de 0; 50 m de longitud se cuelga en un lugar donde g
es 9; 79 m=s2 . ¿Cuál es el período del péndulo?.
Solución: A partir de (3.47),
s
=2
por lo tanto,
=2
s
`
=2
g
s
`
g
0; 50 m
= 1; 42 s
9; 79 sm2
Ejemplo 3.22: Un péndulo simple tiene una frecuencia de 0; 50 Hz. La longitud de su
hilo es 1; 00 m. ¿Cuál es el valor local de g?.
Solución: A partir de (3.48),
1
#=
2
r
g
) g = 4 2# 2`
`
por lo tanto,
g=4
2
1
0; 50
s
2
:1; 00 m = 9; 87
m
s2
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Pág.: 139
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.23: El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero no
cinta métrica. Un péndulo con una masa puntual en su extremo cuelga del techo
hasta el piso, y tiene un período = 12 s. ¿Cuál es la altura del recinto?.
Solución: Como el péndulo llega al suelo, su longitud es igual a la altura del recinto.
A partir de (3.47),
s
2
`
=2
)`=
g
g
2
por lo tanto,
2
12 s
2
`=
:9; 8
m
= 35; 75 m
s2
Ejemplo 3.24: La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longitud de un péndulo de un reloj, cuyo período es de 2 s, varíe en una parte en 10000.
¿Qué error en la medida del tiempo se presentará en 1 d{a?.
Solución: A partir de (3.47),
=2
entonces,
`=
2s
2
s
`
)`=
g
2
2
:9; 8
=2
g
m
= 0; 992947 m
s2
Ahora, si esta longitud la incrementamos en
s
2
0; 9929 m + 9; 92:10
9; 8 sm2
1
`
10000
5
m
= 9; 92:10
5
m,
= 2; 000052 s
por lo tanto el período se incrementa en 0; 000052 s cada 2 s. En 1 d{a, que son 86400 s,
este incremento corresponderá a un tiempo de,
86400:0; 000052 s
= 2; 2 s
2
que representa el error cometido.
3.3.2 El péndulo físico
Un péndulo físico (o compuesto) es cualquier cuerpo rígido de masa m que
puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la
gravedad.
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Pág.: 140
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.6): Fuerzas en un péndulo físico.
En la figura 3.6 se muestra un cuerpo irregular en esta situación. El torque restaurador para el desplazamiento angular viene dado por (verificarlo):
T =
mgd Sen
(3.49)
donde d es la posición del centro de gravedad con respecto al punto de giro. Si
suponemos ahora desplazamientos angulares pequeños, podemos escribir:
mg d
T =
(3.50)
Pero, como sabemos de nuestros estudios de la dinámica rotacional, el torque se
relaciona con el momento de inercia x I mediante:
d2
T =I 2
dt
por lo tanto, de (3.50) y (3.51) obtenemos,
d2
+
dt2
mgd
I
(3.51)
=0
(3.52)
que tiene la misma forma que (3.3), con:
mgd
I
del péndulo físico sea,
!2 =
de aquí que el período
x
(3.53)
Para refrescar conocimientos, revisar el capítulo 9 del volumen I del texto [4] Movimiento rotacional
alrededor de un eje.
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Pág.: 141
CAPITULO 3. OSCILACIONES
=
2
=2
!
s
I
mgd
(3.54)
y su frecuencia será,
r
1 mgd
(3.55)
#= =
2
I
Notemos que todo el razonamiento anterior se aplica a un objeto laminar de cualquier
forma y que el pivote puede estar localizado en cualquier punto del cuerpo.
1
Para refrescar conocimientos acerca del cáculo del momento de inercia de un
cuerpo puede consultarse el capítulo 12 (sección 12.5) del [3] o capítulo 10 (sección
10.5) del [17], por ejemplo.
Del curso de física I sabemos que (teorema de Steiner),
I = Icm + mD2
(3.56)
que nos dice que el momento de inercia I con respecto a un eje paralelo al que pasa
por el centro de masa es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto al
centro de masa Icm más el producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de
la distancia que separa dichos ejes D. Por lo tanto, (3.54) y (3.55) pueden ser escritas
ahora como,
s
Icm + mD2
=2
(3.57)
mgd
s
1
mgd
#=
(3.58)
2
Icm + mD2
Ejemplo 3.25: Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrededor de cualquier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Por
ejemplo, supóngase que una barra no uniforme de 5; 0 Kg puede equilibrarse en
un punto de 20 cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lo
hace con una frecuencia de 1; 0 Hz.. ¿Cuál es su momento de inercia alrededor
de ese extremo?.
Solución: La distancia entre el punto de equilibrio y el eje de giro es d. Al usar la
ecuación (3.55),
r
1 mgd
mgd
#=
)I=
2
I
(2 #)2
entonces,
I=
5; 0Kg:9; 8 sm2 :20:10 2 m
2
2
:1; 0 1s
= 0; 248 Kg:m2
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Pág.: 142
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.26: Una varilla delgada y uniforme (ver figura 3.7) de largo L = 2; 00 m y
masa M = 250 g está sostenida por uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?,
(b) ¿Cuál será la longitud de un péndulo simple que tenga el mismo período?. (El
momento de inercia de una varilla delgada alrededor de un eje que pase por
uno de sus extremos es
1
I = M L2
3
donde L es la longitud de la varilla y M es su masa. El centro de gravedad de
una varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud).
Figura (3.7): Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida por uno de sus
extremos.
Solución:
(a) Al usar (3.54), al tener presente que el momento de inercia es I = 13 M L2 y que
como la barra es homogénea su centro de gravedad se encuentra a d = L2 con
respecto a sus extremos, podemos escribir,
s
s
s
1
2
M
L
I
2L
3
=2
=2
=2
L
M gd
3g
Mg 2
entonces,
=2
s
2:2; 00m
= 2; 32 s
3:9; 8 sm2
(b) A partir de la ecuación para el período del péndulo simple (3.47),
s
2
L
=2
)L=
g
g
2
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Pág.: 143
CAPITULO 3. OSCILACIONES
entonces, al sustituir el período encontrado en (a),
L=
2
2; 32 s
2
:9; 8
m
= 1; 34 m
s2
Ejemplo 3.27: Calcule el período de una regla métrica homogénea que gira alrededor de uno de sus extremos y que oscila en un plano vertical, como se muestra
en la figura 3.7.
Solución:
(a) Al usar (3.54), al tener presente que el momento de inercia es I = 13 M L2 y que
como la regla es homogénea su centro de gravedad se encuentra a d = L2 con
respecto a sus extremos, podemos escribir,
s
s
s
1
2
M
L
I
2L
3
=2
=2
=2
L
M gd
3g
Mg 2
entonces, debido a que la longitud de la regla es de 1 m,
s
2:1m
=2
= 1; 64 s
3:9; 8 sm2
Ejemplo 3.28: Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento
armónico simple con una frecuencia de 0; 450 Hz. Si el péndulo tiene una masa
de 2; 20 Kg y el pivote se localiza a 0; 350 m del centro de masa, determine el
momento de inercia del péndulo.
Solución:
Al usar (3.55) y tener presente que d = 0; 350 m con respecto a sus extremos, podemos
escribir,
r
1 M gd
M gd
#=
)I= 2 2
2
I
4 #
entonces,
I =
2; 20Kg:9; 8 sm2 :0; 350 m
4
2
0; 450 1s
2
= 0; 944 Kgm2
Ejemplo 3.29: Un objeto plano tiene un momento de inercia I respecto a su centro de
masa. Cuando se hace girar alrededor del punto P1 , que se encuentra a una
distancia h1 del centro de masa. oscila con un período . Existe otro punto P2
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Pág.: 144
CAPITULO 3. OSCILACIONES
en el lado opuesto del centro de masa, a una distancia h2 del centro de masa,
respecto al cual el objeto oscila con el mismo período. Demuestre que
h1 + h2 =
2
g
4
2
Solución: Al usar (3.57) para P1 se tiene que,
s
s
Icm + mD12
I + mh21
=2
=2
mgd1
mgh1
y para P2 ,
=2
s
Icm + mD22
=2
mgd2
s
I + mh22
mgh2
Ahora, si despejamos I en cada caso,
s
I + mh21
=2
) I = mgh1
mgh1
2
=2
s
(1)
I + mh22
) I = mgh2
mgh2
2
2
2
(2)
mh21
(3)
mh22
(4)
Por último, al igualar (3) con (4),
2
mgh1
2
g 2
(h2
4 2
mh21 = mgh2
h1 ) = h22
g
4
2
2
mh22
h21
2
2
= h2 + h1
como se quería demostrar.
Ejemplo 3.30: Un anillo de 0; 10 m de radio está suspendido de una varilla como se
ilustra en la figura 3.8. Determinar su período de oscilación.
Solución: El momento de inercia con respecto al centro de masa Icm del anillo es,
Icm = mR2
(1)
Para encontrar el momento de inercia I con respecto al eje que pasa por O, usamos
el teorema de Stainer,
I = Icm + mD2 = mR2 + mD2
(2)
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Pág.: 145
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.8): Ejemplo 3.30: Un anillo de radio r suspendido de una varilla.
de la figura es fácil notar que D = R, por lo tanto,
I = mR2 + mR2 = 2mR2
(3)
Por otro lado, a partir de (3.57),
=2
s
I
=2
mgd
s
I
mgR
(4)
puesto que d = R.
Por último, al sustituir (3) en (4),
=2
s
2mR2
=2
mgR
s
2R
g
(5)
entonces,
= 2
= 2
s
s
2R
g
2:0; 10 m
9; 8 sm2
= 0; 88 s
Ejemplo 3.31 Una esfera (ver figura 3.9) de radio R está suspendida desde un punto fijo
por una cuerda, de modo que la distancia desde el centro de la esfera al punto
de suspensión es `. Encontrar el período del péndulo.
Solución: No podemos considerar el péndulo como simple, a menos que ` sea muy
grande comparado con R. El momento de inercia Icm de una esfera con respecto a
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Pág.: 146
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.9): Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por una cuerda.
un eje que pasa por su centro de masa es,
2
Icm = mR2
(1)
5
Ahora, el momento de inercia I con respecto al punto de suspensión lo encontramos
a partir del teorema de Stainer,
2
I = Icm + mD2 = mR2 + mD2
(2)
5
pero como D = `, entonces,
2
I = mR2 + m`2
(3)
5
Por otro lado, a partir de (3.57),
s
s
I
I
=2
(4)
=2
mgd
mg`
puesto que d = `.
Por último, al sustituir (3) en (4),
s
2
mR2 + m`2
5
=2
=2
mg`
3.4
v "
u
u`
t 1+ 2
g
5
R
`
2
#
El oscilador amortiguado
3.4.1 Ecuación de movimiento
Si ahora el sistema mostrado en la figura 3.1 lo introducimos en un medio que
ofrece resistencia al movimiento (ver figura 3.10), y supongamos además, que la fuerza
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Pág.: 147
CAPITULO 3. OSCILACIONES
de resistencia obedece la siguiente relación:
Figura (3.10): Oscilador amortiguado
!
F roce =
b!
v
(3.59)
donde b es una constante positiva relacionada con las propiedades del medio resistente y !
v es la velocidad de la partícula, entonces la ecuación de movimiento
para la partícula será ahora:
d2 x
= kx bv
dt2
que podemos escribir, después de arreglos triviales, como:
m
d2 x
dx
+2
+ ! 2o x = 0
2
dt
dt
(3.60)
(3.61)
donde,
b
k
y ! 2o =
2m
m
2
siendo ! o , como es fácil notar, la frecuencia angular sin amortiguamiento.
=
(3.62)
Las solucines de (3.61) para un amortiguamiento débil (sub-amortiguado) cuando
< ! o son (en este nivel no somos capaces aún de resolver este tipo de ecuaciones,
por lo tanto, tomemos la soluciones siguientes como ciertas { ),
x(t) = Aamort Sen (! amort t + 'o )
(3.63)
x(t) = Aamort Cos (! amort t + 'o )
(3.64)
donde,
{
Para los lectores curiosos y que desean siempre ir un paso adelante, es recomendada la lectura de la
sección 3.7.1, pág. 169 del texto [11].
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Pág.: 148
CAPITULO 3. OSCILACIONES
! amort =
Aamort =
q
2
! 2o
Ao e
t
=
r
k
m
b2
4m2
(3.65)
(3.66)
Usaremos como solución (3.63) a menos que se indique lo contrario. La ecuación
(3.65) indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones.
Figura (3.11): Oscilador sub-amortiguado.
Debido al exponente negativo, la amplitud Aamort decrece a medida que el tiempo
aumenta, resultando un movimiento amortiguado (ver figura 3.11).
Si el amortiguamiento es muy grande, puede ser mayor que ! o ; por lo tanto (3.65)
se hace imaginaria (oscilador sobre-amortiguado). En este caso no hay oscilaciones y
la partícula, si se la desplaza y se le deja libre, se aproxima gradualmente a la posición
de equilibrio sin pasarla o, a lo más, pasándola una sola vez. En el caso en que
sea igual a ! o , se dice que el oscilador posee un amortiguamiento crítico. La energía
perdida por la partícula en oscilaciones amortiguadas es absorbida por el medio que
le rodea.
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Pág.: 149
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.4.2 Velocidad y aceleración
La velocidad viene dada por la primera derivada con respecto del tiempo de la
ecuación (3.63), por lo tanto,
dx
d
=
Ao e t Sen (! amort t + 'o )
dt
dt
d
e t Sen (! amort t + 'o )
= Ao
dt
= Ao e t [! amort Cos (! amort t + 'o )
Sen (! amort t + 'o )]
v =
o también,
v=
x + ! amort
y la aceleración viene dada por,
q
t )2
(Ao e
(3.67)
x2
(3.68)
d2 x
dv
=
2
dt
dt
d
=
Ao e t [! amort Cos (! amort t + 'o )
Sen (! amort t + 'o )]
dt
2
=
Ao e t 2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort
Sen (! amort t + 'o )
a =
o también,
a=
2
! 2amort
x
2 ! amort
q
(Ao e
t )2
x2
(3.69)
(3.70)
Ejemplo 3.32: Una masa en un resorte con frecuencia angular natural ! o = 38 rad=s, se
coloca en un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0; 82 veces su valor
inicial en 9; 9 s, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?.
Solución: Aquí Aamort = 0; 82 Ao y t = 9; 9s, entonces al usar (3.66),
Aamort = Ao e
)
=
t
) 0; 82 Ao = Ao e 9;9s
1
rad
ln (0; 82) ) = 0; 02
9; 9s
s
Ahora, al usar (3.65),
! amort =
=
q
! 2o
s
2
rad
38
s
= 37; 999995
2
rad
0; 02
s
2
rad
s
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Pág.: 150
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.33: Un oscilador armónico, con período natural o = 1; 5 s, se coloca en un
ambiente donde su movimiento se amortigua, con una resistencia proporcional
a su velocidad. La amplitud de la oscilación baja a 50 % de su valor original en
9; 0 s. ¿Cuál es el período del oscilador en el nuevo ambiente?.
Solución: Aquí Aamort = 50% Ao = 0; 5Ao y t = 9; 0s, entonces al usar (3.66),
t
) 0; 5 Ao = Ao e 9;0 s
rad
1
ln (0; 5) ) = 0; 08
9; 0s
s
Aamort = Ao e
)
=
y a partir de (3.8),
!o =
2
=
o
Ahora, al usar (3.65),
q
! amort =
s
! 2o
2
rad
= 4; 18
1; 5s
s
2
rad
4; 19
=
s
rad
= 4; 18
s
entonces,
Amort
=
2
! amort
=
2
rad
0; 08
s
2
2
= 1; 503 s
4; 18 rad
s
Ejemplo 3.34: Supón que se está examinando la suspensión de un carro de 2000; 0 Kg
de masa. La suspensión se comprime 10; 0 cm debido a todo el peso del carro.
Además, la amplitud de la oscilación disminuye en 50% durante una oscilación
completa. Calcula los valores de la constante de elasticidad k del resorte y
de amortiguamiento b del sistema amortiguador en cada rueda. Considera que
cada rueda soporta 500; 0 Kg.
Solución: La constante de elasticidad de cada resorte, según (3.30), vendrá dada
por,
500; 0Kg:9; 8 sm2
F
( mg)
N
k=
=
=
= 4; 90:104
z
z
0; 10m
m
Por otro lado, aquí Aamort = 50% Ao = 0; 5Ao y como lo hace en una oscilación completa
2
t = = !amort
, entonces al usar (3.66),
t
Aamort = Ao e
) 0; 5 Ao = Ao e
) 2 p
|
! 2o
{z
2
Por (3.65)
) b = 1086
}
=
2
! amort
ln (0; 5) ) 2 p
! 2o
2
= 0; 693
Kg
s
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde debemos tener presente que por (3.62)
b
.
2m
=
Ejemplo 3.35: Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que su posición viene dada por,
x(t) = 10m e
3
t
Sen
2
t+
5
3
donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) La frecuencia angular,
la constante de fase y ; (b) la amplitud al cabo de 1; 0 s; (c) la velocidad y
aceleración en t = 2; 0 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
Ao = 10 m
2 rad
! amort =
5 s
rad
'o =
3
rad
=
3 s
(a) De lo anterior,
2 rad
5 s
rad
=
3
rad
=
3 s
! amort =
'o
(b) En este caso la amplitud Aamort viene dada por,
Aamort = 10m e
3
= 10m e
3
t
= 3; 5 m
(c) Al usar (3.67),
v = Ao e
t
[! amort Cos (! amort t + 'o )
2
2
= 10m e 3 t
s 1 Cos
t+
5
5
3
Sen (! amort t + 'o )]
2
s 1 Sen
t+
3
5
3
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Pág.: 152
CAPITULO 3. OSCILACIONES
que, en t = 2; 0 s,
m
e
s
m
0; 89
s
v = 10
=
2
3
2
Cos
5
17
15
1
Sen
3
17
15
y al usar (3.69),
a =
=
2
Sen (! amort t + 'o )
2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort
2
2
4
2
11
2
10m e 3 t
s 2 Cos
t+
+
s 2 Sen
t+
15
5
3
225
5
3
Ao e
t
que, en t = 2; 0 s,
m
s2
m
= 9; 13 2
s
a =
10
2
e
3
t
4
Cos
15
17
15
+
11
Sen
225
17
15
Ejemplo 3.36 Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que su posición viene dada por,
x(t) = 25cm e
10
t
Sen
3
t
5
donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) la constante de fase y ;
(b) el período; (c) la amplitud al cabo de 5; 0 s; (d) la velocidad y aceleración en
t = 1; 0 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
Ao = 25 cm
3 rad
! amort =
5 s
'o = 0 rad
rad
=
10 s
(a) De lo anterior,
'o = 0 rad
rad
=
10 s
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Pág.: 153
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(b) El período viene dado por,
amort
=
2
! amort
2
= 3
s 1
5
= 3; 33 s
(c) En este caso la amplitud Aamort viene dada por,
Aamort = 25 cm e
= 25 cm e
10
:5;0
2
= 5; 2 cm
(d) Al usar (3.67),
v = Ao e
t
[! amort Cos (! amort t + 'o )
Sen (! amort t + 'o )]
3
3
3
= 25cm e 10 t
s 1 Cos
t
s 1 Sen
t
5
5
10
5
que, en t = 1; 0 s,
cm
e
s
cm
16; 1
s
v = 25
=
10
3
Cos
5
3
5
1
Sen
10
3
5
y al usar (3.69),
a =
=
Ao e
t
25cm e
e
10
10
t
t
2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort
3 2 2
3
7 2 2
3
s Cos
t +
s Sen
t
25
5
20
5
2
Sen (! amort t + 'o )
que, en t = 1; 0 s,
a =
=
cm 2
e
s2
cm
53; 3 2
s
25
10
3
Cos
25
3
5
+
7
Sen
20
3
5
Ejemplo 3.37 ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo de 10
Kg que está unido a un resorte de constante k = 200 N=m y que oscila a lo largo
del eje x en un medio viscoso cuya constante de amortiguamiento es 50 Kg=s,
sabiendo que el movimiento se inició cuando el cuerpo se encontraba a 1; 0 m
del punto en el cual el resorte estaba en su posición relajada. Suponga que la
posición del cuerpo viene dada por (3.63).
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Pág.: 154
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución: Al usar (3.62),
b
2m
50 Kg
s
=
2:10 Kg
5 1
=
s
2
=
y, al usar (3.65),
! amort =
=
=
r
k
sm
s
2
200 N
m
10 Kg
20
Kg m2
s
m
Kg
= 3; 70 s 1
2
5
s
2
1
25
s
4
2
entonces, a partir de (3.63),
x(t) = 1; 0 m e
5
t
2
Sen (3; 70t)
donde se ha tomado 'o = 0, por no mencionarse nada adicional sobre ella en el
enunciado.
Ejemplo 3.38 Un resorte se estira 20 cm cuando se le cuelga una masa de 30 Kg (puesto
en posición vertical). Si a este resorte se le une un cuerpo de 25 Kg de tal manera
que el sistema se mueva a lo largo del eje x en un medio cuya constante de
amortiguamiento es de 30 Kg=s y si la amplitud inicial es de 55 cm, encuentre (a)
la posición del cuerpo en función del tiempo, (b) la posición del cuerpo al cabo
de 1; 5 s. Suponga que la posición del cuerpo viene dada por (3.63).
Solución: A partir de la ley de Hooke (3.29),
F =
kz
donde F es el peso del cuerpo, por lo tanto,
mg =
kz ) k =
mg
z
entonces,
30Kg:9; 8 sm2
k =
0; 20 m
N
= 1470
m
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
(a) Al usar (3.62),
b
2m
30 Kg
s
=
2:25 Kg
3 1
=
s
5
=
y, al usar (3.65),
! amort =
=
=
r
k
sm
s
2
1470 N
m
25 Kg
58; 8
= 17; 1s
3
s
5
Kg m2
s
m
Kg
2
1
9
s
25
2
1
entonces, a partir de (3.63),
x(t) = 55 cm e
3
t
5
Sen (17; 1t)
donde se ha tomado 'o = 0, por no mecinarse nada adicional sobre élla en el
enunciado.
(b) Para t = 1; 5 s,
x(t) = 55 cm e
3
:1;5
5
Sen (17; 1:1; 5)
= 11 cm
Ejemplo 3.39 Un cuerpo oscila con movimiento amortiguado a lo largo del eje x. Su
desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
x (t) = 4; 00 m e
t
Sen (5t)
donde t está en segundos y x en metros. Determine: (a) La frecuencia y el
período del movimiento, (b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en
t = 1; 00 s.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
Ao = 4; 00 m
rad
! amort = 5
s
'o = 0 rad
rad
= 1
s
(a) La frecuencia viene dada por,
5s 1
2
= 0; 80 Hz
#amort =
y el período,
amort
1
=
#amort
1
=
0; 80s
= 1; 25 s
1
(b) Según se indica en el enunciado del problema, la posición viene dada por,
x (t) = 4; 00 m e
=
1
Sen (5)
1; 41 m
La velocidad, según (3.67), viene dada por,
v = Ao e
t
[! amort Cos (! amort t + 'o )
= 4; 00 m e
t
5s
1
Cos (5t)
s
1
Sen (! amort t + 'o )]
Sen (5t)
que, en t = 1; 00 s,
m
e
s
m
= 3; 50
s
v = 4; 00
1
[5 Cos (5)
Sen (5)]
y al usar (3.69),
a =
=
Ao e
t
2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort
4; 00 m e
t
10s
2
Cos (5t) + 24s
2
2
Sen (! amort t + 'o )
Sen (5t)
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Pág.: 157
CAPITULO 3. OSCILACIONES
que, en t = 1; 00 s,
m
4; 00 2 e
s
m
= 29; 7 2
s
a =
1
[10 Cos (5) + 24 Sen (5)]
Ejemplo 3.40 Un péndulo de 1; 00 m de longitud es soltado desde un ángulo inicial de
15; 0o . Después de 1000 s, su amplitud se reduce a 5; 50o . ¿Cuál es el valor de ?.
Solución: Aquí usaremos la expresión (3.66),
t
Aamort = Ao e
pero aquí las amplitudes son los ángulos, de manera que Aamort = 5; 50o y Ao = 15; 0o .
Entonces,
1
5; 50o
5; 50o = 15; 0o e 1000s ) =
ln
= 1; 00:10 3 s 1
1000s
15; 0o
3.4.3 Energía
Como la energía mecánica E de un oscilador es proporcional al cuadrado de la
amplitud, la energía de un oscilador sub-amortiguado (valor promedio en un ciclo)
también disminuye exponecialmente con el tiempo si
1. En efecto,
1
1
E = T + U = mv 2 + kx2
2
2
(3.71)
y al usar (3.68) resulta,
1
E =
m
2
=
pero como
x + ! amort
2
1 6 2 2
m4 x
2
|
q
2
t )2
(Ao e
q
2 x! amort (Ao e
{z
'0 por ser
x2
t )2
x2 + ! 2amort A2o e
}
1
1, entonces de (3.65),
! amort =
q
! 2o
2
' !o =
r
1
+ kx2
2
2 t
3
7 1
x2 5 + kx2 (3.72)
2
k
k
) ! 2amort = ! 2o =
m
m
de aquí que,
1
E = kA2o e
2
2 t
o también,
E = Eo e
2 t
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(3.73)
Pág.: 158
CAPITULO 3. OSCILACIONES
con,
1
Eo = kA2o
2
(3.74)
Se acostumbra describir el grado de amortiguamiento de un sistema oscilatorio amortiguado en términos del factor de calidad o factor Q del sistema,
Q=
!o
2
(3.75)
El factor de calidad es adimensional. Mientras mayor sea Q menor es el amortiguamiento del sistema. Podemos relacionar Q con la pérdida relativa de energía por
ciclo. Al derivar (3.73) con respecto al tiempo se obtiene,
dE
d
=
Eo e
dt
dt
2 t
=
2 Eo e
2 t
=
2 E
(3.76)
Si el amortiguamiento es lo suficientemente débil para que la pérdida de energía
por ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por E y dt por el período en (3.76).
Por lo tanto j Ej =E en un ciclo (un período) viene dado por,
E
2 E)
=
es decir,
Q=
j Ej
E
=2
ciclo
2
,
(j Ej =E)ciclo
j Ej
E
=
2
2
=
!o
Q
(3.77)
1
(3.78)
de manera que Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por
ciclo.
Ejemplo 3.41 Un oscilador tiene un factor Q de 373. ¿ En qué porcentaje disminuye su
energía durante un período?.
Solución: De (3.77),
j Ej
E
=
ciclo
2
2
=
= 0; 0168 = 1; 68%
Q
373
Ejemplo 3.42 Mostrar que el cambio de la energía mecánica total, con respecto al
tiempo, para un oscilador amortiguado viene dada por,
dE
=
dt
bv 2
y por lo tanto es siempre negativa. Ayuda: Derivar la expresión para la energía
mecánica total E = 21 mv 2 + 21 kx2 y usar (3.60).
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Pág.: 159
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución: La energía mecánica total es,
1
1
E = mv 2 + kx2
2
2
(1)
Al tomar la derivada con respecto al tiempo resulta,
dE
dv
dx
= mv + kx
dt
dt
dt
(2)
pero,
dv
dt
=
d2 x
dt2
dx
dt
=v
(3)
entonces al sustituir (3) en (2) resulta,
dE
d2 x
= mv 2 + kxv
dt
dt
(4)
y al usar (3.60) resulta,
dE
= v ( kx
dt
o,
dE
=
dt
bv) + kxv
bv 2 < 0
Ejemplo 3.43 Un objeto de 4; 0 Kg oscila con una amplitud inicial de 4; 0 cm con un
resorte de constante k = 300 N=m. La energía disminuye en 2; 0 % por período.
Hallar: (a) La energía inicial total, (b) el período, (c) el factor Q, y (d) la constante
de amortiguamiento b.
Solución: Del enunciado del problema,
! 2o =
300 N
k
rad2
rad
m
=
= 75 2 ) ! o = 8; 66
m
4; 0Kg
s
s
j Ej
E
= 2; 0% = 0; 02
ciclo
(a) La energía inicial total viene dada por (3.74),
1
1
N
Eo = kA2o = :300 : (0; 04m)2 = 0; 240 J
2
2
m
(b) El período viene dado por,
=
2
2
=
= 0; 726 s
!o
8; 66 1s
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Pág.: 160
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(c) El factor Q viene dado por (3.78),
Q=
2
2
=
= 314; 2
(j Ej =E)ciclo
0; 02
(d) De (3.77),
j Ej
E
)
=2
ciclo
=
1
2
j Ej
E
ciclo
de aquí que,
=
y como
=
b
2m
1
rad
:0; 02 = 0; 024
2:0; 726 s
s
entonces,
1
Kg
b = 2m = 2:4; 0:0; 024 = 0; 192
s
s
Ejemplo 3.44 Cuando se pulsa la nota do-central en el piano (frecuencia 262 Hz), la
mitad de su energía se pierde en 4 s. (a) ¿Cuál es el valor de ?, (b) ¿cuál es el
factor Q de esta cuerda de piano? y (c) ¿cuál es la pérdida de energía relativa
por ciclo?.
Solución:
(a) Del enunciado E = 12 Eo , por lo tanto a partir de (3.73) se tiene que,
E = Eo e
2 t
1
) Eo = Eo e
2
2 t
)
1
=e
2
2 t
de aquí que,
=
1
ln
2t
1
2
=
1
ln
2:4s
(b) Al usar (3.75),
Q=
1
2
= 0; 087
rad
s
!o
2
pero,
!o = 2 #
entonces,
Q=
#
=
:262 1s
= 9; 50:103
0; 087 1s
(c) Por último, de (3.77),
j Ej
E
=
ciclo
2
2
=
= 6; 61:10
Q
9; 50:103
4
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.45 Demostrar que el cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas en un oscilador forzado es constante.
Solución: De (3.66),
t
Aamort (t) = Ao e
y trascurrido un tiempo igual a un período
tendríamos,
(t+ )
Aamort (t + ) = Ao e
entonces el cociente pedido será,
Aamort (t)
Ao e t
=
Aamort (t + )
Ao e (t+
= constante
=e
)
Ejemplo 3.46 Un oscilador tiene un período de 4; 5 s. Su amplitud disminuye en un 7%
durante cada ciclo. (a) ¿En cuánto disminuye su energía durante cada ciclo?,
(b) ¿cuál es el valor de ? y (c) ¿cuál es el factor Q?.
Solución: Del enunciado del problema,
A
A
= 7%
ciclo
(a) Al derivar con respecto a A la expresión E = 21 kA2 resulta,
dE = kAdA
y al dividir entre E ambos miembros,
dE
kAdA
kAdA
dA
=
= 1 2 =2
E
E
A
kA
2
y si el amortiguamiento es lo suficientemente débil para que la pérdida de energía
por ciclo sea pequeña, podemos reemplazar dE por E y dA por A, entonces,
E
E
ciclo
E
E
ciclo
A
A
=2
ciclo
de aquí que,
= 2:7% = 14%
(b) Al usar (3.77),
j Ej
E
=2
ciclo
entonces,
=
)
=
1
2
j Ej
E
ciclo
1
rad
:0; 14 = 0; 016
2:4; 5s
s
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
(c) Por último, al usar (3.78),
Q=
2
2
=
= 44; 9
(j Ej =E)ciclo
0; 14
Ejemplo 3.47 Un oscilador posee un factor Q igual a 35; 7. (a) ¿En qué fracción disminuye la energía en cada ciclo?, (b) utilizar la ecuación (3.65) para determinar la
diferencia en porcentaje entre ! amort y ! o . Sugerencia: Utilizar la aproximación
(1 + x)1=2 1 + 12 x para valores pequeños de x.
Solución:
(a) Al usar (3.77),
j Ej
E
=
ciclo
2
2
=
= 0; 176 = 17; 6 %
Q
35; 7
(b) De (3.65),
! amort =
que podemos escribir como,
! amort = ! o
s
q
2
! 2o
2
1
! 2o
= !o
s
1
4
1
2
!o
2
pero de (3.75),
1
2
=
!o
Q
entonces,
! amort = ! o 1
y al usar la aproximación (1 + x)1=2
1
4Q2
1=2
1 + 12 x, con x =
! amort = ! o 1 +
1
,
4Q2
resulta,
1
8Q2
Ahora bien,
! amort ! o
1
1
=
!o 1 +
!o
!o
8Q2
entonces,
! amort ! o
=
!o
1
=
8: (35; 7)2
9; 81:10
!o =
5
=
1
8Q2
9; 81:10
3
%
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Pág.: 163
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.48 Un sistema masa-resorte amortiguado oscila con una frecuencia de 200
Hz. La constante del sistema es 0; 25 rad=s. En el tiempo t = 0, la amplitud de
la oscilación es 6; 0 cm y la energía del sistema oscilante es 60 J. (a) ¿Cuáles son
las amplitudes de oscilación para t = 2; 0 s y t = 4; 0 s? y (b) ¿cuánta energía se
disipa en el primer intervalo de 2 s y en el segundo intervalo de 2 s?.
Solución: Del enunciado del problema Ao = A (t = 0) = 6; 0 cm y Eo = E (t = 0) = 60
J.
(a) De (3.66),
t
Aamort (t) = Ao e
o,
Aamort (t) = (6; 0 cm) e
entonces,
(
t
0;25 1s :2;0s
Para t = 2; 0s: Aamort = (6; 0 cm) e
Para t = 4; 0s: Aamort = (6; 0 cm) e
0;25 1s :4;0s
= 3; 64 cm
= 2; 21 cm
(b) De (3.73),
2 t
E (t) = Eo e
o,
E (t) = (60 J) e
entonces,
(
2 t
Para t = 2; 0s: E (2; 0s) = (60 J) e
Para t = 4; 0s: E (4; 0s) = (60 J) e
2:0;25 1s :2;0s
2:0;25 1s :4;0s
= 22; 1 J
= 8; 12 J
de aquí que la energía disipada en el primer intervalo de 2 s es,
Eo
E (2; 0s) = 60 J
22; 1 J = 37; 9 J
y la energía disipada en el segundo intervalo de 2 s es,
E (2; 0s)
E (4; 0s) = 22; 1 J
8; 12 J = 14; 0 J
Ejemplo 3.49 Se ha establecido que la Tierra en vibración posee un período de resonancia de 54; 0 min y un factor Q de aproximadamente 400; 0, y que después de
un gran terremoto, la Tierra suena (se produce una vibración continua) durante
dos meses. (a) ¿Cuál es la fracción de la energía perdida en un período?, (b)
demuestra que después de n períodos, la energía es En = (0:9843)n E0 , siendo E0
la energía inicial, (c) si la energía inicial de vibración de un terremoto es E0 , ¿cuál
es la energía al cabo de 2; 0 d?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 164
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Solución:
(a) De (3.77),
j Ej
E
=
ciclo
2
2
=
= 0; 0157 = 1; 57 %
Q
400; 0
(1)
(b) La energía después del primer período será,
E1 = Eo
Eo
j Ej
E
j Ej
E
= Eo 1
ciclo
(2)
ciclo
después del segundo período,
E2 = E1
E1
= Eo 1
|
j Ej
E
j Ej
E
{z
= E1 1
ciclo
1
ciclo
Por (2)
j Ej
E
= Eo 1
}
j Ej
E
j Ej
E
ciclo
ciclo
2
(3)
ciclo
y después del tercer período,
E3 = E2
E2
= Eo 1
|
= Eo 1
j Ej
E
j Ej
E
{z
ciclo
2
j Ej
E
1
ciclo
Por (3)
j Ej
E
j Ej
E
= E2 1
}
ciclo
ciclo
3
(4)
ciclo
entonces podemos fácilmente argüir de (2), (3) y (4) que,
En = Eo 1
j Ej
E
n
ciclo
y al usar el resultado (2),
En = (0:9843)n E0
(c) Lo primero que debemos encontrar es cuántos períodos de 54 min están contenidos en 2d. Un cálculo trivial arroja 53; 3. Por lo tanto al usar el resultado anterior
para n = 53; 3 resulta,
E2 días = E53;3 = (0:9843)53;3 E0 = 0; 430E0
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 165
CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.5
Oscilador forzado
Apliquemos ahora, al sistema estudiado en la sección anterior, una fuerza externa
armónica de la forma (ver figura 3.12):
(3.79)
Fexterna = Fo Cos (! f t)
que la denominaremos fuerza impulsora, donde ! f es su frecuencia angular.
Figura (3.12): Oscilador forzado
La ecuación de movimiento de la partícula es ahora:
d2 x
= kx bv + Fo Cos (! f t)
dt2
que, después de arreglos triviales, queda como,
(3.80)
m
dx
d2 x
Fo
+2
+ ! 2o x =
Cos (! f t)
(3.81)
2
dt
dt
m
La ecuación (3.81) es similar a (3.61) excepto en que el miembro derecho no es
nulo.Para resolver esta ecuación se deben tener conocimientos previos en solución
de ecuaciones diferenciales no homogéneas k , sin embargo, mediante consideraciones físicas podemos darle solución. Parece lógico que en este caso la partícula
no oscilará con su frecuencia angular no amortiguada ! o ni con la frecuencia angular
p
2
. En su lugar, la partícula será forzada a oscilar con la frecuenamortiguada ! 2o
cia angular ! f de la fuerza impulsora aplicada. Por esto, supondremos como posible
solución de la ecuación (3.81), una expresión de la forma,
(3.82)
x(t) = A Sen (! f t + 'o )
Una sustitución directa de (3.82) en (3.81) demuestra que será satisfecha si la amplitud
es dada por,
k
Para el lector curioso es recomendada la lectura de la sección 3.7.2, pág. 175 del texto [11].
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 166
CAPITULO 3. OSCILACIONES
A= q
Fo
m
! 2f
2
! 2o
(3.83)
+4
2
! 2f
y la fase inicial del desplazamiento por,
tan 'o =
2 !f
! 2o ! 2f
(3.84)
Notemos que tanto la amplitud (3.83) como la fase inicial (3.84) no son constantes
arbitrarias, sino cantidades fijas (pues son proporcionadas por las fuerza impulsora)
que dependen de la frecuencia ! f de la fuerza externa aplicada lo que, matemáticamente, significa que hemos encontrado una “solución particular” a la ecuación
diferencial (3.81): La solución (3.82) nos muestra que las oscilaciones forzadas no están amortiguadas, pero tienen amplitud constante y frecuencia igual a la de la fuerza
externa aplicada. Esto significa que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguamiento, proporcionando la energía necesaria para mantener las oscilaciones.
Todo sistema tiene una frecuencia a la que puede oscilar en forma natural, la cual
es llamada frecuencia natural del sistema ! o .
Se define la frecuencia natural de un oscilador ! o como aquella que tendría
si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor (fuerza
externa).
Por ejemplo, la frecuencia angular natural de un resorte es ! o =
habíamos estudiado.
p
k=m, que ya
Ejemplo 3.50 Una masa de 2; 00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerza
externa,
F = 3; 00N Cos (2 t)
si la constante de elasticidad del resorte es 20; 0 N=m, determine (a) la amplitud
del movimiento, (b) el período y (b) 'o . Suponga que no hay amortiguamiento.
Aquí t es dado en segundos.
Solución: Aquí es fácil notar que Fo = 3; 00N , ! f = 2
tiguamiento). Además,
20; 0 N
k
1
2
m
!o =
=
= 10; 0 2
m
2; 00Kg
s
rad
s
= 0 (por no haber amor-
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 167
CAPITULO 3. OSCILACIONES
(a) La amplitud viene dada por (3.83),
A= q
entonces,
A= q
Fo
m
! 2f
! 2o
2
+4
3; 00N
2; 00Kg
4
2
10; 0 s12
1
s2
2
! 2f
= 0; 05m = 5cm
+0
(b) El período vendrá dado por,
=
2
2
=
!f
2
1
s
= 1s
(c) Por último, de (3.84),
2 !f
0
= 2
= 0 ) 'o = tan
2
2
!o !f
! o ! 2f
= 0
tan 'o =
'o
1
(0)
Ejemplo 3.51 Considérese un oscilador forzado no amortiguado ( = 0). Mostrar que,
x (t) = A Cos (! f t)
es una solución de (3.81) si A esdado por (3.83).
Solución: Suponemos que la solución x (t) dada es cierta y la sustituimos en (3.81)
para así buscar el valor de A que hace que la igualdad se satisfaga.
Al sustituir la solución dada en el enunciado, en (3.81), con
= 0 resulta,
d2
Fo
[A Cos (! f t)] + ! 2o [A Cos (! f t)] =
Cos (! f t)
2
dt
m
o,
A! 2f Cos (! f t) + ! 2o [A Cos (! f t)] =
Fo
Cos (! f t)
m
y al simplificar,
A ! 2o
que es, justamente, (3.83) para
! 2f
Fo
Fo
=
)A= 2m 2
m
!o !f
= 0.
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Pág.: 168
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.52 Un peso de 70; 0 N está suspendido de un resorte que tiene una constante de elasticidad de 150 N=m. El sistema no está amortiguado y está sujeto
a una fuerza armónica de frecuencia # = 7; 00 Hz, originando un movimiento
forzado de amplitud 1; 50 cm. Determinar el máximo valor de dicha fuerza.
Solución: Primeramente,
1
! f = 2 # = 2 :7; 00s
! 2o
= 44; 0
rad
s
9; 8 sm2 :150 N
k
gk
rad2
m
=
=
=
= 21 2
m
w
70; 0N
s
|{z}
m=w=g
A partir de (3.83) con
= 0 (ya que no hay amortiguamiento),
A=
Fo
m
! 2f
! 2o
) Fo =
w
A ! 2f
g
|
{z
! 2o
m=w=g
entonces,
70; 0N
:0; 015m:
=
9; 8 sm2
Fo
"
1
44; 0
s
2
}
#
1
21 2
s
Fo = 205 N
Ejemplo 3.53 El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0; 050 Kg que
pende de un resorte liviano de constante 3; 50 N=m. El sistema está sometido a
una fuerza oscilatoria de amplitud 1; 10 N . ¿A qué frecuencia hará la fuerza vibrar
la masa una amplitud de 0; 330 m?.
Solución: Primeramente,
! 2o =
A partir de (3.83) con
entonces,
= 0 (ya que el amortiguamiento es despreciable),
A= q
! f1
! f2
k
3; 50N=m
rad2
=
= 70 2
m
0; 050Kg
s
Fo
m
! 2f
! 2o
2
)A=
Fo
m
! 2f
! 2o
) !f =
r
! 2o
Fo
Am
r
r
F
1; 10N
2
o
= ! 2o +
= 70 rad
+
= 11; 7 rad
s2
s
Am r
0; 330m:0; 050Kg
r
Fo
1; 10N
2
= ! 2o
= 70 rad
= 1; 83 rad
s2
s
Am
0; 330m:0; 050Kg
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Pág.: 169
CAPITULO 3. OSCILACIONES
por lo tanto, las frecuencias serán,
#1 =
#2 =
3.6
! f1
2
! f2
2
=
=
11;7 1s
2
1;83 1s
2
= 1; 87 Hz
= 0; 291 Hz
Resonancia
La resonancia es una situación en la que un sistema mecánico, estructural o
acústico vibra en respuesta a una fuerza aplicada con la frecuencia natural del sistema ! o o con una frecuencia próxima.
Si se excita un sistema mediante la aplicación continuada de fuerzas externas con
esa frecuencia, la amplitud de la oscilación va creciendo y puede llevar a la destrucción del sistema. El hundimiento del puente colgante de Tacoma Narrows en Puget
Sound, Washington (EEUU), que tuvo lugar en 1940, fue causado por vibraciones con
la frecuencia natural de la estructura producidas por el viento.
En cambio, las vibraciones cuya frecuencia no es la natural ni una de sus frecuencias armónicas (múltiplos enteros de la frecuencia natural) tienden a amortiguarse
rápidamente. Por ejemplo, el arco de un violín excita las cuerdas del instrumento en
una amplia gama de frecuencias. Sin embargo, sólo persiste la frecuencia básica de
la cuerda, junto con sus diversos armónicos, cuya amplitud es menor. Para impedir
que una estructura resuene a una frecuencia determinada suele cambiarse su rigidez
o su masa. El aumento de la rigidez aumenta la frecuencia natural, mientras que el
aumento de la masa la disminuye.
En física atómica y nuclear también se producen fenómenos de resonancia; por
ejemplo, una radiación electromagnética de determinadas frecuencias puede excitar a los átomos y hacerlos subir a niveles de mayor energía, mientras que una radiación no resonante no los afecta.
Se acostumbra describir el grado de amortiguamiento de un sistema oscilatorio en términos del factor de calidad o coeficiente de calidad Q del sistema,
Q
!R
2
(3.85)
Mientras el amortiguamiento es menor, Q se hace mayor.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
3.6.1 Resonancia en la amplitud
La representación de la amplitud A en función de ! f es mostrada en la figura ??
para un valor dado de b: Observemos que A (! f ) presenta un máximo muy notorio
cuando el denominador de (3.83) tiene su valor mínimo, es decir, esto ocurre para la
frecuencia ! f = ! RA (frecuencia de resonancia en la amplitud) dada por,
! RA =
q
! 2o
2
2
=
r
k
m
b2
2m2
(3.86)
Cuando la frecuencia ! f de la fuerza restauradora es igual a ! RA ; se dice
que hay resonancia en amplitud.
Cuanto menor es el amortiguamiento más pronunciada es la resonancia, y cuando
b = 0, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre para:
! RA = ! o =
r
k
m
(3.87)
No ocurre resonancia si 2 > !2o , puesto que ! RA es imaginaria y A decrece monótonamente con el incremento de ! f . En la figura 3.13 se muestra la variación de la
amplitud A en función de la frecuencia ! f para diferentes valores de la constante de
amortiguamiento b.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.13): Variación de A en un oscilador forzado (
1
<
2 ).
3.6.2 Resonancia en la energía
La velocidad del oscilador forzado viene dada por (ejercicio):
dx
= ! f A Cos (! f t + 'o )
(3.88)
dt
Comparando con la expresión F = Fo Cos (! f t) de la fuerza aplicada, podemos
observar que 'o representa el desfasaje de la velocidad con respecto a la fuerza. La
amplitud de la velocidad es:
v=
vo = ! f A = q
!f
Fo
m
2
! 2o
! 2f
(3.89)
+4
2
! 2f
la cual puede escribirse también en la forma (ejercicio):
vo = s
Fo
m! f
k
!f
(3.90)
2
+ b2
La cantidad vo varía con ! f , como se indica en la figura 3.14, y adquiere su máximo
valor cuando la cantidad dentro del paréntesis del denominador de (3.90) es cero
siendo en este momento ! f = ! RE (frecuencia de resonancia en la energía),
m! RE
k
! RE
= 0 ) ! RE =
r
k
= !o
m
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(3.91)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.14): Variación de la amplitud de la velocidad respecto a ! f .
A esta frecuencia de la fuerza aplicada, la velocidad e igualmente la energía
cinética (¿por qué?) de las oscilaciones son máximas, entoces se dice que hay resonancia en la energía.
Cuando se da la resonancia en la energía, la transferencia de energía de
la fuerza externa aplicada al oscilador es máxima.
Cuando el amortiguamiento es muy pequeño no hay gran diferencia entre las frecuencias correspondientes a la resonancia en la amplitud y la resonancia en la energía.
3.7
Problemas
1. Mediante sustitución directa, mostrar que las soluciones (3.5) y (3.6) satisfacen la
ecuación de un OAS (3.3).
2. Mediante sustitución directa mostrar que la solución (3.63) satisface la ecuación de
movimiento para un oscilador amortiguado (3.61):
3. Encuentre la velocidad y la aceleración de un oscilador amortiguado.
4. Obtener la ecuación (??).
5. La posición de una partícula en t = 0; 2 s está dada por la expresión
x (t) = 4; 0m Cos (3; 0 t + )
donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) frecuencia y período
del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase, y (d) la
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
posición de la partícula en t = 0; 25s. Resp.: (a) 1; 50 Hz y 0; 667s; (b) 4; 00 m; (c)
(d) 2; 83 m.
rad;
6. Un péndulo de 0; 50 m de longitud es soltado desde un ángulo inicial de 20; 0o . Después de 500 s, su amplitud se reduce a 7; 50o . ¿Cuál es el valor de ?. Resp.:
1; 00:10 3 s 1 .
7. El desplazamiento de un objeto es
x (t) = 18; 0 cm Cos (2; 0t + =3)
donde x está dada en metros y t en segundos. Calcule: (a) la velocidad y la aceleración en t = =2 s, (b) la velocidad máxima y el tiempo anterior (t > 0) en el cual
la partícula tiene esta velocidad, y (c) la aceleración máxima y el tiempo anterior (t > 0) en el cual la partícula tiene esta aceleración. Resp.: (a) 31; 17 cm=s; 36; 0
cm=s2 , (b) 36; 0 cm=s; 1; 83 s, (c) 72; 0 cm=s2 ; 1; 05 s.
8. Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MAS a partir del
origen en t = 0, siguiendo la ecuación,
x (t) = 2; 00 cm Sen (3; 00 t)
Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b) la
aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, y (c) la distancia total
recorrida entre t = 0 y t = 1; 00 s. Resp.: (a) 6 cm=s y 0; 666 s; (b) 18 2 cm=s2 y 0; 166 s;
(c) 12; 0 cm.
9. Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante igual a 6; 50 N=m
y experimenta un MAS con una amplitud de 10; 0 cm. Cuando la masa está a la
mitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo, se mide su velocidad y se encuentra un valor igual a +3; 00 cm=s. Calcule (a) la masa del bloque,
(b) el período del movimiento y (c) la aceleración máxima del bloque. Resp.: (a)
54; 2 Kg, (b) 18; 1 s, (c) 1; 20 cm=s2 .
10. Una masa de 7; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical fijo a una
viga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 2; 60 s. Encuentre
la constante de elasticidad del resorte. Resp.: 40; 9 N=m.
11. Una masa de 0; 50 Kg unida a un resorte de 8; 0 N=m de constante de elasticidad
vibra en un MAS con una amplitud de 10 cm. Calcule: (a) el valor máximo de su
velocidad y aceleración, (b) la velocidad y la aceleración cuando la masa está a
6; 0 m de la posición de equilibrio y (c) el tiempo que tarda la masa en moverse de
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
x = 0 a x = 8; 0 cm. Resp.: (a) 0; 400 m=s; 1; 60 m=s2 , (b)
0; 232 s.
0; 320 m=s; -0; 960 m=s2 , (c)
12. Un bloque de 1; 5 Kg que está en reposo sobre una mesa se une a un resorte
horizontal con una constante de 19; 6 N=m. Al principio el resorte no está extendido.
Se aplica una fuerza constante horizontal de 20; 0 N al objeto causando que el
resorte se extienda. (a) Determine la velocidad del bloque después de que se ha
movido 0; 30 m a partir del equilibrio si la superficie entre el bloque y la mesa no
presenta fricción, (b) conteste el inciso (a) si k = 0; 20. Resp.: (a) 2; 61 m=s , (b) 2; 11
m=s.
13. Un automóvil que tiene una masa de 1000 Kg se dirige hacia un muro de ladrillos
en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de
constante igual a 5; 0:106 N=m y se comprime 3; 16 cm cuando el auto se lleva al
reposo. ¿cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo que no se
pierde energía durante el impacto con la pared?. Resp.: 2; 23 m=s.
14. Una masa m fija a un resorte cuya constante es k, se aparta una distancia x de su
posición de equilibrio, y se suelta sin rapidez inicial: (a) ¿Cuál es la rapidez máxima
que alcanza la masa en el movimiento que sigue? y ¿en qué momento se alcanza
p
esa rapidez por primera vez?. Resp.: (a) !x, (b) 2 m
.
k
15. La amplitud de un sistema que se mueve con un MAS se duplica. Determine el
cambio en (a) la energía total, (b) la velocidad máxima, (c) la aceleración máxima
y (d) el período. Resp.: (a) se cuadruplica, (b) se duplica, (c) se duplica y (d) no
cambia.
16. Una partícula ejecuta un MAS con una amplitud de 3; 00 cm. ¿A qué desplazamiento desde el punto medio del movimiento su velocidad es igual a la mitad de
su velocidad máxima? Resp.: 2; 60 cm.
17. Un péndulo simple tiene un período de 2; 50 s (a)¿cuál es su longitud?, (b) ¿cuál
sería su período en la luna donde gluna = 1; 67 m=s2 ?. Resp.: (a) 1; 55 m y (b) 6; 06 s.
18. Un péndulo simple tiene una longitud de 3; 00 m. Determine el cambio en su
período si éste se toma desde un punto donde g = 9; 80 m=s2 hasta una elevación
donde la aceleración en caída libre disminuye a 9; 79 m=s2 . Resp.: aumenta en
1; 78:10 3 s.
19. Una varilla delgada y uniforme, de masa M y longitud L, oscila respecto de uno de
sus extremos como péndulo físico. ¿Cuál es el período del movimiento oscilatorio
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
para ángulos pequeños?. Calcule la longitud ` del
q péndulo simple que tenga el
2L
mismo período que la varilla oscilante.. Resp.: =2
; ` = 23 L.
3g
20. Una masa de 2; 00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa,
Fexterna = 3; 00N Cos (2 t)
si la constante de elasticidad del resorte es 20; 0 N=m, determine (a) el período y (b)
la amplitud del movimiento. Suponga que no hay amortiguamiento. Ayuda: utilice
la ecuación (3.83) con = 0 (esto indica que no hay amortiguamiento). Resp.: (a)
1; 98 s, (b) 5 cm.
21. Un peso de 40; 0 N está suspendido de un resorte que tiene una constante de elasticidad de 200 N=m. El sistema no está amortiguado y está sujeto a una fuerza armónica de frecuencia # = 10; 0 Hz, originando un movimiento forzado de amplitud
2; 00 cm. Determinar el máximo valor de dicha fuerza. Resp.: 318 N .
22. Un oscilador posee un factor Q igual a 20. (a) ¿En qué fracción disminuye la energía en cada ciclo?, (b) utilizar la ecuación (3.65) para determinar la diferencia en
porcentaje entre ! amort y ! o . Sugerencia: Utilizar la aproximación (1 + x)1=2
1 + 12 x
para valores pequeños de x. Resp.: (a) 0; 314; (b) 3; 13:10 2 %.
23. Un oscilador tiene un período de 3 s. Su amplitud disminuye en un 5% durante cada
ciclo. (a) ¿En cuánto disminuye su energía durante cada ciclo?, (b) ¿cuál es el valor
de ? y (c) ¿cuál es el factor Q?. Resp.: (a) 10%; (b) 0; 017 rad
; (c) 62; 8.
s
24. El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0; 150 Kg que pende de
un resorte liviano de constante 6; 30 N=m. El sistema está sometido a una fuerza
oscilatoria de amplitud 1; 70 N . ¿A qué frecuencia hará la fuerza vibrar la masa una
amplitud de 0; 440 m?. Resp.: 1; 31 Hz ó 0; 641 Hz.
25. Un oscilador tiene un factor Q de 200. ¿ En qué porcentaje disminuye su energía
durante un período?. Resp.: 3; 14 %.
26. Un objeto de 2; 0 Kg oscila con una amplitud inicial de 3; 0 cm con un resorte de
constante k = 400 N=m. La energía disminuye en 1; 0 % por período. Hallar: (a)
La energía inicial total, (b) el período, (c) el factor Q, y (d) la constante de amortiguamiento b. Resp.: (a) 0; 180 J; (b) 0; 444 s; (c) b = 0; 045 Kg=s; (d) Q = 628; 0.
27. Un resorte se estira 0; 150 m cuando se le cuelga una masa de 0; 300 Kg. El resorte
se estira una distancia adicional de 0; 100 m de su punto de equilibrio y luego se
suelta. Determínese (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de la oscilación,
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
(c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período y la frecuencia.
Resp.: (a) 19; 6 N=m; (b) 0; 1 m ; (c) 0; 808 m=s; (d) 6; 53 m=s2 ; (e) 0; 777 s y 1; 29 Hz.
28. Una masa de 0; 50 Kg se mueve en dirección x bajo la influencia de un resorte cuya
constante es k = 2; 0 N=m. El origen del eje x se define como el punto de equilibrio
de la masa, lo cual quiere decir que es el punto en el cual la fuerza del resorte es
cero. Cuando t = 0 s, la masa está en el origen y se mueve con una rapidez de 0; 5
m=s en dirección +x. (a) ¿En qué momento t1 llega la masa por primera vez a su
máxima extensión? y (b) ¿cuál es la máxima extensión?. Resp.: 0; 79 s; 0; 25 m.
29. Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrededor de
cualquier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Por ejemplo,
supóngase que una barra no uniforme de 1; 6 Kg puede equilibrarse en un punto de
42 cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lo hace con una
frecuencia de 2; 5 Hz. ¿Cuál es su momento de inercia alrededor de ese extremo?.
Resp.: I = 0; 027 Kg:m2 .
30. Una varilla delgada y uniforme de largo ` = 1; 00 m y masa m = 160 g está sostenida
por uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?, (b) ¿Cuál será la longitud de un
péndulo simple que tenga el mismo período?. (El momento de inercia de una varilla
delgada alrededor de un eje que pase por uno de sus extremos es
1
I = m`2
3
donde ` es la longitud de la varilla y m es su masa. El centro de gravedad de una
varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud). Resp.: (a) 1; 64 s; (b) 0; 67 m.
31. (a) ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de un resorte que se ha
estirado 20 cm a partir del equilibrio y luego se suelta oscilando con un período
de 3=2 s?, (b) ¿Cuál será su posición luego de 1; 8 s?. Use (3.5). Resp.: (a) 0; 20 m
Cos 34 t ; (b) 6; 2 cm.
32. Un resorte vibra con una frecuencia de 2; 4 Hz cuando se le cuelgan 0; 80 Kg. ¿Cuál
sería su frecuencia si sólo se le colgaran 0; 50 Kg?. Resp.: 3; 0 Hz.
33. Dos resortes idénticos, paralelos, cada uno con una constante elástica k,
qsoportan
1
2k
un bloque de masa m. ¿Cuál será la frecuencia de vibración?. Resp.: 2
.
m
34. La posición de un OAS en función del tiempo está dada por
x(t) = 2; 4m Cos
5
t+
4
6
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde t está en segundos y x en metros. Encuentre: (a) El período y la frecuencia,
(b) la posición y la velocidad en t = 0, (c) la velocidad y la aceleración en t = 0; 1 s.
Resp.: (a) 1; 60 s y 0; 62 Hz; (b) 2; 1 m y 4; 7 m=s; (c) 7; 5 m=s y 22; 5 m=s2 .
35. (a) ¿A qué desplazamiento de un OAS es la energía mitad cinética y mitad potencial?; (b) ¿Qué fracción de la energía total de un OAS es cinética y qué fracción es
p
potencial cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud?. Resp.: (a) A= 2;
(b) 1=4 es potencial y 3=4 es cinética.
36. Se necesita una fuerza de 60 N para comprimir el resorte de una pistola 0; 10 m
para cargar una bala de 0; 200 Kg. ¿Con qué rapidez saldrá disparada la bala?.
Resp.: 5; 5 m=s.
37. Una persona de 70 Kg salta desde una ventana a una red contra incendio 15 m
abajo, con lo que ésta se estira 1; 2 m. (a) Suponga que la red se comporta como
un resorte simple y calcule cuánto se estiraría si la persona estuviera encima de ella,
(b) ¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 30 m?. Resp.: 4; 6 cm; 1; 7 m.
38. ¿Cuánto debe medir un péndulo simple si debe realizar exactamente una vibración
(oscilación) completa por segundo?. Resp.: 0; 248 m.
39. Encuentre el período para los sistemas mostrados en la figura 3.15.
Figura (3.15): Problema 39: Sistemas con dos resortes.
Resp.: (a)
=2
q
m(k1 +k2 )
;
k 1 k2
(b)
=2
q
m
.
k1 +k2
40. Usando la ecuación para la energía total,
E =T +U
encuentre x en función del tiempo para un OAS donde, como ya sabemos, E =
2
1
kA2 , T = 12 m ddt2x y U = 12 kx2 . Resp.: x(t) = A Cos (!t + ').
2
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
41. Un resorte de constante elástica 250 N=m vibra con una amplitud de 8; 00 cm cuando
se le cuelga una masa de 0; 300 Kg. (a) ¿Cuál es la ecuación que describe este
movimiento en función del tiempo?. Suponga que la masa pasa a través del punto
de equilibrio, hacia el sentido positivo de x, en t = 0; 060 s, (b)¿en qué tiempos tendrá el resorte sus longitudes máxima y mínima?, (c) ¿cuál es la fuerza que ejerce
el resorte en t = 0?, (d) ¿cuál es el desplazamiento en t = 0, (e) ¿cuál es la rapidez máxima cuando es alcanzada por primera vez después de t = 0?. Use (3.6).
Resp.: (a) x (t) = 0; 0800m Sen [28; 9 (t 0; 060)]; (b) t = 0; 114 + 0; 217n para el máximo
y t = 0; 005 + 0; 217n para el mínimo, donde n = 0; 1; 2; :::; (c) 19; 7 N ; (d) 7; 89 cm; (e)
2; 31 m=s en 0; 060 s.
42. Considere una masa m que oscila en el extremo de un resorte de constante k y
cuya masa ms es pequeña en comparación con m pero no despreciable. Muestre
que la “masa equivalente” del sistema que vibra es m + 13 ms , de modo que el
período de vibración es,
s
=2
m + 13 ms
k
(Sugerencia: Suponga que el resorte se estira y se comprime de manera uniforme a
lo largo de su longitud y que todas las partes oscilan en fase).
43. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión
x (t) = 5 cm Cos(2t + =6)
Donde x está en cm y t en s. En t = 0 encuentre (a) el desplazamiento, (b) su velocidad, (c) su aceleración y (d) determinar el período y la amplitud del movimiento.
p
p
Resp.: (a) 5 2 3 cm, (b) 5 cm=s, (c) 10 3cm=s2 , (d) s y 5cm.
44. El péndulo de un reloj (tomado como pédulo simple) tiene un período de 2 s
cuando g = 9; 8 m=s2 . Si la longitud del péndulo se incrementa en un milímetro,
¿cuánto se atrasará el reloj en 24 h?. Resp.: 43; 5 s:
45. Hallar el período de la oscilación de un bloque de masa M = 250 g unido a los dos
muelles elásticos (k1 = 30 N=m y k2 = 20 N=m) como se indica en la figura 3.16. Se
p
supone que no hay rozamiento.Resp.: 10 2 s.
46. Un péndulo físico está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud
y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5 cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm
de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra (ver figura 3.17). El péndulo
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Pág.: 179
CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.16): Problema 45: Masa unida a dos resortes.
se haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
la esfera superior. Hállese el período. Ayuda: Momento de inercia de una varilla
2
mL2
, donde L es la longitud y m su masa; y el de una esfera 2mr
, donde r es el radio
12
5
y m su masa. Resp.: 0; 992 s.
Figura (3.17): Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas.
47. ¿Cuál es la energía total de una masa de m que se mueve con amplitud de 12 cm
en una mesa plana sin fricción, y está fija a un resorte cuya constante es 49 N=m?.
Resp.: 0; 35 J:
48. Una masa de 1; 2 Kg, fija a un resorte, tiene movimiento armónico simple a lo largo
del eje x, y su período es = 2; 5 s. Si la energía total de resorte y masa es 2; 7 J,
¿cuál es la amplitud de la oscilación?. Resp.: 0; 85 m:
49. Un resorte con un pescado de 1 Kg en su extremo, se comprime 3 cm respecto al
equilibrio y se suelta. La constante del resorte es K = 2 N=m. Con la conservación
de la energía, calcular la rapidez máxima del pescado. Resp.: 4; 24 cm
:
s
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
50. Se tiene una masa m, moviéndose a lo largo del eje x, cuya energía potencial está
expresada por
1
U (x) = m! 2 x2
2
Demuestre que el movimiento de esta masa es armónico simple con frecuencia
angular !, empleando dE
= 0, donde E es la energía total, constante, del cuerpo.
dt
51. Una masa m fija al extremo de un resorte se suelta, partiendo del reposo, cuando
t = 0 s, desde una posición estirada xmax . La masa m = 0; 2 Kg, y la constante K = 1
N=m. Después de 0; 5 s, se mide la rapidez de la masa y resulta 1; 5 m=s. Calcule
xmax , la rapidez máxima del movimiento, y la energía total. Resp.: 0; 74 m; 1; 67 m=s y
0; 27 J:
52. Un péndulo simple de 1; 20 m de longitud se cuelga en un lugar donde g es 9; 82
m=s2 . ¿Cuál es el período del péndulo?. Resp.: 2; 20 s.
53. Un péndulo simple tiene una frecuencia de 0; 342 Hz. La longitud de su hilo es 2; 12
m. ¿Cuál es el valor local de g?. Resp.: 9; 78 sm2 .
54. El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero no cinta métrica.
Un péndulo con una masa puntual en su extremo cuelga del techo hasta el piso, y
tiene un período = 3 s. ¿Cuál es la altura del recinto?. Resp.: 2; 23 m.
55. La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longitud de un
péndulo de un reloj, cuyo período es de 2 s, varíe en una parte en 20; 000. ¿Qué
error en la medida del tiempo se presentará en 1 d{a?. Resp.: 2; 2 s.
56. Una masa en un resorte con frecuencia angular natural ! o = 38 rad=s, se coloca
en un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento proporcional a la
velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0; 82 veces su valor inicial en 9; 9
s, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?. Resp.: 37; 999995
rad=s.
57. Un oscilador armónico, con período natural o = 1; 5 s, se coloca en un ambiente
donde su movimiento se amortigua, con una resistencia proporcional a su velocidad. La amplitud de la oscilación baja a 50 % de su valor original en 9; 0 s. ¿Cuál es
el período del oscilador en el nuevo ambiente?. Resp.: 1; 503 s.
58. Se cuelga una masa de 10 Kg de un resorte que se estira 4 cm. El soporte del cual
cuelga el resorte se pone en movimiento senoidal. ¿A qué frecuencia esperaría
usted un comportamiento resonante?. Resp.: 2; 5 Hz.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
59. Demuestre que la resonancia en la amplitud se presenta en el movimiento armónico forzado cuando,
r
b2
! RA = ! 2o
2m2
La frecuencia de resonancia se presenta cuando la amplitud tiene un máximo
como función de la frecuencia.
60. Un resorte determinado tiene una constante de 3; 2 N=m, y una masa de 2; 2 Kg en
su extremo. Cuando este resorte se sumerge en un medio viscoso, el movimiento
resonante se presenta cuando la frecuencia angular es 1; 2 rad=s. ¿Cuáles son (a)
el parámetro de amortiguamiento debido al medio viscoso, (b) la vida media del
sistema, y (c) la agudeza del pico de resonancia?. Resp.: (a) 0; 38 N:s=m; (b) 5; 9 s;
(c) ! = 0; 34 rad=s; Q = 5; 4.
61. En 1; 0 min una partícula efectuó 300 oscilaciones. Determinar el período y la frecuencia de las oscilaciones. Resp.: 0; 2 s; 5; 0 Hz.
62. Una partícula oscila con la frecuencia y 10 KHz. Encontrar el período y la cantidad
de oscilaciones por minuto. Resp.: 1; 0:10 4 s; 6; 0:105 min.
63. Encontrar la posición de una partícula que realiza oscilaciones armónicas para
t1 = 0; t2 = =12; t3 = =4; t4 = =2. La fase inicial de las oscilaciones 'o = 0 y la
amplitud de oscilaciones es A. Use (3.6). Resp.: 0; A=2; A; 0.
64. ¿En cuánto tiempo una partícula, que realiza oscilaciones armónicas, pasa la
primera mitad de la amplitud y la segunda mitad de la misma?. Use (3.6). Resp.:
=12; =6.
65. Escribir las ecuaciones de las oscilaciones armónicas para los siguientes parámetros: (1) A = 10 cm, 'o = 4 rad, ! = 2 rad
; (2) A = 5; 0 cm, 'o = 2 rad, = 2; 0 s; (3) A = 4; 0
s
cm, 'o = rad, # = 2; 0 Hz. Use (3.6) Resp.: (1) x(t) = 10 cm Sen 2 t + 4 , (2) x(t) = 5; 0
cm Sen t + 2 , (3) x(t) = 4; 0 cm Sen (4 t + ).
66. Una partícula efectúa oscilaciones armónicas supeditándose a la ley
x = 2 cm Sen
4
t+
2
donde x viene expresado en cm y t en s. Determinar: (a) la amplitud de las oscilaciones A, (b) la fase inicial 'o y (c) el período de oscilaciones . Resp.: (a) 2 cm; (b)
rad; (c) 8; 0 s.
2
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
67. (a) Escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas para: A = 5; 0:10 2 m, 'o = 0,
= 0; 010 s. Determinar: (b) la frecuencia de las oscilaciones #, (c) la frecuencia
angular !, (d) la vmax y la amax y (e) la energía total de las oscilaciones armónicas
para un cuerpo con masa m = 0; 10 Kg. Use (3.6). Resp.: (a) x = 5; 0 cm Sen (200 t),
(b) 100 Hz, (c) 200 rad=s, (d) 10 m=s, 2; 0:103 2 m=s2 , (e) 5 2 J = 49 J.
68. Un cuerpo con masa de 0; 10 Kg efectúa oscilaciones armónicas según la ley,
x(t) = 10 cm Sen 314 t +
2
Encontrar: (a) la amplitud del desplazamiento A, (b) la fase inicial 'o , (c) la angular
! o , (d) la frecuencia de oscilaciones #, (e) el período de oscilaciones ; (f) vmax y
amax , y (g) la energía cinética máxima. Resp.: (a) 10; 0 cm, (b) 2 rad, (c) 314 rad=s, (d)
50 Hz, (e) 2:10 2 s, (f) 31; 4 m=s, 9; 86:103 m=s2 , (g) 49; 3 J.
69. Una partícula, que realiza oscilaciones armónicas con una frecuencia de 10 Hz,
pasa la posición de equilibrio a la velocidad de 6; 28 m=s. Encontrar (a) la posición
y la aceleración máximas y (b) escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas,
siendo la fase inicial nula. Use (3.6) .Resp.: (a) 10 cm, 394 m=s2 , (b) x(t) = 10 cm
Sen (62; 8t).
70. La velocidad de un cuerpo, que efectúa oscilaciones armónicas, varía según la
ley
cm
Sen (100t)
v (t) = 6; 0
s
(a) Escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas y encontrar (b) los valores
máximos de la velocidad y aceleración del cuerpo oscilatorio, (c) la energía de las
oscilaciones armónicas para un cuerpo, cuya masa es igual .a 2; 0:10 1 Kg. Resp.:
(a) x(t) = 6; 0:10 2 cm Cos (100t), (b) 6; 0 cm
; 6; 0:102 cm
, (c) 3; 6:10 4 J.
s
s2
71. La velocidad de una partícula varía supeditándose a la ley
v (t) = 20
cm
Cos 2 t
s
Determinar: (a) la aceleración máxima, (b) la posición de la partícula al cabo de
t = 5=12 s desde el comienzo de las oscilaciones y (c) el trayecto que recorrió la
partícula en este tiempo. Resp.: (a) 40 2 cm=s2 , (b) 5; 0 cm, (c) 15 cm.
72. Basándose en la ecuación
x (t) = 20 cm Sen ( t)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
encontrar: (a) La posición de la partícula al cabo de 1; 5 s contando desde el
inicio de las oscilaciones, (b) el trayecto que recorrió esta partícula durante ese
tiempo, (c) la fuerza recuperadora, que actúa en este instante sobre una partícula
oscilante, cuya masa es igual a 0; 20 Kg. Resp.: (a) 20 cm, (b) 60 cm, (c) 39; 4:102 N .
73. Ateniéndose a los datos del problema anterior, encontrar: (a) la posición, (b) la
aceleración, (c) la fuerza recuperadora y (d) la energía potencial al cabo de 1=6 s
contando desde el instante en que surgieron las oscilaciones. Resp.: (a) 10 cm, (b)
10 2 cm=s2 , (c) 2; 0:10 2 N , (d) 1:10 3 2 J.
74. En un soporte horizontal, que efectúa oscilaciones armónicas en dirección vertical,
yace una partícula. ¿Qué aceleración máxima puede tener el soporte para que la
partícula aún no se desprenda de él? ¿Cuál será la amplitud de las oscilaciones en
este caso, si el período de las mismas es de 0; 50 s?. Resp.: g.
75. Una tabla horizontal realiza oscilaciones armónicas en dirección horizontal con un
período de 2; 0 s. ¿Cuál deberá ser la amplitud de las oscilaciones de la tabla para
que un cuerpo que yace en ella comience a deslizarse?. El coeficiente de fricción
2
estático s es de 0; 20. Resp.: A kg
t 0; 2 m.
4 2
76. Un cilindro, cuya masa es igual a m y el área de la base S, flota en un líquido de
densidad . Primero lo sumergieron un poco más y luego lo soltaron. Encontrar el
período de las oscilaciones
arrnónicas del cilindro. Menospréciese la resistencia del
q
m
medio. Resp.: = 2
.
gS
77. Un tubo en forma de U contiene un líquido con masa m. El líquido puesto fuera
del estado de equilibrio, realiza un movimiento oscilatorio. La densidad del líquido
es y el área de la sección transversal de cada rama
q del tubo es S. Determinar el
m
período de las oscilaciones del líquido. Resp.: = 2
.
2 gS
78. Adoptando los datos del problema anterior, encontrar el período de oscilaciones
del líquido, si las áreas de la sección transversal
de las ramas det tubo son iguales a
q
m
.
S1 , y S2 , respectivamente. Resp.: = 2
g(S1 +S2 )
79. Un cuerpo con masa de 0; 10 Kg, suspendido en un muelle, efectúa oscilaciones
verticales con una amplitud de 4; 0 cm. Encontrar: (a) El período de las oscilaciones
armónicas del cuerpo, si para alargar elásticamente el muelle en 1; 0 cm se necesita
una fuerza de 0; 10 N , (b) la energía total de las oscilaciones armónicas del péndulo.
Menospréciese la masa del muelle. Resp.: (a) 0; 63 s, (b) 8; 0:10 3 J.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
80. Una partícula con masa m, yacente sobre una superficie horizontal lisa inmóvil, es
arrastrada con una fuerza F = mg mediante un muelle de constante k y luego la
sueltan, (a) escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas de la partícula, (b)
determinar la energía de las oscilaciones, (c) ¿Cómo variará el período de oscilaciones de la partícula, si este sistema se traslada
q a la Luna?. 2Menospréciese la masa
mg
k
del muelle. Use (3.6). Resp.: (a) x (t) = k Sen
t , (b) (mg)
, (c) no variará.
m
2k
81. Una partícula con masa de 0; 20 Kg, suspendida en un muelle, efectúa 30 oscilaciones por minuto con una amplitud de 0; 10 m. Encontrar: La constante de elasticidad del muelle y la energía cinética de la partícula al cabo de 1=6 de período,
contando desde instante en que pasó la posición de equilibrio. Use (3.6). Resp.: 2
N=m; 2; 5:10 3 J.
82. Una partícula con masa m se cuelga a dos muelles imponderables, cuyas constantes son k1 y k2 respectivamente. Determinar el período de las oscilaciones armónicas de la partícula al unir los muelles (a) en serie y (b) en paralelo, si la partícula
está
en el centro entre ellos en una barra imponderable. Resp.: (a)
q suspendida q
k1 +k2
2
2
.
m k1 k2 , (b) 2
m k4k1 +k
1 k2
83. Un péndulo matemático (simple) con longitud de 99; 5 cm realiza 30 oscilaciones
completas por minuto. Encontrar el período de oscilación del péndulo y la aceleración de la caída libre en el lugar en que se encuentra el péndulo. Resp.: 2; 0 s;
9; 82 m=s2 .
84. Encontrar el período de las oscilaciones armónicas de un péndulo simple, cuya
longitud es igual a 1; 0 m, si la aceleración de la caída libre es de 9; 81 m=s2 . ¿En
cuántas veces y de qué manera será necesario modificar la longitud del péndulo,
para que el período de oscilaciones aumente el doble?. Resp.: 2; 05 s; aumentarla
cuatro veces.
85. Determinar la longitud de un péndulo simple que efectúa una oscilación completa durante 2 s, si la aceleración de la caída libre es de 9; 81 m=s2 . ¿En cuántas
veces será necesario cambiar la longitud del péndulo para que la frecuencia de
sus oscilaciones aumente el doble?. Resp.: 99; 4 cm; disminuirla cuatro veces.
86. ¿Qué relación existirá entre las longitudes de dos péndulos simples, si en un mismo
tiempo el primer péndulo realizó 10 oscilaciones, mientras que el segundo, 20 oscilaciones?. Resp.: ``21 = 41 .
87. ¿En cuántas veces se diferencia el período de oscilaciones de un péndulo matemático
en la Luna del período de oscilaciones del mismo péndulo en la Tierra? (gL t g6T ).
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Resp.:
L
= 2; 45
T.
88. Dos péndulos simples están colgados en el techo. En el transcurso de un mismo
tiempo un péndulo realizó 5 oscilaciones y el otro 3 oscilaciones. ¿Qué longitud
tiene cada péndulo, si la diferencia de sus longitudes es igual a 48 cm?. Resp.: 0; 27
m; 0; 75 m.
89. Dos péndulos matemáticos con longitudes de 0; 996 y 0; 294 m empiezan oscilar al
mismo tiempo en fases iguales. ¿Dentro de cuánto tiempo mínimo las fases de sus
oscilaciones de nuevo coincidirán y con qué frecuencia esto se repetirá?. Adóptese
g t 9; 81 m=s2 . Resp.: 2; 0 s; las fases coincidirán dentro de cada dos oscilaciones del
segundo péndulo o una oscilaci;on del primero.
90. Dos bolitas están suspendidas en hilos inextensibles de una misma longitud. Una de
ellas se eleva hasta el punto de suspensión, la segunda, estando el hilo estirado, se
desvía en un pequeño ángulo respecto a la vertical de manera que sus oscilaciones
pueden considerarse armónicas. Las bolitas se sueltan simultáneamente. ¿Cuál de
ellas alcanzará antes la posición de equilibrio?. Resp.: La bolita que cae libremente
del punto de suspención, llegará antes a su punto de equilibrio.
91. ¿Cuánto tiempo necesitará para realizar una oscilacion completa el péndulo simple representado en la figura 3.18, si el punto de la inflexión del hilo B se encuentra
en
qla misma vertical que el punto de suspensión C distando de `=2 de éste?. Resp.:
`
1 + p12 .
g
Figura (3.18): Problema 91: Péndulo simple con punto de inflexión.
92. ¿En cuántas veces y de qué manera diferirá el período de oscilaciones armónicas
de un péndulo matemático en un planeta, cuyos masa y radio superan 4 veces
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
estos parámetros de la Tierra, del período de oscilaciones de semejante péndulo
en la Tierra?. Se sabe que
Gmp
gp =
Rp2
2
donde G = 6; 67:10 11 NKgm2 es la constante de gravitación universal, gp es la aceleración de gravedad en el planeta estudiado y Rp su radio. El radio de la Tierra es
RT t 6; 4:103 Km. Resp.: PT = 2.
93. ¿En cuánto se retrasará un reloj con péndulo durante un día entero, si lo trasladamos
desde el polo al ecuador?. Considérese que en el polo q
el reloj funcionaba correctagp
2
2
1 , donde t1 = 8; 64:104
mente. (gp t 9; 832 m=s , ge t 9; 78 m=s ). Resp.: t = t1
ge
s; el reloj se retrasará cada día entero en 3 min 49 s.
94. Un reloj con péndulo marcha correctamente a nivel del mar. ¿En cuánto se retrasará dicho reloj durante un día entero, si lo elevamos a la altura h = 4; 0 Km?. El
radio de la Tierra es RT t 6; 4:103 Km. Resp.: t = RthT t 54 s.
95. El punto de suspensión de un péndulo matemático con longitud ` se desplaza
por la vertical con una aceleración a. Determinar el período de oscilaciones del
péndulo cuando el punto de suspensión
seqmueve siendo su aceleración a < g:
q
`
`
hacia arriba; hacia abajo. Resp.: 2
,2
.
g+a
g a
96. El período de oscilaciones de un péndulo simple en un cohete, que asciende verticalmente, es dos veces inferior a dicho período en la Tierra. Considerando que la
aceleración de la caída libre es constante e igual a g, determinar la aceleración
del cohete. Resp.: 3g.
97. Determinar el período de oscilaciones de un péndulo simple en una nave espacial
después de desconectar los motores. Examinar el carácter del movimiento de péndulo después de desconectar los motores si: (1) en el instante en que esto ocurrió
el péndulo se encontraba
q en la posición extrema; (2) el péndulo se encontraba en
`
movimiento. Resp.: 2
. En el instante en que se desconectan los motores surge
g+a
la ingravidez, la fuerza recuperadora se anula, no habrá oscilaciones; (1) el péndulo
permanecerá en la posición extrema; (2) si las condiciones de fijación del péndulo
lo permiten, éste realizará el movimiento describiendo una circunferencia.
98. El punto de suspensión de un péndulo matemático se mueve horizontal y rectilíneamente con la aceleración a. ¿En cuántas veces diferirá el período de oscilaciones
armónicas 1 , en caso de este movimiento acelerado del período de oscilaciones
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
del mismo péndulo cuando su punto de suspensión permanece inmóvil o bien
q
realiza un movimiento rectilíneo y uniforme?. Resp.: En ambos casos 1 p 2g 2 .
g +a
99. El punto de suspensión de un péndulo simple se mueve en el plano vertical con
aceleración constante a, dirigida formando el ángulo respecto a la vertical. Encontrar el período de las oscilaciones armónicas del péndulo, cuya longitud es `. La
q
`
p
aceleración de la caída libre es g. Resp.: 2
.
2
2
g +a
2ag Cos
100. Un péndulo matemático, suspendido en el vagón de un tren que se mueve por
una curvatura de radio R a velocidad constante, oscila con un período n veces
inferior que el correspondiente al movimiento rectilíneo uniforme del tren a la misma
velocidad. Encontrar la velocidad de movimiento del tren. La aceleración de la
p
caída libre es g. Resp.: v = 4 (n4 1) g 2 R2 .
101. Una nave espacial se mueve lejos de los cuerpos celestes. Basándose en el
período de oscilaciones de un péndulo simple con longitud `, suspendido en la
cabina de la nave, encontrar la aceleración que a la nave le comunican los motores en funcionamiento. Resp.: a = 4 2` .
102. Un péndulo simple, que es en sí una bolita pesada de masa m suspendida en un
hilo de longitud `, realiza oscilaciones armónicas, desviándose en un pequeño ángulo respecto a la vertical. Encontrar: (a) la energía de las oscilaciones armónicas
del péndulo, (b) su velocidad máxima. La aceleración de la caída libre es g. Resp.:
p
(a) 21 mg` 2 , (b) vmax =
g`, donde es el ángulo en radianes.
103. Un péndulo matemático de masa m, que realiza oscilaciones armónicas con amplitud A, pcsee la energía E. Encontrar: (a) La frecuencia de las oscilaciones del
péndulo, (b) la longitud del hilo, (c) ¿cambiará la energía de las oscilaciones armónicas, si aumentamos al doble la amplitud de q
las mismas, reduciendo al mismo
2
1
E
tiempo la frecuencia a la mitad?. Resp.: (a) # =
, (b) ` = mgA
, (c) No.
2m
2E
104. Un péndulo simple, desviado en un hilo tensado a un pequeño ángulo respecto
a la vertical, pasa la posición de equilibrio a la velocidad v. Considerando que
las oscilaciones son armónicas, determinar el período de las oscilaciones. Resp.:
p 2 v
t 2 gv .
g
2(1 Cos )
105. Una varilla de 1 m de largo está suspendida de uno de sus extremos de tal manera
que constituye un péndulo compuesto. Encontrar el período y la longitud del péndulo simple equivalente. Encontrar el período de oscilación si la varilla se cuelga
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
de un eje situado a una distancia de uno de sus extremos igual a la longitud del
péndulo equivalente previamente encontrada. Resp.: 1; 64 s; 32 m; 1; 64 s.
106. Un disco sólido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h
de su centro. (a) Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente. (b) Encontrar
la posición del eje para el cual el período es un mínimo. (c) Representar el período
en función de h. Resp.:
107. Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por
un extremo. Un cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre la varilla a
una distancia h del eje. (a) Obtener el período del sistema en función de h y de L.
(b) ¿Hay algún valor de h para el cual el período es el mismo como si no hubiera
h 2 1 2 i 21
h +3L
; (b) No.
masa?. Resp.: (a) 4 g(2h+L)
108. Un cubo sólido, de lado a, puede oscilar alrededor de un eje horizontal coincidente con un borde. Encontrar su período. Resp.:
109. Demostrar que si el péndulo compuesto oscila alrededor de O (Fig. 3.6) en lugar de O, su período es el mismo y la longitud del péndulo simple equivalente permanece inalterable.
110. Una particula realiza un movimiento armónico lineal respecto a x = 0 con una
frecuencia de 0; 25 s 1 . Si la elongación inicial es 0; 37 cm y la velocidad inicial es
nula, calcular: (a) El período, la frecuencia angular y la amplitud, (b) la velocidad
máxima y la aceleración máxima, (c) la elongación, la velocidad y la aceleración
en el instante t = 3 s. Resp.: (a) = 4 s; ! = =2 rad=s; A = 3; 7:10 3 m; (b) vmax =
5; 81:10 3 m=s; amax = 9; 13:10 3 m=s2 ; (c) x = 0; # = 5; 81:10 3 m=s2 ; a = 0.
111. Un partícula de 25 g de masa es atraida hacia un punto fijo O por una fuerza proporcional a la distancia que los separa. La particula realiza un movimiento rectilíneo.
Calcular el período del movimiento y las energías cinética y potencial cuando la
partícula dista de O la mitad de la amplitud del movimiento, sabiendo que A = 1cm
y que k = 0; 1 N=m. Resp.: = s; K = 3; 75:10 6 J; U = 1; 25:10 6 J.
112. Un oscilador armónico lleva una velocidad de 2 cm=s cuando su elongación es 6
cm y 1; 5 cm=s cuando su elongación es 8 cm. Calcular: amplitud, período, velocidad
máxima y aceleración máxima. Resp.: A = 0; 1 m;
= 8 s; vmax = 0; 025 m=s;
3
2
amax = 6; 25:10 m=s .
113. Un cuerpo de masa m gira, unido a un resorte de masa despreciable y constante
recuperadora k, con velocidad angular ! en un plano horizontal sin rozamiento,
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
siendo ` la longitud del resorte sin estirar. (a) ¿Cuál es el radio de la trayectoria
circular descrita? y (b) ¿cuánto vale la energía total del sistema?. Resp.: (a) k k`
;
m! 2
1
2 2 k+m! 2
(b) 2 km! ` (k m!2 )2 .
114. Cuando la plomada de un péndulo cónico describe una trayectoria circular, el
hilo de longitud barre un cono de semiángulo
q (Figura 3.19). Determinar el período
`
Cos .
del movimiento de la plomada. Resp.: = 2
g
Figura (3.19): Problema 114: Péndulo cónico.
115. Un resorte vertical, de masa despreciable, cuelga de un soporte y lleva en su
extremo inferior una masa de 5 g. Se le aplica a la masa una fuerza vertical de
0; 5 N , con lo que el muelle se alarga 4 cm, y se suelta. Calcular la frecuencia y la
energía total del movimiento que se produce. Resp.: # = 7; 96 Hz; E = 0; 01 J.
116. El péndulo de un reloj de pared esta formado por una varilla de 1 m de longitud y
masa m, en cuyo extremo hay soldado un disco macizo homogéneo de masa 3 m.
Calcúlese el valor del radio del disco para que el péndulo funcione con un período
igual a 2 s. DATOS: g = 2 m=s2 ); Icmvarilla = m`2 =12; Icmdisco = mR2 =2. Resp.: 5; 16 cm.
117. Se tiene una barra homogénea delgada de 26 cm de longitud que cuelga del
punto O mediante dos hilos inextensibles y sin masa de 26 cm atados a sus extremos
(Figura 3.20). Si hacemos oscilar la barra con una pequeña amplitud alrededor de
un eje perpendicular al papel que pase por O, calcular el período de las oscilaciones. DATO: Icmbarra = m`2 =1, donde es la longitud de la barra. Resp.: 1; 004 s.
118. De un resorte está colgado un platillo de una balanza con pesas. El período de
las oscilaciones verticales es igual a 0; 5 s. Después de añadir más pesas al platillo,
el período de las oscilaciones verticales se hizo igual a 0; 6 s. ¿Qué alargamiento
provocaron en el muelle las pesas añadidas? (tome g = 10 m=s2 ). Resp.: 2; 786 cm.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.20): Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto mediante dos hilos
inextensibles y sin masa atados a sus extremos.
119. Dos resortes, cada uno de 0; 2 m de longitud natural y de constantes recuperadoras k1 = 1 N=m y k2 = 3 N=m, están enganchados por uno de sus extremos a un
bloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Los
otros dos extremos se unen a dos postes fijos situados a 0; 1 m de los mismos, según
se indica en la Figura 3.21. Determinar: (a) La posición de equilibrio del bloque
cuando se hayan sujetado los resortes a los postes, (b) la constante recuperadora
del conjunto, (c) el período de la oscilación que se produce cuando separamos el
bloque ligeramente de la posición de equilibrio y lo soltamos. Resp.: (a) a 0; 25 m
del poste derecho; (b) 4 N=m; (c) 0; 99 s.
Figura (3.21): Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos a un bloque que
puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal.
120. Un bloque de 50 g de masa se sujeta al extremo libre de un resorte ideal de 40 N=m
de constante elástica. El bloque, que puede deslizarse sobre una superficie horizontal sin fricción, se pone en movimiento proporcionándole una energía potencial
inicial de 2 J y una energía cinética inicial de 1; 5 J. (a) Determinar la amplitud de
la oscilación, (b) ¿cuál es la velocidad del bloque cuando pasa por la posición de
equilibrio?, (c) ¿cuál será el desplazamiento del bloque cuando la energía cinética
y potencial coincidan?, (d) si el desplazamiento inicial fue positivo y la velocidad
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
inicial negativa, obtener la fase inicial del movimiento y (e) escribir la ecuación del
movimiento , con las condicionantes del apartado anterior. Resp.:(a) 41; 83 cm; (b)
p
11; 83 m=s; (c) 29; 58 cm; (d) 2; 28 rad; (e) x = 0; 4183m Sen 20 2t + 2; 28 .
121. Una varilla metálica delgada y uniforme de longitud ` y de masa m pivota sin
rozamiento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular a
la varilla. Un resorte horizontal de constante elástica k se une al extremo inferior
de la varilla por un lado y a un soporte fijo rígido por el otro (Figura 3.22), de tal
forma que cuando la varilla está en posición vertical el resorte tiene su longitud
natural. Si la varilla se separa un pequeno ángulo de la vertical y se suelta, (a)
demostrar que se mueve con un movimiento armónico simple [es decir, que su
ecuación de movimiento es
qanáloga a (3.3)] y (b) calcular su período. Resp.: (a)
3g
d2
2m`
3k
=
+ m ; (b) = 2
.
dt2
2`
3mg+6k`
Figura (3.22): Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin rozamiento sobre un eje
que pasa por su extremo superior y es perpendicular a la varilla y que esta unida a un resorte.
122. Un cuerpo de 2 Kg de masa oscila unido a un muelle de constante elástica k = 400
N=m. La constante de amortiguamiento es b = 2 Kg=s. El cuerpo es impulsado por
una fuerza senoidal de 10 N de valor máximo y 10 rad=s de frecuencia angular.
Calcular: (a) La amplitud de las oscilaciones, (b) la amplitud de las vibraciones
cuando el sistema se haya en resonancia de amplitud. Resp.: (a) 0; 04975 m; (b)
0; 3538 m.
123. Un oscilador tiene una masa de 0; 05 Kg y un período de 2 s. La amplitud disminuye
en un 5% en cada ciclo. Calcular: (a) El valor de la constante de amortiguamiento
y (b) el porcentaje de energía del oscilador disipada en cada ciclo. Resp.: (a)
b = 2; 565:10 3 Kg=s; (b) 9; 75% de la inicial.
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
124. Un cuerpo de 0; 5 Kg de masa oscila unido a un resorte de constante elástica k =
300 N=m. Durante los primeros 10 s pierde una energía de 0; 5 J debido al rozamiento.
Si la amplitud inicial era de 15 cm, calcular: (a) El tiempo que ha de transcurrir desde
el inicio del movimiento para que la energía se reduzca a 0; 1 J, y (b) la “ frecuencia
angular ” de la oscilación. Resp.: (a) 219; 5 s; (b) 24; 5 rad=s.
125. Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que su
posición viene dada por,
x(t) = 5m e
t
5
t+
3
6
Sen
donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) La frecuencia angular, la
constante de fase y ; (b) la amplitud al cabo de 0; 5 s; (c) la velocidad y acel, rad, rad
; (b) 1; 04 m; (c) 1; 3 ms ; 4; 3 sm2 .
eración en t = 1 s. Resp.: (a) 53 rad
s 6
s
126. Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que su
posición viene dada por,
x(t) = 17cm e 2 t Sen
t
6
donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) la constante de fase y ;
(b) el período; (c) la amplitud al cabo de 2 s; (d) la velocidad y aceleración en t = 3
s. Resp.: (a) 0 rad, 2 rad
; (b) 12 s; (c) 0; 73 cm; (d) 0; 24 cm
; 0; 33 cm
.
s
s
s2
127. ¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo de 5 Kg que
está unido a un resorte de constante k = 5 N=m y que oscila a lo largo del eje x en
un medio viscoso cuya constante de amortiguamiento es 5 Kg=s, sabiendo que el
movimiento se inició cuando el cuerpo se encontraba a 0; 5 m del punto en el cual
p
1
el resorte estaba en su posición relajada. Resp.: x(t) = 0; 5m e 2 t Sen 23 t .
128. Un resorte se estira 20 cm cuando se le cuelga una masa de 30 Kg (puesto en
posición vertical). Si a este resorte se le une un cuerpo de 25 Kg de tal manera
que el sistema se mueva a lo largo del eje x en un medio cuya constante de amortiguamiento es de 30 Kg=s y si la amplitud inicial es de 55 cm, encuentre (a) la posición del cuerpo en función del tiempo, (b) la posición del cuerpo al cabo de 1; 5 s.
3
Resp.: (a) x(t) = 55 cm e 5 t Sen (17; 1t), (b) 11 cm.
129. Un cuerpo oscila con movimiento amortiguado a lo largo del eje x. Su desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
x (t) = 4; 00 m e
t
Sen (5t)
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CAPITULO 3. OSCILACIONES
donde t está en segundos y x en metros. Determine: (a) La frecuencia y el período
del movimiento, (b) la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1; 00 s.
Resp.: (a) 0; 80 Hz; 1; 25 s; (b) 1; 41 m; 3; 50 ms ; 29; 7 sm2 .
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CAPITULO 4
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Contenido
4.1
Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.2
Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.2.1
Según el medio en que se propaguen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
4.2.2
Según el número de dimensiones que involucran . . . . . . . . . . . . . .
198
4.2.3
Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación . . . .
199
4.2.4
De acuerdo a las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
4.2.5
Períodicas y no periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.3
Pulso, tren de ondas, frente de onda y rayo
4.4
Descripción de la propagación de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.5
Ecuación de onda y principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . 204
4.6
Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7
Fase, constante de fase y velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.8
4.9
. . . . . . . . . . . . . . . 200
4.7.1
Fase y constante de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
4.7.2
velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
Velocidad de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.8.1
Ondas transversales en una cuerda tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
4.8.2
Ondas logitudinales en una barra elástica . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
4.8.3
Ondas longitudinales en un ‡uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
Energía y potencia para una onda armónica en una cuerda . . . . . . 232
195
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.10 Intensidad de una onda tridimensional
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.11 Ondas longitudinales armónicas de sonido
. . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.12 Interacción de las ondas con las barreras . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.12.1 Re‡exión y transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
4.12.2 Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
4.13 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.13.1 Interferencia constructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
4.13.2 Interferencia destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
4.14 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.14.1 En una cuerda …ja en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261
4.14.2 En una cuerda …ja en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
4.14.3 En tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
4.15 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.15.1 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sentido . .
284
4.15.2 La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y sentidos
opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
4.16 Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.17 El sonido
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.17.1 La naturaleza del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
4.17.2 El sonido y su propagación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
4.17.3 Sonido físico y sensación sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
4.17.4 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
295
4.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4.1
Ondas
En el capítulo de oscilaciones la protagonista era una partícula, la cual ocupaba
una posición de equilibrio estable. Un agente externo le cedía energía y bajo la acción de una fuerza recuperadora vibraba haciendo continuamente cambios entre su
energía cinética y su energía potencial.
Consideremos ahora un conjunto de partículas las cuales ocupan todas posiciones
de equilibrio estables pero a su vez ellas de alguna forma están “comunicadas”, y
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
como consecuencia si una de ellas se hace oscilar las partículas contiguas reciben de
“ella idéntica orden”. Obviamente las contiguas comienzan a oscilar con algún desfase frente a la partícula que “ordena”, ya que el mensaje se demora algún intervalo
de tiempo en viajar. A su vez estas partículas envían el mensaje a las vecinas y así
sucesivamente todo el sistema de partículas entra a oscilar. En este modo de propagación cada partícula solo vibra alrededor de su posición de equilibrio mas no sufre
un desplazamiento neto (cuando dejen de oscilar quedan nuevamente en su posición
de equilibrio). Mas sin embargo se propaga energía de un oscilador a otro : En definitiva hay propagación de energía y no de materia . A este modo de propagación se
le denomina movimiento ondulatorio (onda).
Se denomina onda al proceso mediante el cual una perturbación (o pulso)
se propaga con velocidad finita de un punto (emisor o fuente) al otro del espacio (receptor) sin que se produzca transporte neto de materia, sólo se transporta
energía y cantidad de movimiento.
Un pulso es cada una de las perturbaciones individuales que se propagan
por cada oscilación generada por el agente externo. A una colección de pulsos lo denominaremos tren de ondas.
En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplazamiento periódico, u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio. Puede ser
una oscilación de moléculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del
mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículas
oscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua.
Un ejemplo podría ser el sistema ilustrado en la figura 4.1. Se trata de un conjunto de
péndulos acoplados mediante débiles resortes. Supongamos que el primer péndulo se
le hace oscilar y se mantiene su oscilación mediante la acción de un agente externo.
La vibración de este se comunica al siguiente a través del resorte (se podría hacer el
experimento sin el acople de los resortes y la vibración se comunicaría a través de la
barra donde cuelgan, pero de una manera poco eficaz), y así sucesivamente comenzaría todos los péndulo a oscilar. Las masas pendulares no se mueven en conjunto
según la dirección en que se propaga el “mensaje”. Ellas solo oscilan alrededor de
sus posiciones de equilibrio. Concluimos que la energía que suministra nuestro agente
externo al sistema se propaga a través de este sin desplazamiento neto de las masas
pendulares.
Esto mismo sucede cuando dejamos caer una piedra en un estanque con agua
como se muestra en la figura 4.2, o cuando hacemos oscilar una cuerda, o cuando
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.1): Ejemplo de la propagación de una perturbación.
el sonido se propaga en el aire, o cuando hacemos oscilar a un slinky. En todos estos
ejemplos las partículas del sistema están comunicadas a través de las interacciones
eléctricas que hacen el papel de “resortes microscópicos”. Además en todos estos
ejemplos hay algo en común: la energía se propaga a través de la vibración de la
materia. Como veremos un poco más adelante hay otro tipo de ondas que se propagan a través de la vibración de campos eléctricos y magnéticos y no a través de la
vibración de la materia. Ejemplos de estas últimas son las ondas de radio, las ondas de
televisión y la luz.
4.2
Tipos de ondas
La diversidad de los fenómenos ondulatorios hace que establecer una clasificación
de las ondas resulte complejo. Pueden clasificarse según la manera de originarse, o
según el medio en que se propagan, o también, por ejemplo, por la relación existente entre la dirección del movimiento de las partículas del medio y la dirección de
propagación de la energía.
4.2.1 Según el medio en que se propaguen
1. Ondas mecánicas: Las ondas mecánicas necesitan de un medio material para
poderse propagar. En estas la energía se propaga a través de la vibración de la
materia, aprovechando la elasticidad de esta. En ella hay conversión de energía
cinética en potencial y viceversa, lo que permite la propagación. En un medio
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
elástico, una deformación produce tensiones elásticas que afectan a las regiones
contiguas y también en ellas provoca perturbaciones. Como consecuencia de
la inercia del medio material, esta perturbación prosigue con una velocidad finita
tanto más lenta, cuanto mayor es la densidad. Por otra parte, la velocidad de
propagación es tanto mayor cuanto más grande es la tensión que produce una
determinada deformación, es decir cuanto mayor sea el módulo de elasticidad del
medio. Son ejemplos de este tipo de ondas: las ondas en una cuerda, la vibración
de un edificio, las ondas en el agua, las ondas sísmicas, las ondas en un resorte, y
un ejemplo por excelencia son las ondas sonoras (el sonido). El sonido es vibración
de materia por lo que no se puede propagar en el vacío.
2. Ondas electromagnéticas: Las ondas electromagnéticas en cambio no necesitan
de un medio material para propagarse. En estas la energía se propaga a través
de la vibración de los campos eléctricos y magnéticos. Aquí la conversión de energía eléctrica en magnética y viceversa debido a la inducción mutua entre ambos
campos, permite la propagación. La velocidad con que se propaga la onda electromagnética dependerá de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio.
Son ejemplos , las ondas de radio y televisión, las microondas, los rayos x , y un ejemplo por excelencia es la luz. La luz es vibración de campos eléctricos y magnéticos
por lo que se puede propagar en el vacío.
4.2.2 Según el número de dimensiones que involucran
Figura (4.2): Ondas superficiales que se forman al arrojar una piedra en un estanque tranquilo.
Las ondas pueden también clasificarse como unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, de acuerdo con el número de dimensiones en que se propague
la energía. Por ejemplo, las ondas que se mueven a lo largo de una cuerda o de un
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
resorte [ver figuras 4.3(a) y (b)] son unidimensionales. Las ondas superficiales o rizos de
agua que se forman al arrojar una piedra a un estanque tranquilo (ver figura 4.2), son
bidimensionales. Las ondas de sonido y de luz que viajen radialmente partiendo de
una pequeña fuente son tridimensionales.
4.2.3 Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación
1. Transversales: Son aquellas ondas en las cuales la oscilación es perpendicular a
la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo: en una cuerda tensa [ver
figura 4.3(a)] la onda se propaga de izquierda a derecha (en caso particular) pero,
en cambio, la oscilación de un punto concreto de la cuerda se produce de arriba
hacia abajo, es decir, perpendicularmente a la propagación.
Figura (4.3): Una onda (a) longitudinal y (b) onda transversal.
2. Longitudinales: En este tipo de propagación es paralela a la oscilación. Por ejemplo: si apretamos un resorte [ver figura 4.3(b)] , las espiras oscilan de izquierda
a derecha (como caso particular), paralelas en cualquier caso a la dirección de
propagación.
Ciertas ondas no son ni puramente longitudinales ni puramente transversales. Por
ejemplo, en las ondas que vemos sobre la superficie del agua las partículas de ésta
se mueven tanto de arriba abajo como en vaivén, trazando trayectorias elípticas al
moverse.
4.2.4 De acuerdo a las fronteras
En este caso las ondas se clasifican en viajeras y estacionarias.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
1. Ondas viajeras: En las ondas viajeras el medio a través del cual se propaga la energía se considera sin fronteras.
2. Ondas estacionarias: En las estacionarias el medio está ligado, tiene fronteras : por
ejemplo una cuerda atada en sus extremos.
4.2.5 Períodicas y no periódicas
Atendiendo a la periodicidad de la perturbación local que las origina, las ondas se
clasifican en: Periódicas y no períódicas.
1. Periódicas: Corresponden a la propagación de perturbaciones de características
periódicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas de
alguna propiedad. Así, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibrador
se propagará una onda periódica.
2. No periódicas: La perturbación que las origina se da aisladamente y en el caso
de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las
ondas aisladas, como en el caso de las fichas de dominó, se denominan también
pulsos como ya habíamos visto antes.
4.3
Pulso, tren de ondas, frente de onda y rayo
Podemos producir una pulsación (un pulso) que viaje por una cuerda estirada
aplicándole un solo movimiento lateral en su extremo como lo muestra la figura 4.4(a).
Cada partícula permanece en reposo hasta que la pulsación llega hasta ella, luego
se mueve durante un tiempo corto y luego permanece nuevamente en reposo.
Se denomina pulso a una perturbación aislada, no periódica, que tiene
lugar en un movimiento ondulatorio de algún tipo
Si continuamos moviendo el extremo de la cuerda en vaiven como lo muestra la
figura 4.4(b), produciremos un tren de ondas que viajará a lo largo de la cuerda. Si
nuestro movimiento es periódico, produciremos un tren de ondas periódico, donde
cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico. El caso especial más
sencillo de una onda periódica es una onda armónica, donde cada partícula experimenta un movimiento armónico simple.
Imaginemos una piedra lanzada a un lago tranquilo. Los rizos circulares se esparcen
hacia afuera desde el punto en que la piedra entró al agua como muestra la figura
4.5(c). A lo largo de un rizo circular dado, todos los puntos están en el mismo estado de
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.4): (a) Pulso y (b) tren de ondas.
movimiento. Esos puntos definen una superficie llamada frente de onda. Si el medio es
de densidad uniforme, la dirección del movimiento de las ondas está en ángulo recto
al frente de la onda. Una línea normal a los frentes de onda, que indique la direccion
del movimiento de las ondas, se llama rayo.
Los frentes de onda pueden tener muchas formas. Una fuente central en la superficie del agua produce ondas bidimensionales con frentes de onda circulares y rayos
que salen hacia afuera a partir del punto de la perturbación como en la figura 4.5(c).
En cambio, un palo muy largo arrojado horizontalmente al agua produciria (cerca de
su centro) perturbaciones que viajan como lineas rectas, y cuyos rayos serían líneas
paralelas. La analogía tridimensional, en la cual las perturbaciones viajan en una sola
direccion, es la onda plana. En un instante dado, las condiciones son las mismas en
todas partes de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagacion. Los
frentes de onda son planos, y los rayos son líneas rectas paralelas como lo muestra la
figura 4.5(a). La analogía tridimensional de las ondas circulares son las ondas esféricas. Aquí, la perturbación se propaga hacia afuera en todas direcciones desde una
fuente puntual de ondas. Los frentes de onda son esferas, y los rayos son líneas radiales que salen de la fuente puntual en todas direcciones como lo muestra la figura
4.5(d). Lejos de esta fuente los frentes de onda esféricos tienen una curvatura muy pequeña, y dentro de una región limitada pueden considerarse a menudo como planos.
Por supuesto, existen otras muchas formas de frentes de onda posibles, entre ellas las
cilídricas como lo muestra la figura 4.5(b).
4.4
Descripción de la propagación de una onda
Supongamos que tenemos una cuerda en la cual hacemos propagar un pulso.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.5): (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente de onda circular y (d)
frente de onda esférico.
La representación matemática de la perturbación, , debe ser una función de la
posición y el tiempo, = f (x; t). La forma de la perturbación se obtendrá mediante
una "fotografía" o instantánea de la perturbación. Así, la forma en t = 0, será (x; t)t=0 =
f (x; 0) = f (x). Generalmente, su forma variará al moverse.
Consideremos la posibilidad más simple; que la perturbación se propague, sin variar
su forma, mientras avanza a velocidad constante, v, hacia la derecha. En la figura
4.6a se muestra un pulso en una cuerda en el instante t = 0 en un sistema S inercial
(es decir, un sistema que puede estar en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme
con respecto a otro lo cual, como sabemos, no modifica la física del fenómeno). La
forma de la cuerda en este instante puede representarse por una función (x; t)t=0 =
f (x; 0) = f (x). Establezcamos un nuevo sistema S0 tal que tal que x = x0 = 0, en
t = t0 = 0, que viaje junto con el pulso a velocidad constante v (es decir S0 es comóvil
con el pulso), por lo tanto, un cierto tiempo después (ver figura 4.6b), el pulso se ha
desplazado por la cuerda, pero permanece estacionario en este nuevo sistema y tiene
la misma forma que tenía en S para t = 0 (ya que por hipótesis la forma del pulso no
varía), para cualquier valor de t en S0, por tanto 0 = f (x0). Las coordenadas de los
dos sistemas de referencia estarán relacionadas por,
(4.1)
x = x0 + vt
y por lo tanto,
0 = f (x0) = f (x
vt)
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(4.2)
Pág.: 203
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.6): Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia la derecha.
Obsérvese que si la descripción correspondiera a una onda propagándose en el
sentido negativo de las x la ecuación vendría dada por,
Figura (4.7): Ilustración de un pulso del tipo f (x
mueve en sentido x.
vt) que se mueve en sentido +x y f (x + vt) que se
(4.3)
= f (x + vt)
Podemos, pues, decir que, independientemente de la forma de la perturbación, las
variables x, t, deben aparecer en la función como una variable simple de la forma
x vt. En la figura 4.7 se muestran los dos casos.
La función de onda se expresa también como una función de t
x
= f (x vt) = g t
v
(x=v),
(4.4)
que indica, directamente, que todo punto x, sufre la misma perturbación que ha
sufrido el origen, pero con un retraso de t = x=v. Como antes, una onda que
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 204
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
se propague en el sentido negativo de las x, se describirá mediante la función
g (t + x=v) si la forma de la perturbación en x = 0 viene dada por g (t).
4.5
=
Ecuación de onda y principio de superposición
La perturbación, , se describe mediante una función de dos variables, posición
y tiempo. La aparición de una función de onda deberá surgir como solución de algún problema físico. La aplicación de las leyes conocidas a ese problema deben
conducirnos a una ecuación diferencial del movimiento, al igual que hemos visto en
el caso de los osciladores. Sin embargo, la función de onda depende de dos variables, posición y tiempo, por lo que es de suponer que la ecuación sea, en este caso,
en derivadas parciales. No nos planteareamos, ahora, esta forma de trabajo. Ahora
nos plantearemos la cuestión inversamente y desde un punto de vista estrictamente
matemático: ¿qué tipo de ecuación diferencial en derivadas parciales tiene por solución funciones del tipo f (x vt)?. Hay una relación sencilla entre las derivadas parciales respecto a x y respecto a t de la función de onda (x; t). Si hacemosx0 = x vt
tenemos,
@
@f @x0
@f
=
=
(4.5)
@x
@x0 @x
@x0
y,
@f @x0
@f
@
=
= v
(4.6)
@t
@x0 @t
@x0
entonces, al sustituir (4.5) en (4.6),
@
@f
= v
(4.7)
@t
@x0
Así pues, para ondas unidimensionales que se propaguen en uno y otro sentido en
la dirección x, la rapidez de cambio de con t y la de con x son iguales salvo una
constante. La ecuación (4.7) es el primer ejemplo de ecuación de onda. Su solución general representa una perturbación de forma arbitraria, pero que permanece
invariable (rígida) propagándose según x con velocidad v.
Para evitar los signos
(4.5) y (4.6), así,
de la ecuación (4.7) tomamos las segundas derivadas de
@2
@2f
=
@x2
@x02
y,
@2
@t2
=
=
@
@t
@f
@ @f
@
@f
= v
= v
@x0
@t @x0
@x0 @t
@
@f @x0
@
@f
@2f
v
= v
( v)
= v2
@x0 @x0 @t
@x0
@x0
@x02
v
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Pág.: 205
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
de donde obtenemos,
2
@2
2@
=
v
(4.8)
@t2
@x2
Esta ecuación diferencial lineal recibe el nombre de ecuación lineal de onda o simplemente ecuación de onda. Para llegar a la ecuación de onda hemos partido de
una onda progresiva y hemos visto que las derivadas respecto a x y a t guardan esa
relación sencilla. De manera inversa, si sabemos que la derivada segunda respecto
al espacio de una cantidad, , es proporcional a la derivada segunda respecto al
tiempo de la misma cantidad, entonces (x; t) es una onda o una superposición de
ondas. Además, el cuadrado de la velocidad de propagación debe ser igual al cociente constante entre las segundas derivadas, temporal y espacial.
La idea de (x; t) como superposición de ondas es consecuencia de la linealidad
de la ecuación de onda, ya que si dos funciones de onda diferentes 1 y 2 son,
cada una, solución diferente de la ecuación de onda, cualquier combinación lineal
de ambas,
=A 1+B 2
(4.9)
es también una solución. A esto se le denomina principio de superposición.
Según esto la ecuación de onda se satisface, de una manera más general, por una
función de onda de la forma,
= Af1 (x
vt) + Bf2 (x + vt)
(4.10)
donde A y B son constantes. La solución corresponde a la suma de dos ondas que
viajan en sentidos opuestos a lo largo de x, con la misma velocidad pero no teniendo,
necesariamente, la misma forma.
El principio de superposición establece que cuando dos o más ondas se
mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento resultante del medio (la
onda resultante) en cualquier punto es igual a la suma algebraica de todos los
desplazamientos originados por las ondas individuales.
Para las ondas mecánicas en medios elásticos, el principio de superposición es
válido cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Para
las ondas electromagnéticas, el principio de superposición es válido porque los campos eléctricos y magnéticos se relacionan linealmente.
Hay casos en los que no se cumple. Supongamos, por ejemplo, que una de las ondas tiene una amplitud tan grande que supera el límite elástico del medio. La fuerza
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
de restitución ya no es directamente proporcional al desplazamiento de una partícula
en el medio. Entonces, sin importar cual sea la amplitud de la segunda onda (incluso
si es muy pequeña), su efecto en un punto no es una función lineal de su amplitud.
Además, la segunda onda cambiará al pasar a través de la región no lineal y su comportamiento posterior se alterará. Esta situación surge sólo muy raramente, y en la
mayoria de los casos es válido el principio de superposición.
Figura (4.8): Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerda
tensa.
La figura 4.8 muestra una secuencia de tiempo de "instantáneas" de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerda tensa. Cuando las
pulsaciones se superponen, el desplazamiento de la cuerda es la suma algebraica
de los desplazamientos individuales de la cuerda provocados por cada una de las
dos pulsaciones por separado, como lo exige la expresión (4.9). Las pulsaciones se
mueven simplemente entrecruzándose viajando cada una de ellas a lo largo como si
la otra no existiera.
4.6
Ondas armónicas
Las expresiones (4.2) y (4.3), si bien son correctas, no obstante son de una generalidad tan amplia que su estudio no es sencillo y tampoco aportaría datos muy significativos. Por esta razón, es conveniente particularizar al caso de ondas armónicas.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.9): Onda senoidal.
Estudiaremos las que tienen forma senoidal (ver figura 4.9). Su importancia radica
en el hecho de que cualquier otra forma se puede obtener como superposición de
ondas armónicas. Tomemos como perfil o forma de la perturbación la función (ver
figura 4.10),
(x; t)t=0 = (x; 0) = A Sen (kx) = f (x)
(4.11)
donde k es un parámetro positivo y kx está en radianes y el valor máximo de (x) es
A que se conoce como amplitud de la onda. A los puntos más altos se le denominan
crestas y a los má bajos se le denominan valles.
Figura (4.10): Representación de una onda senoidal progresiva.
La amplitud A de una onda es el valor máximo que alcanza la perturbación
en un punto y, por tanto, sus unidades son aquellas en que se mide la perturbación. En una onda transversal, la amplitud es la distancia máxima que separa
cada punto de la onda de su posición de equilibrio. En una onda longitudinal,
corresponde a la máxima compresión.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
En el caso de la propagación de una onda por una cuerda, la amplitud es la distancia máxima que separa cada punto de la cuerda de su posición de equilibrio y
se expresará en unidades de longitud. Si se trata de ondas de presión en un gas, la
amplitud de la onda representa la máxima presión que soporta un punto del gas y se
expresará en unidades de presión.
Para representar con (x; t) una onda progresiva armónica que viaje a velocidad
v en el sentido positivo de las x, bastará escribir (ver figura 4.10),
(x; t) = A Sen k (x
que corresponde al tipo de funciones f (x
(4.12)
vt)
vt) solución de la ecuación de onda.
La expresión (4.12) tiene dos períodos diferentes, uno en el espacio,
onda, y otro en el tiempo :
1. Para el período espacial, un
x=
(x; t) =
debe dejar
(x + ; t) =
=longitud de
inalterada,
(x
; t)
de aquí que (4.12) se pueda escribir como (variando el argumento de la función
seno en 2 ),
Sen k (x
vt) = Sen k [(x + )
vt] = Sen [k (x
vt) + 2 ]
donde se ha tenido presente que,
Sen (
') = Sen Cos '
Cos Sen '
por lo tanto, los argumentos de los dos últimos senos deben ser iguales, entonces,
k [(x + )
vt] = [k (x
vt) + 2 ]
o,
jk j = 2
(4.13)
La ongitud de onda , es la distancia entre dos puntos consecutivos de
una onda que tienen el mismo estado de vibración. En una onda transversal,
la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles sucesivos. En una
onda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones o entre
dos enrarecimientos sucesivos.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Por ejemplo, la longitud de onda de las olas marinas es la distancia entre dos crestas
consecutivas o entre dos valles. La longitud de onda representa un concepto fundamental en la resolución de cualquier tipo de movimiento ondulatorio, y puede variar
de valores muy grandes —por ejemplo, cientos de metros para radioondas largas— a
valores muy pequeños —por ejemplo, de millonésimas de millón (10 12 ) para los rayos
gamma.
2. De forma análoga, para el período temporal,
(x; t) =
(x; t + )
de aquí que (4.12) se pueda escribir como,
Sen k (x
vt) = Sen k [x
v (t + )] = Sen [k (x
vt) + 2 ]
por lo tanto, los argumentos de los dos últimos senos deben ser iguales, entonces,
k [x
v (t + )] = [k (x
vt) + 2 ]
o,
jkv j = 2
(4.14)
Ahora, como las cantidades en (4.13) y (4.14) son todas positivas,
kv = 2 = k
resultando,
=
v
(4.15)
con,
2
k
A k se le da el nombre de número de onda.
=
(4.16)
El número de onda es el número de longitudes de onda en la distancia 2 .
Aquí podemos emplear la expresión conocida para la frecuencia # = 1= o número
de ondas por unidad de tiempo, (ciclos=s = Hertz = Hz) y también la expresión para
la frecuencia angular, ! = 2 = = 2 # (rad=s).
En el movimiento ondulatorio, un período es la cantidad de tiempo requerido para completar un ciclo completo de la onda, es decir, por ejemplo, el
tiempo entre dos crestas o dos valles consecutivos.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.7
Fase, constante de fase y velocidad de fase
4.7.1 Fase y constante de fase
El argumento de la función armónica (4.12) recibe el nombre de fase ' de la onda.
' = k (x
vt)
o en general,
' = k (x
vt)
'o
(4.17)
donde 'o es la fase inicial o constante de fase.
El significado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores,
sólo que en este caso la fase de la onda cambia tanto temporalmente como espacialmente ' = ' (x; t). La fase se mide en radianes.
En una onda viajera todos los osciladores contenidos en una longitud de onda
tienen diferencias de fases que están entre 0 y 2 radianes, 0
'
2 . Por cada
período un oscilador se desfasa en 2 radianes . Además dos osciladores que estén
separados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en 2
radianes.
De lo anterior se sigue que, una forma más general de una onda senoidal puede
escribirse como,
(x; t) = A Sen [k (x vt) 'o ]
(4.18)
La costante de fase no afecta a la forma de la onda; mueve a la onda
hacia adelante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo.
Para ver esto, consideraremos una onda senoidal progresiva y con constante de
fase negativa,
(x; t) = A Sen [k (x vt) 'o ]
(4.19)
reescribiremos la expresión (4.18) en las siguientes dos formas equivalentes,
h
i
'o
(x; t) = A Sen k x
!t
k
h
' i
(x; t) = A Sen kx ! t + o
!
(4.20)
(4.21)
La figura 4.11(a) muestra una “instantánea” en cualquier tiempo t de las dos ondas
representadas por las expresiones (4.12) en la cual 'o = 0 y (4.19). Observemos que
cualquier punto en particular de la onda descrita por la ecuación (4.20) (digamos
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.11): Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en una gráfica contra
t “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientras que en una gráfica
contra x “adelante de”
significa “a la derecha de”.
cierta cresta de onda) está a una distancia 'o =k adelante del punto correspondiente
de la onda descrita por (4.12).
En forma equivalente, si observáramos el desplazamiento en una posición fija x
resultante de cada una de las dos ondas representadas por las expresiones (4.12) y
(4.19) obtendríamos el resultado el resultado indicado en la figura 4.11(b). La onda
descrita por la expresión (4.21) está similarmente adelante de la onda (4.12) que tiene
a 'o = 0, en este caso por una diferencia de tiempo 'o =!.
Cuando la constante de fase en la expresión (4.19) es positiva la onda correspondiente está adelante de una onda descrita por la misma expresión con
'o = 0. Por esta razón, introdujimos a la constante de fase con signo negativo
en la expresión (4.19). Cuando una onda está adelante de otra en el tiempo o
en el espacio, se dice que es la “guía”. En cambio, al poner una constante de
fase negativa en (4.19), se mueve la onda correspondiente detrás de otra que
tenga 'o = 0; tal onda se dice que es “rezagada”.
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4.7.2 velocidad de fase
Como ' = ' (x; t), entonces la frecuencia angular (o rapidez de cambio de fase con
el tiempo) vendrá dada por,
@'
(4.22)
!=
@t x=const.
También podemos calcular el número de onda (o rapidez de cambio de fase con la
distancia) de la siguiente forma,
k=
@'
@x
(4.23)
t=const.
Por otro lado, el diferencial total de ' viene dado por,
d' =
@'
@'
dx +
dt
@x
@t
y si la fase es constante (d' = 0) entonces,
@x
@t
@'
@t x=const.
@'
@x t=const.
=
'=const.
(4.24)
donde el primer término representa la velocidad de propagación de un punto de fase
constante, entonces, al sustituir (4.22) y (4.23) en (4.24) resulta,
@x
@t
=
'=const.
!
=
k
v
(4.25)
que corresponde a la velocidad con que se mueve el perfil de la onda y que se denomina velocidad de fase debido a que describe la velocidad de la fase (o forma) de
la onda. El signo positivo corresponde a cuando la onda se mueve en el sentido de las
x positivas; como ' = k (x vt) =constante, cuando t aumenta, x debe aumentar; y el
negativo para el caso contrario. Ahora, en virtud de (4.16) y (4.25) es posible escribir,
!=
2 v
o también,
#=
(4.26)
v
(4.27)
puesto que ! = 2 #.
En virtud de todo lo anterior, la expresión general para una onda armónica (4.18)
puede escribierse ahora como,
(x; t) = A Sen [(kx
!t)
'o ]
(4.28)
donde se ha usado (4.25).
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.1 Sabiendo que la ecuación que describe cierto movimiento ondulatorio es
de la forma
= 0; 60 Sen(2; 50x 10; 0t)
donde todas las magnitudes vienen expresadas en el Sistema Internacional, calcúlese: (a) el período, la frecuencia, la longitud de onda y la amplitud de dicho
movimiento; (b) su velocidad de propagación; (c) la energía cinética máxima de
una partícula de 0; 70g que se ve sometida a dicho movimiento.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 0; 60m; k = 2; 50
rad
rad
; ! = 10; 0
m
s
(a) De lo anterior se tiene que,
2
2
=
= 0; 63s
!
10; 0 1s
=
= (0; 63s) 1 = 1; 59Hz
2
2
=
=
1 = 2; 51m
| {z k} 2; 50 m
#=
1
Por (4.16)
A = 0; 60m
(b) Al usar (4.25),
v=
10; 0 rad
m
!
s
=4
=
rad
k
s
2; 50 m
(c) La energía cinética viene dada por,
1
T = mv 2
2
pero,
@
@
=
[0; 60 Sen(2; 50x
@t
@t
= 0; 60: ( 10; 0) : Cos(2; 50x
v =
= 6; 00: Cos(2; 50x
y su valor máximo se da cuando Cos(2; 50x
vmáx
10; 0t)]
10; 0t)
10; 0t)
10; 0t) =
m
= 6; 00
s
1, por lo tanto,
entonces,
1 2
1
m
mvmáx = :0; 70:10 3 Kg: 6; 00
2
2
s
= 0; 0126J
2
Tmáx =
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Ejemplo 4.2 Una perturbación queda descrita en el sistema internacional por la expresión
= x3 6x2 t + 12xt2 8t3
Determínese su velocidad de propagación. El tiempo está dado en segundos y
la posición en metros. Resp.: 2 m=s.
Solución: De la expresión dada,
@
@t
@
@x
@2
=
6x + 24xt 24t !
= 24x 48t
@t2
@2
= 3x2 12xt + 12t2 !
= 6x 12t
@x2
2
2
(1)
(2)
Ahora bien, para hallar la velocidad de propagación debemos usar (4.8),
2
@2
2@
=
v
@t2
@x2
entonces al sustituir los resultados (1) y (2) en la expresión anterior obtenemos,
24x
48t = v 2 (6x
4 (6x
12t) = v 2 (6x
12t)
o,
de aquí que,
v=2
12t)
m
s
Ejemplo 4.3 La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda
está dada por,
= 5; 35:10 2 Sen (16; 0x 400t)
donde x y están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) la
frecuencia, (c) la velocidad, (d) la longitud de onda y (e) la velocidad transversal
máxima de una partícula de la cuerda.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 5; 35:10 2 m; k = 16; 0
rad
rad
; ! = 400
m
s
(a) De lo anterior se tiene que,
A = 5; 35:10 2 m
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(b) La frecuencia viene dada por,
1
#=
=
400 1s
!
=
= 63; 7Hz
2
2
(c) Al usar (4.25),
v=
400 rad
m
!
s
=
= 25; 0
rad
k
s
16; 0 m
=
2
2
=
= 0; 39m
k
16; 0 m1
(d) De (4.16),
(e) La velocidad transversal viene dada por,
@
@
=
5; 350:10 2 Sen (16; 0x 400t)
@t
@t
= 5; 35:10 2 : ( 400) Cos (16; 0x 400t)
v =
=
21; 4 Cos (16; 0x
400t)
el valor máximo vendra dado cuando Cos (16; 0x
vmáx = 21; 4
400t) =
1, por lo tanto,
m
s
Ejemplo 4.4 La ecuacion de una onda transversal que viaja a lo largo deuna cuerda
muy larga está dada por,
= 8; 0 Sen(0; 50 x
2; 7 t)
donde x y
están expresadas en centímetros y t en segundos. Calcule (a) la
amplitud, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) la velocidad, (e) la dirección de propagación de la onda, y (f) la velocidad transversal máxima de una
partícula de la cuerda.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 8; 0cm; k = 0; 50
rad
rad
; ! = 2; 7
cm
s
(a) De lo anterior se tiene que,
A = 8; 0cm
(b) De (4.16),
=
2
2
=
k
0; 50
1
cm
= 4cm
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(c) La frecuencia viene dada por,
#=
1
=
1
s
2; 7
!
=
2
2
= 1; 4Hz
(d) Al usar (4.25),
2; 7
!
v= =
k
0; 50
rad
s
rad
cm
= 5; 4
cm
s
(e) Por el signo en el argumento del seno en la función dada, la onda se propaga
hacia el eje x positivo.
(f) La velocidad transversal viene dada por,
@
@
=
[8; 0 Sen(0; 50 x 2; 7 t)]
@t
@t
= 8; 0: ( 2; 7 ) Cos(0; 50 x 2; 7 t)
v =
=
21; 6 Cos(0; 50 x
2; 7 t)
el valor máximo vendrá dado cuando Cos(0; 50 x
vmáx = 21; 6
2; 7 t) =
1, por lo tanto,
cm
s
Ejemplo 4.5 La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda
es,
(x; t) = 0; 03m Sen (2; 2x 3; 5t)
donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se propaga esta
onda y cuál es su velocidad?, (b) determinar la longitud de onda, la frecuencia
y el período, (c) ¿cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de
la cuerda? y (d) ¿cuàl es la velocidad máxima de cualquier segmento de la
cuerda?.
Solución:Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 0; 03m; k = 2; 2
rad
rad
; ! = 3; 5
m
s
(a) La onda se propaga en el sentido +x y su velocidad puede ser calculada a partir
de (4.25),
3; 5 rad
!
m
s
v= =
= 1; 59
rad
k
s
2; 2 m
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) De (4.16),
2
2
=
= 2; 86m
k
2; 2 m1
=
La frecuencia viene dada por,
#=
1
=
3; 5 1s
!
=
= 0; 557Hz
2
2
y el período será,
=#
1
=
1
0; 557
s
1
= 1; 80s
(c) El desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda será la amplitud
de la onda A = 0; 03m.
(d) La velocidad transversal viene dada por,
@
@
=
[0; 03m Sen (2; 2x 3; 5t)]
@t
@t
1
= 0; 03m: ( 3; 5) Cos (2; 2x 3; 5t)
s
m
=
0; 105 Cos (2; 2x 3; 5t)
s
v =
el valor máximo vendrá dado cuando Cos (2; 2x
vmáx = 0; 105
4.8
3; 5t) =
1, por lo tanto,
m
s
Velocidad de las ondas
La velocidad con que se propaga la energía (con que viaja el “mensaje”) entre
los osciladores (que es diferente a la velocidad de vibración de estos) corresponde a
la velocidad de propagación de la onda. Obviamente depende de propiedades del
medio: como veremos más adelante, en el caso de las ondas mecánicas dependerá
de la densidad del medio y de un factor que caracteriza la elasticidad de éste; y en
el caso de las ondas electromagnéticas dependerá de la permitividad y de la permeabilidad. Si la onda se propaga en medios homogéneos su velocidad de propagación
es constante.
Por ejemplo, la velocidad del sonido de la bocina de un automóvil depende sólo
de las propiedades del aire y no del movimiento del automóvil.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.8.1 Ondas transversales en una cuerda tensa
En el caso de los pulsos de onda en una cuerda (ver figura 4.12), es fácil demostrar
que cuanto mayor es la tensión, más rápidamente se propagan las ondas. Además,
las ondas se propagan más rápidamente en una cuerda ligera que en una cuerda
pesada bajo la misma tensión.
Figura (4.12): Pulso en una cuerda tensa.
Obtendremos ahora, mediante un análisis mecánico, la velocidad para un pulso
de onda sobre una cuerda tensa. La figura 4.13(a) muestra una “instantánea” de un
pulso de onda que se mueve hacia la derecha en la cuerda con una velocidad v.
Escogeremos un sistema de referencia comóvil con el pulso (que se mueva con la
velocidad del pulso), de manera que veremos el pulso siempre fijoy es la cuerda la
que se mueve hacia la izquierda.
Concentrémonos ahora en una pequeña (pero no infinitesimal) parte del pulso de
longitud ` [ver figura 4.13(b)]. Esta pequeña parte forma, aproximadamente, un pequeño arco de circunferencia de radio R. Si la cuerda tiene una densidad lineal de
masa , entonces el pequeño arco tendrá una masa m =
`. La tensión T en
la cuerda es un tirón tangencial en cada extremo de este pequeño segmento de
cuerda. La resultande de las componentes horizontales y verticales son,
Tx = 0
Ty = 2T Sen ' 2T
pero como
es pequeño, entonces Sen '
de manera que,
Ty ' 2T = 2T
`
R
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(4.29)
Pág.: 219
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.13): (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derecha en la cuerda con
una velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (pero no infinitesimal) parte del pulso de longitud `.
que debe ser igual a la fuerza centrípeta Fc sobre el pequeño arco de cuerda dada
por,
v2
Fc = m
(4.30)
R
por lo tanto, al igualar (4.29) con (4.30),
m
y puesto que
m=
`
v2
= 2T
R
R
` resulta,
v=
s
T
(4.31)
que es la velocidad buscada.
Si la amplitud del pulso fuese muy grande en comparación con la longitud de la
cuerda, no habríamos tenido la posibilidad de usar la aproximación Sen ' . Además,
la tensión T de la cuerda cambiaría por la presencia del pulso, mientras que hemos
supuesto que T no cambia a partir de la tensión original de la cuerda tensionada
(estirada). Por lo tanto, el resultado (4.31) se cumple únicamente para desplazamientos transversales de la cuerda relativamente pequeños, un caso que es ámpliamente
aplicable en la práctica.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 220
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.8.2 Ondas logitudinales en una barra elástica
Si provocamos una perturbación golpeando el extremo de una barra elástica con
un martillo, la perturbación (sonido) se propaga a lo largo de la barra.
En esta sección deduciremos la expresión de la velocidad de propagación de una
onda en una barra elástica en términos de sus propiedades mecánicas (módulo de
elasticidad y densidad del material).
Figura (4.14): Barra eslástica antes y después de ser deformada.
A medida que se propaga la perturbación los elementos de la barra se deforman
(se alargan y se contraen) y se desplazan. Existe una relación de proporcionalidad
entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por
unidad de longitud) que viene dada por,
F
` `o
=Y
S
`o
(4.32)
donde `o es la longitud inicial de la barra, ` es la logitud de la barra después de ser deformada (ver figura 4.14) y la constante de proporcionalidad Y se denomina módulo
de Young y es característico de cada material.
Consideremos un elemento de la barra de sección S en la posición x (ver figura
4.15), que tiene una anchura `o = dx. A causa de la perturbación el elemento se
traslada , y se deforma d , de modo que la anchura del elemento es ` = dx + d .
Entonces, la fuerza necesaria para producir esta deformación viene dada por,
dx + d
F
=Y
S
dx
dx
o,
F
@
=Y
(4.33)
S
@x
donde, a efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento
, es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 221
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.15): Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchura dx que, a causa
de una perturbación, se traslada , y se deforma d , de modo que la nueva anchura del elemento es
dx + d .
Figura (4.16): Fuerzas sobre un elemento de una barra elástica.
La parte izquierda de la barra ejerce una fuerza F sobre el elemento, a la vez que
la parte derecha de la barra ejerce una fuerza F 0 (ver figura 4.16), por lo tanto la fuerza
resultante sobre dicho elemento viene dada por,
@2
dx
(4.34)
@x2
La segunda ley de Newton afirma que la fuerza es igual al producto de la masa
(densidad por volumen) por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento),
por lo tanto,
@2
(4.35)
dF = ( Sdx) 2
@t
Ahora, al igualar (4.34) y (4.35) se obtiene,
F
F 0 = dF = SY
@2
Y @2
=
@t2
@x2
que tiene la forma de la ecuación de onda (4.8) con,
s
Y
v=
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(4.36)
(4.37)
Pág.: 222
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
que es la velocidad buscada.
4.8.3 Ondas longitudinales en un fluido
Estudiemos, con un cierto detalle, las ondas elásticas que se propagan en un fluido
debido a variaciones de presión.
Figura (4.17): Tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido.
Consideremos un tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. Sean
po y o la presión y la densidad, en condiciones de equilibrio, y consideremos que todas las partículas de una sección recta sufren el mismo desplazamiento con la perturbación. Al variar la presión el elemento de volumen Sdx, figura 4.17, se desplaza de tal
forma que la cara situada en x va a x + s y la situada en x + dx va a x + s + dx + ds,
variando el espesor. Como la masa debe conservarse,
m=
siendo
o Sdx
(4.38)
= S(dx + ds)
la densidad del fluido perturbado. Simplificando podemos escribir,
o
=
1+
@s
@x
(4.39)
donde se ha escrito derivada parcial ya que s no es solo función de x sino también
una función del tiempo t. Pero = o +
, por lo tanto de (4.39),
=(
o
+
) 1+
@s
@x
=
o
+
o
@s
+
@x
+
@s
@x
que, despreciando el último término frente a los dos anteriores (ya que ambos factores
son generalmente pequeños), resulta,
=
o
@s
@x
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(4.40)
Pág.: 223
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
de esta manera, la variación de presión provoca una variación de densidad.
Por otro lado, la presión está relacionada con la densidad mediante una expresión
del tipo p = p ( ), que recibe el nombre de ecuación de estado, cuya forma explícita
no concemos. Sin embargo, podemos desarrollarla en serie de Taylor (suponiendo
que las variaciones de la densidad son pequeñas) en torno a la posición de equilibrio
= o , y quedarnos con la aproximación de primer orden,
@p
@
p = po +
(4.41)
o
pero como m = V , diferenciando,
0 = dV + V d
de donde,
d
dV
=
V
(4.42)
Definamos ahora el módulo elástico para un fluido que se denomina módulo de compresibilidad B, el cual relaciona el esfuerzo (sobrepresión) y la deformación (variación
unitaria de volumen), y por lo tanto también la variación unitaria de densidad,
B=
@p
@V
Vo
=
o
o
@p
@
(4.43)
o
de aquí que, al sustituir (4.43) en (4.41), podamos escribir,
p
po =
B
(4.44)
o
que relaciona la presión y la densidad en cualquier punto.
Ahora bien, de (4.40) y (4.44) resulta,
p
po =
B
@s
@x
(4.45)
que relaciona la presión en cualquier punto con la deformación.
Además, si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa o Sdx, cuyo diagrama
es mostrado en la figura 4.18 resulta
dF
=
dma ! pS
(p + dp) S
| {z }
por apuntar hacia
2
!
Sdp =
o Sdx
@ s
@t2
=
o Sdx
@2s
@t2
x
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Pág.: 224
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.18): Elemento de fluido de masa masa
o Sdx
en el cual se muestran las presiones aplicadas.
o también,
@p
@2s
= o 2
@x
@t
que relaciona las presiones y el de desplazamiento.
(4.46)
Por último. para obtener la variación con el espacio y el tiempo de s, p, o basta
eliminar las otras variables. Así, derivando la expresión (4.45) respecto a x (teniendo
presente que po es constante) se obtiene,
@p
=
@x
B
@2s
@x2
(4.47)
que al sustituirla en (4.46) resulta,
B @2s
@2s
=
(4.48)
2
@t2
o @x
obteniéndose una ecuación de onda como la (4.8), de la cual podemos identificar,
v=
s
B
(4.49)
o
donde B lo podemos escribir también como,
B=
P
V =V
(4.50)
es decir, el cociente (con signo negativo) entre el cambio en la presión y el correspondiente cambio en el volumen por unidad de volumen.
Si queremos obtener la propagación de la perturbación de la presión debemos
derivar la expresión (4.45) dos veces respecto al tiempo t y la expresión (4.46) una vez
respecto a x, resultando,
@2p
@3s
=
B
@t2
@t@x2
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
@2p
=
@x2
de las cuales, al combinarlas, resulta,
@3s
o
@x@t2
@2p
B @2p
=
2
@t2
o @x
(4.51)
que no es más que la ecuación de propagación de la onda de presión que se desplaza, como es obvio, a la misma velocidad que la onda de desplazamiento s. Para
la densidad se verifica también que,
@2
B @2
=
2
@t2
o @x
(4.52)
que no es más que la ecuación de propagación de la onda de densidad.
En el caso particular de las ondas (sonido) en un gas, la velocidad viene dada por,
r
RT
(4.53)
v=
M
donde,
1. T es la temperatura absoluta medida en Kelvins (K), la cual está relacionada con
la temperatura en Celsius Tc mediante,
(4.54)
T = 273 + Tc
2.
es una constante que depende del tipo de gas. Para moléculas diatómicas como
el O2 y N2 , tiene el valor de 1; 4 y como el O2 y el N2 constituyen el 98% de la atmósfera, éste es el valor que corresponde también al aire (para moléculas monoatómicas como el He tiene un valor de 1; 67).
3. R es la constante universal de los gases,
R = 8; 314
J
mol:K
(4.55)
4. M es la masa molar del gas, es decir, la masa de 1 mol de gas. Para el aire es,
M = 29:10
3
Kg
mol
(4.56)
Al comparar (4.31), (4.37) y (4.49) podemos notar que, en general, la velocidad de
las ondas depende de una propiedad elástica del medio (la tensión en el caso de
las ondas de las cuerdas, el módulo de Young en el caso de una barra elástica y el
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Pág.: 226
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Medio
velocidad (m=s)
Aire (0 o C)
Aire (20 o C)
Helio
Hidrógeno
Agua (0 o C)
Agua (20 o C)
Agua de mar a 20 o C y 3; 5 % de salinidad.
Aluminio
Acero
Granito
331
343
965
1284
1402
1482
1522
6420
5941
6000
Tabla (4.1): Velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos y sólidos, a 1atm y 0o C.
módulo de compresibilidad en el caso de las ondas en un fluido) y de una propiedad
inercial del mismo (la densidad de masa lineal o la densidad de masa volumétrica), es
decir,
s
propiedad elástica del medio
v=
propiedad inercial del medio
La tabla 4.1 muestra la velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos
y sólidos.
Ejemplo 4.6 Calcule la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 1; 25 m
de longitud y 85; 5 g de masa bajo una tensión de 395 N .
Solución: La densidad lineal
de la cuerda es,
=
85; 5:10 3 Kg
Kg
= 0; 068
1; 25m
m
entonces, al usar (4.31), resulta,
v=
s
T
=
s
395N
m
= 76; 2
Kg
s
0; 068 m
Ejemplo 4.7 La velocidad de una onda en una cuerda es de 100 m=s cuando la tensión
es de 100 N , ¿en qué valor debería ser aumentada la tensión con objeto de elevar
la velocidad de la onda a 200 m=s?.
Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular el valor de la densidad lineal
de la cuerda. Al usar (4.31),
T1
= 2
v1
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Pág.: 227
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ahora, calculemos la tensión para la segunda velocidad usando nuevamente (4.31),
T2 = v22 =
T1 2
v = T1
v12 2
2
v2
v1
de manera que el aumento de tensión T será,
#
"
"
2
200 ms
v2
1 = 100N
T = T2 T1 = T1
v1
100 ms
2
#
1
= 300N
Ejemplo 4.8 El sonido de un tren en marcha llega a cierto punto 9; 00 s antes por la vía
(recta) que por el aire. ¿A qué distancia está el tren de dicho punto?. Datos del
acero: Y = 21300 Kp=mm2 ; = 7; 8 g=cm3 . Velocidad del sonido en el aire: 340 m=s.
Solución: Supongamos que la distancia desde el tren hasta el mencionado punto
es d. Esta distacia será recorrida por el sonido en el aire en un tiempo taire a una
velocidad vaire , por lo tanto,
d = vaire taire ! taire =
d
(1)
vaire
Esa misma distancia la recorrerá el sonido por el acero en un tiempo tacero a una velocidad vacero , por lo tanto,
d = vacero tacero ! tacero =
por lo tanto, el retraso en tiempo
d
(2)
vacero
t de una señal con respecto a la otra será,
t = taire
tacero = d
1
1
vaire
vacero
(3)
Pero, la velocidad del sonido en el acero vendrá dada por (4.37) de la siguiente manera,
s
Yacero
vacero =
(4)
acero
entonces, al sustituir (4) en (3), resulta,
t=d
1
vaire
r
acero
Yacero
de aquí que,
d =
1
vaire
=
1
340m=s
t
q
acero
Yacero
9; 00s
q
7;8:103 Kg=m3
21300:9;8:106 N=m2
= 3275m
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Pág.: 228
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.9 La ecuación de una onda transversal de una cuerda es
= 3; 0 Sen(15; 0x + 274t)
donde x está en metros, está en milímetros, y t en segundos. La cuerda esta
sometida a una tensión de 20; 0 N . Halle la densidad de masa lineal de la cuerda.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 3; 0mm; k = 15; 0
rad
rad
; ! = 274
m
s
La densidad lineal de la cuerda la podemos hallar a partir de (4.31) como,
=
T
v2
(1)
v=
!
k
(2)
pero por (4.25),
entonces al sustituir (2) en (1),
=T
k
!
2
= 20; 0N
15; 0 rad
m
274 rad
s
!2
= 0; 060
Kg
m
Ejemplo 4.10 Una onda transversal armónica simple se está propagando a lo largo
de una cuerda hacia la izquierda (o x). La figura 4.19 muestra un trazo del
desplazamiento en función de la posición en el tiempo t = 0. La tensión de la
cuerda es de 3; 6 N y su densidad lineal es de 25 g=m. Calcule (a) la amplitud, (b)
la longitud de onda, (c) la velocidad de la onda, (d) el período, y (e) escriba una
ecuación que describa a la onda viajera y encuentre la velocidad máxima de
una partícula de la cuerda.
Solución:
(a) De la figura 4.19 es fácil ver que A = 5; 0cm.
(b) De la figura 4.19 es fácil ver que
(c) A partir de (4.31),
v=
s
T
= 40cm.
=
s
3; 6N
m
=
12
25:10 3 Kg=m
s
(d) A partir de (4.15),
=
v
=
40:10 2 m
= 0; 033s
12 ms
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Pág.: 229
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.19): Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en el tiempo t = 0, para
una onda transversal que viaja por una cuerda.
(e) Calculemos antes el número de onda k y la frecuencia angular !. A partir (4.16),
k=
2
=
2
rad
rad
= 15; 71
= 0; 16
2
40:10 m
m
cm
(1)
y,
!=
2
=
2
rad
= 190
0; 033s
s
(2)
La ecuación buscada tiene la forma de (4.28) con signo positivo porque se mueve
en la dirección de x. Por lo tanto,
= A Sen (kx
!t + 'o )
(3)
Ahora, al sustituir los resultados (1) y (2) y el valor de la amplitud calculado en (a),
= 5; 0cm Sen (0; 16x
190t + 'o )
(4)
Sólo nos queda por calcular la fase. La figura 4.19 muestra la gráfica de (4) para
t = 0. Hagamos t = 0 en (4) y tomemos (x; ) de la gráfica, (x; ) = (0; 4cm),
4cm = 5; 0cm Sen (0; 16:15 + 'o )
entonces,
Sen (0; 16:15
'o ) =
4
) 'o = 0; 93
5
entoces, de (4),
= 5; 0cm Sen (0; 16x
190t + 0; 93)
Ejemplo 4.11 Un alambre de 12; 0 m de longitud y una masa de 50; 0 g se estira bajo una
tensión de 300 N . Si se generan dos pulsaciones,separadas en tiempo por 15; 5 ms,
una en cada extremo del alambre, ¿dónde se encuentran las pulsaciones?.
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Pág.: 230
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.20): Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en sus extremos, separadas por un intervalo de tiempo t.
Solución: La densidad lineal de masa del alambre vendrá dada por,
=
m
`
(1)
y la velocidad de las ondas en el alambre mediante (4.31),
s
T
v=
Ahora, al sustituir (1) en (2),
(2)
r
T`
(3)
m
En la figura 4.20 se muestra la situación descrita en el enunciado del problema. Si a
la pulsación generada en 1 le toma un tiempo t1 = t en llegar al punto de encuentro,
entonces a la pulsación generada en 2 le tomará un tiempo t2 = t
t (donde t =
15; 5 ms). Por lo tanto, de la figura 4.20,
v=
` = d1 + d2 = v1 t1 + v2 t2 = vt + v (t
t)
de aquí que,
t=
1
2
`
+
v
(4)
t
Ahora, al sustituir (3) en (4),
1
t=
2
r
m`
+
T
!
t
(5)
y la distancia de encuentro será, respecto al pulso 1,
d1 = vt
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(6)
Pág.: 231
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Por último, al sustituir (3) y (5) en (6),
r
r
1 T`
m`
d1 =
+
2 m
T
!
t
T`
m
!
300N:12; 0m
50; 0:10 3 Kg
!
1
=
2
`+
r
t
por lo tanto,
d1
1
=
2
12; 0m + 15; 5:10 3 s
s
= 3; 92m
Ejemplo 4.12 Encuentre la velocidad del sonido en el agua, la cual tiene un módulo
de compresibilidad B = 2; 1:109 N=m2 a una temperatura de 0 C y una densidad
de o = 1; 00:103 Kg=m3 .
Solución: Al usar (4.49),
v=
s
B
o
=
s
Km
2; 1:109 N=m2
= 1; 4
3
3
1; 00:10 Kg=m
s
Ejemplo 4.13 Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 10 C y (b) a 45 C.
Solución: Sabemos que para el aire
Kg
M = 29:10 3 mol
.
Al usar (4.49),
v=
pero por (4.54),
= 1; 4 y que por (4.55) R = 8; 314
r
RT
M
T = 273 + Tc
J
mol:K
y (4.56)
(1)
(2)
entonces, al sustituir (2) en (1),
v=
r
R (273 + Tc )
M
(a) A una temperatura Tc = 10 C,
s
J
1; 4:8; 314 mol:K
: (273 + 10) K
m
v=
=
337
Kg
s
29:10 3 mol
(b) A una temperatura Tc = 45 C,
s
J
1; 4:8; 314 mol:K
: (273 + 45) K
m
v=
= 357
Kg
3
s
29:10 mol
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Pág.: 232
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.14 La velocidad del sonido en el mercurio es de 1410 m=s. ¿Cuál es el módulo de compresibilidad del mercurio?. Tomar o = 13; 6:103 Kg=m3 .
Solución: Al usar (4.49),
B = v2
o
= (1410m=s)2 13; 6:103 Kg=m3 = 2; 7:1010
N
m2
Ejemplo 4.15 Calcular la velocidad de las ondas sonoras en el hidógeno a 550 K.
Tomar M = 2g=mol y = 1; 4.
J
. Entonces, al usar (4.49),
Solución: Sabemos que por (4.55) R = 8; 314 mol:K
s
r
J
1; 4:8; 314 mol:K
:550K
RT
m
v=
=
= 1789
3
M
2:10 Kg=mol
s
4.9
Energía y potencia para una onda armónica en una
cuerda
Consideremos una onda senosoidal que viaja sobre una cuerda como lo muestra
la figura 4.21. La fuente de la energía es algún agente externo en el extremo izquierdo
de la cuerda, el cual realiza trabajo al producir las oscilaciones. Como el agente
externo realiza trabajo en el extremo de la cuerda, moviéndola hacia arriba y hacia
abajo, la energía penetra el sistema de la cuerda y se propaga a lo largo de toda su
extensión.
Figura (4.21): Elemento de masa
hacia la derecha.
m y longitud
x de una cuerda sobre la cual viaja una onda senoidal
Enfoquémonos en un elemento de la cuerda de longitud x y masa m. Este elemento se moverá verticalmente realizando un movimiento armónico simple al igual
que todos los demás elementos de la cuerda, permitiéndonos así modelar cada elemento de la cuerda como un oscilador armónico simple a lo largo del eje y. Debido
a que todos los elemento están ligados por la cuerda y que además suponemos que
no hay pérdida de energía (la onda mantiene su forma), todos los elementos de la
cuerda tienen la misma frecuencia angular ! y la misma amplitud A.
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Pág.: 233
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ahora bien, como sabemos, la energía cinética T para una partícula que se mueve
con velocidad v viene dada por,
1
T = mv 2
2
Si aplicamos esta expresión al elemento de cuerda mencionado antes, vemos que su
energía cinética T viene dada por,
T =
y si
1
mvy2
2
(4.57)
es la densidad lineal de masa de la cuerda, entonces
T =
1
2
m=
x, por lo tanto,
xvy2
(4.58)
Supongamos ahora que la ecuación de la onda es la dada por la expresión (4.28)
pero para una onda que se mueve hacia la derecha y con 'o = 0,
(x; t) = y = A Sen (kx
!t)
entonces,
@ (x; t)
= !A Cos (kx
@t
de aquí que (4.58) pueda escribirse como,
!t)
vy =
T =
1 2 2
! A Cos2 (kx
2
(4.59)
!t) x
La energía cinética promedio dT en un período de movimiento vendrá dada por,
Z
Z
1 t+
1 2 2
1 t+
T =
T dt =
! A x
Cos2 (kx !t) dt
2
t
t
pero,
1
Z
t+
Cos2 (kx
!t) dt =
t
entonces,
1
2
1 2 2
! A x
4
Por un análisis análogo podemos escontrar que,
(4.60)
T =
U=
1 2 2
! A x
4
de aquí que, a partir de (4.60) y (4.61), la energía total promedio
E=
T+
U=
(4.61)
E sea,
1 2 2
! A x
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(4.62)
Pág.: 234
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
que es el mismo resultado que para una masa
un movimiento armónico simple,
x unida a un resorte que oscila con
1
E = m! 2 A2
2
(4.63)
Por último, (4.62) es la cantidad de energía que pasa por un punto dado sobre la
cuerda durante un intervalo de tiempo de un período de oscilación, de aquí que, la
potenciapromedio P asociada con la onda venga dada por,
P=
E
1 2 2
=
! A
t
2
x
o,
1 2 2
! Av
(4.64)
2
De (4.62) y (4.64) podemos observar que tanto la energía promedio como la potencia promedio son proporcionales al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado
de la amplitud de la onda. En particular, de (4.64), podemos observar que la potencia
promedio no depende de x ni de t, por lo tanto su dependencia con el cuadrado de
la frecuencia angular y el cuadrado de la amplitud es así, en general, para todos los
tipos de ondas.
P=
La expresión (4.64) también puede escribirse como,
P= v
(4.65)
con,
1 2 2
! A
2
que es la energía media por unidad de longitud de cuerda.
=
(4.66)
Ejemplo 4.16 Una cuerda de 13 m tiene una masa de 73 g y está sometida a una tensión
de 60 N . Se mueven a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha unas ondas
de frecuencia 150 Hz y amplitud 12 mm. (a) ¿Cuál es la energía total de las ondas
en la cuerda? y (b) ¿cuál es la potencia transmitida que pasa por un punto
determinado de la cuerda?.
Solución:
(a) Al usar (4.66), la energía por unidad de longitud viene dada por,
=
pero ! = 2 #,
= m=` y
1 2 2
! A
2
= E=`, entonces
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Pág.: 235
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
1
E = 2 m# A = 2 :73:10 Kg 150
s
= 4; 7 J
2
2
2
2
2
12:10 3 m
3
2
(b) Al usar (4.65),
P= v
pero por (4.31),
v=
entonces,
P=
y como
= E=` y
s
T
s
T
= m=`,
P=E
r
T
= 4; 7 J
m`
s
60N
= 37 W
73:10 3 Kg:13m
Ejemplo 4.17 Una cuerda tensa para la cual = 3; 70:10 2 Kg=m está bajo una tensión
de 44; 5 N . ¿Cuánta potencia debe ser suministrada a la cuerda para generar
ondas senoidales a una frecuencia de 49; 0 Hz y una amplitud de 4; 00 cm?.
Solución: La potencia suministrada viene dada, en virtud de (4.64), por,
P=
1 2 2
! Av
2
(1)
pero, a partir de (4.31), la velocidad de la onda es,
s
T
v=
(2)
y además,
(3)
!=2 #
por lo tanto, al sustituir (2) y (3) en (1) resulta,
P=2 ( #A)2
entonces,
P=2
1
49; 0 :4; 00:10 2 m
s
2
r
p
T
44; 5N:3; 70:10
2
Kg
= 97; 3W
m
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Pág.: 236
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.18 Si en el ejemplo anterior la cuerda debe transferir energía a una razón
de 500W , ¿cuál debe ser la amplitud requerida si todos los otros parámetros permanecen constantes?.
Solución: Las potencias vieja P v y nueva P n vendrán dadas, en virtud de (4.64), por
las siguientes expresiones,
1 2 2
! Av v
2
1 2 2
! An v
=
2
Pv =
(1)
Pn
(2)
ahora al dividir miembro a miembro (1) entre (2) resulta,
Pv
=
Pn
por lo tanto,
An = A v
s
1
2
1
2
! 2 A2v v
A2v
=
A2n
! 2 A2n v
Pn
= 4; 00cm
Pv
s
500W
= 9; 07 cm
97; 3W
Ejemplo 4.19 Una cuerda tensa tiene una masa de 0; 300 Kg y una longitud de 4; 50 m.
¿Cuál es la potencia que debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas
senoidales que tengan una amplitud de 0; 300 m y una longitud de onda de 0; 700
m que viaje con una velocidad de 20; 0 m=s?.
Solución: La potencia suministrada viene dada, en virtud de (4.64), por,
P=
1 2 2
! Av
2
pero por (4.27),
#=
(1)
v
(2)
y además,
(3)
!=2 #
entonces, al sustituir (2) en (3) y el resultado de esto en (1), resulta,
P=2 2 m
donde se ha tenido presente que
2
P=2 0; 300Kg:
A
2
v3
`
= m=`. Por lo tanto,
0; 300m
0; 700m
2
20; 0 ms
4; 50m
3
= 1934W
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Pág.: 237
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.20 Ondas senoidales de 3; 00 cm de amplitud están siendo transmitidas a lo
largo de una cuerda de densidad lineal de masa 7; 00:10 2 Kg=m. Si la fuente
puede entregar una potencia de 500 W y la cuerda está bajo una tensión de 150
N , ¿cuál es la frecuencia más alta a la cual la fuente puede operar?.
Solución: La potencia suministrada viene dada, en virtud de (4.64), por,
P=
1 2 2
! Av
2
pero de (4.31),
v=
s
(1)
T
(2)
y además,
(3)
!=2 #
entonces, al sustituir (2) y (3) en (1),
P=2
2
de aquí que,
1
#=
A
por lo tanto,
# 2 A2
s
s
T
P
p
2 T
v
u
500W
1
u q
#=
t
2
3; 00:10 m 2 150N:7; 00:10
= 93; 2 Hz
2 Kg
m
Ejemplo 4.21 Una onda senoidal sobre una cuerda es descrita mediante,
(x; y) = 0; 30m Sen (x
20t)
donde x y están en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitud
de esta cuerda es 50; 0 g=m; determinar (a) la velocidad de la onda, (b) la longitud
de onda, (c) la frecuencia, y (d) la potencia transmitida a la onda.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 0; 30 m; k = 1
rad
rad
; ! = 20
m
s
(a) La onda se propaga en el sentido +x y su velocidad puede ser calculada a partir
de (4.25),
20 rad
!
m
v = = rads = 20
k
s
1m
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Pág.: 238
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) De (4.16),
=
2
2
= 1 = 6; 28 m
k
1m
(c) La frecuencia viene dada por,
1
#=
20 1s
!
=
=
= 3; 18 Hz
2
2
(d) La potencia suministrada viene dada, en virtud de (4.64), por,
P=
1 2 2
! Av
2
entonces,
1
P= :50; 0:10
2
2
3 Kg
1
: 20
m
s
: (0; 30 m)2 :20
m
= 18 W
s
Ejemplo 4.22 La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es,
(x; y) = 0; 550m Sen
x
5 t
3
donde x y están en metros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la rata promedio a
la cual la energía es transmitida a lo largo de la cuerda si la densidad lineal de
masa es 100 g=m? y (b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda?.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
A = 0; 550 m; k =
rad
rad
;!=5
m
s
(a) La potencia suministrada, en virtud de (4.64), viene dada por,
P=
1 2 2
! Av
2
(1)
!
k
(2)
pero, partir de (4.25),
v=
entonces, al sustituir (2) en (1) resulta,
P=
1
A2 ! 3
2k
de aquí que,
P=
1
2:
1 :100:10
m
3 Kg
m
2
: (0; 550m)
1
5
s
3
= 18; 7 W
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Pág.: 239
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) La energía contenida en cada ciclo de la onda vendrá dada por,
E=P
(3)
2
!
(4)
pero,
=
entonces, al sustituir (4) en (3) resulta,
E=2
P
!
de aquí que,
E=2
4.10
18; 7 W
= 7; 48 J
5 1s
Intensidad de una onda tridimensional
A menudo es más útil especificar la intensidad de la onda en una onda tridimensional, como en el caso de una onda de luz o una onda de sonido que proviene de
una fuente puntual.
La intensidad I se define como la potencia promedio por unidad de superficie transmitida a través de una superficie S normal a la dirección en que viaja
la onda. Matemáticamente se expresa como,
I=
P
S
(4.67)
Figura (4.22): Intensidad de una onda esférica.
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Pág.: 240
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Si las ondas fluyen hacia afuera de la fuente en todas direcciones se forma una
onda tridimensional. Ejemplos son el sonido que se transmite en el aire, las ondas sísmicas y las ondas de luz. Si el medio es isótropo (igual en todas direcciones) entonces
la onda es esférica (ver figura 4.22). A medida que la onda se mueve hacia afuera,
se dispersa en una superficie cada vez mayor debido a que el área superficial de una
esfera de radio r es 4 r2 . Podemos inferir que a medida que crece la superficie S, la
amplitud A debe disminuir. En efecto, a partir de (4.63),
1
E = m! 2 A2
2
pero m = V , donde es la densidad del medio y V su volumen. Asimismo, el volumen
V = S` donde S es el área de la sección transversal que recorre la onda y ` es la
distancia que recorre la onda en un tiempo t, es decir ` = vt, entoces podemos escribir,
E=
1
Svt! 2 A2
2
(4.68)
de manera que la potencia promedio P vendrá dada por,
P=
1
E
= Sv! 2 A2
t
2
(4.69)
y como la pontencia se mantiene constante,
1
1
A22
S1
2 2
2 2
P 1 = P 2 =) S1 v! A1 = S2 v! A2 =) 2 =
2
2
A1
S2
(4.70)
r
(4.71)
o,
A2 =
S1
A1
S2
por lo tanto, si S2 > S1 entonces A2 < A1 . Como S = 4 r2 , a partir de (4.70), podemos
escribir también,
A2
r1
=
(4.72)
A1
r2
de este modo la amplitud disminuye de forma inversamente proporcional con la distancia a la fuente. Cuando la onda se encuentra al doble de la distancia a la fuente,
la amplitud se ha reducido a la mitad y así sucesivamente (no tomando en cuenta el
amortiguamiento).
Por otro lado, de (4.67),
(4.73)
P = IS
entonces, de forma análoga al procedimiento anterior,
P 1 = P 2 =) I1 S1 = I2 S2 =)
I2
S1
=
I1
S2
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(4.74)
Pág.: 241
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
o, debido a que S = 4 r2 ,
I2
r2
= 12
I1
r2
(4.75)
Ejemplo 4.23 Compare las amplitudes (a) las intensidades y (b) las amplitudes de una
onda sísmica cuando pasa por dos puntos a 5 Km y a 25 Km de la fuente.
Solución:
(a) A partir de (4.75),
I2
1
r12
(5Km)2
= 2 =
2 =
I1
r2
25
(25Km)
(b) A partir de (4.72),
r1
5Km
1
A2
=
=
=
A1
r2
25Km
5
Ejemplo 4.24 La intensidad de una onda sísmica particular es 1; 0:106 W=m2 a una distancia de 80 Km de la fuente. (a) ¿Cuál era la intensidad cuando pasó un punto
a sólo 1; 0 Km de distancia de la fuente? y (b) ¿cuál era la potencia total que
pasaba a través de una superficie de 3; 5 m2 a una distancia de 1; 0 Km?.
Solución:
(a) A partir de (4.75),
I1 =
r2
r1
2
I2 =
80Km
1; 0Km
2
1; 0:106
W
W
= 6; 4:109 2
2
m
m
(b) A partir de (4.73),
W
:3; 5m2 = 2; 2:1010 W
2
m
ya que la intensidad para una distancia de 1; 0 Km fue calculada en (a).
P = IS = 6; 4:109
Ejemplo 4.25 Si la intensidad de una onda sísmica es de 3; 3:105 W=m2 a 78 Km de la
fuente, ¿cuál era a 600 m?.
Solución: A partir de (4.75),
I1 =
r2
r1
2
I2 =
78Km
0; 60Km
2
3; 3:105
W
9W
=
5;
6:10
m2
m2
Ejemplo 4.26 Un alto parlante emite una onda esférica en el espacio homogéneo y
transparente (libre de amortiguamiento). La potencia de la fuente es de 15 W .
Calcular la intensidad de la onda acústica a una distancia de 2 m y de 4 m.
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Pág.: 242
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: A partir de (4.67),
I=
P
S
y como S = 4 r2 ,
I=
P
4 r2
(a) En este caso,
I=
15W
W
2 = 0; 30 2
m
4 (2m)
(b) y en este,
I=
4.11
15W
= 7; 46:10
4 (4m)2
2
W
m2
Ondas longitudinales armónicas de sonido
Podemos producir ondas sonoras periódicas unidimensionales en un tubo largo y
estrecho, lleno de gas, mediante un pistón que oscila senosoidalmente en uno de sus
extremos como se muestra en la figura 4.23. Las regiones oscuras representan zonas
dosde el fluido es comprimido, estando la densidad y la presión por encima de sus
valores en el equilibrio. Las regiones de compresión son originadas cuando el pistón es
empujado hacia la derecha dento del tubo.
La región comprimida, denominada compresión, se mueve a través del tubo como
un pulso, comprimiendo continuamente la región justo enfrente de ella. Cuando el
pistón se mueve en sentido contrario, el fluido enfrente de él se dilata y, en consecuencia, en esta región (representadas por las zonas más claras) la presión y la densidad caen por debajo de sus valores en el equilibrio. Estas zonas de baja presión,
denominadas rarefracciones, también se propagan a lo largo del tubo, siguiendo a
las compresiones. Ambas regiones se mueven con una velocidad igual a la velocidad
del sonido en el medio.
Ahora bien, como el pistón oscila senosoidalmente, las regiones de compresión y
rarefracción son formadas continuamente. La distancia entre dos compresiones sucesivas (o dos rarefracciones sucesivas) es igual a la longitud de onda . Como estas
regiones viajan a través del tubo, cualquier elemento pequeño del medio se mueve
con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de la onda. Si s (x; t) es la
posición del pequeño elemento en relación a su posición de equilibrio, podemos escribir,
s (x; t) = so Cos (kx !t)
(4.76)
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Pág.: 243
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.23): Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas unidimensionales
armónicas en un tubo largo y delgado que contiene un fluido.
donde so es la amplitud de la oscilación del pequeño elemento, denominado con
frecuencia amplitud de desplazamiento de la onda, k es el número de onda y ! es la
frecuencia angular del pistón. Notemos que el desplazamiento del pequeño elemento
es a lo largo x, en la dirección de propagación de la onda de sonido, que signifiga
que tratamos con una onda longitudinal.
La variación en la presión del fluido p medida desde su valor en el equilibrio es
también periódica. En efecto, al sustituir (??) en (4.46) se obtiene,
@p
=
@x
@2
[so Cos (kx
o
@t2
!t)] =
o!
2
so Cos (kx
!t)
de aquí que,
p=
o!
2
k
so
[Sen (kx
!t)]
o, en virtud de (4.25),
p=
o !vso
Sen (kx
!t)
que también podemos escribir como,
p=
po Sen (kx
!t)
(4.77)
con,
po =
o !vso
(4.78)
así, podemos ver que la onda sonora puede ser considerada como una onda de
desplazamiento de amplitud so o como una onda de presión de amplitud po . Una
comparación entre las expresiones (4.76) y (4.77) muestra que la onda de presión está
desfasada en =2 con respecto a la onda de desplazamiento. Nótese también que la
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Pág.: 244
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.24): Comparación entre s y
p.
variación de la presión tiene un máximo cuando el desplazamiento desde el equilibrio
es cero, y el desplazamiento desde el equilibrio es máximo cuando la variación de la
presión es cero. La figura 4.24 muestra una comparación entre s y p.
Ejemplo 4.27 (a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda
sonora de frecuencia 85 Hz y amplitud de presión 10 3 atm?, (b) la amplitud del
desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 233 Hz es
10 6 m, ¿cuál es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como velocidad del sonido 340 m=s y densidad del aire 1; 29 Kg=m3 y tener presente que
1atm = 101:3KP a.
Solución:
(a) Por (4.78),
so =
po
o !v
pero como ! = 2 #,
so =
10 3 :101; 3:103 P a
= 4; 32:10
2 :1; 29 Kg
:85 1s :340 ms
m3
4
m
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Pág.: 245
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) En virtud de (4.78),
po =
o !vso
pero como ! = 2 #,
po = 2
o #vso
de aquí que,
po = 2 :1; 29
m
Kg
1
:233 :340 :10 6 m = 0; 64 P a
3
m
s
s
Ejemplo 4.28 La presión de una onda sonora viajera está dada par la ecuación
p = 2; 00P a Sen (4 x
400 t)
donde x está en metros y t en segundos. Halle (a) la amplitud de la presión, (b)
la frecuencia, (c) la longitud de onda, y (d) la velocidad de la onda.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.77) es fácil notar que,
po = 2; 00 P a; k = 4
rad
rad
; ! = 400
m
s
(a) La amplitud de la presión es,
po = 2; 00 P a
(b) La frecuencia vendrá dada por,
#=
400
!
=
2
2
1
s
= 200 Hz
(c) De (4.16),
=
2
2
=
= 0; 5 m
k
4 m1
(d) Al usar (4.25),
400 1s
!
m
v= =
1 = 100
k
s
4 m
Ejemplo 4.29 El sonido más tenue que el humano puede detectar a una frecuencia
de 1000 Hz corresponde a una intensidad cerca de 1; 00:10 12 W=m2 (umbral de
audición). El sonido más alto que el oido puede tolerar a esta frecuencia corresponde a una intensidad cerca de 1; 00 W=m2 (umbral de dolor). Determinar la
amplitud de desplazamiento y la amplitud de presión asociados con estos dos
límites. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y densidad del aire 1; 20 Kg=m3 .
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Pág.: 246
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: La intensidad es, en virtud de (4.67),
I=
P
S
(1)
pero por (4.69),
1
Sv! 2 s2o
(2)
2 o
donde hemos tenido presente que para este caso A = so entonces al sustituir (2) en
(1),
s
2I
1
(3)
so =
2 #
ov
P=
ya que ! = 2 #. Ahora bien, para el primer umbral,
s
W
2:1; 00:10 12 m
1
2
so =
= 1; 11:10
1
Kg
m
2 1000 s
1; 20 m3 :343 s
11
m
y para el segundo umbral,
1
so =
2 1000 1s
s
W
2:1; 00 m
2
1; 20 Kg
:343 ms
m3
= 1; 11:10
5
m
Por otro lado, en virtud de (4.78),
(4)
po = 2 # o vso
ya que ! = 2 #. Entonces, para el primer umbral,
1
Kg
m
po = 2 1000 :1; 20 3 :343 :1; 11:10
s
m
s
11
m = 2; 87:10
5
Pa
y para el segundo umbral,
1
Kg
m
po = 2 1000 :1; 20 3 :343 :1; 11:10 5 m = 28; 7 P a
s
m
s
4.12
Interacción de las ondas con las barreras
4.12.1
Reflexión y transmisión
Todo movimiento ondulatorio al incidir sobre la superficie que separa dos medios
de distintas propiedades mecánicas, ópticas, etc., en parte se refleja y en parte se
transmite.
La reflexión es la propiedad del movimiento ondulatorio por la que una
onda retorna al propio medio de propagación tras incidir sobre una superficie.
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Pág.: 247
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.25): Pulsos reflejado y transmitido en dos cuerdas unidas de diferente densidad lineal.
La velocidad de propagación de las ondas cambia al pasar de un medio a otro,
pero no cambia la frecuencia angular !.
Supongamos un movimiento ondulatorio se propaga a lo largo de dos cuerdas, la
cuerda de la izquierda tiene una densidad lineal 1 y la cuerda de la derecha tiene
una densidad lineal 2 (ver figura 4.50).
El movimiento ondulatorio transversal se propagará en ellas con velocidades respectivas de,
s
T
(4.79)
v1 =
v2 =
s
1
T
(4.80)
2
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Pág.: 248
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Las figuras 4.25(a) y 4.25(b) muestran un pulso sobre dos cuerdas de diferente peso
que han sido unidas. En esta situación tendremos los siguientes casos:
1. Si la primera cuerda es menos pesada que la segunda como se muestra en la figura
4.25(a), el pulso reflejado en la superficie límite se invierte.
2. Si la primera cuerda es más pesada que la segunda como se muestra en la figura
4.25(b), el pulso reflejado no se invierte.
3. En ambos de los anteriores casos, el pulso transmitido no se invierte.
Las siguientes reglas generales se aplican a las ondas reflejadas:
1. Cuando una onda o pulso viaja desde un medio 1 a un medio 2 y v1 > v2 (el
medio 2 es más denso que el 1), es invertida bajo reflexión.
2. Cuando una onda o pulso viaja desde un medio 1 a un medio 2 y v1 < v2 (el
medio 1 es más denso que el 2), no es invertida bajo reflexión.
Por otro lado, cuando no existe un segundo medio, se verifica que si:
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.26): Cuerda unida a un punto que puede moverse libremente.
1. Si la cuerda está unida a un punto fijo, el pulso de refleja y se invierte, como se
muestra en la figura 4.12.1.
2. Si la cuerda está unida a un punto que puede moverse libremente (por ejemplo
a un anillo que puede moverse sin fricción sobre un eje perperdicular al eje de
propagación), el pulso de refleja y se invierte, como se muestra en la figura 4.26.aaa
4.12.2
Difracción
La difracción es el fenómeno del movimiento ondulatorio en el que una onda
de cualquier tipo se extiende después de pasar junto al borde de un objeto sólido o
atravesar una rendija estrecha, en lugar de seguir avanzando en línea recta. Es decir,
cuando la onda encuentra un obstáculo tiende a bordearlo.
Casi toda la difracción de una onda se produce en aquella parte del frente de
onda que está a una distancia de pocas longitudes de onda de los límites del obstáculo. En aquellas zonas de la onda que están más alejadas, el efecto del obstáculo,
es decir la difracción, es imperceptible y la onda se propaga en línea recta en la dirección de los rayos incidentes. Cuando una onda se encuentra con una barrera con
una pequeña abertura (un agujero) de unas pocas logitudes de onda de diámetro, la
parte de la onda que la atraviesa pasa toda ella a una distancia de pocas longitudes
de onda de los bordes. Así:
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Pág.: 250
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.27): Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un agujero.
Figura (4.28): Esquema de la interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un
agujero.
1. Los frentes de onda planos se curvan y se propagan adoptando la forma circular o
esférica (ver figura 4.27 y 4.28).
2. En contraste, si un haz de partículas incide sobre un obstáculo con una abertura,
las partículas que lo atraviesan no cambian su dirección (ver figura 4.29).
La difracción es una de las características fundamentales que distingue las
ondas de las partículas.
Aunque las ondas que encuentran un obstáculo o abertura siempre se curvan, o
difractan, la magnitud de este fenómeno depende de la relación que existe entre su
longitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura. Tenemos dos posibles casos:
1. Si la longitud de onda es grande en relación con la abertura, como en las figuras
4.27 y 4.28, los efectos de la difracción son grandes y las ondas se dispersan al atravesar la abertura como si procediesen de una fuente puntual localizada en la misma
abertura.
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Pág.: 251
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.29): Esquema de la interacción de un haz de partículas con un obstáculo que tiene un agujero.
2. Si la longitud de onda es pequeña en relación con la abertura, el efecto de difracción es pequeño como se muestra en la figura 4.30. Cerca de los bordes de la
abertura los frentes de onda se distorcionan y las ondas se curvan ligeramente. Sin
embargo, los frentes de onda no se ven afectados en su mayor parte y las ondas se
propagan en líneas rectas como si se tratase de un haz de partículas.
Figura (4.30): Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un agujero cuya
dimensión es grande con respecto a la longitud de onda.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.13
Interferencia
La interferencia es el fenómeno físico que se produce cuando dos o más ondas
se solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (intensidad o tamaño) de la onda resultante depende de las frecuencias, fases relativas
(posiciones relativas de crestas y valles) y amplitudes de las ondas iniciales.
La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que pueden interferir entre sí. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones que se ven
a veces en las burbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz de
distintas longitudes de onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de la
burbuja interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie exterior. En algunas de las longitudes de onda, la interferencia es constructiva, y en otras
destructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes
colores, la luz reflejada por la burbuja de jabón aparece coloreada. El fenómeno de
la interferencia entre ondas de luz visible se utiliza en holografía e interferometría.
La interferencia puede producirse con toda clase de ondas, no sólo ondas de luz.
Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades,
con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay
que tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferencia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidos
emitidos desde el escenario. Arrojando objetos al agua estancada se puede observar
la interferencia de ondas de agua, que es constructiva en algunos puntos y destructiva
en otros.
Consideraremos aquí la interferencia entre ondas denominadas ondas coherentes.
Se dice que dos ondas son coherentes cuando sus longitudes de onda,
frecuencia y amplitud son iguales, y que sus fases o bien son iguales, o bien
presentan una cierta discrepancia que permanece constante.
Ahora bien, supongamos que tenemos dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 y
queremos calcular el efecto que hacen sobre un cierto punto O (ver figura 4.25). La
posición de las fuentes (puntuales) de dichas ondas no tienen por qué coincidir, por lo
que las distancias al punto O serán distintas, y las llamaremos d1 y d2 ; estonces podemos
escribir,
1
= A Sen (kd1
!t)
(4.81)
2
= A Sen (kd2
!t)
(4.82)
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.31): Dos ondas armónicas coherentes 1 y
interferencia queremos calcular en cierto punto O.
que se originan en fuentes puntuales y cuya
2
y para hallar la onda resultante
en O aplicamos el principio de superposición ya
mencionado antes, de forma que,
=
1
+
2
= A [Sen (kd1
!t) + Sen (kd2
(4.83)
!t)]
ahora, si usamos la identidad trigonométrica,
Sen ( ) + Sen ( ) = 2 Sen
+
2
Cos
(4.84)
2
la expresión (4.83) puede ser escrita como,
= 2A Sen
kd1
!t + kd2
2
!t
Cos
kd1
!t
kd2 + !t
2
o,
= 2A Sen k
d1 + d2
2
!t Cos k
d1
d2
2
y como la función coseno es par, obtenemos finalmente,
= 2A Sen k
d1 + d2
2
!t Cos k
d2
d1
2
(4.85)
Interpretar la expresión (4.85) es sencillo. Si hacemos el cambio,
d=
d1 + d2
2
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Pág.: 254
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
la expresión (4.85) podrá ser escrita como,
d2 d1
= 2A Cos k
Sen (kd
2
|
{z
}
!t)
(4.86)
Amplitud
y tendremos que la onda resultante es una onda que parece provenir de una distancia
d, que es la semisuma de las distancias a ambas fuentes, pero cuya amplitud A no es
constante y viene dada por,
A = 2A Cos k
d2
d1
2
(4.87)
y que, por lo tanto, va a variar según el punto O del plano y las relaciones entre las
distancias a las fuentes.
Cuando emiten simultáneamente las fuentes 1 y 2. El punto O describe un movimiento
armónico simple que es la composición de dos movimientos armónicos simples de la
misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que dichos movimientos están en fase o interferencia constructiva y en oposición de fase o
interferencia destructiva.
4.13.1
Interferencia constructiva
La amplitud (4.87) será máxima en los lugares en los cuales,
Cos k
o,
d2
d2
d1
2
=1
d1
= n , con n = 0; 1; 2; :::
(4.88)
2
es decir, que aquellos puntos que verifiquen (4.88) tendrán una amplitud máxima. En
ellos se producirá lo que se denomina interferencia constructiva.
k
La interferencia constructiva se produce cuando dos o más ondas se combinan de tal forma que originan una onda cuya amplitud es mayor que la de
las ondas originales. Si las ondas están perfectamente en fase (si las crestas y los
valles de una onda coinciden exactamente con las crestas y los valles de otra)
entonces la amplitud resultante es la suma de las amplitudes individuales de las
ondas interactuantes.
La expresión (4.88) puede ser escrita en función de al usar (4.16) resultanto,
d2
d1 = n
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(4.89)
Pág.: 255
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.32): Interferencia constructiva.
que constituye una expresión mucho más inteligible que la (4.88). Resulta que para
puntos O separados una longitud entera de la interferancia es constructiva, ya que
ambas ondas se encuentran exactamente en fase, porque la función seno es periódica y se repite cuando se ha avanzado espacialmente una longitud .
Un ejemplo de este tipo de interferencia se ve representado en la figura 4.32. En
esta figura las ondas 1 y 2 coinciden a la perfección y por eso se ve como si fuera
una.
4.13.2
Interferencia destructiva
La amplitud (4.87) será mínima en los lugares en los cuales,
Cos k
o,
d2
d2
d1
2
=0
d1
= (2n + 1) , con n = 0; 1; 2; :::
(4.90)
2
2
es decir, que aquellos puntos O que verifiquen (4.90) tendrán siempre una amplitud
igual a cero, independientemente del tiempo transcurrido. En estos puntos se producirá lo que se denomina interferencia destructiva. A estos puntos con amplitud nula
se les denominan nodos y a las líneas que los unen se las denominan líneas nodales.
k
La interferencia destructiva se produce cuando dos o más ondas se combinan de tal forma que originan una onda cuya amplitud es menor que la de las
ondas originales. Si las ondas están perfectamente fuera de fase (si las crestas
de una onda coinciden exactamente con los valles de otra y viceversa) entonces sus amplitudes se cancelan, no resultando una onda.
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Pág.: 256
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
La expresión (4.90) puede ser escrita en función de
d2
d1 =
n+
al usar (4.16) resultanto,
1
2
(4.91)
lo cual significa que para puntos separados un cierto número entero de
más la mitad
Figura (4.33): Interferencia destructiva.
de una, resulta que las ondas se encuentranen contra-fase, o bien que una es justo la
opuesta de la otra y por tanto ambas se anulan simultáneamente dándose así una
interferancia destructiva.
Un ejemplo de este tipo de interferencia se muestra en la figura 4.33. Notemos que
el resultado de las dos ondas interactuantes es una línea recta, es decir, una onda de
amplitud nula. La figura 4.34 muestra un caso intermedio, es decir, donde la constante
de fase no es ni 0 ni .
Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no están exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser más
complejo.
4.14
Ondas estacionarias
Esta sección analizaremos el resultado de hacer interferir dos ondas armónicas
coherentes pero que viajan una hacia la otra. Matemáticamente lo que tenemos es
que una onda presenta la forma,
1
Esto es debido a que Sen ( + ) =
(x; t) = A Sen (kx
!t)
(4.92)
Sen .
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Pág.: 257
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.34): Interferencia entre dos ondas (caso intermedio).
y la otra, por propagarse en sentido contrario, será,
2
siendo la resultante
(4.93)
(x; t) = A Sen (kx + !t)
, al usar el principio de superposición,
(x; t) =
1
(x; t) +
2
(x; t) = A [Sen (kx
!t) + Sen (kx + !t)]
que al usar la identidad trigonométrica (4.84) se puede escribir como,
!t + kx + !t
2
(x; t) = 2A Sen (kx) Cos (!t)
|
{z
}
(x; t) = 2A Sen
kx
Cos
kx
!t
kx
!t
2
(4.94)
Amplitud
que es la expresión de una onda estacionaria.
Las ondas estacionarias son aquellas que se forman a partir de la superposición de dos ondas armónicas (por ejemplo dos senosoidales) que tienen
la misma frecuencia angular, amplitud y longitud de onda pero que viajan en
sentido contrario.
Notemos que:
1. No puede representar a una onda viajera, porque x y t no aparecen en la combinación kx !t exigida por una onda viajera, sino que aparecen por separado.
Debido a esto es la denominación de onda estacionaria.
2. La energía no se puede propagar por la cuerda. Esto es debido a que aquellos
puntos para los cuales Sen (kx) = 0 van a estar siempre en reposo puesto que no
presentan niguna otra dependencia. Evidentemente la energía no podrá rebasar
estos puntos para propagarse al otro lado.
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Pág.: 258
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
3. Un punto cualquiera de la cuerda se limitará a moverse de forma armónica en el
tiempo, debido al factor Cos (!t) con una amplitud 2A Sen (kx).
4. Una partícula en cualquier posición x determinada ejecuta un movimiento armónico
simple en el transcurso del tiempo, y todas las partículas vibran con la misma frecuencia angular !. En una onda viajera cada partícula de la cuerda vibra con
la misma amplitud. Sin embargo, en una onda estacionaria, la amplitud no es la
misma para todas las partículas sino que varía con la posición x de la particula.
A los puntos que cumplen con
(4.95)
Sen (kx) = 0
y que, por tanto, van a estar siempre en reposo, se les denomina nodos. En consecuencia, tendremos nodos en las posiciones,
kx = n , con n = 0; 1; 2; 3; :::
(4.96)
o bien, en virtud de (4.16), las posiciones de los nodos vendrán dadas por,
x = n , con n = 0; 1; 2; 3; :::
2
(4.97)
es decir,
3
x = 0; ; ; ; :::
2
2
Por otro lado, los puntos que cumplen con
(4.98)
(4.99)
Sen (kx) = 1
se les denomina antinodos. En consecuencia, tendremos antinodos cuando,
kx = n , con n = 1; 3; 5:::
2
(4.100)
o bien, en virtud de (4.16), las posiciones de los antinodos vendrán dadas por,
x = n , con n = 1; 3; 5:::
4
(4.101)
es decir,
3 5
; ; :::
(4.102)
4 4 4
Como podemos ver, tanto los nodos como los antinodos están separados entre sí
por 1=2 de longitud de onda. La separación entre un nodo y un antinodo adyacentes
es de 1=4 de longitud de onda.
x=
;
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Pág.: 259
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.30 El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,
(x; t) = 3; 0 Sen ( x) Cos (5 t)
donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la distancia entre
los nodos?, (b) ¿cuál es la amplitud, frecuencia y velocidad de cada una de las
ondas componentes?, (c) ¿cuál es la velocidad de una de las partículas de la
cuerda en x = 2; 00 cm cuando t = 3; 00 s?.
Solución: Al comparar la función dada con (4.94),
2A = 3; 0 cm; k =
rad
rad
;!=5
cm
s
(a) A partir de (4.16),
2
k
pero como los nodos están separados por una distancia d = =2 entonces,
=
d=
2
=
k
=
1
cm
= 1 cm
(b) Queda claro que,
1
A = :3; 0 cm = 1; 5 cm
2
También, como ! = 2 # entonces,
#=
5
!
=
2
2
1
s
= 2; 5 Hz
y por último, de (4.25),
v=
5 1
!
cm
= 1s = 5
k
s
cm
(c) La velocidad vendrá dada por,
@
@
=
[3; 0 Sen ( x) Cos (5 t)]
@t
@t
=
3; 0:5 Sen ( x) Sen (5 t)
v =
entonces para x = 2; 00 cm y t = 3; 00 s,
v =
3; 0:5 Sen ( :2; 00) Sen (5 :3; 00)
cm
= 0
s
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Pág.: 260
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.31 El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,
(x; t) = 0; 095 Sen (40; 5x) Cos (377t)
donde x y
están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad de las
ondas compunentes sobre la cuerda y la distancia entre los nodos para las ondas
estacionarias.
Solución: Al comparar la función dada con (4.94),
2A = 0; 095 m; k = 40; 5
rad
rad
; ! = 377
m
s
entonces de (4.25),
377 1s
!
m
v= =
1 = 9; 31
k
s
40; 5 m
y, por otro lado, a partir de (4.16),
2
k
pero, como ya vimos, los nodos y antinodos están separados entre sí por una distancia
d = =2 entonces,
=
d=
2
=
k
=
40; 5 m1
= 0; 08 m
Ejemplo 4.32 El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,
(x; t) = 12 Sen (7 x) Cos (9 t)
donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) Determinar la amplitud
del movimiento armónico simple de un elemento del medio localizado en x = 4; 0
cm, (b) determinar las posiciones de los nodos y antinodos si uno de los extremos
de la cuerda está en x = 0, (c) ¿cuál es el valor máximo de la posición en el
movimiento armónico simple de un elemento localizado en un antinodo?.
Solución: Al comparar la función dada con (4.94),
2A = 12 cm; k = 7
rad
rad
;!=9
cm
s
(a) La amplitud de esta onda estacionaria viene dada por el coeficiente del coseno,
por lo tanto,
Amplitud = 12 Sen (7 x) = 12 Sen (7 :4; 0) = 0 cm
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) En virtud de (4.96) la posición de los nodos vendrá dada por,
x = n , con n = 0; 1; 2; 3; :::
k
por lo tanto,
x=n
7
1
cm
1
= n cm
7
y, en virtud de (4.100), la posición de los antinodos vendrá dada por,
x=n
2k
, con n = 1; 3; 5:::
por lo tanto,
x=n
2:7
=
1
n cm
14
(c) El valor máximo de la posición en el movimiento armónico simple de un elemento
localizado en un antinodo viene dado por la amplitud máxima de la onda estacionaria. Como se dijo en (a) la amplitud de esta onda estacionaria es Amplitud=
12 Sen (7 x) y su valor máximo se dará cuando Sen (3; 0x) = 1, por lo anto,
Amplitud máxima =
4.14.1
12 cm
En una cuerda fija en ambos extremos
Supongamos que tenemos una cuerda tensada de longitud ` y de densidad lineal
de masa puesta en forma horizontal, sujeta en ambos extremos a dos soportes fijos
(ver figura 4.35). Este es un caso interesante y con variadas aplicaciones prácticas.
Como ejemplo, en cualquier instrumento de cuerda tendremos una disposición de
este tipo.
Figura (4.35): Cuerda tensada de longitud ` sujeta en ambos extremos a dos soportes fijos.
Vamos a hacer un análisis semi-cuantitativo de este fenómeno. Como la cuerda
debe estar sujeta en ambos extremos, significa que dichos extremos no van a poder
moverse, constituyéndose en nodos. Esto nos lleva a afirmar que Sen (k0) = 0 y Sen (k`) =
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
0 donde se ha colocado el origen del sistema de referencia en x = 0 (extremo izquierdo
de la cuerda). La primera condición es trivial y es siempre cierta, pero de la segunda
podemos escribir,
k` = n , con n = 0; 1; 2; :::
(4.103)
que es una relación entre el número de onda k y la longitud de la cuerda `. Ahora
bien, puesto que la longitud de la cuerda es un parámetro que podemos variar a
nuestro antojo, lo que tenemos realmente es que el número de onda no puede ser
cualquiera, sino que debe cumplir con,
n
, con n = 0; 1; 2; :::
(4.104)
k=
`
es decir, ser discreto y con unos valores concretos. A cada uno de estos n patrones
de oscilación se les denomina modos normales. Esta situación en la cual sólo ciertas
frecuencias de oscilación son permitidas se le denomina cuantizacióny . Entonces, en
(4.104), kn significa el número de onda para el n-ésimo modo normal de oscilación.
Si, en virtud de (4.16), expresamos estos valores en función de la longitud de onda
, resulta,
`
(4.105)
n = 2 , con n = 1; 2; 3; :::
n
y las frecuencias naturales #n asociadas con estos modos pueden ser obtenidas a
partir de la expresión (4.15) y de que = # 1 , donde la velocidad de la onda es la
misma para todas las frecuencias, de la siguiente forma,
v
v
#n =
= n , con n = 1; 2; 3; :::
(4.106)
2`
n
Estas frecuencias naturales son también denominadas frecuencias cuantizadas asociadas con la cuerda vibrante sujeta en ambos extremos.
Ahora, si usamos (4.31) para sustituir la velocidad v en (4.106), podemos también
expresar las frecuencias naturales como,
s
n T
, con n = 1; 2; 3; :::
(4.107)
#n =
2`
La frecuencia natural para n = 1 es denominada fundamental o frecuencia
fundamental.
La frecuencia fundamental vendrá dada, por lo tanto, al sustituir n = 1 en (4.107),
de forma que,
s
1 T
#1 =
(4.108)
2`
y
La cuantización ocurre comúnmente cuando las ondas están sujetas a condiciones de frontera.
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Pág.: 263
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
y es fácil verificar que las frecuencias de los restantes modos normales son múltiplos
enteros de la frecuencia fundamental, es decir,
#n = n#1
(4.109)
Cuando las frecuencias de los modos normales exhiben este tipo de relaciones de múltiplos enteros como la anterior, forman una serie denominada serie armónica, y los modos normales correspondientes se denominan armónicos.
La frecuencia fundamental #1 es la frecuencia del primer armónico; la frecuencia
#2 = 2#1 es la frecuencia del segundo armónico y la frecuencia #n = n#1 es la frecuencia del n-ésimo armónico. La figura 4.36 muestra los tres primeros armónicos para la
cuerda fija en ambos extremos.
Figura (4.36): Primeros tres armónicos de una cuerda fija en ambos extremos.
Otros sistemas oscilantes, tales como los tambores, exhiben modos normales, pero las frecuencias no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Por lo tanto, no usamos el término armónico para este tipo de sistemas.
Los resultados (4.106) y (4.107) son la razón fundamental del funcionamiento de los
instrumentos de cuerda, como por ejemplo una guitarra. Como la frecuencia de la
oscilación se propaga en el aire y se escucha como sonido, entonces es posible variar
la nota cambiando la longitud de la cuerda, por ejemplo, poniendo el dedo sobre
un trastez y acortando esta longitud en cierta cantidad determinada; o variando la
z
Se le da el nombre de traste a cada uno de los resaltos de metal o hueso que se colocan a trechos en
el mástil de la guitarra u otros instrumentos semejantes, para que, oprimiendo entre ellos las cuerdas,
quede a estas la longitud libre correspondiente a los diversos sonidos.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
velocidad de propagación de la onda en la cuerda: aumentando o disminuyendo la
tensión de la cuerda, o variando la densidad de la cuerda colocando una primera en
vez de una segunda, o una tercera, etc.
Ejemplo 4.33 Una cuerda de 2; 0 m de longitud es impulsada por un vibrador de 240 Hz
en su extremo. La cuerda resuena en cuatro segmentos. ¿Cuál es la velocidad
de las ondas transversales sobre la cuerda?.
Solución: Al usar (4.106) con n = 4,
`
2; 0m
1
m
v = #4 =
:240 = 240
2
2
s
s
Ejemplo 4.34 Una cuerda de un piano tiene 90 cm de longitud y tiene una masa de
5; 0 g. ¿A qué tensión debe estar la cuerda si debe vibrar con una frecuencia
fundamental de 120 Hz?, (b) ¿cuáles son las frecuencias de los primero cuatro
armónicos?.
Solución:
(a) A partir de (4.108),
T = 4`2 #21
pero
= m=`, entonces,
T = 4`m#21
de aquí que,
T = 4:90:10 2 m:5; 0:10 3 Kg: 120
1
s
2
= 259 N
(b) A partir de (4.109),
#n = n#1
entonces,
#2 = 2:120Hz = 240 Hz
#3 = 3:120Hz = 360 Hz
#4 = 4:120Hz = 480 Hz
y el primer armónico es el fundamental que ya fue dado en el enunciado del ejemplo.
Ejemplo 4.35 Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 1; 30 m entre sí y se
ajusta la tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 260 Hz.
¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?.
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Pág.: 265
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: De (4.106),
v=
2`#n
n
entonces, para n = 1 (fundamental),
m
1
v = 2`#1 = 2:1; 30m:260 = 676
s
s
Ejemplo 4.36 Una cuerda que está fija en sus extremos tiene una longitud de 2; 5 m,
una densidad lineal de masa de 0; 0040 Kg=m y se le han medido dos frecuencias
resonantes consecutivas a 250 Hz y 310 Hz. Determinar la frecuencia fundamental
de la cuerda y comprobar si una cuerda como esta es adecuada para colocarla
en un instrumento musical, teniendo en cuenta que si la tensión de la misma
sobrepasa los 500 N hay problemas de seguridad.
Solución: Supongamos que la primera frecuencia resonante se da para n = na y la
segunda para n = nb entonces, en virtud de (4.109),
#na = na #1
#nb = nb #1
ahora, al restar miembro a miembro las anteriores expresiones,
#nb
#na = #1 (nb
na )
y como las frecuencias resonantes dadas son consecutivas se cumple que nb
por lo tanto,
#1 = #nb #na = 310 Hz 250 Hz = 60 Hz
q
Por otro lado, al usar (4.108),#1 = 2`1 T
T = 4`2 #21 = 4: (2; 5m)2 :0; 0040
1
Kg
: 60
m
s
na = 1,
2
= 360 N
por lo tanto, la cuerda es segura.
Ejemplo 4.37 Una cuerda fija por ambos extremos tiene 1; 5 m de largo. Resuena en
su segundo armónico a una frecuencia de 85 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las
ondas transversales en ella?.
Solución: Al usar (4.106),
v=
entonces, para n = 2,
2`#n
n
1
m
v = `#2 = 1; 5m:85 = 128
s
s
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.38 La función de onda (x; t) para cierta onda estacionaria sobre una
cuerda fija en ambos extremos es dada por,
(x; t) = 8; 0 Sen
4
x Cos (100 t)
donde x y están en centímetros y t está en segundos. (a) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda?, (b) ¿Cuál es la velocidad de las
ondas transversales en esta cuerda?, (c) si la cuerda está vibrando en su tercer
armónico, ¿cuál es su longitud?.
Solución: Al comparar la función dada con (4.94),
2A = 8; 0 cm; k =
rad
rad
; ! = 100
4 cm
s
(a) A partir de (4.16),
=
2
2
= 1 = 8 cm
k
4 cm
También, como ! = 2 # entonces,
100
!
#=
=
2
2
1
s
= 50 Hz
(b) De (4.25),
v=
100 1s
!
cm
=
= 400
1
k
s
4 cm
(c) Al usar (4.106),
`=
entonces, para n = 3,
4.14.2
nv
2#n
3:400 cm
3v
s
`=
=
= 12 cm
1
2#3
2:50 s
En una cuerda fija en uno de sus extremos
Supongamos que tenemos una cuerda de longitud `, que vamos a poner en forma
horizontal fijándola en uno de sus extremos a una pared (ver figura 4.37) y por el otro
extremo la sujetamos a un anillo de masa despreciable y que puede deslizarse libremente (sin fricción) sobre un eje que es perpendicular al eje que contiene a la cuerda.
Si propagamos ahora una onda armónica por la cuerda, tarde o temprano, llegará a
la pared y rebotará en ella. Tendremos entonces una interferencia que se producirá
en la cuerda, debida a dos ondas iguales, con la excepción de que se propagan en
sentido contrario.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.37): Cuerda fijada, en uno de sus extremos, a una pared.
En el extremo fijo (extremo izquierdo) x = 0 (si colocalos el origen de nuestro sistema
de referencia en este punto), debe cumplirse que,
Sen (kx) = Sen (k0) = 0
(4.110)
condición que es trivial y es siempre cierta. En el extremo libre tenemos un antinodo y
debe cumplirse, en virtud de (4.99), que,
Sen (kx) = Sen (k`) = 1
(4.111)
k` = n , con n = 1; 3; 5:::
2
(4.112)
` = n , con n = 1; 3; 5:::
4
(4.113)
o,
y en consecuencia, por (4.16),
con lo cual,
4`
(4.114)
n
y si usamos (4.15) y que = # 1 , las frecuencias naturales (también llamadas de resonancia) vendrán dadas por,
v
v
#n =
=n
(4.115)
4`
n
n
=
de manera que la frecuencia la frecuencia fundamental viene dada por,
#1 =
v
4`
(4.116)
y es fácil verificar que,
#n = n#1
(4.117)
La figura 4.38 muestra algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.38): Algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos.
Ejemplo 4.39 Una cuerda de 5; 2 m de longitud es sujetada en uno de sus extremos y
el otro extremo es sujetado a un resorte liviano de forma que es libre de moverse.
La velocidad de las ondas en la cuerda es 13; 1 m=s. Encontrar la frecuencia (a)
fundamental, (b) segundo armónico y (c) tercer armónico.
Solución:
(a) Al usar (4.116) para n = 1,
#1 =
13; 1 ms
v
=
= 0; 63 Hz
4`
4:5; 2m
(b) No hay segundo armónico, pues n sólo puede tomar valores impares.
(c) Al usar (4.117) para n = 3,
#3 = 3#1 = 3:0; 63 Hz = 1; 89 Hz
Ejemplo 4.40 Una cuerda fija en uno de sus extremos está vibrando sólo en su modo
fundamental. La función de onda es,
(x; t) = 0; 09 Sen (3; 00x) Cos (300t)
donde y x están en metros y t está en segundos. (a) ¿Cuál es la longitud de
onda de la onda?, (b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? y (c) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales sobre la cuerda?.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: Al comparar la función dada con (4.94),
2A = 0; 09 m; k = 3; 00
rad
rad
; ! = 300
m
s
(a) A partir de (4.16),
2
2
=
= 2; 09 m
k
3; 00 m1
=
(b) A partir de (4.114) para n = 1,
`=
1
4
=
2; 09 m
= 0; 523 m
4
(c) De (4.25),
300 1s
!
m
v= =
1 = 100
k
s
3; 00 m
También es posible encontrarla a partir de (4.116) para n = 1 y teniendo presente
que # = 2! ,
2
v = `!
Ejemplo 4.41 Una cuerda de 2 m es fijada en uno de sus extremos y está vibrando en
su tercer armónico con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de 100 Hz. (a)
Escriba la función de onda para esta vibración, (b) escriba una expresión para la
energía cinética de un segmento de la cuerda de longitud dx en un punto x para
algún tiempo t. ¿En qué tiempo es la energía cinética un máximo? y ¿cuál es la
forma de la cuerda en este momento?.
Solución:
(a) Del enunciado del ejemplo 2A = 3 cm = 0; 03 m: Por otro lado,
rad
1
! = 2 # = 2 :100 = 200
s
s
y a partir de (4.112) para n = 5,
k=
5
5
5 rad
=
=
2`
2:2m
4 m
por lo tanto, en virtud de (4.94),
(x; t) = 2A Sen (kx) Cos (!t) = 0; 03 Sen
con
5
x Cos (200 t)
4
y x en metros y t en segundos.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) La energía cinética vendrá dada por,
1
dK = dmv 2
2
y como dm = dx, entonces,
dK =
1 2
v dx
2
(1)
pero,
@
@
5
=
0; 03 Sen
x Cos (200 t)
@t
@t
4
5
x Sen (200 t)
=
6 Sen
4
v =
(2)
de aquí que, al sustituir (2) en (1),
dK = 18
2
5
x Sen (200 t)
4
Sen
Esta energía será un máximo si Sen
5
4
2
(3)
dx
x = 1 y Sen (200 t) = 1; por lo tanto,
Sen (200 t) = 1 ) 200 t =
2
) t = 2; 5:10 3 s
Para encontrar su forma en el anterior tiempo, evaluamos
x; t = 2; 5:10 3 s = 0; 03 Sen
(x; t) en ese instante,
5
x Cos 200 :2; 5:10
4
3
=0
siendo, entonces, su forma recta.
Ejemplo 4.42 Un extremo de una cuerda de 2; 35 m se mantiene fijo. El otro extremo
está unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin
fricción como se muestra en la figura 4.39. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda
más grandes posibles de ondas estacionarias en la cuerda?.
Solución: De (4.114),
4`
n
entonces las tres mayores longitudes de onda serán para n = 1, n = 3 y n = 5,
n
1
3
5
=
= 4` = 4:2; 35 m = 9; 40 m
4`
4
=
= :2; 35 m = 3; 13 m
3
3
4`
4
=
= :2; 35 m = 1; 88 m
5
5
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.39): Ejemplo 4.42: Cuerda sujeta en uno de sus extremos y con el otro extremo unido a un anillo
sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción.
4.14.3
En tubos
Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros
instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en
el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido.
Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas
y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas
notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.
Un tubo de órgano constituye un ejemplo familiar del empleo de ondas estacionarias en columnas de aire. El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en
los que cada tubo da una sola nota. El tubo de órgano es excitado por el aire que
entra por el extremo inferior (ver figura 4.40). El aire se transforma en un chorro en la
hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de
aire interacciona con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la
columna de aire haciendo que el tubo suene. Las frecuencias del tubo dependerán
de su longitud y de que su extremo esté abierto o cerrado. Cerca de la boca, que
está abierta a la atmósfera, se forma un nodo de presión.
4.14.3.1 En un tubo abierto en ambos extremos
En un tubo abierto, la presión en ambos extremos es igual a la presión atmosférica
y no varía. Por lo tanto, existirá un nodo de presión en ambos extremos del tubo, o
equivalentemente, un antinodo de desplazamiento ya que, como vimos en la sección 4.11, la onda de presión está desfasada 90 con respecto a la onda de desplazamiento. Este resultado está basado en la hipótesis de que la onda sonora en el tubo es
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Pág.: 272
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.40): Tubo de órgano.
unidimensional, lo cual es aproximadamente cierto si el diámetro del tubo es mucho
menor que la longitud de onda.
En el extremo abierto donde incide la onda se produce una reflexión, originándose
una onda reflejada desfasada en 180 con respecto a la incidente, originándose así
ondas estacionarias.
Parece extraño que en un extremo abierto se pueda producir una reflexión. Siempre que una onda pase de un medio a otro, habrá reflexión y refracción de la misma,
sin embargo, en nuestro caso la onda pasa del aire al aire, es decir, no cambia de
medio. Pero, el sonido es una onda de presión y una zona de compresión está limitada por los lados del tubo mientras dicha zona esté dentro del tubo. Cuando la zona
de compresión está en el extremo abierto del tubo, la limitación impuesta por las paredes de éste desaparece y el aire comprimido es libre de expandirse en la atmósfera.
De esta manera se produce un cambio de carácter entre el medio que está dentro y
el que está afuera del tubo, incluso, aunque no exista cambio en el medio material.
Este cambio en carácter es suficiente para permitir alguna reflexión.
En la práctica, los nodos de presión están ligeramente más allá de los extremos del
tubo. La longitud efectiva `ef del tubo es,
`ef = ` +
`
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(4.118)
Pág.: 273
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
donde ` es la corrección de los extremos. Para un tubo de sección circular,
donde R es el radio del tubo.
` ' 0; 6R
Figura (4.41): Algunos armónicos para el caso de un tubo abierto en ambos extremos. La perturbación
sonora es generada por un parlante en uno de los extremos.
De todo lo anterior,
Las ondas estacionarias en el aire que contiene un tubo abierto por ambos
extremos dan lugar a un nodo de presión (y un antinodo de desplazamiento)
cerca de cada extremo. La condición de onda estacionaria es la misma que
la de una cuerda fija por los dos extremos.
Por lo tanto, se cumplen las mismas expresiones estudiadas para el caso de una
cuerda fija por los dos extremos, sólo que ahora ` es la longitud efectiva del tubo
(corrección que será ignorada a menos que se indique lo contrario.). La figura 4.41
muestra algunos armónicos en tubos de este tipo, donde las perturbaciones de presión
(ondas sonoras) son generadas mediante un parlante.
Ejemplo 4.43 Calcular la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental
de 307 Hz si el tubo es abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del
sonido 343 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos. Al usar (4.106),
nv
`=
2#n
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Pág.: 274
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
entonces para n = 1,
343 ms
v
`=
=
= 0; 559 m
2#1
2:307 1s
Ejemplo 4.44 Un tubo de vidrio de 98 cm de longitud está abierto en ambos extremos.
Encuentre las frecuencias en las cuales resuena con ondas de sonido de 343 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos, por lo tanto, al usar (4.106),
nv
#n =
2`
entonces,
343 ms
#n =
n = 175n Hz
2:98:10 2 m
Ejemplo 4.45 Un tubo de vidrio (abierto en ambos extremos) de longitud ` es posicionado cerca de un parlante de audio cuya frecuencia es de 545 Hz. ¿Para
qué valores de ` resonará el tubo con el parlante?. Tomar como velocidad del
sonido 343 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos. Al usar (4.106),
`=
343 ms
nv
n = 0; 315n m
=
2#n
2:545 1s
Ejemplo 4.46 Una sección de un tubo de drenaje de 3; 00 m de longitud hace un sonido
cuando exhala aire. (a) Determinar las frecuencias de los primeros tres armónicos
del tubo si es cilíndrico y abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del
sonido 340 m=s. (b) ¿Cuántos armónicos hay dentro del rango de audibilidad del
humano (20 a 20000 Hz)?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
(a) Al usar (4.106),
#n =
entonces,
#n =
nv
2`
340 ms
n = 56; 7n Hz
2:3; 00m
de aquí que,
#1 = 56; 7:1 Hz = 56; 7 Hz
#2 = 56; 7:2 Hz = 113 Hz
#3 = 56; 7:3 Hz = 170 Hz
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Pág.: 275
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) Aquí sólo tenemos que dividir el extremo superior del rango de audibilidad entre el
armónico funfamental,
20000 Hz
= 353
56; 7 Hz
Ejemplo 4.47 La longitud total de un piccolo es 20; 0 cm. La columna de aire resonante
vibra como en un tubo abierto en ambos extremos. (a) Determinar la frecuencia
de la nota más baja que el piccolo puede ejecutar, suponiendo que la velocidad
del sonido en el aire es 343 m=s. (b) Abrir hoyos en un lado recorta efectivamente
la longitud de la columna resonante. Si la nota más alta que el piccolo puede
producir es 5148 Hz, encuentre la distancia entre los antinodos adyacentes para
este modo de vibración.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
(a) Al usar (4.106),
#n =
entonces,
#n =
343 ms
2:20; 0:10
2
nv
2`
m
n = 858n Hz
de aquí que,
#1 = 858 Hz
(b) A partir de (4.105),
n
`
n
(1)
2`#n
v
(2)
=2
pero en virtud de,
n=
entonces al sustituir (2) en (1),
n
=
343 ms
v
= 0; 067 m
=
#n
5148 1s
pero, como ya vimos, los nodos y antinodos están separados entre sí por una
distancia d = =2 entonces,
d=
2
=
0; 067 m
= 0; 0335 m = 33; 5 mm
2
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.48 Cuando un tubo de metal abierto es cortado en dos, la frecuencia de
resonancia más baja para la columna de aire en una de esas partes es 300 Hz
y para la otra es 520 Hz. (a) ¿Qué longitud tenía éste?, (b) ¿cuál frecuencia
resonante habría producido el tubo original?. Tomar como velocidad del sonido
340 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
(a) Al usar (4.106),
`=
nv
2#n
`=
v
2#1
entonces para n = 1,
de aquí que, si `a y `b son las longitudes de ambos trozos de tubo,
`a
`b
340 ms
v
= 0; 57 m
=
=
2#1a
2:300 1s
340 ms
v
=
= 0; 33 m
=
2#1b
2:520 1s
entonces la longitud original ` del tubo será,
` = `a + `b = 0; 57 m + 0; 33 m = 0; 90 m
(b) Al usar nuevamente (4.106),
#n =
entonces para n = 1,
#1 =
nv
2`
340 ms
v
=
= 189 Hz
2`
2:0; 90 m
Ejemplo 4.49 Con un tocado particular, una flauta produce una nota con frecuencia
797 Hz a 20; 0 C. La flauta es abierta por ambos extremos. (a) Encuentre la longitud de la columna de aire y (b) determine la frecuencia cuando la temperatura
ambiente es de 5; 00 C. Tómese velocidad del sonido 343 m=s a 20; 0 C y 328 m=s
a 5; 00 C.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
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Pág.: 277
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(a) Al usar (4.106),
`=
nv
2#n
`=
v
2#1
entonces para n = 1,
de aquí que,
`=
343 ms
= 0; 215 m
2:797 1s
(b) Al usar nuevamente (4.106),
#n =
nv
2`
#1 =
v
2`
entonces para n = 1,
de aquí que,
#1 =
328 ms
= 763 Hz
2:0; 215 m
4.14.3.2 En un tubo cerrado en uno de sus extremos
En un tubo cerrado en uno de sus extremos, el extremo cerrado es un nodo de
desplazamiento debido a que la pared en este extremo no permite movimiento longitudinal del aire. Como resultado, en el extremo cerrado del tubo, la onda sonora
reflejada está desfasada 180 con respecto a la onda incidente. Además, debido a
que la onda de presión está desfasada 90 con respecto a la onda de desplazamiento,
el extremo cerrado de una columna de aire corresponde a un antinodo de presión. El
extremo abierto es aproximadamente un antinodo de desplazamiento y un nodo de
presión de la misma manera como fue discutido en la anterior sección.
De todo lo anterior,
Las ondas estacionarias en el aire que contiene un tubo abierto por un
extremo y cerrado por el otro, dan lugar a un antinodo de desplazamiento en
el extremo abierto (un nodo de presión) y un nodo de desplazamiento en el
cerrado (un antinodo de presión). La condición de onda estacionaria es la
misma que la de una cuerda fija por uno de sus extremos (el cual corresponde
al extremo cerrado del tubo).
Por lo tanto, se cumplen las mismas expresiones estudiadas para el caso de una
cuerda fija por uno de sus extremos, sólo que ahora ` es la longitud del tubo. La figura
4.42 muestra algunos armónicos en tubos de este tipo, donde las perturbaciones de
presión (ondas sonoras) son generadas mediante un parlante.
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Pág.: 278
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.42): Algunos armónicos para el caso de un tubo cerrado en uno de sus extremos. La perturbación sonora es generada por un parlante en el extremo abierto.
Leyes de Bernoulli
Todo lo anterior se resume en las llamadas leyes de Bernoulli:
La frecuencia del sonido en un tubo es:
1. Directamente proporcional a la velocidad del sonido v en el gas que contiene el
tubo.
2. Inversamente proporcional a la longitud del tubo `.
3. En un tubo abierto se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia
fundamental (n = 1) y sus armónicos (n = 2; 3; 4; :::).
4. En un tubo cerrado se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia
fundamental (n = 1) y los armónicos impares (n = 3; 5; 7; :::).
5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el abierto
produce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado.
Ejemplo 4.50 Ondas de compresión (ondas de sonido) son producidas en un tubo de
83; 5 cm de longitud cerrado en uno de sus extremos. El tubo resuena en varias
frecuencias, la más pequeña de las cuales es 67 Hz. (a) Encuentre la velocidad
de las ondas de sonido en el aire, (b) ¿a qué otras frecuencias resonará el tubo?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
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Pág.: 279
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(a) De (4.115),
v=
4`#n
n
entonces para n = 1,
1
cm
v = 4`#1 = 4:83; 5 cm:67 = 2; 2:104
s
s
(b) De (4.117),
#n = n#1 = 67n Hz
Ejemplo 4.51 Determine la longitud más corta de un tubo cerrado en uno de sus extremos que resuena en el aire debido a una fuente sonora cuya frecuencia es de
125 Hz. Tómese la velocidad del sonido igual a 343 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos. De (4.115),
vn
`=
4#n
entonces para n = 1,
343 ms
v
`=
=
= 0; 686 m
4#1
4:125 1s
Ejemplo 4.52 Un largo y estrecho tubo cerrado en uno de sus extremos no resuena
con un diapasón que tiene una frecuencia de 300 Hz hasta que la longitud de
la columna de aire alcanza 28 cm. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire?
y ¿cuál es la siguiente longitud de la columna de aire que resuena con el diapasón?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) De (4.115),
v=
4#n `
n
entonces para n = 1,
1
cm
v = 4`#1 = 4:28 cm:300 = 3; 4:104
s
s
(b) Nuevamente, de (4.115),
vn
4#n
entonces para n = 3 y como la frecuencia permanece constante (#3 = #1 ),
`=
`=
3:3; 4:104 cm
v
3v
s
=
= 85 cm
1
4#3
4:300 s
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Pág.: 280
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.53 Un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene una longitud de
50; 0 cm. ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres sobretonos si la velocidad
del sonido es 328 m=s?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos. De (4.115),
vn
#n =
4`
entonces para n = 1,
328 ms
v
=
= 164 Hz
#1 =
4`
4:50; 0:10 2 m
Por otro lado, a partir de (4.117),
#n = n#1 = 164n Hz
de aquí que los primeros tres sobretonos sean,
#3 = 164:3 Hz = 492 Hz
#5 = 164:5 Hz = 820 Hz
#7 = 164:7 Hz = 1148 Hz
Ejemplo 4.54 La figura 4.43 muestra un aparato que puede emplearse para medir la
velocidad del sonido en el aire usando la condición de resonancia. Encima de un
tubo cilíndrico parcialmente lleno de agua se sostiene un pequeño parlante. Al
ajustar el nivel de agua subiendo y bajando el depósito de agua, la longitud de la
columna de aire puede cambiarse hasta que el tubo esté en resonancia, en cuyo
punto puede oirse un incremento en la intensidad del sonido. Para cierto tubo,
el valor más pequeño de ` para el cual se produce una resonancia es 7; 50 cm.
Determínese (a) la frecuencia del parlante, (b) los valores de ` para las próximas
dos frecuencias de resonancia. Tómese 328 m=s como velocidad del sonido.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) De (4.115),
#n =
nv
4`
entonces para n = 1,
328 ms
v
#1 =
=
= 1093 Hz
4`
4:7; 50:10 2 m
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.43): Ejemplo 4.54: Aparato que puede emplearse para medir la velocidad del sonido en el aire
usando la condición de resonancia.
(b) Nuevamente de (4.115),
nv
4#n
por lo tanto debido a que la frecuencia del parlante permanece constante (#1 =
#3 = #5 ),
3:328 ms
3v
` =
= 0; 225 m
=
4#3
4:1093 1s
5:328 ms
5v
` =
=
= 0; 375 m
4#5
4:1093 1s
`=
Ejemplo 4.55 Una columna de aire en un tubo de vidrio está abierto en uno de sus
extremos y cerrado en el otro mediante un pistón móvil. Un diapasón de 384 Hz
es mantenido en el extremo abierto. Se escucha resonancia cuando el pistón
está a 22; 8 cm del extremo abierto y nuevamente cuando está a 68; 3 cm. (a)
¿Cuál es la velocidad del sonido? y (b) ¿cuán lejos del extremo abierto debe
estar el pistón para que se escuche la próxima resonancia?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) Las distancias dadas son aquellas donde se dan antinodos. Como sabemos que
entre nodo y nodo o antinodo y antinodo hay una distancia de =2 entonces,
2
= 68; 3 cm
22; 8 cm )
= 91 cm
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
de manera que de (4.27),
v = # = 91:10
12
1
m
m:384 = 350
s
s
(b) Nuevamente de (4.115) para n = 5 y como la frecuencia se mantiene constante
(#1 = #3 = #5 ),
5:350 ms
5v
=
`=
= 1; 14 m
4#5
4:384 1s
Ejemplo 4.56 Un diapasón con una frecuencia de 435 Hz es colocado cerca del extremo abierto del tubo mostrado en la figura 4.43. El nivel del agua es bajado
de tal manera que la longitud ` se incrementa lentamente de su valor inicial de
20; 0 cm. Determinar los próximos dos valores de ` que corresponden a modos
resonantes Tómese 343 m=s como velocidad del sonido.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos. Calculemos primero dónde se produce la primera resonancia. De (4.115)
para n = 1,
343 ms
v
=
= 0; 197 m
`=
4#1
4:435 1s
Teniendo presente que la frecuencia se mantiene constante (#1 = #3 = #5 ), los próximos
dos valores de ` se dan cuando n = 3 y n = 5 ,
3:343 ms
3v
` =
= 0; 591 m
=
4#3
4:435 1s
5:343 ms
5v
` =
=
= 0; 986 m
4#5
4:435 1s
Ejemplo 4.57 Un diapasón de 460 Hz causa resonancia en el tubo de la figura 4.43
cuando la parte superior del tubo está a 18; 3 y 55; 8 cm sobre la superficie del
agua. (a) Determinar la velocidad del sonido en el aire, (b) ¿cuál es la corrección
en el extremo abierto por el hecho de que el antinodo no se origina exactamente
en el extremo del tubo abierto?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) Las distancias dadas son aquellas donde se dan antinodos. Como sabemos que
entre nodo y nodo o antinodo y antinodo hay una distancia de =2 entonces,
2
= 55; 8 cm
18; 3 cm )
= 75 cm
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
de manera que de (4.27),
v = # = 75:10
12
1
m
m:460 = 345
s
s
(b) Para la frecuencia fundamental, el nivel del agua está en ` = 18; 3 cm y el primer
nodo de presión está en
75 cm
=
= 18; 75 cm
4
4
entonces la corrección buscada vendrá dada por,
`=
4.15
4
` = 18; 75 cm
18; 3 cm = 0; 45 cm
Efecto Doppler
El efecto Doppler es la variación aparente de la frecuencia de cualquier onda
emitida cuando existe un movimiento relativo entre la fuente de la onda y el observador.
El principio explica por qué, cuando una fuente de sonido de frecuencia constante
avanza hacia el observador, el sonido parece más agudo (de mayor frecuencia),
mientras que si la fuente se aleja parece más grave. Este cambio en la frecuencia
puede ser percibido por un observador que escuche el silbato de un tren rápido desde
el andén o desde otro tren. Las líneas del espectro de un cuerpo luminoso como una
estrella también se desplazan hacia el rojo si la estrella se aleja del observador. Midiendo este desplazamiento puede calcularse el movimiento relativo de la Tierra y la
estrella. En la figura 4.44 se muestra la causa de este efecto. Cuando la fuente emisora
está en movimiento, los máximos de la onda emitida llegan con mayor frecuencia
cuendo la fuente va al encuentro del receptor, y con menor frecuencia cuando la
fuente se aleja del receptor.
Es importante no confundir la variación de la frecuencia, la cual solamente ocurre
cuando hay movimiento relativo entre fuente y observador, con la variación en intensidad que únicamente depende de la distancia entre la fuente y el observador.
Con relación a las ondas sonoras (que tomaremos como ejemplo de las ondas
mecánicas) el efecto Doppler analiza únicamente la variación en frecuencia (sonido
más agudo o más grave) que se presenta cuando hay movimiento relativo entre
fuente y observador.
Evidentemente pueden presentarse tres casos:
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Pág.: 284
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.44): Efecto Doppler para una velocidad de movimiento de la fuente emisora menor que la
velocidad de propagación de la onda.
1. La fuente se acerca al observador moviéndose en la misma dirección y sentido.
2. La fuente se acerca al observador moviéndose en la misma dirección y sentido
contrario.
Para nuestros cálculos siempre la velocidad de la fuente o del observador es menor
que la velocidad de la onda.
4.15.1
La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y
sentido
4.15.1.1 La fuente trata de adelantar al observador
Consideremos la situación que se muestra en la figura 4.45. Una fuente de ondas F
(emisor) se mueve hacia la derecha con una velocidad vf mientras que el observador
O (receptor) se mueve también hacia la derecha con una velocidad vo (consideraremos sólo el móvimiento de la onda hacia la derecha). En el instante inicial t = 0
en el que la fuente emite una onda, la distancia entre el emisor y el receptor es `o ,
llegando la onda al observador en un tiempo t. Durante ese tiempo el observador ha
recorrido una distancia vo t y la distancia total que la onda ha recorrido en ese tiempo
t es `o + vo t.
Por otro lado, si v la velocidad de propagación de la onda, la anterior distancia
también viene dada por vt. Por lo tanto,
vt = `o + vo t
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.45): Efecto Doppler para fuente y observador en movimiento en ls misma dirección y sentido.
o,
t=
`o
v
(4.119)
vo
Transcurrido un tiempo t la fuente habrá avanzado una distancia vf t y emite
una nueva onda que llegará al observador transcurrido un tiempo t0 medido desde el
origen de tiempos común. La distancia recorrida por la onda será ahora (`o vf t) +
vo t0 que, ya que esta segunda onda ha viajado durante un tiempo (t0
t) a una
velocidad v resulta,
v (t0
t) = `o vf t + vo t0
o,
t0 =
`o + (v vf ) t
v vo
(4.120)
por lo que el intervalo en el que llegan al observador las dos ondas emitidas por la
fuente con una separación t es,
t0 = t0
t=
v
v
vf
t
vo
(4.121)
Si la fuente emite ondas con una frecuencia #, en el intervalo de tiempo t habrá
emitido # t ondas. Como esas mismas ondas las recibe el observador en un intervalo
de tiempo t0, entonces,
# t = #0 t0
o,
t
(4.122)
t0
que es el número de ondas que recibe el observador en un intervalo de tiempo t0.
Esta expresión puede ser escrita como,
#0 = #
#0 =
v
v
vo
#
vf
(4.123)
y que nos da la relación entre la frecuencia # con que emite la fuente y la frecuencia
#0 con que el observador recibe la señal.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.15.1.2 El observador trata de adelantar a la fuente
Si es el observador quien trata de adelantar a la fuente, es fácil demostrar que,
#0 =
v + vo
#
v + vf
(4.124)
Por lo tanto, en general podemos escribir,
#0 =
4.15.2
v
v
vo
#
vf
(4.125)
La fuente y el observador se mueven en la misma dirección y
sentidos opuestos
4.15.2.1 Acercándose
Supongamos que la fuente se mueve hacia la derecha y el observador hacia la
izquierda. En este caso sólo tenemos que cambiar vo por vo en la expresión (4.123),
resultando,
v + vo
#
(4.126)
#0 =
v vf
4.15.2.2 Alejándose
Supongamos ahora que la fuente se mueve hacia la izquierda y el observador
hacia la derecha. En este caso sólo tenemos que cambiar vf por vf en la expresión
(4.123), resultando,
v vo
#0 =
#
(4.127)
v + vf
En general tendremos,
#0 =
v
v
vo
#
vf
(4.128)
Ejemplo 4.58 Una sirena de policía en reposo emite un sonido a 1150 Hz. (a) ¿Qué
frecuencia oirías cuando la sirena se aproxima a ti a una velocidad de 80 m=s? y
(b) ¿qué frecuencia oirías cuando la sirena se aleja de ti a una velocidad de 80
m=s?. Tomar la velocidad del sonido igual a 340 m=s.
Solución: Aquí, en ambos casos, la velocidad del observador es cero.
(a) En este caso usamos (4.128) con los signos superiores, por lo tanto,
#0 =
340 ms
v + vo
#=
1150Hz = 1504 Hz
v vf
340 ms 80 ms
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) En este caso usamos (4.128) con los signos inferiores, por lo tanto,
340 ms
v vo
#0 =
#=
1150Hz = 931 Hz
v + vf
340 ms + 80 ms
Ejemplo 4.59 La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuencia
de 1400 Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo las
siguientes circunstancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se mueve
hacia usted a 60 m=s; (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se mueve
hacia él a 60 m=s; (c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 40
m=s; (d) su auto se mueve a 30 m=s, y el de la policía le sigue a usted a 40 m=s.
Usar 343 m=s como velocidad del sonido.
Solución:
(a) En este caso la velocidad del observador es cero. Al usar (4.128) con los signos
superiores,
343 ms
v + vo
#0 =
#=
1400Hz = 1697 Hz
v vf
343 ms 60 ms
(b) En este caso la velocidad de la fuente es cero. Al usar (4.128) con los signos superiores,
343 ms + 60 ms
v + vo
#=
#0 =
1400Hz = 1645 Hz
v vf
343 ms
(c) Al usar (4.128) con los signos superiores,
#0 =
343 ms + 40 ms
v + vo
1400Hz = 1770 Hz
#=
v vf
343 ms 40 ms
(d) En este caso usamos (4.123),
#0 =
v
v
343 ms
vo
#=
vf
343 ms
30 ms
1400Hz = 1446 Hz
40 ms
Ejemplo 4.60 ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 23; 3 KHz de las turbinas de los
motores de un aeroplano que vuela a una velocidad de 210 m=s por el piloto de
un segundo aeroplano que trata de adelantar al primero con una velocidad de
275 m=s?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido.
Solución: En este caso usamos (4.125) con los signos superiores,
#0 =
343 ms + 275 ms
v + vo
#=
23; 3KHz = 26; 0 KHz
v + vf
343 ms + 210 ms
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.61 Un silbato de 437 Hz de frecuencia se mueve en un círculo de 60; 0 cm de
radio con una velocidad angular de 12; 0 rad=s. ¿Cuáles son (a) la frecuencia más
baja, y (b) la frecuencia más alta captada por un oyente que está gran distancia
(respecto al radio de la circunferencia descrita por el silbato) en reposo respecto
al centro del círculo?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido.
Solución: La figura 4.46 muestra la situación descrita en el enunciado del ejemplo.
Figura (4.46): Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante.
Lo primero que tenemos que hacer el calcular la rapidez con que se mueve la
fuente. Como ta fuente realiza un movimiento circular uniforme, entonces,
1
cm
m
v = !R = 12; 0 :60; 0cm = 720
= 7; 20
s
s
s
Como d es una distancia grande respecto al radio de la circunferencia descrita por el
silbato, entonces todos los movimientos pueden ser considerados como si fuesen a lo
largo del eje x.
(a) La frecuencia más baja se da cuando la fuente está en la posición A. En este
momento la fuente se aleja del observador en reposo con velocidad v, por lo
tanto al usar (4.125) con los signos inferiores,
#0 =
343 ms
v vo
#=
437Hz = 428 Hz
v + vf
343 ms + 7; 20 ms
(b) La frecuencia más alta se da cuando la fuente está en la posición B. En este
momento la fuente se acerca al observador en reposo con velocidad v, por lo
tanto al usar (4.125) con los signos superiores,
#0 =
343 ms
v + vo
#
437Hz = 446 Hz
v vf 343 ms 7; 20 ms
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.62 La frecuencia de la corneta de un carro es 333 Hz. Determinar (a) la
frecuencia observada, y (b) la longitud de onda del sonido si el carro se mueve
con una velocidad de 20 m=s hacia un observador en reposo. Tómese como
velocidad del sonido 340 m=s. (c) Encuentre la frecuencia observada si el carro
está en reposo y el receptor se mueve con una velocidad de 20 m=s hacia el
carro.
Solución:
(a) Al usar (4.125) con los signos superiores,
340 ms
v + vo
#0 =
333Hz = 353; 8 Hz
#
v vf 340 ms 20 ms
(b) Al igualar (4.16) y (4.25) por medio del número de onda k,
!
2
=
v
y puesto que ! = 2 #, entonces,
=
o también,
0=
v
#
340 ms
v
=
= 0; 961 m
#0
353; 8 1=s
(c) Si el carro (fuente) está en reposo y el receptor (observador) se mueve hacia el
carro. entoces usamos (4.128) con los signos superiores, por lo tanto,
340 ms + 20 ms
v + vo
#0 =
#=
333Hz = 352; 6 Hz
v vf
340 ms
4.16
Ondas de choque
Un caso especial se tiene cuando la velocidad relativa entre el observador y la
fuente es mayor que la velocidad de propagación v de la onda.
En este caso, la fuente avanza con más rapidez que el frente de onda. La superficie
tangente a todas las ondas sucesivas es un cono cuyo eje es la línea recta descrita por
la fuente en su movimiento y cuyo ángulo de apertura viene dado por,
Sen
=
v
vf
(4.129)
En este caso el movimiento ondulatorio es una onda cónica (ver figura 4.47) que
se propaga en las direcciones perpendiculares a la envolvente, a la que se denomina
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Pág.: 290
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.47): Ondas de choque.
onda de Mach u onda de choque. Esta onda es el sonido brusco que se escucha
cuando un avión que viaja a una velocidad superior a la del sonido pasa cerca de
nosotros, aunque también se observa en otras circunstancias, como cuando un barco
de mueve sobre el agua a una velocidad mayor que la velocidad de las ondas superficiales en el agua. La figura 4.48 muestra ondas de choque formadas en una cubeta
de ondas.
La razón entre la velocidad de la fuente vf y la velocidad de la onda v es denominada número de Mach:
vf
Número de Mach =
(4.130)
v
Ejemplo 4.63 La velocidad de la luz en el agua es de 2; 25:108 m=s (alrededor de Ins
tres cuartas partes de la velocidad en el vacío). Un haz de electrones a alta
velocidad que parte de un betatrón emite radiación Cherenkovx en el agua,
x
Fenómeno descubierto en 1934 por el físico ruso Pável Alexéievich Cherenkov y que consiste en la
emisión de una radiación luminosa azulada o violeta cuando los electrones u otras partículas atómicas
con carga atraviesan un medio transparente no conductor con una velocidad mayor que la de la luz
en ese mismo medio (la velocidad de la luz en cualquier medio transparente es menor que la velocidad
de la luz en el vacío). Esta radiación luminosa se propaga en capas cónicas que envuelven la dirección
seguida por la partícula. Es una onda tipo estela análoga a las que se observan en la superficie del agua
al paso de un cuerpo en movimiento. El efecto Cherenkov se utiliza en los detectores y contadores de
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Pág.: 291
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.48): Onda de choque en una cubeta de ondas.
formando el frente de onda un cono de un ángulo de 58; 0 . Halle la velocidad
de los electrones en el agua.
Solución: Al usar (4.129) podemos escribir,
vf =
v
Sen
=
2; 25:108 ms
m
= 2; 65:108
Sen 58; 0
s
Ejemplo 4.64 Un avión supersónico se encuentra sobre un punto A volando hacia el
Este a una altura de 21 Km (ver figura 4.49). El estampido sónico se oye en el
punto A cuando el avión está a 27; 5 Km al Este de dicho punto. ¿Cuál es la
velocidad del avión supersónico?. Usar 340 m=s como velocidad del sonido.
Figura (4.49): Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico.
partículas.
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Pág.: 292
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: De la figura, a partir del 4ABC, es fácil ver que (teorema de Pitágoras),
q
q
2
2
AC = AB + BC = (21 Km)2 + (27; 5 Km)2 = 34; 60 Km
entonces,
Sen =
AB
21 Km
=
= 0; 6069
34; 60 Km
AC
Por último. de (4.129),
v
vf =
Sen
340 ms
m
=
= 560
0; 6069
s
Ejemplo 4.65 Un aeroplano vuela a 396 m=s a una altitud constante. El choque sónico
llega a un observador en tierra 12; 0 s después de que el aeroplano ha pasado
sobre su cabeza. Halle la altitud del aeroplano. Suponga que la velocidad del
sonido es de 330 m=s. Resp.: 7; 16 Km.
Solución: La situación descrita en el enunciado del ejemplo es ilustrada en la figura
(4.50).
Figura (4.50): Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico.
Supongamos que el observador está en el punto A. De la figura podemos escribir
(teorema de Pitágoras),
q
2
2
AC = AB + BC
(1)
y además,
Sen =
AB
AC
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(2)
Pág.: 293
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
entonces,
AB
Sen = q
(3)
2
AB + BC
pero,
2
(4)
BC = vf t
por lo tanto,
Sen = q
AB
(5)
2
AB + (vf t)2
Por otro lado, de (4.129) podemos escribir,
Sen =
v
vf
(6)
entonces, al igualar (5) y (6) resulta,
AB
q
=
2
AB + (vf t)2
o,
AB = r
1
vt
v
vf
2
v
vf
330 m :12; 0s
=r s
4.17
El sonido
4.17.1
La naturaleza del sonido
1
330 m
s
396 m
s
2
= 7; 16 Km
Las ondas sonoras constituyen un tipo de ondas mecánicas que tienen la virtud
de estimular el oído humano y generar la sensación sonora. En el estudio del sonido
se deben distinguir los aspectos físicos de los aspectos fisiológicos relacionados con la
audición. Desde un punto de vista físico el sonido comparte todas las propiedades
características del comportamiento ondulatorio, por lo que puede ser descrito utilizando los conceptos sobre ondas. A su vez el estudio del sonido sirve para mejorar
la comprensión de algunos fenómenos típicos de las ondas. Desde un punto de vista
fisiológico sólo existe sonido cuando un oído es capaz de percibirlo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 294
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.17.2
El sonido y su propagación
Las ondas que se propagan a lo largo de un muelle como consecuencia de una
compresión longitudinal del mismo constituyen un modelo de ondas mecánicas que
se asemeja bastante a la forma en la que el sonido se genera y se propaga. Las ondas
sonoras se producen también como consecuencia de una compresión del medio a lo
largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales.
Si un globo se conecta a un pistón capaz de realizar un movimiento alternativo
mediante el cual inyecta aire al globo y lo toma de nuevo, aquél sufrirá una secuencia de operaciones de inflado y desinflado, con lo cual la presión del aire contenido
dentro del globo aumentará y disminuirá sucesivamente. Esta serie de compresiones y
encarecimientos alternativos llevan consigo una aportación de energía, a intervalos,
del foco al medio y generan ondas sonoras. La campana de un timbre vibra al ser
golpeada por su correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas
del medio que la rodea, las cuales se propagan en forma de ondas . Un diapasón,
la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según un mecanismo
análogo.
En todo tipo de ondas mecánicas el medio juega un papel esencial en la propagación de la perturbación, hasta el punto de que en ausencia de medio material, la
vibración, al no tener por donde propasarse, no da lugar a la formación de la onda
correspondiente. La velocidad de propagación del sonido depende de las características del medio. En el caso de medios gaseosos, como el aire, las vibraciones son transmitidas de un punto a otro a través de choques entre las partículas que constituyen el
gas, de ahí que cuanto mayor sea la densidad de éste, mayor será la velocidad de
la onda sonota correspondiente. En los medios sólidos son las fuerzas que unen entre
sí las partículas constitutivas del cuerpo las que se encargan de propagar la perturbación de un punto a otro. Este procedimiento más directo explica que la velocidad
del sonido sea mayor en los sólidos que en los gases.
4.17.3
Sonido físico y sensación sonora
No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es
sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los
20000 Hz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que
van desde 16 metros hasta 1; 6 centímetros respectivamente. En general se trata de
ondas de pequeña amplitud.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Cuando una onda sonora de tales características alcanza la membrana sensible
del tímpano, produce en él vibraciones que son transmitidas por la cadena de huesecillos hasta la base de otra membrana situada en la llamada ventana oval, ventana
localizada en la cóclea o caracol. El hecho de que la ventana oval sea de 20 a 30 veces más pequeña que el tímpano da lugar a una amplificación que llega a aumentar
entre 40 y 90 veces la presión de la onda que alcanza al tímpano. Esta onda de presión se propaga dentro del caracol a través de un líquido viscoso hasta alcanzar otra
membrana conectada a un sistema de fibras fijas por sus extremos a modo de cuerdas de arpa, cuyas deformaciones elásticas estimulan las terminaciones de los nervios
auditivos. Las señales de naturaleza eléctrica generadas de este modo son enviadas
al cerebro y se convierten en sensación sonora. Mediante este proceso el sonido físico
es convertido en sonido fisiológico.
4.17.4
Cualidades del sonido
El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun
cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes
propiedades de las ondas sonoras.
4.17.4.1 Intensidad
La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte
como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora
correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es
una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio
como consecuencia de la propagación de la onda.
La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero también depende de la sensibilidad del oído. El oido humano puede detectar sonidos con
una intensidad de al menos 10 12 W=m2 y cuando mucho de 1 W=m2 (e incluso mayores, aunque por arriba de este límite es doloroso). Este es un intervalo increiblemente
amplio de intensidad, mediando un factor de 1012 entre el más tenue y el más fuerte.
Presumiblemente debido a este amplio intervalo, lo que percibimos como volumen
no es directamente proporcional a la intensidad. En realidad, mientras mayor sea la
intensidad, más fuerte es el sonido.Pero para producir un sonido que suene el doble
de fuerte se requiere una onda sonora que tenga diez veces la intensidad anterior.
Esto se cumple a primera aproximación para cualquier nivel de sonido. Por ejemplo,
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
una onda sonora de intensidad 10 9 W=m2 cualquier persona la percibe como si fuera
el doble de fuerte que una cuya intensidad fuera 10 10 W=m2 ; una intensidad de 10 2
W=m2 suena como el doble de fuerte que una de 10 3 W=m2 y cuatro veces más fuerte
que una de 10 4 W=m2 .
Debido a esta relación entre la sensación subjetiva de volumen y la cantidad físicamente medible como intensidad, es común especificar los niveles de la intensidad
del sonido usando una escala logarítmica.
El nivel de intensidad,
intensidad, I, como,
, de cualquier sonido se define en términos de su
(en dB) = 10 log
I
Io
(4.131)
La unidad de esta escala logarítmica es el Bel, o en forma más general, el decibel
1
(dB) que es 10
Bel (1dB = 0; 1Bel). La cantidad Io es la intensidad de algún nivel de
referencia, el cual se toma usualmente como la mínima intensidad audible para una
persona promedio, “el umbral de audibilidad”, que es Io = 1; 0:10 12 W=m2 .
Otro de los factores de los que depende la intensidad del sonido percibido es la frecuencia. Ello significa que para una frecuencia dada un aumento de intensidad acústica da lugar a un aumento del nivel de sensación sonora, pero intensidades acústicas
iguales a diferentes frecuencias pueden dar lugar a sensaciones distintas.
Ejemplo 4.66 Calcular el nivel de intensidad de una onda sonora que tiene una intensidad de 7; 90 W=m2 .
Solución: Al usar (4.131),
= 10 log
W
7; 90:10 6 m
I
2
= 10 log
= 69; 0 dB
W
12
Io
1; 0:10 m2
Ejemplo 4.67 Dos máquinas idénticas están posicionadas a la misma distancia de un
trabajador. La intensidad del sonido enviado por cada máquina en la localización del trabajador es de 5; 0:10 7 W=m2 . Determinal el nivel del sonido escuchado por el trabajador (a) cuando está funcionando solamente una máquina
y (b) cuando ambas máquinas están funcionando.
Solución:
(a) Al usar (4.131),
= 10 log
5; 0:10
I
= 10 log
Io
1; 0:10
7W
m2
12 W
m2
= 57 dB
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) Cuando ambas máquinas están funcionando la intensidad se duplica, por lo tanto,
al usar nuevamente (4.131),
W
10; 0:10 7 m
I
2
= 10 log = 10 log
= 60 dB
W
12
Io
1; 0:10 m2
observándose que si duplicamos la intensidad, el nivel del sonido sólo aumenta
en 3 dB.
Ejemplo 4.68 Un anuncio en un altoparlante de alta calidad dice que éste reproduce,
a todo volumen, frecuencias de 30 Hz a 18000 Hz con una intensidad uniforme
de 3 dB. Es decir, sobre este intervalo de frecuencias, el nivel de intensidad no
varía en más de 3 dB del promedio. ¿En qué factor cambia la intensidad para el
cambio de nivel de intensidad máximo de 3 dB?
Solución: Si , I es la intensidad promedio y
intensidad máxima Imáx , corresponde a un nivel
= 10 log
máx
0; 30 = log
Imáx
Io
es el nivel promedio, entonces la
+ 3dB. Ahora, al usar (4.131),
máx =
10 log
I
Io
Imáx
I
Imáx
= 2; 0
I
Ejemplo 4.69 Un limpiador de vacío tiene un nivel de intensidad de 30; 0 dB. ¿Cuál es
la intensidad de este sonido en W=m2 ?.
Solución: Al usar (4.131),
= 10 log
I
) I = Io 10 10
Io
por lo tanto,
I = 1; 0:10
12
30;0
W
:10 10 = 1; 0:10
2
m
9
W
m2
Ejemplo 4.70 Una fuente sonora tiene una potencia de 50 W de potencia. (a) Si esta
potencia se distribuye uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de
intensidad sonora a una distancia de 30 m?, (b) ¿cuál sería el nivel de intensidad
de dos fuentes emitiendo al mismo tiempo si cada una de ellas desarrolla una
potencia de 50 W ?.
Solución:
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(a) Primero calculamos la intensidad a la distancia de 5 m. De (4.67),
I=
P
4 r2
donde se ha tenido presente que S = 4 r2 . Entonces,
I=
50W
= 4; 42:10
4 (30m)2
3
W
m2
Ahora, en virtud de (4.131), el nivel de intensidad a esta distancia será,
= 10 log
W
4; 42:10 3 m
I
2
= 10 log
= 96; 5 dB
W
Io
1; 0:10 12 m2
(b) Para este caso, a partir de (4.131),
W
2:4; 42:10 3 m
2I
2
= 99; 5 dB
= 10 log
= 10 log
W
12
Io
1; 0:10 m2
Ejemplo 4.71 ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido cuya intensidad es 9; 8:10 7
W=m2 ?, (b) ¿cuál es la intensidad de un sonido cuyo nivel de intensidad es 70 dB?.
Solución:
(a) Al usar (4.131),
= 10 log
9; 8:10
I
= 10 log
Io
1; 0:10
7W
m2
12 W
m2
= 60 dB
(b) Al usar (4.131),
= 10 log
I
) I = Io 10 10
Io
por lo tanto,
I = 1; 0:10
12
70
W
:10 10 = 1; 0:10
2
m
5
W
m2
Ejemplo 4.72 ¿Cuál debería ser el nivel de intensidad de una onda sonora en el aire
que correspondiera a una amplitud de esplazamiento de moléculas de aire en
vibración de 3; 0 mm a 100 Hz?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y
densidad del aire 1; 29 Kg=m3 .
Solución: La intensidad es, en virtud de (4.67),
I=
P
S
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(1)
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
pero por (4.69),
1
2 2
(2)
o Sv! so
2
donde hemos tenido presente que para este caso A = so entonces al sustituir (2) en
(1),
I = 2 2 o v#2 s2o
(3)
P=
ya que ! = 2 #. Entonces,
I = 2 2 :1; 29
Kg
1
m
:
100
:343
m3
s
s
2
: 3; 0:10 3 m
2
= 786
W
m2
Ahora, al usar (4.131),
W
786 m
I
2
= 10 log = 10 log
= 149 dB
W
12
Io
1; 0:10 m
2
4.17.4.2 Tono
El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en
la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La
magnitud física que está asociada al tono es la frecuencia.
Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias bajas, mientras
que los agudos son debidos a frecuencias altas. Así el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia de 82; 4 Hz y el más agudo a 698; 5 Hz.
Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores
de carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva
el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre
frecuencias comprendidas entre 1000 y 3000 Hz el tono es relativamente independiente
de la intensidad.
4.17.4.3 Timbre
El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes
de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a
esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta
característica de cada individuo.
El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al
oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones
generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a
un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja
puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una
frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es
característica de cada instrumento y define su timbre. Debido a la analogía existente
entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color del
tono.
4.18
Problemas
1. Sabiendo que la ecuación que describe cierto movimiento ondulatorio es de la
forma
= 0; 32 Sen(1; 8x 12; 6t)
donde todas las magnitudes vienen expresadas en el Sistema Internacional, calcúlese: (a) el período, la frecuencia, la longitud de onda y la amplitud de dicho
movimiento; (b) su velocidad de propagación; (c) la energía cinética máxima de
una partícula de 1; 6g que se ve sometida a dicho movimiento. Resp.: (a) = 0; 5s ;
# = 2Hz; = 3; 5m ; A = 0; 32m; (b) 7m=s; (c) 0; 013J.
2. La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda está dada
por,
= 2; 30:10 3 Sen (18; 2x 588t)
donde x y
están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) la
frecuencia, (c) la velocidad, (d) la longitud de onda y (e) la velocidad transversal
máxima de una partícula de la cuerda. Resp.: (a) 2; 30:10 3 m; (b) 93; 6Hz; (c) 32; 3 ms ;
(d) 0; 35m; (e) 1; 35 ms .
3. La ecuacion de una onda transversal que viaja a lo largo deuna cuerda muy larga
está dada por,
= 6; 0 Sen(0; 020 x + 4; 0 t)
donde x y están expresadas en centímetros y t en segundos. Calcule (a) la amplitud, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) la velocidad, (e) la dirección de
propagación de la onda, y (f) la velocidad transversal máxima de una partícula de
la cuerda. Resp.: (a) 6; 0cm; (b) 100cm; (c) 2Hz; (d) 200 cm
; (e) hacia el eje x negativo;
s
(f) 24 cm
.
s
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4. Calcule la velocidad de una onda transversal en una cuerda de 2; 15 m de longitud
y 62; 5 g de masa bajo una tensión de 487 N . Resp.: 129; 6 ms .
5. La velocidad de una onda en una cuerda es de 72 m=s cuando la tensión es de
123 N , ¿en qué valor debería ser aumentada la tensión con objeto de elevar la
velocidad de la onda a 180 m=s?. Resp.: 646N .
6. El sonido de un tren en marcha llega a cierto punto 7; 52 s antes por la vía (recta)
que por el aire. ¿A qué distancia está el tren de dicho punto?. Datos del acero:
Y = 21300 Kp=mm2 ; = 7; 8 g=cm3 . Velocidad del sonido en el aire: 340 m=s. Resp.:
2736 m.
7. La ecuación de una onda transversal de una cuerda es
= 1; 8 Sen(23; 8x + 317t)
donde x está en metros,
está en milímetros, y t en segundos. La cuerda esta
sometida a una tensión de 16; 3 N . Halle la densidad de masa lineal de la cuerda.
Resp.: 91; 9 mg .
8. Un alambre de 10; 3 m de longitud y una masa de 97; 8 g se estira bajo una tensión
de 248 N . Si se generan dos pulsaciones,separadas en tiempo por 29; 6 ms, una en
cada extremo del alambre, ¿dónde se encuentran las pulsaciones?. Resp.: 7; 54m.
9. Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 0 C y (b) a 20 C. Resp.: (a) 331 ms ;
(b) 343 ms .
10. Calcular la velocidad de las ondas sonoras en el hidógeno a 300 K. Tomar M =
2g=mol y = 1; 4. Resp.: 1321; 3 ms .
11. Un hilo de acero de 7m de largo tiene una masa de 100g. Si está sometido a una
tensión de 900 N , ¿cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este
hilo?.
12. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajan
ondas transversales a 150 m=s. ¿Cuál es la masa del alambre?.
13. Una cuerda de piano de acero tiene 0; 7 m de longitud y una masa de 5 g. Se tensa
mediante una fuerza de 500 N . (a)¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales
en la cuerda?, (b) para reducir la velocidad de la onda en un factor de 2 sin modificar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrrollar alrededor del
hilo de acero?.
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Pág.: 302
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
14. Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de
onda: (a) (x; t) = (x + vt)3 ; (b) (x; t) = Aeik(x vt) , donde A y k son constantes e
p
i=
1; (c) (x; t) = ln [k (x + vt)].
15. Demostrar que la función
(x; t) = A Sen (kx) Cos (!t) satisface la ecuación de onda.
16. La función de onda para una onda armónica en una cuerda es,
(x; t) = 0; 001m Sen (62; 8x + 314t)
donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se desplaza esta
onda y cuál es su velocidad?, (b) hallar la longitud de onda, la frecuencia y el
período de la misma y (c) ¿cuál es la velocidad máxima de un segmento (o un
punto) cualquiera de la cuerda?.
17. La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es,
(x; t) = 0; 10m Sen (1; 7x
4; 8t)
donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se propaga esta
onda y cuál es su velocidad?, (b) determinar la longitud de onda, la frecuencia y
el período, (c) ¿cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la
cuerda? y (d) ¿cuàl es la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?.
18. Una sirena de policía en reposo emite un sonido a 1200 Hz. (a) ¿Qué frecuencia
oirías cuando la sirena se aproxima a ti a una velocidad de 30 m=s? y (b) ¿qué
frecuencia oirías cuando la sirena se aleja de ti a una velocidad de 30 m=s?. Tomar
la velocidad del sonido igual a 340 m=s. Resp.: (a) 1316 Hz; (b) 1103 Hz.
19. La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuencia de 1125
Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo las siguientes
circunstancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se mueve hacia usted a
29 m=s; (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se mueve hacia él a 29 m=s;
(c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 14; 5 m=s; (d) su auto
se mueve a 9 m=s, y el de la policía le sigue a usted a 38 m=s. Usar 343 m=s como
velocidad del sonido. Resp.: (a) 1229 Hz; (b) 1220 Hz; (c) 1224 Hz; (d) 1232 Hz.
20. ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 15; 8 KHz de las turbinas de los motores de
un aeroplano que vuela a una velocidad de 193 m=s por el piloto de un segundo
aeroplano que trata de adelantar al primero con una velocidad de 246 m=s?. Usar
343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 17; 4 KHz.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
21. Un silbato de 538 Hz de frecuencia se mueve en un círculo de 71; 2 cm de radio con
una velocidad angular de 14; 7 rad=s. ¿Cuáles son (a) la frecuencia más baja, y (b)
la frecuencia más alta captada por un oyente que está gran distancia (respecto al
radio de la circunferencia descrita por el silbato) en reposo respecto al centro del
círculo?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: (a) 522 Hz; (b) 555 Hz.
22. La frecuencia de la corneta de un carro es 400 Hz. Determinar (a) la frecuencia
observada, y (b) la longitud de onda del sonido si el carro se mueve con una velocidad de 34 m=s hacia un observador en reposo. Tómese como velocidad del
sonido 340 m=s. (c) Encuentre la frecuencia observada si el carro está en reposo y
el receptor se mueve con una velocidad de 34 m=s hacia el carro. Resp.: (a) 0; 765
m; (b) 444 Hz; (c) 440 Hz.
23. Un avión supersónico se encuentra sobre un punto A volando hacia el Este a una
altura de 15 Km (ver figura 4.51). El estampido sónico se oye en el punto A cuando
el avión está a 22 Km al Este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad del avión
supersónico?. Usar 340 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 605 m=s.
Figura (4.51): Problema 23: Onda de choque de un avión supersónico.
24. Un reactor se mueve a un Mach de 2; 5 a una altitud de 5000 m. (a) ¿Cuál es
el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor?(suponer
que la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m=s) y (b) ¿dónde se
encontrará el reactor cuando una persona en el suelo oiga la onda de choque?.
25. Calcular la velocidad del sonido en el gas neón a 27 C. El neón es un gas monoatómico
con M = 20; 18 Kg=Kmol y = 1; 67. Resp.: 454 m=s.
26. Encuentre la velocidad del sonido en un gas diatómico ( = 1; 40) cuya densidad
es 3; 50 Kg=m3 y que está a una presión de 215 KP a. Suponga que el gas es ideal y
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Pág.: 304
CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
por lo tanto se cumple que P V = (m=M ) RT , donde P es la presión, V es el volumen,
m es la masa y T es la temperatura en Kelvin. Resp.: 293 m=s.
27. Una vara de metal de 60 cm de longitud está sujeta en su centro y vibra a 3; 00
KHz. ¿Cuál es el módulo de Young para el material con que está hecha la vara?.
La densidad del metal es 8700 Kg=m3 . Resp.: 1; 1:1011 N=m2 .
28. Un carro que se mueve a 20 m=s con su corneta sonando con una frecuencia de
1200 Hz está persiguiendo a otro carro que va a 15 m=s. ¿Cuál es la frecuencia
aparente de la corneta que escucha el conductor que está siendo perseguido?.
Usar 340 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 1; 22 KHz.
29. Determine la velocidad del sonido en el dióxido de carbono (M = 44 Kg=Kmol y
= 1; 30) a una presión de 0; 50 atm y a una temperatura de 400 C. Suponga que el
gas es ideal y por lo tanto se cumple que P V = (m=M ) RT , donde P es la presión, V
es el volumen, m es la masa y T es la temperatura en Kelvin. Resp.: 0; 41 Km=s.
30. Encuentre la masa molecular M de un gas para el cual = 1; 40 y en el cual la
velocidad del sonido es 1260 m=s a 0 C. Resp.: 2; 00 Kg=Kmol (hidrógeno).
31. Encuentre la velocidad de las ondas de compresión en una vara de metal cuyo
material tiene un módulo de Young de 1; 20:1010 N=m2 y una densidad de 8920 Kg=m3 .
Resp.: 1; 16 Km=s.
32. Un carro de carreras se acerca con su motor girando a 5100 r:p:m. Después de
pasar se observa una disminución aparente de 25 Hz en la frecuencia del sonido
emitido por el motor. ¿Cuál es la velocidad del carro?. Velocidad del sonido en el
aire: 340 m=s. Resp.: 48; 96 m=s.
33. Dos trenes se mueven acercándose a la misma velocidad, un décimo de la del
sonido en el aire. Uno de ellos hace sonar un silbato cuya frecuencia es de 500 Hz.
Determínese la frecuencia del sonido que escuchan: (a) un pasajero de ese tren;
(b) un observador inmóvil situado entre ambos trenes junto a la vía; (c) un pasajero
del otro tren. Resp.: (a) 500 Hz; (b) 555; 6 Hz; (c) 611; 1 Hz.
34. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es
(x; t) = 0; 001 Sen(62; 8x + 314t)
estando y x en metros y t en segundos. (a) ¿En qué dirección se mueve esta onda
y cuál es su velocidad?, (b) hallar la longitud de onda, la frecuencia y el período
de esta onda y (c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera
de la cuerda?. Resp.: (a) izquierda, 5 m=s; (b) 10 cm; 50 Hz; 0; 02 s; (c) 1 mm.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
35. Una cuerda de piano de acero tiene 0; 70 m de longitud y una masa de 5; 0 g.
Se tensa mediante una fuerza de 500 N . (a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas
transversales en el hilo? y (b) ¿para reducir la velocidad de la onda en un factor 2 sin
modificar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededor
del hilo de acero?. Resp.: (a) 265 m=s; (b) 15 g.
36. Una cuerda de 20 m tiene una masa de 60 g y está sometida a una tensión de
50 N . Se mueven a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha unas ondas de
frecuencia 200 Hz y amplitud 10 mm. (a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en la
cuerda? y (b) ¿cuál es la potencia transmitida que pasa por un punto determinado
de la cuerda?. Resp.: (a) 4; 7 J; (b) 31 W .
37. Una cuerda tensa para la cual = 5; 00:10 2 Kg=m está bajo una tensión de 80; 0 N .
¿Cuánta potencia debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas senoidales
a una frecuencia de 60; 0 Hz y una amplitud de 6; 00 cm?. Resp.: 512 W .
38. Si en el ejemplo anterior la cuerda debe transferir energía a una razón de 1000W ,
¿cuál debe ser la amplitud requerida si todos los otros parámetros permanecen
constantes?. Resp.: 8; 39 cm.
39. Una cuerda tensa tiene una masa de 0; 180 Kg y una longitud de 3; 60 m. ¿Cuál es
la potencia que debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas senoidales
que tengan una amplitud de 0; 100 m y una longitud de onda de 0; 500 m que viaje
con una velocidad de 30; 0 m=s?. Resp.: 1066 W .
40. Ondas senoidales de 5; 00 cm de amplitud están siendo transmitidas a lo largo de
una cuerda de densidad lineal de masa 4; 00:10 2 Kg=m. Si la fuente puede entregar
una potencia de 300 W y la cuerda está bajo una tensión de 100 N , ¿cuál es la
frecuencia más alta a la cual la fuente puede operar?. Resp.: 55; 1 Hz.
41. Una onda senoidal sobre una cuerda es descrita mediante,
(x; y) = 0; 15m Sen (0; 80x
50t)
donde x y están en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitud de
esta cuerda es 12; 0 g=m; determinar (a) la velocidad de la onda, (b) la longitud de
onda, (c) la frecuencia, y (d) la potencia transmitida a la onda. Resp.: (a) 62; 5 ms ;
(b) 7; 85 m; (c) 7; 96 Hz; (d) 21; 1 W .
42. La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es,
(x; y) = 0; 350m Sen 3 x
10 t
4
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
donde x y están en metros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la rata promedio a la
cual la energía es transmitida a lo largo de la cuerda si la densidad lineal de masa
es 75; 0 g=m? y (b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda?. Resp.:
(a) 15; 1 W ; (b) 3; 02 J.
43. Compare las amplitudes (a) las intensidades y (b) las amplitudes de una onda
sísmica cuando pasa por dos puntos a 10 Km y a 20 Km de la fuente. Resp.: (a) 1=4;
(b) 1=2.
44. La intensidad de una onda sísmica particular es 1; 4:106 W=m2 a una distancia de 100
Km de la fuente. (a) ¿Cuál era la intensidad cuando pasó un punto a sólo 2; 0 Km
de distancia de la fuente? y (b) ¿cuál era la potencia total que pasaba a través
W
de una superficie de 5; 0 m2 a una distancia de 2; 0 Km?. Resp.: (a) 3; 5:109 m
2 ; (b)
10
1; 7:10 W .
45. Si la intensidad de una onda sísmica es de 1; 0:106 W=m2 a 100 Km de la fuente,
¿cuál era a 400 m?. Resp.: 6; 3:1010 W=m2 .
46. Un alto parlante emite una onda esférica en el espacio homogéneo y transparente (libre de amortiguamiento). La potencia de la fuente es de 10 W . Calcular
la intensidad de la onda acústica a una distancia de 3 m y de 6 m. Resp.: (a)
8; 84:10 2 W=m2 ; (b) 2; 21:10 2 W=m2 .
47. (a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora
de frecuencia 100 Hz y amplitud de presión 10 4 atm?, (b) la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz es 10 7 m, ¿cuál
es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como velocidad del sonido 340 m=s
y densidad del aire 1; 29 Kg=m3 y tener presente que 1atm = 101:3KP a. Resp.: (a)
3; 67:10 5 m; (b) 8; 27:10 2 P a.
48. Un observador mide una intensidad de 1; 13 W=m2 a una distancia desconocida
medida desde una fuente de ondas esféricas cuya potencia de salida es también
desconocida. El observador camina 5; 30 m acercándose a la fuente y mide entonces una intensidad de 2; 41 W=m2 en esta nueva posición. Calcule la potencia
de salida de la fuente.
49. La presión de una onda sonora viajera está dada par la ecuación
p = 1; 48P a Sen (1; 07 x
334 t)
donde x está en metros y t en segundos. Halle (a) la amplitud de la presión, (b) la
frecuencia, (c) la longitud de onda, y (d) la velocidad de la onda. Resp.: (a) 1; 48
P a; (b) 167 Hz; (c) 1; 87 m; (d) 312; 2 ms .
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50. Una fuente puntual emite ondas de sonido con una potencia de salida promedio
de 80; 0 W . (a) Determinar la intensidad a 3; 00 m de la fuente, (b) determinar la
distancia en la cual la intensidad del sonido es 1; 00:10 8 W=m2 . Resp.: (a) 0; 707
W=m2 ; (b) 2; 52:104 m.
51. La intensidad de una onda sonora a una distacia fija de un parlante que vibra
a 1; 00 KHz es 0; 600 W=m2 . (a) Determinar la intensidad si la frecuencia es incrementada a 2; 50 KHz mientras es mantenida una amplitud de desplazamiento constante, (b) calcular la intensidad si la frecuencia es reducida a 0; 500 KHz y la amplitud de desplazamiento es duplicada. Resp.: (a) 3; 75 W=m2 ; (b) 0; 600 W=m2 .
52. Dos máquinas idénticas están posicionadas a la misma distancia de un trabajador.
La intensidad del sonido enviado por cada máquina en la localización del trabajador es de 2; 0:10 7 W=m2 . Determinal el nivel del sonido escuchado por el trabajador (a) cuando está funcionando solamente una máquina y (b) cuando ambas
máquinas están funcionando. Resp.: (a) 53 dB; (b) 56 dB.
53. Calcular el nivel de intensidad de una onda sonora que tiene una intensidad de
4; 00 W=m2 . Resp.: 66; 0 dB.
54. Un limpiador de vacío tiene un nivel de intensidad de 30; 0 dB. (a) ¿Cuál es la
intensidad de este sonido en W=m2 ?, (b) ¿Cuál es la amplitud de presión del sonido?.
Resp.: (a) 1; 00:10 5 W=m2 ; (b) 90; 7 mP a.
55. El ladrido de un perro supone alrededor de 1 mW de potencia. (a) Si esta potencia
se distribuye uniformemente en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad
sonora a una distancia de 5 m?, (b) ¿cuál sería el nivel de intensidad de dos perros
ladrando al mismo tiempo si cada uno de ellos desarrolla una potencia de 1 mW ?.
Resp.: (a) 65 dB; (b) 68 dB.
56. ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido cuya intensidad es 7; 5:10 8 W=m2 ?, (b)
¿cuál es la intensidad de un sonido cuyo nivel de intensidad es 35 dB?. Resp.: (a) 49
dB; (b) 3; 2:10 9 W=m2 .
57. ¿Cuál debería ser el nivel de intensidad de una onda sonora en el aire que correspondiera a una amplitud de esplazamiento de moléculas de aire en vibración de
1; 2 mm a 80 Hz?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y densidad del aire 1; 29
Kg=m3 . Resp.: 139 dB.
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58. Si dos matracas{ producen un nivel de intensidad de 95 dB en cierto lugar, ¿cuál
será el nivel de intensidad si sólo se hace sonar una?. Resp.: 92 dB.
59. Una onda sonora de 75 dB llega a un tímpano cuya superficie es de 5; 0:10
¿Cuánta energía absorbe el tímpano por segundo?. Resp.: 1; 6:10 9 W .
5
m2 .
60. Un amplificador estéreo tiene 25 W de salida a 1000 Hz. La salida cae por 2 dB a 20
Hz. ¿Cuál es la potencia de salida a 20 Hz?. Resp.: 16 W .
61. En los sistemas de comunicaciones y de audio, la ganancia
define como,
P sal
= 10 log
P ent
en decibeles se
donde P ent es la potencia promedio de entrada al sistema y P sal es la potencia
promedio de salida. Un amplificador estéreo proporciona 35 W de potencia a una
entrada de 1 mW . ¿Cuál es la ganancia en decibeles?. Resp.: 45 dB.
62. (a) Muestre que el nivel de intensidad, , puede escribirse en términos de la amplitud de la presión po como,
po
(dB) = 20 log
p0o
donde p0o es la amplitud de la presión en algún nivel de referencia. (b) La presión
de referencia p0o se toma a menudo como 3; 5:10 5 P a, que corresponde a una
intensidad de 1; 0:10 12 W=m2 , ¿cuál sería el nivel de intensidad si po fuera 1 atm?.
63. El nivel de intensidad a 12 m de una bocina colocada en un lugar abierto es 100
dB. ¿Cuál es la potencia acústica de salida de la bocina?. Resp.: 18; 1 W .
64. El sonido de una sirena se oye a 3 m con un nivel de intensidad de 60 dB. ¿A qué
distancia de dicha sirena ya no se oye nada?, ¿cuántas sirenas harían falta para
que a esa distancia se volvieran a oír con una sonoridad de 60 dB?. Resp.: 3 Km;
106 sirenas.
65. El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,
(x; t) = 5; 6 Sen (0; 66x) Cos (53t)
donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) ¿Cuál es la distancia entre los
nodos?, (b) ¿cuál es la amplitud, frecuencia y velocidad de cada una de las ondas
{
Rueda de tablas fijas en forma de aspa, entre las que cuelgan mazos que al girar ella producen ruido
grande y desapacible. Se usa en algunos conventos para convocar a maitines, y en Semana Santa en
lugar de campanas.
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componentes?, (c) ¿cuál es la velocidad de una de las partículas de la cuerda en
x = 2; 10 cm cuando t = 1; 25 s?. Resp.: (a) 4; 8 cm; (b) 2; 8 cm; 8; 4 Hz; 80 cm
; (c) 80 cm
.
s
s
66. Una cuerda de un piano tiene 1; 10 m de longitud y tiene una masa de 9; 0 g. ¿A
qué tensión debe estar la cuerda si debe vibrar con una frecuencia fundamental
de 131 Hz?, (b) ¿cuáles son las frecuencias de los primero cuatro armónicos?. Resp.:
(a) 680 N ; (b) 262 Hz; 393 Hz; 524 Hz.
67. Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0; 70 m entre sí y se ajusta la
tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es la nota La de 440 Hz.
¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?. Resp.: 616 ms .
68. Una cuerda que está fija en sus extremos tiene una longitud de 3 m, una densidad
lineal de masa de 0; 0025 Kg=m y se le han medido dos frecuencias resonantes consecutivas a 252 Hz y 336 Hz. Determinar la frecuencia fundamental de la cuerda
y comprobar si una cuerda como esta es adecuada para colocarla en un instrumento musical, teniendo en cuenta que si la tensión de la misma sobrepasa los 700
N hay problemas de seguridad. Resp.: 84 Hz; la tensión es 635 N , por lo tanto la
cuerda es segura siempre y cuando la tensión no aumente en forma significativa.
69. El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,
(x; t) = 0; 024 Sen (52; 3x) Cos (480t)
donde x y están en metros y t en segundos. Determinar la velocidad de las ondas compunentes sobre la cuerda y la distancia entre los nodos para las ondas
estacionarias. Resp.: 9; 18 ms ; 0; 06 m.
70. Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo armónico a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales
en ella?. Resp.: 180 ms .
71. Una cuerda es tensada entre dos puntos fijos apartados 0; 7 m y la tensión es ajustada hasta que es alcanzada la frecuencia fundamental a 440 Hz. ¿Cuál es la
velocidad de las ondas transversales en la cuerda?. Resp.: 616 m=s.
72. La función de onda (x; t) para cierta onda estacionaria sobre una cuerda fija en
ambos extremos es dada por,
(x; t) = 4; 2 Sen (0; 20x) Cos (300t)
donde x y están en centímetros y t está en segundos. (a) ¿Cuáles son la longitud
de onda y la frecuencia de esta onda?, (b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas
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transversales en esta cuerda?, (c) si la cuerda está vibrando en su cuarto armónico,
¿cuál es su longitud?. Resp.: (a) 31 cm; 48 Hz; (b) 15 m=s; (c) 63 cm.
73. Una cuerda de violín de 40 cm de longitud y 1; 2 g de masa tiene una frecuencia
de 500 Hz cuando vibra en su modo fundamental. (a) ¿Cuál es la longitud de onda
de las ondas estacionarias en la cuerda?, (b) ¿cuál es la tensión?, (c) ¿dónde se
debería colocar el dedo para incrementar la frecuencia a 650 Hz?.(a) 0; 8 m; (b) 480
N ; (c) 9; 2 cm del extremo.
74. Una cuerda con densidad lineal de masa 4:10 3 Kg=m está bajo una tensión de 360
N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz y
la próxima es 450 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de esta cuerda, (b)
¿cuáles son los armónicos dados?, ¿cuál es la longitud de la cuerda?. Resp.: (a) 75
Hz; (b) 5to , 6to ; (c) 2 m.
75. Una banda de goma tiene una longitud de 0; 80 m cuando no se ejerce tensión sobre ella y una masa de 6:10 3 Kg, se estira a 1; 20 m cuando se aplica una tensión de
7; 60 N . ¿Cuál es la frecuencia fundamental de oscilación de esta banda cuando
se estira entre dos postes fijos separados 1; 20 m?. Resp.: 16; 2 Hz.
76. Una cuerda de 4 m de longitud es sujetada en uno de sus extremos y el otro extremo es sujetado a un resorte liviano de forma que es libre de moverse. La velocidad de las ondas en la cuerda es 20 m=s. Encontrar la frecuencia (a) fundamental,
(b) segundo armónico y (c) tercer armónico. Resp.: (a) 1; 25 Hz; (b) No hay segundo
armónico, pues n sólo puede tomar valores impares; (c) 3; 75 Hz.
77. El desplazamiento de una onda estacionaria está dado por,
(x; t) = 8; 0 Sen (3; 0x) Cos (2; 0t)
donde x y están en centímetros y t en segundos. (a) Determinar la amplitud del
movimiento armónico simple de un elemento del medio localizado en x = 2; 3 cm,
(b) determinar las posiciones de los nodos y antinodos si uno de los extremos de la
cuerda está en x = 0, (c) ¿cuál es el valor máximo de la posición en el movimiento
armónico simple de un elemento localizado en un antinodo?. Resp.: (a) 4; 6 cm; (b)
nodos en n 3 cm con n = 0; 1; 2; 3; ::: y antinodos en n 6 cm con n = 1; 3; 5; :::; (c) 8; 0
cm.
78. Encontrar la frecuencia fundamental y las siguientes tres frecuencias que pueden
causar patrones de ondas estacionarias en una cuerda de 30; 0 m de longitud, que
tiene una masa por unidad de longitud de 9; 00:10 3 kg=m y está sometida a una
tensión de 20; 0 N . Resp.: 0; 786 Hz; 1; 57 Hz; 2; 36 Hz; 3; 14 Hz.
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79. Una cuerda de masa 8; 00 g y longitud 5; 00 m tiene un extremo unido a una pared
y el otro extremo pasa a través de una polea y es atado a un objeto que cuelga de
4; 00 Kg de masa. Si la cuerda es perturbada, ¿cuál es su frecuencia fundamental?.
Resp.: 15; 7 Hz.
80. Mediciones muestran que la longitud de onda de una onda de sonido en un cierto
material es 18; 0 cm. La frecuencia de la onda es 1900 Hz. ¿Cuál es la velocidad de
la onda de sonido?. Resp.: 342 m=s.
81. Una cuerda horizontal tiene 5; 00 m de longitud y una masa de 1; 45 g. ¿Cuál debe
ser la tensión en la cuerda si la longitud de onda de una onda de 120 Hz en dicha
cuerda es 60; 0 cm?. ¿Cuál debe ser la masa que debe colgarse en su extremo (a
través de una polea, por ejemplo) para producir esta tensión?. Resp.: 1; 50 N ; 0; 153
Kg.
82. Una cuerda de banyok de 30 cm de longitud resuena en su fundamental con una
frecuencia de 256 Hz. ¿Cuál es la tensión en la cuerda si 80 cm de dicha cuerda
tiene una masa de 0; 75 g?. Resp.: 22 N .
83. Una cuerda sujeta en sus dos extremos vibra en cinco segmentos a una frecuencia
de 460 Hz. ¿Cuál es la frecuencia fundamental?, (b) ¿cuál frecuencia causará una
vibración en tres segmentos?. Resp.: (a) 92; 0 Hz; (b) 276 Hz.
84. Una cuerda sujeta en sus dos extremos y resuena a 420 Hz y a 490 Hz sin haber
frecuencias resonantes entre ellas. Encuentre la frecuencia de resonancia fundamental. Resp.: 70; 0 Hz.
85. Una cuerda de violín resuena en su fundamental a 196 Hz. ¿Dónde se debe colocar el dedo de manera que su fundamental sea a 440 Hz?. Resp.: L2 =L1 = 0; 045.
Es decir, para obtener la resonancia deseada, el dedo debe ser colocado sobre la
cuerda a 0; 445 de su longitud original.
86. Un tubo de vidrio de 70 cm de longitud está abierto en ambos extremos. Encuentre
las frecuencias en las cuales resuena con ondas de sonido de 340 m=s. Resp.: 243n
Hz.
87. Una sección de un tubo de drenaje de 1; 23 m de longitud hace un sonido cuando
exhala aire. (a) Determinar las frecuencias de los primeros tres armónicos del tubo
k
Instrumento musical de cuerda que se compone de una caja de resonancia redonda cubierta por una
piel tensada, un mástil largo con trastes y un número variable de cuerdas que se hacen sonar con los
dedos o con púa.
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si es cilíndrico y abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del sonido 343
m=s. (b) ¿Cuántos armónicos hay dentro del rango de audibilidad del humano (20
a 20000 Hz)?. Resp.: (a) 139 Hz, 278 Hz, 417 Hz; (b) 144.
88. La longitud total de un piccolo es 32; 0 cm. La columna de aire resonante vibra
como en un tubo abierto en ambos extremos. (a) Determinar la frecuencia de la
nota más baja que el piccolo puede ejecutar, suponiendo que la velocidad del
sonido en el aire es 340 m=s. (b) Abrir hoyos en un lado recorta efectivamente la
longitud de la columna resonante. Si la nota más alta que el piccolo puede producir
es 4000 Hz, encuentre la distancia entre los antinodos adyacentes para este modo
de vibración. Resp.: (a) 531 Hz; (b) 42; 5 mm.
89. Calcular la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hz
si el tubo es abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s.
Resp.: 0; 715 m.
90. Un tubo de vidrio (abierto en ambos extremos) de longitud ` es posicionado cerca
de un parlante de audio cuya frecuencia es de 680 Hz. ¿Para qué valores de `
resonará el tubo con el parlante?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s. Resp.:
0; 252n m; con n = 1; 2; 3; :::
91. Cuando un tubo de metal abierto es cortado en dos, la frecuencia de resonancia
más baja para la columna de aire en una de esas partes es 256 Hz y para la otra
es 440 Hz. (a) ¿Qué longitud tenía éste?, (b) ¿cuál frecuencia resonante habría
producido el tubo original?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s. Resp.: (a)
1; 06 m; (b) 162 Hz.
92. Con un tocado particular, una flauta produce una nota con frecuencia 880 Hz a
20; 0 C. La flauta es abierta por ambos extremos. (a) Encuentre la longitud de la
columna de aire y (b) determine la frecuencia cuando la temperatura ambiente es
de 5; 00 C. Tómese velocidad del sonido 343 m=s a 20; 0 C y 328 m=s a 5; 00 C. Resp.:
(a) 0; 195 m; (b) 841 Hz.
93. Ondas de compresión (ondas de sonido) son producidas en un tubo de 90 cm de
longitud cerrado en uno de sus extremos. El tubo resuena en varias frecuencias,
la más pequeña de las cuales es 95 Hz. Encuentre la velocidad de las ondas de
sonido en el aire. Resp.: 3; 4:104 cm=s.
94. ¿A qué otras frecuencias resonará el tubo descrito en el problema 93?. Resp.: 95n
Hz, con n = 3; 5; 7; 9; :::
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
95. Determine la longitud más corta de un tubo cerrado en uno de sus extremos
que resuena en el aire debido a una fuente sonora cuya frecuencia es de 160 Hz.
Tómese la velocidad del sonido igual a 340 m=s. Resp.: 0; 531 m.
96. Un largo y estrecho tubo cerrado en uno de sus extremos no resuena con un diapasón que tiene una frecuencia de 300 Hz hasta que la longitud de la columna
de aire alcanza 28 cm. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? y ¿cuál es la
siguiente longitud de la columna de aire que resuena con el diapasón?. Resp.: (a)
3; 4:104 cm=s; (b) 85 cm.
97. Un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene una longitud de 61; 0 cm.
¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres sobretonos si la velocidad del sonido
es 342 m=s?. Resp.: 420 Hz; 700 Hz; 980 Hz.
98. Para cierto tubo en el aparato mostrado en la figura 4.43, el valor más pequeño de
` para el cual se produce una resonancia es 9; 00 cm. Determínese (a) la frecuencia
del parlante, (b) los valores de ` para las próximas dos frecuencias de resonancia.
Tómese 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: (a) 953 Hz; (b) 0; 270 m; 0; 450 m.
99. La frecuencia de un tubo de órgano abierto por ambos extremos corresponde
a una media C (261; 6 Hz en la escala cromática musical). La tercera resonancia
de un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene la misma frecuencia.
¿Cuáles son las longitudes de los dos tubos?. Resp.: 0; 656 m; 1; 64 m.
100. Un diapasón con una frecuencia de 512 Hz es colocado cerca del extremo
abierto del tubo mostrado en la figura 4.43. El nivel del agua es bajado de tal
manera que la longitud ` se incrementa lentamente de su valor inicial de 20; 0 cm.
Determinar los próximos dos valores de ` que corresponden a modos resonantes
Tómese 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 0; 502 m; 0; 837 m.
101. Un diapasón de 500 Hz causa resonancia en el tubo de la figura 4.43 cuando la
parte superior del tubo está a 16; 0; 50; 5; 85; 0; y 119; 5 cm sobre la superficie del agua.
(a) Determinar la velocidad del sonido en el aire, (b) ¿cuál es la corrección en el
extremo abierto por el hecho de que el antinodo no se origina exactamente en el
extremo del tubo abierto?. Resp.: (a) 345 m=s; (b) 1; 25 cm.
102. Un extremo de una cuerda de 120 cm se mantiene fijo. El otro extremo está unido
a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción como
se muestra en la figura 4.39. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda más grandes
posibles de ondas estacionarias en la cuerda?. Resp.: 480 cm; 160 cm; 96 cm.
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CAPITULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
103. Una cuerda fija en uno de sus extremos está vibrando sólo en su modo fundamental. La función de onda es,
(x; t) = 0; 02 Sen (2; 36x) Cos (377t)
donde y x están en metros y t está en segundos. (a) ¿Cuál es la longitud de onda
de la onda?, (b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? y (c) ¿Cuál es la velocidad de
las ondas transversales sobre la cuerda?. Resp.: (a) 2; 66 m; (b) 0; 665 m; (c) 160 ms .
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PARTE III
TERMODINAMICA FENOMENOLOGICA
316
METODOS TERMODINAMICO Y ESTADISTICO DE INVESTIGACION
El número de átomos (moléculas) que hay en un cuerpo cualquiera es enorme. Por
ejemplo, en 1 cm3 de un gas de propiedades próximas al perfecto, en condiciones
normales (0 o C y 1 atm de presión), hay 2; 7:1019 moléculas. En los estados condensados -sólido y líquido- este número es del orden de 1022 part{culas=cm3 . Si se considera
que el movimiento de cada átomo (molécula) de una sustancia cumple la segunda
ley de Newton, es imposible hablar no sólo de resolver las ecuaciones diferenciales
del movimiento de las partículas de la sustancia por separado, sino incluso de escribir
estas ecuaciones. Por esto, el comportamiento de una molécula (átomo) de la sustancia aisladamente, por ejemplo, su trayectoria o la sucesión de las variaciones de
su estado, no puede ser estudiado por los métodos de la mecánica clásica.
1. METODO ESTADISTICO
Las propiedades macroscópicas de los sistemas compuestos por un número muy
grande de partículas se estudian por el método estadístico.
Este método se basa en la utilización de la teoría de probabilidades y de
determinados modelos de estructura de los sistemas que se estudian. La parte
de la física teórica en que las propiedades físicas de los sistemas se estudian valiéndose del método estadístico se llama física esdadística (o estadística física).
En el comportamiento conjunto de un gran número de partículas se ponen de manifiesto regularidades especiales llamadas leyes estadísticas. En un sistema compuesto
por un gran número de partículas existen ciertos valores medios de las magnitudes físicas que caracterizan todo el conjunto de las partículas. Así, en un gas existen valores
medios de las velocidades del movimiento térmico de las moléculas y de sus energías.
En un sólido existe una energía media correspondiente a cada grado de libertad del
movimiento oscilatorio de las partículas, etc. Todas las propiedades de un sistema de
partículas están condicionadas no sólo por las propiedades individuales de las mismas partículas, sino también por las peculiaridades de sus movimientos conjuntos y
de los valores medios de las características mecánicas de las partículas (velocidades
medias, energías medias, etc.).
Aparte de las leyes estadísticas existen las leyes dinámicas que definen los movimientos de las partículas aisladas. La ligazón entre las leyes dinámicas y estadísticas se
manifiesta en que las leyes del movimiento de las partículas aisladas influyen en la
descripción de las propiedades del sistema de partículas estudiado por el método
estadístico.
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2. METODO TERMODINAMICO
Además del método estadístico de investigación de los fenómenos físicos existe el
método termodinámico,
En el ,étodo termodinámico no se tiene en cuenta la estructura interna
de las sustancias de los cuerpos (sistemas) que se estudian ni el carácter del
movimiento de las partículas aisladas. El método termodinámico se basa en el
estudio de las distintas transformaciones de la energía que se producen en el
sistema.
Las condiciones de estas transformaciones y las relaciones entre las distintas formas
de la energía permiten estudiar las propiedades físicas de los sistemas que se investigan
durante los procesos más diversos en que dichos sistemas participan. La parte de la
física en que las propiedades físicas de los sistemas se estudian por medio del método
termodinámico se llama termodinámica (termodinámica fenomenológica).
TERMODINAMICA
La termodinámica se ocupa de la energía y sus transformaciones en los sistemas desde un punto de vista macroscópico. Sus leyes son restricciones generales que la naturaleza impone en todas esas transformaciones. [13].
La termodinámica se basa sobre dos leyes fundamentales (llamadas leyes de la
termodinámica), establecidas gracias a la generalización de un conjunto de hechos
experimentales y en el teorema del calor de Nernst o tercera ley de la termodinámica.
Por esta causa, las conclusiones de termodinámica tienen un carácter muy general
[5].
La termodinámica es una teoría de una gran generalidad, aplicable a sistemas de
estructura muy elaborada con todas las formas de propiedades mecánicas, eléctricas
y térmicas complejas. Puesto que la termodinámica se focaliza en las propiedades
térmicas, es conveniente idealizar y simplificar las propiedades mecánicas y eléctricas de los sistemas que estudiaremos. En nuestro estudio de la termodinámica idealizaremos nuestros sistemas para que sus propiedades mecánicas y eléctricas sean lo
más triviales posibles. Cuando el contenido esencial de la termodinámica haya sido
desarrollado, será una cuestión simple extender el análisis a sistemas con estructuras
mecánicas y eléctricas relativamente complejas. La cuestión esencial es señalar que
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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las restricciones en los tipos de sistemas considerados no son limitaciones básicas sobre la generalidad de la teoría termodinámica, y sólo se adoptan meramente para la
simplificación expositiva. Restringiremos (temporalmente) nuestra atención a sistemas
simples, definidos como sistemas que son macroscópicamente homogéneos, isótropos, y desprovistos de carga eléctrica, que son lo suficientemente grandes para que
los efectos de frontera puedan ser ignorados, y que no se encuentran bajo la acción
de campos eléctricos, magnéticos o gravitacionales [14].
El sistema termodinámico más simple se compone de una masa fija de un fluido
isótropo puro no influenciado por reacciones químicas o campos externos. Tales sistemas se caracterizan por las tres coordenadas mensurables: presión p, volumen V y
temperatura T . A estos sistemas se les da el nombre de sistemas pV T [13].
Un SISTEMA puede ser cualquier objeto, cualquier cantidad de materia,
cualquier región del espacio, etc., seleccionado para estudiarlo y aislarlo (mentalmente) de todo lo demás, lo cual se convierte entonces en el ENTORNO del
sistema [13].
El sistema y su entorno forman el UNIVERSO (ver figura 4.52).
Figura (4.52): Estructura de un fenómeno termodinámico
La envoltura imaginaria que encierra un sistema y lo separa de sus inmediaciones
(entorno) se llama FRONTERA del sistema y puede pensarse que tiene propiedades
especiales que sirven para:
a. aislar el sistema de su entorno o para
b. permitir la interacción de un modo específico entre el sistema y su ambiente.
Llamamos SISTEMA, o MEDIO INTERIOR, la porción del espacio limitado por una superficie real o ficticia, donde se sitúa la materia estudiada. El resto del universo es el
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Figura (4.53): Tipos de sistemas
MEDIO EXTERIOR. La distinción entre sistema y entorno es arbitraria: el sistema es lo que
el observador ha escogido para estudiar [15].
Si la frontera permite la interacción entre el sistema y su entorno, tal interacción
se realiza a través de los canales existentes en la frontera. Los canales pueden ser
inespecíficos para interacciones fundamentales tales como el calor o la interacción
mecánica o eléctrica, o muy específicos para interacciones de transporte.
Los sistemas pueden ser aislados, cerrados y abiertos:
Un Sistema aislado es el sistema que no puede intercambiar materia ni energía con
su entorno, un Sistema cerrado es el sistema que sólo puede intercambiar energía con
su entorno, pero no materia y por último, un Sistema abierto es el sistema que puede
intercambiar materia y energía con su entorno (ver figura 4.53).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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CAPITULO 5
TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
Contenido
5.1
5.1
Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
5.2
Termómetros y escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.3
Dilatación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.3.1
Dilatación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
5.3.2
Dilatación volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
5.4
Compresión térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.5
Asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Temperatura
En la vida cotidiana, la temperatura denota lo caliente o frío que está un objeto.
Un horno caliente se dice que tiene una temperatura elevada en tanto que un trozo
de hielo se dice que tiene una temperatura baja. La temperatura es la propiedad
de los sistemas que determina si están en equilibrio térmico (en la próxima sección se
profundizará sobre este particular). El concepto de temperatura se deriva de la idea
de medir el calor o frialdad relativos y de la observación de que el suministro de calor a
un cuerpo conlleva un aumento de su temperatura mientras no se produzca la fusión
o ebullición. En el caso de dos cuerpos con temperaturas diferentes, el calor fluye
del más caliente al más frío hasta que sus temperaturas sean idénticas y se alcance el
equilibrio térmico. Por tanto, los términos de temperatura y calor, aunque relacionados
321
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
entre sí, se refieren a conceptos diferentes: la temperatura es una propiedad de un
cuerpo y el calor es un flujo de energía entre dos cuerpos a diferentes temperaturas.
Muchas propiedades de la materia cambian con la temperatura. Por ejemplo, la
mayor parte de los materiales se dilatan cuando se calientan. Una viga de hierro es
mayor cuando está caliente que cuando está fría; el pavimento y las aceras de concreto se expanden y se contraen ligeramente de acuerdo con la temperatura, razón
por la que se dejan intersticios a intervalos regulares. La resistencia eléctrica de la materia cambia con la temperatura y también el color radiado por los objetos, al menos
en altas temperaturas quizá haya observado que la resistencia de una parrilla eléctrica
se pone rojiza cuando se calienta; a temperaturas elevadas, los sólidos como el hierro
se tornan naranja e incluso blancos; la luz blanca proveniente de una bombilla de
luz incandescente ordinaria tiene su origen en un alambre de tungsteno sumamente
caliente.
5.2
Termómetros y escalas de temperatura
El termómetro es un instrumento diseñado para medir la temperatura.
Existen muchos tipos de termómetros, pero todos en común se basan en alguna
propiedad de la materia que cambia con la temperatura. La mayor parte de los termómetros más comunes se basan en la dilatación de un material con un incremento
en la temperatura. El primer termómetro inventado por Galileo, se basa en la expansión de un gas. Los termómetros comunes actualmente constan de un tubo de vidrio
hueco lleno con mercurio o alcohol coloreado con tintura roja. El líquido se dilata más
que el vidrio cuando se incrementa la temperatura, de modo que el nivel del líquido
se eleva en el tubo [4].
Los termómetros poseen una escala para medir la temperatura. Existen diferentes
escalas:
a. Una de las primeras escalas de temperatura, todavía, empleada para medidas no
científicas, en los países anglosajones es la escala Fahrenheit ( F ), fue diseñada por
el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmosférica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 F ,
y su punto de ebullición es de 212 F .
b. La escala centígrada o Celsius ( C), ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius
y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 C al punto de congelación
del agua y de 100 C a su punto de fusión.
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Pág.: 322
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
c. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin (K), inventada
por el matemático y físico británico William Thomson , lord Kelvin. En esta escala, el
cero absoluto, que está situado en 273; 15 C, corresponde a 0 K, y una diferencia
de un kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada. La
magnitud de su unidad, llamada kelvin y simbolizada por K, se define como igual a
un grado Celsius.
d. Otra escala que emplea el cero absoluto como punto más bajo es la escala absoluta Fahrenheit o Rankine (o R) (escala termodinámica internacional), en la que
cada grado de temperatura equivale a un grado en la escala Fahrenheit. En la
escala Rankine, el punto de congelación del agua equivale a 492 R, y su punto de
ebullición a 672 R.
La relación entre estas escalas viene dada por las siguientes expresiones:
T ( C) = T (K)
T ( C) =
273; 15
5
[T (o F )
9
32]
T ( R) = T (o F ) + 460
(5.1)
(5.2)
(5.3)
de aquí es fácil encontrar la relación entre T (K) y T (o F ).
Ejemplo 5.1 La temperatura normal del cuerpo humano es de 98; 6 o F . ¿A cuánto
equivale esto en C?.
Solución: Al usar (5.2) podemos escribir,
T ( C) =
5
[98; 6
9
32] = 37 C
Ejemplo 5.2 Los puntos de ebullición y de fusión, a la presión atmosférica, del mercurio
son 675o F y 38; 0o F respectivamente. Expresar dichas temperaturas en C.
Solución: Al usar (5.2) podemos escribir,
T ( C) =
T ( C) =
5
[675
9
5
[ 38; 0
9
32] = 357 C
32] =
38; 9 C
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
Ejemplo 5.3 ¿A cuántos C equivale una temperatura de 100K?
Solución: Al usar (5.1) podemos escribir,
T ( C) = 100
273; 15 =
173; 15 C
Ejemplo 5.4 ¿A cuántos R equivale una temperatura de
40 o F ?
Solución: Al usar (5.3) podemos escribir,
T ( R) =
5.3
40 + 460 = 420 R
Dilatación térmica
La mayor parte de las sustancias aumentan de volumen cuando se calientan y disminuyen de volumen cuando se enfrían. A este cambio de volumen se le da el nombre
de dilatación térmica. Este cambio varía en cantidad dependiendo del material.
5.3.1 Dilatación lineal
La dilatación es un aumento de volumen, pero cuando en un cuerpo domina
una dimensión sobre las otras, por ejemplo, la longitud, interesa sobre todo estudiar
la dilatación en esa dimensión, despreciando la que tiene en las otras, dándosele en
este caso el nombre de dilatación lineal.
Para estudiar la dilatación lineal empleamos el dilatómetro (ver figura 5.1), llamado
también pirómetro de cuadrante.
Figura (5.1): Pirómetro
Los experimentos muestran que el cambio de longitud L = L Lo (L =logitud final
y Lo =longitud inicial) de la mayor parte de todos los sólidos es, hasta una muy buena
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
MATERIAL
(o C)
Sólido
Aluminio
Latón
Mármol
Plomo
Vidrio (pyrex)
Vidrio (ordinario)
Cobre
Hule duro
Hielo
Invar
Hierro o acero
Quarzo
Concreto y ladrillos
1
22:10 6
19:10 6
1; 4 3; 5:10
29:10 6
3; 2:10 6
9:10 6
17:10 6
80:10 6
51:10 6
0; 7:10 6
12:10 6
0; 4:10 6
12:10 6
(o C)
6
1
75:10 6
56:10 6
4 10:10
87:10 6
9:10 6
27:10 6
51:10 6
240:10 6
153:10 6
2; 1:10 6
36:10 6
1:10 6
36:10 6
6
Tabla (5.1): Coeficientes de dilatación promedio a 20o C de algunos sólidos.
aproximación, directamente proporcional al cambio de temperatura T = T To (T =
temperatura final y To = temperatura inicial). Como era de esperarse, el cambio en
la longitud también es proporcional a la longitud original del objeto, Lo . Por lo tanto,
podemos escribir,
L = Lo T
(5.4)
donde es el denominado coeficiente de dilatación lineal. Este coeficiente depende
del material estudiado y tiene unidades de (o C) 1 .
Los valores de para distintos sólidos a 20o C son mostrados en la tabla 5.1. Cabe
señalar que
varía sólo ligeramente con la temperatura (razón por la que los termómetros hechos de diferentes materiales no concuerdan con exactitud). Sin embargo, es una regla que si el intervalo de temperatura no es muy grande, la variación
puede ignorarse.
Ejemplo 5.5 Se va a graduar una escala métrica de acero de tal manera que los intervalos de 1 milímetro sean exactos con una precisión de a una cierta temperatura. ¿Cuál es la variación máxima de la temperatura permisible durante la
graduación?.
Solución: Al usar (5.4) podemos escribir,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 325
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
L = Lo T )
T =
L
Lo
5:10 5 mm
' 4; 2o C
T =
1
6
o
12:10 ( C) :1mm
Entonces la temperatura que debe mantenerse durante el tiempo de graduación
debe ser la misma que cuando se use la escala y debe ser constante con una precisión de unos 4; 2o C.
Ejemplo 5.6 La longitud de un alambre de cobre a 20o C es de 40; 5 m. ¿Cuál será su
longitud a la temperatura de 50o C?.
Solución: Al usar (5.4) podemos escribir,
L =
Lo T = 17:10
6 o
( C)
1
:40; 5m: (50o C
20o C)
= 0; 020m
entonces,
L=L
Lo ) L = L o +
L
L = 40; 5m + 0; 020m = 40; 52m
5.3.2 Dilatación volumétrica
Ahora, si las tres dimensiones de un cuerpo son igualmente importantes, entonces
la dilatación recibe el nombre de dilatación volumétrica.
El cambio en el volumen V de un material que sufre un cambio de temperatura
T sigue una relación similar a la ecuación (5.4), la cual podemos escribir como,
V = Vo T
(5.5)
donde es el denominado coeficiente de dilatación volumétrica. Este coeficiente
depende, al igual que , del material estudiado y tiene unidades de (o C) 1 , V =
V Vo (V =volumen final y Vo =volumen inicial) y T = T To (T =temperatura final y
To =temperatura inicial). Es posible demostrar, que para los sólidos, ' 3 (ejercicio). Es
de hacer notar que esto no se cumple para los sólidos que no son isótropos y además
Isotrópico significa que tiene las mismas propiedades en cualquier dirección. Lo contrario ocurre para
un anisotrópico (no isotrópico).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 326
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
MATERIAL
(o C)
LIQUIDOS
Gasolina
Mercurio
Alcohol etílico
Glicerina
Agua
GASES
Aire (y la mayor parte de los gases a 1 atm)
1
950:10 6
180:10 6
1100:10 6
500:10 6
210:10 6
3400:10
6
Tabla (5.2): Coeficientes de dilatación promedio a 20o C de algunos líquidos y gases.
que la dilatación lineal no tiene sentido para los líquidos y los gases puesto que no
tienen forma definida. Los valores de para distintos sólidos, líquidos y gases a 20o C
son mostrados en la tabla 5.1 y 5.2.
Ejemplo 5.7 El tanque de gasolina de acero de un auto tiene una capacidad de 70
L y se llena hasta el tope con gasolina a 20o C. Luego el auto se expone al Sol
y el tanque alcanza una temperatura de 50o C. ¿Cuánta gasolina derramará el
tanque?.
Solución: Al usar (5.5) podemos escribir,
a. Para la gasolina:
VGas =
Gas VoGas
T = 950:10
6 o
1
:70L: (50o C
20o C)
6 o
1
:70L: (50o C
20o C)
( C)
= 2; 0 L
b. El tanque también se dilata, por lo tanto,
VT an =
Acero VoT an
T = 36:10
( C)
= 0; 075 L
de manera que la dilatación del tanque tiene un efecto mínimo. Si el tanque lleno
se expone al Sol se derramarían unos dos litros de gasolina.
Ejemplo 5.8 Una esfera de aluminio tiene un volumen de 50 cm3 a una temperatura de
20o C. Calcular su volumen a una temperatura de 100o C.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 327
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
Solución: Al usar (5.5) podemos escribir,
VEsf =
Al VoEsf
T = 75:10
6 o
( C)
1
:50cm3 : (100o C
20o C)
= 0; 3cm3
por lo tanto, su volumen final será,
VEsf = VEsf
5.4
VoEsf ) VEsf = VoEsf +
VEsf = 50cm3 + 0; 3cm3 = 50; 3cm3
Compresión térmica
En algunas situaciones los extremos de una varilla o placa de material están rígidamente fijos, lo que evita la dilatación o la contracción. Si cambiara la temperatura,
se presentarían grandes esfuerzos de tensión o de compresión; en algunas ocasiones
éstos se denominan esfuerzos térmicos
Su magnitud puede calcularse usando el concepto de módulo elástico. Para calcular los esfuerzos internos, podemos pensar que este proceso ocurre en dos etapas.
La varilla se expande (o se contrae) por una cantidad L dada por la ecuación (5.4) y
luego se aplica una fuerza para comprimir (o dilatar) el material de vuelta a su longitud
original. La fuerza F que se necesita en este caso está dada por la ecuación,
1F
Lo
(5.6)
ES
donde E es el módulo de Young para el material. Para calcular la fuerza de compresión, F , hacemos L en la ecuación (5.4) igual a L en la ecuación anterior y
encontramos
F = ES T
(5.7)
L=
Ejemplo 5.9 Dos bloques de concreto [E = 20:109 N=m2 y = 12:10 6 (o C) 1 ] de 10 m de
largo se colocan uno junto al otro sin un espacio entre ellos que permita la dilatación. Si los bloques se colocan a una temperatura de 10 o C, ¿cuál será la fuerza
de compresión cuando la temperatura alcance 40 o C? El área de contacto entre
cada bloque es de 0; 20 m2 .
Solución: Al usar (5.7),obtenemos,
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
F =
ES T
= 12:10
6 o
( C)
1
:20:109 N=m2 :0; 20m2 :30 o C
= 1; 4:106 N
5.5
Asignaciones
Problemas
1. Convertir:
1.1. 68 o F , 5 o F y 176 o F en o C. Resp.: 20 o C,
50 o C y 80 o C.
1.2. 30 o C, 5 o C y. 20 o C en o F . Resp.: 86 o F , 41 o F y
1.3.
195; 5 o C en o F . Resp.:
1.4.
430 o F en o C Resp.:
4 oF .
319; 9 o F .
256; 7 o C.
1.5. 1705 o C en o F . Resp.: 3101 o F .
1.6. 212 o F , 50 o F ,
200 o F y
70 o F en o R. Resp.: 672 o R, 510 o R, 260 o R, y 390 o R.
2. ¿Cuáles son las siguientes temperaturas en escala Kelvm: (a) 37 o C, (b) 80 o F , (c)
196 o C? Resp.: 310 K, 300 K y 77 K
3. Los puntos de fusión y de ebullición, a la presión atmosférica, del alcohol etílico
son 117 o C y 78; 5 o C respectivamente. Convertir estas temperaturas a la escala
fahrenheit. Resp.: 173 o F y 179 o F .
4. Los puntos de ebullición y de fusión, a la presión atmosférica, del mercurio son 675
o
F y 38; 0 o F respectivamente. Expresar dichas temperaturas en unidades de la
escala centígrada. Resp.: 357 o C y 38; 9 o C.
5. ¿A qué temperatura las lecturas de dos termómetros, uno de ellos graduado en
escala centígrada y el otro en fahrenheit, indican la misma lectura?. Resp.: 40 o C.
6. (a) La temperatura de la superficie del Sol es de unos 6000 K. Expresarla en la escala
Fahrenheit. (b) Expresar la temperatura normal del cuerpo humano, que es de 98; 6
o
F , en la escala Celsius. (c) En los Estados Unidos continentales la mayor temperatura registrada es de 134 o F en Death Valley, California, y la menor es de 70 o F
en Rogers Pass, Montana. Expresar estos valores extremos en la escala Celsius. (d)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 329
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
Expresar el punto de ebullición normal del oxigeno que es de
Fahrenheit.
183 o C en la escala
7. ¿A qué temperatura coinciden las siguientes parejas de escalas (a) la Fahrenheit y
la Kelvin; (b) la Celsius y la Kelvin?. Resp.: (a) 575 o y (e) No coinciden.
8. La temperatura del hielo seco (de sublimación a la presión normal) es de - 109 o F .
¿Es más alta o más baja que la temperatura de ebullición del etano que vale 88
o
C?. Resp.: Más alta.
9. Calcular el aumento de longitud de una barra de cobre de 500 cm de largo cuando
se calienta desde 12 o C a 32 o C. El coeficiente de dilatación lineal del cobre vale
17.10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 17 cm.
10. Una varilla de 3 m de longitud se alarga 3 mm al elevar su temperatura en 100 o C.
Hallar el coeficiente de dilatación lineal correspondiente. Resp.: 10 5 (o C) 1 .
11. A 15 o C una rueda tiene un diámetro de 30; 00 cm y el diámetro interior de la llanta
de acero es 29; 96 cm. ¿A qué temperatura debe calentarse la Ilanta para que
pueda entrar en la rueda?. El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 11.10 6
(o C) 1 . Resp.: 136 o C.
12. Una bola de acero de 6 cm de diámetro tiene 0; 010 mm más de diámetro que el
correspondiente al orificio de una plancha de latón donde se debe alojar cuando
tanto la bola como la plancha están a una temperatura de 30 o C. ¿A qué temperatura -tanto de la bola como de la plancha- podrá pasar la bola por el orificio?.
El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 12:10 6 (o C) 1 y del latón, 19:10 6
(o C) 1 . Resp.: 54 o C.
13. (a) Una vara métrica de aluminio mide correctamente (calibrada) a 5 o C y con
ella se mide una cierta longitud a 35 o C, resultando el valor 88; 42 cm. Hallar el error
cometido en la medición, debido a la dilatación de la vara. (b) ¿Cuál seria, en
las condiciones anteriores, la longitud correcta que se ha déterminado a 35 o C? El
coeficiente de dilatación lineal del aluminio vale 22.10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 06 cm; 88; 48
cm.
14. Hallar el aumento de volumen que experimentan 100 cm3 de mercurio cuando su
temperatura se eleva de 10 o C a 35 o C. El coeficiente de dilatación cúbica del
mercurio es 18.10 5 (o C) 1 . Resp.: 0; 45 cm3 .
15. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio vale 9.10 6 (o C) 1 . ¿Qué capacidad
tendrá un frasco de vidrio a 25 o C, si su valor a 15 o C es de 50 cm3 ?. Resp.: 50; 014 cm3 .
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Pág.: 330
CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
16. Hallar la variación de volumen experimentada por un bloque de fundición de 5 x
10 x 6 cm, al calentarlo desde 15 o C a 47 o C. El coeficiente de dilatación lineal de la
fundición es 10 5 (o C) 1 . Resp.: 0; 29 cm3 .
17. Una vasija de vidrio está llena justamente con 1 L de terpentina a 50 o F . Hallar el
volumen de liquido que se derrama si se calienta hasta 86 o F . El coeficiente de dilatación lineal del vidrio vale 9.10 6 (o C) 1 y el de dilatación cúbica de la terpentina
es 97.10 5 (o C) 1 . Resp.: 19 cm3 .
18. La densidad del oro, a 20 o C es 19; 30 g=cm3 y su coeficiente de dilatación lineal vale
14; 3:10 6 (o C) 1 . Hallar la densidad del oro a 90 o C. Resp.: 19; 24 g=cm3 .
19. Una barra de cobre mide 8 m a 15 o C. Hallar la variación que experimenta su
longitud al calentarla hasta 35 o C. El coeficiente de dilatación lineal del cobre vale
17:10 6 (o C) 1 . Resp.: 2; 72 mm.
20. Un eje de acero tiene un diámetro de 10; 000 cm a 30 o C. Calcular la temperatura
que deberá existir para que encaje perfectamente en un agujero de 9; 997 cm de
diámetro. El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 11:10 6 (o C) 1 . Resp.: 2; 7
o
C.
21. Con una cinta métrica de acero se mide una varilla de cobre y resulta el valor
90; 00 cm a 10 o C. Deducir la lectura .que se obtendría a 30 o C. Los coeficientes de
dilatación lineal del cobre y del acero, son respectivamente, 17:10 6 (o C) 1 y 11:10 6
(o C) 1 . Se supone que la cinta métrica de acero mide correctamente a 10 o C. Resp.:
90; 01 cm.
22. Un bulbo de vidrio está lleno con 50; 00 cm3 . de mercurio a 18 o C. Calcular el
volumen (medido a 38 o C) que sale del bulbo si se eleva su temperatura hasta 38
o
C. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 9:10 6 (o C) 1 , y el correspondiente
cúbico del mercurio vale 18:10 5 (o C) 1 . Resp.: 0; 15 cm3 .
23. La densidad del mercurio a 0 o C es 13; 60 g=cm3 , y el coeficiente de dilatación
cúbica, 1; 82:10 4 (o C) 1 . Hallar la densidad del mercurio a 50 o C. Resp.: 13; 48 g=cm3 .
24. Los extremos de una varilla de acero de, exactamente, 1 cm2 de sección recta,
se mantienen con rigidez entre dos puntos fijos a una temperatura de 30 o C. Hallar
la fuerza mecánica a la que se encontrará sometida la varilla si se produce en el
sistema una disminución de temperatura hasta 20 o C. El módulo de Young del acero
vale 2; 3:106 Kp=cm2 , y su coeficiente de dilatación lineal es 18:10 5 (o C) 1 . Resp.: 253
Kp.
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
25. El espejo dç vidrio Pyrex del telescopio del observatorio de Monte Palomar tiene
un diámetro de 200 plg. En dicho lugar la temperatura varía desde 10 hasta 50
o
C. Determinar el cambio máximo en el diámetro del espejo. El coeficiente de
dilatación lineal del vidrio Pyrex es 3; 2:10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 038 plg.
26. Un orificio circular en una lámina de aluminio es de 2; 540 cm de diámetro a 0 o C.
¿Cuál es su diámetro cuando la temperatura de la lámina se eleva a 100 o C?. El
coeficiente de dilatación lineal del aluminio es 23:10 6 (o C) 1 .
27. Las vías de un ferrocarril se tienden cuando la temperatura es de 0 o C. En ese
caso, la longitud de un tramo normal de riel es de 12; 0 m. ¿Qué espacio debe
dejarse entre las secciones de los rieles para que no exista una compresión cuando
la temperatura se eleva hasta 42 o C?. El coeficiente de dilatación lineal del acero
es 11:10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 55 cm.
28. Una varilla de acero tiene un diámetro de 3; 000 cm a 25 o C. Un aro de latón tiene un
diámetro interior de 2; 992 cm a 25 o C. ¿A qué temperatura común podrá deslizarse
exactamente el anillo sobre la varílla?. El coeficiente de dilatación lineal del acero
es 11:10 6 (o C) 1 y el del latón es 19:10 6 (o C) 1 .
29. El área S de una lámina rectangular es ab. Su coeficiente de dilatación lineal es .
Después de un aumento T de la temperatura, el lado a aumenta en a y el lado
b aumenta en b. Demostrar que si despreciamos la pequeña cantidad aab a (ver
figura 5.2), entonces
S=2 S T
Figura (5.2): Problema 29: Lámina rectangular sometida a un aumento de temperatura.
30. Una ventana de vidrio tiene exactamente 20 cm por 30 cm a 10 o C. ¿En cuánto
aumentará su área si la temperatura es de 40 o C?. El coeficiente de dilatación lineal
del vidrio es 9:10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 32 cm2 .
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
31. Demostrar que, si despreciamos las cantidades notablemente pequeñas, el cambio en volumen V de un sólido al dilatarse debido a un aumento de temperatura
T está dado por
V =3 V T
donde
es el coeficiente de dilatación lineal.
32. Encontrar el cambio en volumen de una esfera de aluminio de 10; 0 cm de radio
cuando se calienta desde 0 hasta 100 o C. El coeficiente de dilatación lineal del
aluminio es 23:10 6 (o C) 1 . Resp.: 29 cm3 .
33. La densidad es la masa por unidad de volumen. Si el volumen V depende de
la temperatura, también lo hará la densidad . Demostrar que el cambio
de
densidad correspondiente a un cambio T en la temperatura, está dado por
=
donde
tivo.
T
es el coeficiente de dilatación cúbica. Explicar la causa del signo nega-
34. Demostrar que cuando la temperatura de un líquido en un barómetro cambia en
una cantidad T , y la presión es constante, entoøces la altura h cambia por
h= h T
en donde
es el coeficiente de dilatación volumétrica.
35. (a) Demostrar que si las longitudes de dos varillas de diferentes sólidos son inversamente proporcionales a sus respectivos coeficientes de dilatación lineal a una
cierta temperatura inicial, la diferencia de longitud entre ellas será constante a todas las temperaturas. (b) ¿Cuáles serían las longitudes de unas varillas de acero y
de latón a 0 o C si a cualquier temperatura la diferencia entre sus longitudes fuese de
0; 30 m?. El coeficiente de dilatación lineal del acero es 11:10 6 (o C) 1 y el del latón
es 19:10 6 (o C) 1 . Resp.: Acero 71 cm; latón 41 cm.
36. Considérese un termómetro de mercurio en vidrio. Supóngase que la sección
transversal del capilar tiene un valor constante Ao , y que Vo , es el volumen del bulbo
de mercurio a 0; 00 o C. Si el mercurio llena justo al bulbo a 0; 08 o C, demostrar que la
longitud L de la columna de mercurio en el capilar a una temperatura T o C es
L=
Vo
(
Ao
3 )T
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
es decir, que es proporcional a la temperatura, en donde es el coeficiente de
dilatación volumétrica del mercurio y es el coeficiente de dilatación lineal del
vidrio.
37. Una taza de aluminio de 0; 1 L de capacidad está llena con mercurio a 12 o C.
¿Cuánto mercurio se derrama, si así sucede, si la temperatura de la taza se eleva
a 18 o C?. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 1; 8:10 4 (o C) 1 .
Resp.: 70 mm3 .
38. Un reloj de péndulo hecho de Invar tiene un período de 0; 500 s a 20 o C. Si se usa
dicho reloj en un clima cuya temperatura media sea de 30 o C, ¿qué corrección
(aproximada) debe aplicarse después de 30 días a la hora que indica el reloj?. El
coeficiente de dilatación lineal del Invar es 0; 7:10 6 (o C) 1 .
39. (a) Demostrar que el cambio del momento de inercia I con la temperatura de un
objeto sólido está determinada por
I=2 I T
(b) Demostrar que el cambio con la temperatura del período P de un péndulo físico
es
1
P =
P T
2
40. Un tubo vertical de vidrio de 1; 0 m de largo se llena hasta la mitad con un líquido a
20 o C, ¿Cuánto cambia la altura de la columna líquida cuando el tubo se calienta
a 30 o C?. Tomar vidrio = 1; 0:10 5 (o C) 1 y l{quido = 4:10 5 (o C) 1 . Resp.: Aumenta en
0; 10 mm.
41. La distancia entre dos torres del tramo principal del puente Golden Gate en San
Francisco es de 4200 pies. La flecha del cable en el punto medio entre las torres es de
470 pies a 50 o F . Tomar = 6; 5:10 6 (o F ) 1 para el cable y calcular (a) el cambio en
la longitud del cable y (b) el cambio en la flecha para un cambio de temperatura
de 20 a 110 o F . Se supone que las torres no sufren curvaturas ni separaciones y que
el cable tiene una forma parabólica. Resp.: (a) 3; 7 pies y (b) 6; 5 pies.
42. Una autopista de concreto está construida con losas de 26 m de largo. ¿Qué
ancho deben tener los intersticios entre las losas para evitar que se traslapen, por
causa de la expansión, si el intervalo de temperatura es de 20 o C a +50 o C?. El
coeficiente de dilatación lineal del concreto es 12:10 6 (o C) 1 .
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
43. Una cinta métrica de acero se calibra a 20 o C a 40 o C, (a) ¿su lectura será más
grande o más chica? y (b) ¿cuál será su error porcentual? Resp.: (a) menor, (b)
0; 024 %.
44. Para hacer una junta segura con frecuencia se emplean remaches de mayor
diámetro que el agujero y luego se enfría (por lo regular en hielo seco) antes de
ponerlo en el agujero. Un remache de acero de 2; 385 cm de diámetro va a colocarse en un agujero de 2; 382 cm de diámetro. ¿A qué temperatura debe enfriarse
el remache si debe ajustar en el agujero a 20 o C?. El coeficiente de dilatación lineal
del acero es 12:10 6 (o C) 1 . Resp.: 85 o C.
45. Sí la densidad de mercurio es 13; 59:l03 Kg=m3 a 20 o C, ¿cuál será su densidad a 65
o
C?. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 180:10 6 (o C) 1 .
46. Una esfera de acero tiene 28; 0 cm de diámetro. ¿Cuál será su cambio en volumen
si se calienta de 20 o C a 200 o C?. El coeficiente de dilatación volumétrica del acero
es 35:10 6 (o C) 1 .
47. Si una varilla de longitud original L1 cambia su temperatura de T1 a T2 , determine
una fórmula para su nueva longitud en términos de T1 y T2 y . Suponga (a) que =
constante, (b) = (T ) es función de la temperatura y (c) h= o + bT donde
i oy
R T2
b son constantes. Resp.: (a) L2 = L1 [1 + (T2 T1 )], (b) L = L1 1 + T1 (T ) dT y (c)
L2 = L1 [1 +
o
(T2
T1 )] + 2b (T22
T12 ).
48. Un vaso ordinario se llena hasta el borde con 288; 3 mL de agua a 10 o C. Si luego
se incrementa la temperatura a 30 o C, ¿cuánta agua se derramará del vaso? El
coeficiente de dilatación volumétrica del agua es 210:10 6 (o C) 1 . Resp.: 1; 6 mL.
49. Una viga de acero horizontal en forma de I„ de área de sección transversal de
0; 016 m2 está conectada en forma rígida a dos trabes de acero verticales. Si la viga
se instaló cuando la temperatura era de 25 o C, ¿qué esfuerzo se desarrolla en ésta
cuando la temperatura disminuye a 14 o C?, (b) ¿qué esfuerzo se desarrolla si la
viga es de concreto y tiene un área de sección transversal de 0; 13 m2 ?. El módulo
de Young del acero vale 200:109 N=m2 , y su coeficiente de dilatación lineal es 12:10 6
(o C) 1 . Resp.: (a) 9; 4:107 N=m2 y (b) 9; 4:106 N=m2 .
50. Un tonel de vino de 122; 860 cm de diámetro a 20 o C se debe ajustar con un aro de
acero. Este tiene un diámetro interior de 122; 848 cm a 20 o C. Tiene 8; 7 cm de ancho
y 0; 55 cm de grueso. (a) ¿A qué temperatura debe calentarse el aro de manera
que ajuste en el barril? (b) ¿Cuál será la tensión en el aro cuando se enfríe a 20 o C?.
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CAPITULO 5. TEMPERATURA Y DILATACION TERMICA
El coeficiente de dilatación lineal del acero es 12:10
vale 200:109 N=m2 .
6
(o C)
1
y su módulo de Young
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CAPITULO 6
CALORIMETRIA
Contenido
6.1
Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.2
Capacidad calorí…ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.3
Calor especí…co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.4
Calor de fusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.5
Calor de vaporización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.6
Calor de combustión
6.7
Equilibrio térmico y ley cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.8
Equivalente en agua de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.9
Calor especí…co de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.10 Calor especí…co de los líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
La calorimetría (también llamada termometría) es la ciencia que mide la cantidad de energía generada en procesos de intercambio de calor.
El calorímetro (ver figura 6.1) es el instrumento que mide dicha energía.
El tipo de calorímetro de uso más extendido consiste en un envase cerrado y perfectamente aislado con agua, un dispositivo para agitar y un termómetro.
337
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Figura (6.1): Calorímetro
6.1
Calor
El calor Q es la transferencia de energía de una parte a otra de un cuerpo, o
entre diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia de temperatura.
El calor es energía en tránsito; siempre fluye de una zona de mayor temperatura a
una zona de menor temperatura, con lo que eleva la temperatura de la segunda y reduce la de la primera, siempre que el volumen de los cuerpos se mantenga constante.
La energía no fluye desde un objeto de temperatura baja a un objeto de temperatura
alta si no se realiza trabajo.
Hasta principios del siglo XIX, el efecto del calor sobre la temperatura de un cuerpo
se explicaba postulando la existencia de una sustancia o forma de materia invisible, denominada calórico. Según la teoría del calórico, un cuerpo de temperatura
alta contiene más calórico que otro de temperatura baja; el primero cede parte del
calórico al segundo al ponerse en contacto ambos cuerpos, con lo que aumenta
la temperatura de dicho cuerpo y disminuye la suya propia. Aunque la teoría del
calórico explicaba algunos fenómenos de la transferencia de calor, las pruebas experimentales presentadas por el físico británico Benjamin Thompson en 1798 y por el
químico británico Humphry Davy en 1799 sugerían que el calor, igual que el trabajo,
corresponde a energía en tránsito (proceso de intercambio de energía). Entre 1840 y
1849, el físico británico James Prescott Joule, en una serie de experimentos muy precisos, demostró de forma concluyente que el calor es una transferencia de energía y
que puede causar los mismos cambios en un cuerpo que el trabajo.
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Pág.: 338
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Los procesos físicos por los que se produce la transferencia de calor son
la conducción y la radiación. Un tercer proceso, que también implica el
movimiento de materia, se denomina convección. La conducción requiere
contacto físico entre los cuerpos -o las partes de un cuerpo- que intercambian calor, pero en la radiación no hace falta que los cuerpos estén en contacto ni que haya materia entre ellos. La convección se produce a través del
movimiento de un líquido o un gas en contacto con un cuerpo de temperatura
diferente.
UNIDADES: En las ciencias físicas, la cantidad de calor se expresa en las mismas
unidades que la energía y el trabajo, es decir, en Joules, Ergios, etc. Otra unidad
(c.g.s.s.) es la caloría (cal) , definida como la cantidad de calor necesaria para elevar
la temperatura de 1 g de agua a 1 atm de presión desde 15 hasta 16 C. Esta unidad
se denomina a veces caloría pequeña o caloría gramo para distinguirla de la unidad
(M.K.S.C.) kilocaloría (Kcal), también denominada caloría grande o kilogramo caloría,
que equivale a 1000 calor{as (incidentalmente, la “caloría” que se usa para medir el
contenido energético de los alimentos es, en realidad, una kilocaloría)y se emplea en
nutrición.
1 Kcal = 1000cal
(6.1)
La energía mecánica puede convertirse en calor a través del rozamiento, y el
trabajo mecánico necesario para producir 1 calor{a se conoce como equivalente
mecánico del calor. A una caloría le corresponden 4; 1855 Joules.
1 cal = 4; 1855 Joules
(6.2)
que se le da el nombre de equivalente mecánico del calor. Según la ley de conservación de la energía, todo el trabajo mecánico realizado para producir calor por
rozamiento aparece en forma de energía en los objetos sobre los que se realiza el trabajo. Esta conexión fue sugerida por Rumford (1798) y calculada por Joule a mediados
del siglo XIX mediante en un experimento clásico: calentó agua en un recipiente cerrado haciendo girar unas ruedas de paletas y halló que el aumento de temperatura
del agua era proporcional al trabajo realizado para mover las ruedas (ver fig. 6.2).
En el Sistema Inglés, la unidad de calor es la unidad térmica británica (Btu), que
se define como el calor necesario para elevar la temperatura de una libra de agua
desde 63o F a 64o F . A un Btu le corresponden 252 cal.
1Btu = 252 cal
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(6.3)
Pág.: 339
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Figura (6.2): Dispositivo utilizado por Joule para medir el equivalente mecánico del calor
Otras equivalencias son,
6.2
1 cal = 0; 427 Kpm
(6.4)
1 Kcal = 427 Kpm
(6.5)
Capacidad calorífica
Se denomina capacidad calorífica C a la relación del calor Q proporcionado a
un cuerpo y el aumento correspondiente T de su temperatura, es decir,
C=
Q
T
(6.6)
La palabra “capacidad” puede ser mal interpretada como “la cantidad de calor
que un cuerpo puede contener”, mientras que lo que en realidad significa es simplemente la energía que debe suministrarse en forma de calor para que la temperatura
del cuerpo aumente en un grado (ver fig. 6.3 como ejemplo ilustrativo).
Para considerar la dependencia de C con respecto de T , podemos escribir la
ecuación en forma diferencial como,
dQ = CdT
(6.7)
por lo tanto, el calor Q que se requiere para cambiar la temperatura de T1 a T2 es,
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Pág.: 340
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Figura (6.3): Capacidad calorífica de distintos sólidos
Q=
Z
T2
CdT
(6.8)
T1
UNIDADES: La capacidad calorífica puede medirse en,
cal
Btu
o o
oC
F
6.3
(6.9)
Calor específico
Se denomina calor específico c a la capacidad calorífica por unidad de masa
de un cuerpo y es característica del material del cual está compuesto el mismo, es
decir,
c=
C
1 Q
=
m
m T
(6.10)
Se interpreta como la cantidad de calor que hay que suministrar a un cuerpo de
masa un gramo para que su temperatura aumente en un grado. La tabla 6.1 muestra
el calor específico de algunas sustancias a 20 o C y a una presión constante de 1 atm.
En forma diferencial,
dQ = mcdT
(6.11)
UNIDADES: El calor específico puede medirse en,
cal
en el c.g.s.s.
goC
Btu
o o en el Sistema Inglés
lb F
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(6.12)
Pág.: 341
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
SUSTANCIA
Kcal
Kg:o C
J
Kg:o C
Aluminio
Cobre
Vidrio
Hielo ( 5o C)
Hierro o acero
Plomo
Mármol
Plata
Madera
Alcohol etílico
Mercurio
Agua (15o C)
Vapor (110o C)
Cuerpo humano (promedio)
Proteínas
0; 22
0; 093
0; 20
0; 50
0; 11
0; 031
0; 21
0; 056
0; 4
0; 58
0; 033
1; 00
0; 48
0; 83
0; 4
900
390
840
2100
450
130
860
230
1700
2400
140
4186
2010
3470
1700
Tabla (6.1): Calor específico a 20o C y presión constante de 1 atm.
6.4
Calor de fusión
Se llama calor de fusión Lf de una sustancia a la magnitud que mide el número
de calorías que absorbe 1 g de dicha sustancia al pasar del estado sólido al estado
líquido, a la temperatura de fusión, quedando ésta fíja.
De aquí que, el calor necesario para fundir el sólido venga dado por,
Q = mLf
(6.13)
donde m es su masa de la sustancia.
Figura (6.4): Calor de fusión del hielo
Por ejemplo,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 342
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Lfhielo = 80
cal Kcal
o
(a 0 o C y 1atm):
g
Kg
(6.14)
significando que para que 1 g de hielo pueda pasar al estado líquido necesita absorber 80 cal. De la misma maner, un gramo de agua cuando se congela desprende
80 cal (ver figura 6.4).
6.5
Calor de vaporización
Se denomina calor de vaporización Lv de una sustancia a la magnitud que mide
el número de calorías que absorbe 1g de dicha sustancia para pasar del estado
líquido al gaseoso a su temperatura de ebullición, quedando esta fija.
De aquí que, el calor necesario para vaporizar un líquido venga dado por,
Q = mLv
(6.15)
donde m es su masa.
Figura (6.5): Calor de vaporización del agua
Por ejemplo,
Lvagua = 540
cal Kcal
o
(a 100 o C y 1atm):
g
Kg
(6.16)
significando que 1 g de agua absorbe 540 cal; cuando pasa del estado líquido al
gaseoso a la temperatura de 100 o C. De la misma manera 1 g de agua en estado
gaseoso a 100 o C desprende 540 cal cuando se condensa a esa temperatura (ver figura
6.5).
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Pág.: 343
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
6.6
Calor de combustión
Se llama calor de combustión Lc de una sustancia a la magnitud que mide el
número de calorías que desprende 1 g de dicha sustancia al quemarse en atmósfera
de oxígeno.
El calor de combustión, denominado también poder calorífico de los combustibles,
es de suma importancia en la técnica para el estudio de los motores de combustión.
En dietética, el calor de combustión se estudia para determinar el valor nutritivo de
las sustancias.
Si un cuerpo tiene una masa m y su calor de combustión es Lc , la cantidad de calor
que desprende al quemarse totalmente en atmósfera de oxígeno es,
(6.17)
Q = mLc
Ejemplo 6.1 ¿Cuánto calor se requiere para elevar la temperatura de 10 Kg de plomo
Kcal
de 5 o C a 45 o C?. El calor específico del plomo es 0; 031 Kg:
oC .
Solución: Al usar (6.10), se obtiene,
Q = mc T
= 10Kg:0; 031
Kcal
: (45o C
o
Kg: C
5o C)
= 12; 4 Kcal
Ejemplo 6.2 ¿Cuánto calor se requiere para elevar la temperatura de 20 Kg de hierro
Kcal
de 10 o C a 90 o C?. El calor específico del hierro es 0; 11 Kg:
oC .
Solución: Al usar (6.10), se obtiene,
Q = mc T
= 20Kg:0; 11
Kcal
: (90o C
Kg:o C
10o C)
= 180 Kcal
Ejemplo 6.3 (a) Hallar la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de
100 g de cobre desde 10 o C a 100 o C. (b) Suponiendo que a 100 g de aluminio a 10
o
C se le suministrase la cantidad de calor del apartado (a), deducir qué cuerpo,
cobre o aluminio, estará más caliente. El calor específico del cobre es 0; 093 g:cal
oC
y el del aluminio 0; 217 g:cal
.
oC
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Pág.: 344
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Solución:
(a) Al usar (6.10), se obtiene,
Q = mc T
= 100g:0; 093
cal
: (100o C
g:o C
10o C)
= 840 cal
(b) Como el calor específico del cobre es menor que el del aluminio, a igual masa,
se necesita más calor para elevar 1 o C la temperatura del aluminio que la del cobre,
por lo tanto, el cobre estará más caliente.
Ejemplo 6.4 Una caldera de vapor es de acero, pesa 400 Kp (400 Kg de masa) y contiene 200 Kg de agua. Suponiendo que sólo el 70 % del calor comunicado se
emplea en calentar la caldera y el agua, hallar el número de calorías necesarias
para elevar la temperatura del conjunto desde 5 o C a 85 o C. El calor específico
Kcal
del acero es 0; 11 g:cal
o C o 0; 11 Kng:o C .
Solución: Al usar (6.10), se obtiene,
Calor ganado por la caldera:
Qcal = mc T
Kcal
: (85o C
o
Kg: C
3
= 3; 52:10 Kcal
= 400Kg:0; 11
5o C)
Calor ganado por el agua:
QH2 O = mc T
Kcal
: (85o C
Kg:o C
= 16:103 Kcal
= 200Kg:1
5o C)
Por lo tanto, el calor total Q necesario será,
Q = Qcal + QH2 O
= 3; 52:103 Kcal + 16:103 Kcal
= 19; 52:103 Kcal
pero como sólo el 70% del calor es empleado, entonces,
Q = 0; 70:19; 52:103 Kcal = 1; 36:104 Kcal
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Ejemplo 6.5 En un calorímetro de cobre se queman, exactamente, 3 g de carbón produciéndoce CO2 . La masa del calorímetro es de 1; 5 Kg y la masa de agua del
aparato es de 2 Kg. La temperatura inicial de la experiencia fue de 20 o C y la
final de 31o C. Hallar el poder calorífico del carbón (cantidad de calor por él suministrado entre su masa) expresándolo en cal=g. El calor específico del cobre es
0; 093 g:cal
oC .
Solución: Al usar (6.10), se obtiene,
Calor ganado por el calorímetro:
Qcal = mc T
cal
: (31o C
g:o C
20o C)
cal
: (31o C
o
g: C
= 22000 cal
20o C)
= 1500g:0; 093
= 1530 cal
Calor ganado por el agua:
QH2 O = mc T
= 2000g:1
Por lo tanto, el poder calorífico o calor de combustión del carbón será, al usar (6.17),
Qcal + QH2 O
Qcarb
=
mcarb
mcarb
1530 cal + 22000 cal
=
3g
cal
= 7; 8:103
g
Lc =
Ejemplo 6.6 Hallar el calor que se debe extraer de 20 g de vapor de agua a 100 o C
para condensarlo y enfriarlo hasta 20 o C.
Solución:
Calor liberado en la condensación de 20 g de vapor a 100 o C a agua a 100 o C: Al
usar (6.15) y (6.16), obtenemos,
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Qvapor = Lvagua :mvapor
cal
= 540
:20 g
g
= 10800 cal
Calor liberado en el enfriamiento de 20 g de agua desde 100 o C a 20 o C: Al usar (6.10),
obtenemos,
QH2 O = mH2 O cH2 O T
cal
= 20g:1 o : (100o C
g: C
= 1600 cal
20o C)
Por lo tanto, el calor total Q liberado es,
Q = Qvapor + QH2 O
= 10800 cal + 1600 cal
= 12400 cal
Ejemplo 6.7 Hallar el número de kilocalorías absorbidas por una nevera eléctrica al
enfriar 3 Kg de agua a 15 o C y transformarlos en hielo a 0 o C.
Solución:
Calor absorbido al enfriar agua a 15 o C en agua a 0 o C: Al usar (6.15) y (6.16), obtenemos,
QH2 O = mH2 O cH2 O T
Kcal
= 3Kg:1
: (15o C
o
Kg: C
= 45 Kcal
0o C)
Calor absorbido en la transformación de 3 Kg de agua en hielo: Al usar (6.13) y
(6.14), obtenemos,
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Qhielo = Lfhielo :mhielo
Kcal
:3Kg
= 80
Kg
= 240 Kcal
Por lo tanto, el calor total Q absorbido es,
Q = QH2 O + Qhielo
= 45 Kcal + 240 Kcal
= 285 Kcal
6.7
Equilibrio térmico y ley cero
Las propiedades termodinámicas de un sistema vienen dadas por los atributos
físicos macroscópicos observables del sistema, mediante la observación directa o mediante algún instrumento de medida. Un sistema está en equilibrio térmico cuando no
se observa ningún cambio en sus propiedades termodinámicas a lo largo del tiempo.
Se da el nombre de estado de equilibrio (estado de equilibrio termodinámico) el estado del sistema que no varía con el tiempo (estado estacionario),
no dependiendo el carácter estacionario del estado de los procesos que tienen
lugar en el medio exterior. El estado de equilibrio se establece en el sistema
cuando las condiciones externas son constantes, y se mantiene en él durante
un tiempo arbitrariamente largo. En todas partes del sistema que se encuentra
en equilibrio termodinámico, la temperatura es la misma.
Los estados de equilibrio son, por definición, estados independientes del tiempo
[14]. El estado de equilibrio termodinámico se caracteriza por la anulación por compensación de flujos de intercambio y la homogeneidad espacial de los parámetros
que caracterizan el sistema que ya no dependen del tiempo.
Un estado de no equilibrio es un estado con intercambios netos de masa o energía
y sus parámetros característicos dependen en general de la posición y del tiempo. Si
no dependen de este último, necesitan la intervención del entorno para mantener sus
valores (estado estacionario fuera del equilibrio).
Si un sistema no está en equilibrio térmico en un momento, no podemos siquiera
asignar una presión o una temperatura al sistema. Por ejemplo, si se calienta una
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
olla de agua sobre una estufa, distintas partes del agua registrarán diferentes temperaturas (que pueden no estar cláramente definidas y cambiarán continuamente);
no podemos asignar una temperatura a la olla como un todo hasta que cesa el calentamiento y el agua por último alcance una temperatura uniforme; sólo entonces
estará en equilibrio térmico.
Si ahora tenemos dos sistemas diferentes cuyas presiones y temperaturas son diferentes, entonces si se mantienen alejados de manera que no interactúen entre sí y por
ende no puedan influir el uno sobre el otro, pueden permanecer a distintas presiones
y temperaturas. Ahora, si los ponemos en contacto de modo que interactúen entre
síy ,se dicen que están en contacto térmico.
Un procedimiento para determinar si dos sistemas X y Y están en equilibrio térmico
podría ser el siguiente: Hagamos uso de un tercer sistema Z (podría ser un termómetro),
supongamos ahora que X y Z está en equilibrio térmico y que lo mismo ocurre con los
sistemas Y y Z, se ha comprobado a partir de nuestra experiencia y una gran catidad
de experimentos que es correcto llegar a la conclusión de que, entonces, los sistemas
X y Y están en equilibrio térmico entre sí.
Si dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercero, entonces ambos
están en equilibrio térmico entre sí.
A este postulado se le da el nombre de Ley cero de la termodinámica.
Bien, como hemos visto, cuando varios cuerpos a temperaturas diferentes se ponen
en contacto, los cuerpos calientes ceden calor a los cuerpos fríos, hasta que después
de cierto tiempo todos estarán a la misma temperatura. En este proceso la capacidad
calorífica C del sistema de cuerpos permanece invariable, de modo que se cumple
siempre la siguiente igualdad, llamada ley de intercambio calórico,
Calor absorbido Qabs = Calor despedido Qdes
(6.18)
expresando que el número total de unidades de calor despedidas por los cuerpos
calientes iguala al número total de unidades de calor absorbido por los cuerpos fríos.
La relación (6.18) tiene muchas aplicaciones en el llamado método de las mezclas.
y
Pueden estar separados por una pared adiabática, entendieéndose con este término una pared que
actúa como aislante térmico perfecto, es decir, que no permite el flujo de calor.
Se dice en este caso que están conectados por una pared diatérmica, siendo esta pared un buen
conductor del calor (una delgada lámina de metal por ejemplo).
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Ejemplo 6.8 Hallar la temperatura T resultante de la mezcla de 150 g de hielo a 0 o C y
300 g de agua a 50 o C.
Solución:
Calor para fundir el hielo Qhielo : Al usar (6.13) y (6.14), obtenemos,
Qhielo = Lfhielo :mhielo
cal
= 80
:150 g
g
= 1; 20:104 cal
Calor para elevar la temperatura de 150 g de agua de 0 o C a la temperatura final de
la mezcla Tf : Al usar (6.10), obtenemos,
QH2 O (1) = mH2 O cH2 O T
cal
= 150g:1 o : (Tf
g: C
cal
= 150 o :Tf
C
0o C)
Calor perdido por 300 g de agua: Al usar (6.10), obtenemos,
QH2 O (2) = mH2 O cH2 O T
cal
= 300g:1 o : (50o C Tf )
g: C
cal
= 300 o : (50o C Tf )
C
Al alcanzarse el equilibrio se cumple (6.18), por lo tanto,
Calor absorbido = Calor perdido
QH2 O (2) = Qhielo + QH2 O (1)
cal
300 o : (50o C
C
cal
Tf ) = 1; 20:104 cal + 150 o :Tf
C
Tf = 6; 7 o C
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Ejemplo 6.9 Un sistema termodinámico está constituido por la mezcla de 500 g de agua
y 100 g de hielo a la temperatura de equilibrio 0o C. Si se introducen en este sistema
200 g de vapor de agua a 100 o C. Hallar la temperatura final y la composición de
la mezcla.
Solución:
Calor para fundir el hielo Qhielo : Al usar (6.13) y (6.14), obtenemos,
Qhielo = Lfhielo :mhielo
cal
:100 g
= 80
g
= 8000 cal
Calor para elevar la temperatura de 600 g de agua de 0 o C a la temperatura final de
la mezcla Tf : Al usar (6.10), obtenemos,
QH2 O = mH2 O cH2 O T
cal
= 600g:1 o : (Tf
g: C
cal
= 600 o :Tf
C
0o C)
Calor perdido por 200 g vapor al condensarse: Al usar (6.15) y (6.16), obtenemos,
Qvapor = Lvagua :mvapor
cal
= 540
:200 g
g
= 108000 cal
Calor perdido por 200 g vapor al enfriarse (ya condensado, es decir, convertido en
agua líquida) hasta la temperatura Tf : Al usar (6.10), obtenemos,
Qvapor = mvapor cvapor T
cal
= 200g:1 o : (100o C Tf )
g: C
cal
= 200 o : (100o C Tf )
C
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CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Al alcanzarse el equilibrio se cumple (6.18), por lo tanto,
Calor absorbido por el cuerpo frío = Calor perdido por el cuerpo caliente
Qhielo + QH2 O = Qvapor + Qvapor
cal
cal
8000 cal + 600 o :Tf = 108000 cal + 200 o : (100o C
C
C
Tf = 150 o C
Tf )
Este resultado indica que se introduce en el sistema más vapor que el necesario
para elevar la temperatura del hielo y del agua a 100o C. Por lo tanto, la temperatura
final de la mezcla es de 100o C y lo que ocurre es que permanece parte del vapor sin
condensar.
Si m es la masa de vapor condensado, podemos escribir,
Calor para fundir el hielo Qhielo : Al usar (6.13) y (6.14), obtenemos,
Qhielo = Lfhielo :mhielo
cal
= 80
:100 g
g
= 8000 cal
Calor para elevar la temperatura de 600 g de agua de 0 o C a la temperatura final de
la mezcla 100 o C Al usar (6.10), obtenemos,
QH2 O = mH2 O cH2 O T
cal
= 600g:1 o : (100o C
g: C
= 60000 cal
0o C)
Calor perdido por m gramos vapor al condensarse: Al usar (6.15) y (6.16), obtenemos,
Qvapor = Lvagua :m
cal
= 540
:m
g
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Pág.: 352
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Entonces, al usar (6.18), obtenemos,
Qhielo + QH2 O = Qvapor
cal
:m
8000 cal + 60000cal = 540
g
m = 126 g
De aquí que la mezcla final contiene 200 g
g de agua, todo a 100o C.
6.8
126 g = 74 g de vapor y 600 g + 126 g = 726
Equivalente en agua de un cuerpo
En cuestiones prácticas se compara el calor ganado o perdido por un cuerpo
con la masa de agua que gana o pierde la misma cantidad de calor. Dicha masa
es el equivalente en agua del cuerpo. En otras palabras, se denomina equivalente
en agua de un cuerpo a la masa de agua en gramos, numéricamente igual a la
capacidad calorífica del mismo.
Por ejemplo, supongamos que se tiene una masa de hierro de 50 g. Como el calor
específico del hierro es de c = 0; 115 gcal
o C , su capacidad calorífica es,
C = 50g:0; 115
cal
cal
= 5; 75 o
o
g C
C
(6.19)
Por lo tanto, el equivalente en agua de esa masa de hierro es de 5; 75 g de agua,
porque esta masa tiene una capacidad calorífica también de 5; 75 cal
o C . Térmicamente
son equivalentes 50g de hierro y 5; 75g de agua; absorben o desprenden la misma cantidad de calor por cada grado que varíen sus temperaturas.
6.9
Calor específico de un sólido
Para determinar el calor específico de los sólidos, se emplea el calorímetro de
mezclas. Está formado por un recipiente metálico de paredes delgadas y pulidas que
va colocado dentro de otro recipiente de mayor diámetro apoyado en un soporte de
corcho u otra sustancia mala conductora del calor (ver figura 6.6).
El vaso externo también está pulido y tiene por objeto reflejar el calor irradiado
tanto por el recipiente interno, el cual forma propiamente el calorímetro, como por
el calor externo del medio ambiente. El aparato se cierra con una tapa aisladora
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 353
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
térmica que tiene dos orificios para introducir el termómetro sensible y el agitador. Este
último está formado por un anillo metálico de la misma naturaleza que el calorímetro
y lleva una palanca para desplazario verticalmente, con el fin de mover el líquido.
Figura (6.6): Calorímetro
El procedimiento es el siguiente:
a. Se calienta el cuerpo, cuyo calor específico se quiere determinar y cuya masa mc ,
se conozca, hasta la temperatura T1 .
b. Se introduce luego en el calorímetro, el cual contiene una masa de agua mH2 O . a
la temperatura ambiente T2 . El sólido comunica calor al agua. Después de cierto
tiempo, cuando la temperatura del agua deja de ascender, se anota su valor. Es
ésta la temperatura final que designamos por T simplemente, por ser la temperatura
final.
Es de advertir que debe conocerse previamente la masa del calorímetro, que designamos como mcal , y su calor específico ccal . Aquí se supone que entra la masa del
agitador y su calor específico. La del termómetro se puede despreciar.
Se establece con los datos tomados de la experiencia la ecuación del equilibrio
térmico.
Qdes (cuerpo) = Qab (agua + calorímetro)
(6.20)
Absorben calor, el agua y el calorímetro; desprende calor, el sólido.
Calor despedido por el cuerpo:
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Pág.: 354
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Qc = mc cc (T1
(6.21)
T)
Calor absorbido por el agua:
QH2 O = mH2 O cH2 O (T
(6.22)
T2 )
Calor absorbido por el calorímetro:
Qcal = mcal ccal (T
(6.23)
T2 )
Ahora bien, al alcanzarse el equilibrio térmico debe cumplirse que,
(6.24)
Qc = QH2 O + Qcal
mc cc (T1
T ) = mH2 O cH2 O (T
T2 ) + mcal ccal (T
T2 )
(6.25)
de aquí que,
cc =
(mH2 O cH2 O + mcal ccal ) (T
mc cc (T1 T )
T2 )
(6.26)
Se debe hacer notar que en el planteamiento de la igualdad, T representa la temperatura final, y que cuando los cuerpos pierden calor, a su temperatura se le resta T ,
y cuando ganan calor, a la temperatura T se resta la temperatura de la sustancia.
6.10
Calor específico de los líquidos
Se emplea el mismo calorímetro que para los sólidos, pero en él se coloca una
masa ml{q del líquido, cuyo calor específico cl{q se quiere determinar y está a la temperatura T1 ambiente, lo mismo que el calorímetro. Se introduce en el líquido un
cuerpo de masa mc de calor específico conocido cc y calentado a la temperatura
T2 . Tomemos, además, mcal como la masa del calorímetro y ccal como su calor específico.
Absorben calor: el líquido y el calorímetro hasta llegar a la temperatura final de la
mezcla T y desprende calor el cuerpo. Por lo tanto,
Qdes (cuerpo) = Qab (líquido + calorímetro)
(6.27)
pero,
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Pág.: 355
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
Calor despedido por el cuerpo:
Qc = mc cc (T2
(6.28)
T)
Calor absorbido por el agua:
Ql{q = ml{q cl{q (T
T1 )
(6.29)
T1 )
(6.30)
Calor absorbido por el calorímetro:
Qcal = mcal ccal (T
entonces,
(6.31)
Qc = Ql{q + Qcal
mc cc (T2
T ) = ml{q cl{q (T
T1 ) + mcal ccal (T
T1 )
(6.32)
de aquí que,
cl{q =
6.11
mc cc (T2
T ) mcal ccal (T
ml{q (T T1 )
T1 )
(6.33)
Problemas
1. Hallar la cantidad de calor necesaria para calentar, desde 15 o C hasta 650 o C: a) 1
g de agua, b) 5 g de vidrio, c) 20 g de platino. El calor específico del vidrio es 0; 20
cal
y el del platino, 0; 032 g:cal
o C . Resp.: 50 cal; 50 cal; 32 cal.
g:o C
2. Calcular el número de calorías que se deben extraer para enfriar desde 85 o C hasta
15 o C: a) 1 Kg de agua, b) 2 Kg de cuero, c) 3 Kg de asbesto. El calor específico del
cal
3
3
3
cuero es 0; 36 g:cal
o C y el del asbesto 0; 20 g:o C . Resp.: 70:10 cal; 50; 4:10 cal; 42:10 cal.
3. La combustión de 5 g de coque eleva la temperatura de 1L de agua desde 10 o C
hasta 470 o C. Hallar el poder calorífico del coque. Resp.: 7; 4 Kcal
.
g
4. El petróleo utilizado en un horno tiene un poder calorífico de 5000 Kcal
. Suppniendo
kg
que solo se aprovecha el 70 % del calor desprendido en su combustión, hallar la
cantidad de combústible necesaria para calentar 500 Kg de agua desde 10 o C
hasta 80 o C. Resp.: 10 Kg.
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Pág.: 356
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
5. Un tanque de 1000 L de capacidad está lleno de agua y se calienta desde 5 o C
hasta 75 o C, empleando carbón con un poder calorífico de 8000 kcal
. Calcular la
kg
cantidad de cárbón que se necesita suponiendo que sólo se aprovecha el 50 % del
calor liberado. Resp.: 17; 5 Kg.
6. Un calorímetro de 55 g de cobre contiene 250 g de agua a 18 o C. Se introducen en
él 75 g de una aleación a una temperatura de 100 o C, y la temperatura resultante es
de 20; 4 o C. Hallar el calor específico de la aleación. El calor específico del cobre es
cal
0; 093 g:cal
o C . Resp.: 0; 102 g:o C .
7. Hallar la temperatura de la mezcla de 1 Kg de hielo a 0 o C con 9 Kg de agua a 50
o
C. Resp.: 37 o C.
8. Calcular la cantidad de calor necesaria para transformar 10 g de hielo a 0 o C en
vapor a 100 o C. Resp.: 7; 2 Kcal.
9. Se hacen pasar 5 Kg de vapor a 100 o C por 250 Kg de agua a 100 o C. Hallar la
temperatura resultante. Resp.: 23; 25 o C.
10. Hallar el calor de fusión del hielo a partir de los siguientes datos:
10.1. Masa del calorímetro 60 g.
10.2. Masa del calorímetro más la del agua 460 g.
10.3. Masa del calorímetro más la del agua y hielo 618 g.
10.4. Temperatura inicial del agua 38 o C.
10.5. Temperatura de la mezcla 5 o C.
10.6. Calor específico del calorímetro 0; 10
cal
.
g:o C
Resp.: 79; 8
cal
.
g
11. Un calorímetro, cuyo equivalente en agua es de 2; 5 Kg, contiene 22; 5 Kg de agua
y 5 Kg de hielo a 0 o C. Hallar la temperátura final si se introducen en él 2; 5 Kg de
vapor a 100 o C. Resp.: 36; 9 o C.
12. Hallar la temperatura final que resulta introduciendo en un calorímetro, que contiene 200 g de agua y 20 g de hielo a 0 o C con un equivalente de 30 g, 100 g de vapor
a 100 o C. Resp.: 49; 4 g de vapor condensado; temperatura final 100 o C.
13. Un calorímetro de 50 g de equivalente en agua contiene 400 g de agua y 100 g de
hielo a 0 o C. Se introducen en él 10 g de vapor a 100 o C. Hallar la temperatura final.
Resp.: 79; 9 g de hielo fundido; temperatura final 0 o C.
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Pág.: 357
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
14. ¿Qué cantidad de calor absorben 625 g de agua a 15 o C, para que su temperatura
sea de 60 o C? Resp.: 28125 cal.
15. Se mezclan 250 g. de agua a 40 o C con 375 g. de agua a 15 o C. ¿Cuál es la
temperatura final de la mezcla? Resp.: 25 o C.
16. ¿Qué cantidad de calor se necesita para que los 35 g de mercurio de un termómetro eleven su temperatura 30 o C?. Calor específico del Hg = 0; 033 g:cal
o C . Resp.:
34; 65 cal.
17. ¿Qué cantidad de calor desprende un trozo de cobre de 5 Kg, si su temperatura
desciende desde 100 o C a 50 o C? Determinar también la temperatura a la cual se
elevará una masa de agua de 2375 g a 12 o C con el calor desprendido por el cobre.
o
Calor específico del cobre: 0; 095 g:cal
o C : Resp.: 23750 cal; .22 C
18. Un calorímetro de cobre de 150 g. El calor específico es 0; 095 g:cal
o C . Calcular las
calorías que desprende al pasar su temperatura de 40 o C a 15 o C. Determinar el
equivalente en agua de dicho calorímetro. Resp.: 356; 25 cal; 14; 25 g.
19. En 178 g de agua a 19 o C se introduce un trozo de hierro de 60 g. a 100 o C. Cuando
se establece el equilibrio térmico, la mezcla tiene una temperatura de 22 o C. ¿Cuál
es el calor específico del metal? Resp.: 0; 114 g:cal
oC .
20. Un calorímetro contiene 400 g de agua a 12 o C y se introducen en él 200 g de plomo
a 83 o C. La temperatura final es de 13 o C. Y el equivalente en agua del calorímetro
es de 20 g. Determinar el calor específico del plomo. Resp.: 0; 03 g:cal
oC .
21. Se tienen 500 g de agua a 100 o C y se reemplazan 100 g. de esa agua por 150 g de
agua a 0 o C. Cuando se establece el equilibrio térmico se repite la operación dos
veces más. Calcular las temperaturas del agua en cada una de las operaciones.
Resp.: 1) 80 o C; b) 64 o C; c) 51; 2 o C.
22. Determinar el calor específico de la terebentina, si un trozo de cobre a 100 o C es
sumergido en 800 g de terebentina, la cual eleva su temperatura de 6 o C a 8; 5 o C y
el mismo trozo de cobre sumergido en 500 g. de agua, hace elevar la temperatura
de ésta de 5; 1 o C a 6; 8 o C. Resp.: 0; 417 g:cal
oC .
23. En un vaso hay agua a 4 o C y en otro agua a 84 o C. ¿Que cantidad de agua debe
tomarse de cada vaso para obtener una mezcla de 1200 g de agua a 24 o C, en un
recipiente de latón de 500 g cuya temperatura es de 12 o C siendo su calor específico
0; 095 g:cal
o C ?. Resp.: 892; 875 g.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 358
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
24. Un termómetro de mercurio tiene una masa de 60 g, se le calienta a 110 o C; se le
introduce en un calorímetro cuyo equivalente en agua es 160 g. El agua eleva su
temperatura de 6 a 10 o C. Determinar la masa del mercurio y la masa del vidrio que
tiene el termómetro. Calor específico del mercurio, 0; 03 g:cal
o C y calor específico del
cal
vidrío, 0; 19 g:o C . Resp.: 31; 25 g y 28; 75 g.
25. En 625 g de agua a 46 o C se colocan 125 g de hielo a 0 o C. ¿Cuál será la temperatura
final de la mezcla?. Resp.: 25 o C.
26. Para determinar el calor de fusión del hielo, se introducen 25 g de hielo a 0 0 o C en
225 g de agua a 20 o C. La temperatura de la mezcla es de 10 o C. ¿Cuál es el calor
de fusión del hielo?. Resp.: 80 cal
.
g
27. En 1700 g de agua a 15 o C se van colocando poco a poco trocitos de hielo a 0 o C.
La temperatura de la mezcla es de 5 o C. Determinar la masa del hielo depositada
en el agua. Resp.: 200 g.
28. Un trozo de hielo a 5 o C tiene forma de paralelepípedo cuyas dimensiones son:
40 cm., 20 cm., y 10 cm. Su densidad es 0; 9 g=cm3 . Se le coloca en agua. la cual está
a 20 o C, y la temperatura desciende a 15 o C. Determinar la masa del agua. Calor
cal
específico del hielo, 0; 5 g:cal
o C , y calor de fusión, 80 g:o C . Resp.: 140400 g.
29. Una hornilla puede calentar 1 Kg de agua de 10 a 15 o C en un minuto. ¿Cuánto
tiempo tardará en fundir 1 Kg de hielo a 10 o C y elevar la temperatura del agua
producida a 15 o C?. Resp.: 20 min.
30. Calcular la masa de hielo necesaria para bajar la temperatura del agua de una
bañera de 50 o C a 40 o C, si tiene 120 L de agua cuya masa es de 120 Kg. El hielo está
a 20 o C. Resp.: 10378; 3 g.
31. En 1500 g de agua a 10 o C se introduce una masa de cobre de 200 g a 100 o C y 500
g de hielo a 0 o C. La temperatura queda a 0 o C. ¿Qué masa de hielo se funde?.
Resp.: 211; 25 g.
32. El calor de evaporación del agua a 100 o C es de 537 g:cal
o C . ¿Qué cantidad de calor
se necesita para calentar 500 g de agua a 15 o C y evaporarla a 100 o C?. Resp.: 311000
cal:
33. ¿Cuántos litros de vapor de agua a 100 o C se necesitan para calentar 4 m3 de agua
de 20 o C a 80 o C, sabiendo que un litro de vapor de agua a 100 o C tiene una masa
de 0; 8 g?. Resp.: 5386000 L.
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Pág.: 359
CAPITULO 6. CALORIMETRIA
34. Un calorímetro cuyo equivalente en agua es 15 g contiene 365 g de agua a 20 o C.
Se Introducen en él 100 g de hielo a 10 o C y luego una corriente de vapor de agua
a 100 o C de 50 L. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla?. Resp.: 47; 2 o C.
35. Un calorímetro contiene agua y hielo. Se introducen en él 1233 g de plomo a 25 o C,
fundIéndose 120 g de hielo. En otro experimento se colocan en el mismo calórímetro
801 g de plomo fundido a la temperatura de solidificación 335 o C fundiéndose 159 g
de hielo. Calcular el calor específico del plomo en estado sólido y su calor de fusión.
cal
Resp.: 0; 0314 g:cal
o C ; 5; 37 g .
36. Se dispara una bala de plomo de 10 g sobre una placa de acero. ¿Cuál debe ser
la velocidad mínima de la bala, para que con el impacto se funda totalmente?. La
temperatura inicial de la bala es de 15 o C y absorbe el 80% del calor producido en
el choque. Resp.: 41357 cm=s.
37. En un cristal de tierra refractaria se colocan 100 g de estaño a 15 o C. En él se
derraman 125 g de cobre a 600 o C. ¿Cuál será la temperatura final admitiendo que
no hay pérdida de calor?. Calor específico del cobre, 0; 092 g:cal
o C . Calor específico
cal
cal
de estaño sólIdo, 0; 056 g:o C . Calor de fusión del estaño, 14 g . Temperatura de fusión
del estaño, 232 o C. Resp.: 324 o C.
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Pág.: 360
CAPITULO 7
LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Contenido
7.1
Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.2
Gases reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.3
El calor y el trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7.4
Energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.5
Primera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.5.1
Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
7.5.2
Algunas ejemplos donde se aplica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
7.6
Energía interna de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.7
Capacidades calorí…cas de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.8
Energía interna de un gas real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
7.9
Procesos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
7.10 Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.11 Máquina térmica de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.12 Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
7.12.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
7.12.2 Entropía de algunos sistemas termodinámicos notables . . . . . . . . . .
398
7.13 Segunda ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.13.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401
7.14 Tercera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
361
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
7.15 Máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.15.1 Máquinas térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
7.15.2 Refrigeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
404
7.16 Motores de combustión externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.16.1 Máquina de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
7.17 Motores de combustión interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.17.1 Motor de explosión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
7.17.2 Motor diesel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411
7.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.1
Gases ideales
Un gas ideal es aquél que tiene las más sencillas propiedades debido a que
la interacción entre las moléculas es despreciablemente pequeña. La interacción
entre las moléculas de todo gas será menospreciablemente débil con gran enrarecimiento, es decir, con pequeñas densidades del gas.
Con suficiente enrarecimiento, cualquier gas real se aproxima por sus propiedades
a un gas ideal. Ciertos gases, tales como el aire, nitrógeno, oxígeno, incluso a condiciones normales, es decir, a temperatura ambiente y presión atmosférica, poco se
diferencian de un gas ideal. En particular, por sus propiedades, el helio e hidrógeno,
se aproximan a un gas ideal.
Con pequeñas densidades, los gases se supeditan con suficiente precisión a la
ecuación,
pV = nRT
(7.1)
que es la denominada ecuación de estado de un gas ideal o ley de los gases ideales.
Aquí, p es la presión, V el volumen, n el número de moles de gas, R es la constante universal de los gases (encontrada experimentalmente igual para todos los gases) 8; 314
Jmol 1 K 1 = 1; 986 cal mol 1 K 1 = 1; 986 cal mol 1 (o C) 1 (puesto que K se define como
igual a un grado Celsius. Ver la sección dedicada a las escalas de temperaturas) y T
es la temperatura en la escala Kelvin.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Un mol es la unidad básica del Sistema Internacional de unidades, definida
como la cantidad de una sustancia que contiene tantas entidades elementales
(átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas) como átomos hay en
0; 012 Kg (12 g) de carbono 12.
Esa cantidad de partículas es aproximadamente de 6; 0221:1023 , el llamado número
de Avogadro. Por tanto, un mol es la cantidad de cualquier sustancia cuya masa
expresada en gramos es numéricamente igual a la masa atómica de dicha sustancia.
7.2
Gases reales
La ecuación de estado del gas ideal (7.1) no es del todo correcta: los gases reales
no se comportan exactamente así. En algunos casos, la desviación puede ser muy
grande. Por ejemplo, un gas ideal nunca podría convertirse en líquido o sólido por
mucho que se enfriara o comprimiera. Por eso se han propuesto modificaciones de
la ley de los gases ideales. Una de ellas, muy conocida y particularmente útil, es la
ecuación de estado determinada en 1873 por van der Waals,
p+
an2
V2
V
n
b
= RT
(7.2)
donde a y b son parámetros ajustables determinados a partir de medidas experimentales en gases reales. Son parámetros de la sustancia y no constantes universales,
puesto que sus valores varían de un gas a otro. Por ejemplo, para el CO2 el mejor
m3
m4
ajuste se obtiene para a = 3; 6:10 3 N
y b = 4; 2:10 5 mol
.
mol2
El análisis de van der Waals se basa en la teoría cinética y toma en cuenta:
a. El tamaño finito de las moléculas (en un gas ideal se desprecia el volumen total de
las propias moléculas, en comparación con el volumen total del recipiente, suposición que se aparta de la realidad cuando la densidad aumenta y las moléculas se
juntan).
b. Las moléculas interaccionan entre sí. La interacción es muy repulsiva a corta distancia, se hace ligeramente atractiva a distancias intermedias y desaparece a distancias más grandes. La ley de los gases ideales debe corregirse para considerar las
fuerzas atractivas y repulsivas. Por ejemplo, la repulsión mutua entre moléculas tiene
el efecto de excluir a las moléculas vecinas de una cierta zona alrededor de cada
Se denomina masa atómica Ar de un elemento químico, a la razón entre la masa del átomo de este
1
elemento y 12
de la masa del átomo 12 C (así se designa el isótopo de carbono con peso atómico 12).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
molécula. Así, una parte del espacio total deja de estar disponible para las moléculas en su movimiento aleatorio. En la ecuación de estado, se hace necesario restar
este volumen de exclusión b del volumen del recipiente; de ahí el término Vn
b
(en un gas ideal se supone que las fuerzas intermoleculares actúan sólo durante las
colisiones, cuando las moléculas están en “contacto”).
Los gases reales se subordinan a la ecuación de Van der Waals sólo de
forma aproximada. Un gas imaginario que por completo se supedita a la
ecuación (7.2) recibe el nombre de gas de Van der Waals.
7.3
El calor y el trabajo mecánico
El calor Q es una forma de energía y esta última es la capacidad para realizar
trabajo W , por lo tanto existe una relación entre el calor y el trabajo. Es de hacer notar,
como mencionamos antes, que el calor es una energía que fluye de un cuerpo a otro
en virtud de una diferencia de temperaturas, mientras que el trabajo es la energía que
se transmite de un sistema a otro de tal manera que no esté involucrada directamente
una diferencia de temperaturas.
Figura (7.1): Proceso termodinámico genérico
La figura 7.1 muestra un proceso termodinámico genérico, en el cual definimos
claramente el sistema y su entorno (medio ambiente externo). En la figura se ha dibujado una superficie cerrada que rodea al sistema para definirlo indicando así su frontera. Bien, la figura indica lo siguiente:
a. En (a) el sistema se encuentra en su estado inicial, en equilibrio con su entorno,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
b. en (b) el sistema interactúa con su entorno mediante un proceso termodinámico
particular. Durante este proceso puede entrar o salir energía del sistema en forma
de calor y de trabajo. Las flechas que representan el flujo de Q y de W deben cruzar
la frontera
c. y ,por último, en (c) el sistema ha alcanzado su estado final y de nuevo se encuentra
en equilibrio con su entorno.
A un proceso termodinámico en el cual la frontera de un sistema no permite
el intercambio de calor con su entorno se denomina proceso adiabático. Por
otro lado, cuando en un proceso termodinámico la temperatura permanece
constante se dice que es isotérmico, si se mantiene constante la presión se dice
entonces que es isobárico y si se manteiene constante el volumen se dice que
es isocórico.
Bien, supóngase que tenemos un gas confinado en un recipiente cilíndrico como
el que muestra la figura 7.2. Debemos tener cuidado en definir con exactitud nuestro sistema. En este caso, elegimos al gas como nuestro sistema; de tal modo que
las paredes del recipiente y el émbolo son partes del medio circundante (entorno).
Calcularemos ahora el trabajo que efectúa el gas al expandirse cuasiestáticamente,
con lo que queremos decir que el proceso se lleva a cabo con extrema lentitud (infinitamente lento), de manera que el sistema pasa por una sucesión de estados de
equilibrio infinitesimalmente cercanos; en esta forma p y T se definen en el sistema en
todos los instantesy .
Ahora bien, la fuerza ejercida sobre el émbolo por el gas viene dada por,
F = pS
(7.3)
donde S es la sección transversal del émbolo. Por ende, el trabajo realizado para
!
mover el émbolo una distancia infinitesimal d l es,
! !
dW = F d l = pSdl = pdV
(7.4)
!
Si el gas se comprimiera, de modo que d l apuntara hacia el gas, el volunmen se
reduciría y dV < 0, entonces el trabajo realizado por el gas sería negativo, lo que
equivale a decir que se efectúa un trabajo positivo sobre el gas y no es él quien lo
realiza.
y
Si el gas se expandiera o comprimiera rápidamente, habría turbulencia y partes diferentes estarían a
diferente presión y temperatura.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.2): Trabajo realizado por un gas
Para un cambio finito de V1 a V2 , se tiene que el trabajo realizado por el gas viene
dado por,
W =
Z
dW =
Z
V2
pdV
(7.5)
V1
Las ecuaciones (7.4) y (7.5) son válidas para el trabajo realizado en cualquier cambio de volumen (de un gas, líquido o sólido) siempre y cuando se efectúe en forma
cuasiestática.
Para integrar la ecuación (7.5), necesitamos saber cómo varía la presión durante el
proceso, lo cual depende del tipo de proceso.
Figura (7.3): Diagrama para un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico
En forma muy particular, podemos calcular el trabajo realizado en el caso de un
gas ideal o gas perfecto.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Consideremos primero un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico. Para
tener la certeza de que la temperatura permanece constante, suponemos que nuestro gas está en contacto térmico con un reservorio de calor,
Un reservorio de calor es un cuerpo cuya masa es tan grande, idealmente,
de modo que su temperatura no cambia de manera significativa cuando intercambia calor con nuestro sistema.
Este proceso es representado en la figura 7.3, siendo el área entre la curva pV y el
eje V (porción sombreada en la figura) exactamente el trabajo que se efectúa en
este proceso en concordancia con la ecuación (7.5). En este caso, a partir de (7.5) y
de (7.1), podemos escribir,
W =
Z
V2
pdV = nRT
V1
Z
V2
V1
dV
= nRT ln
V
V2
V1
(proceso isotérmico)
(7.6)
Estudiemos ahora una forma distinta de llevar al gas del estado 1 al 2. Para esto
seguiremos los siguientes pasos:
Figura (7.4): Procesos isocórico e isobárico para un gas ideal
a. Reducimos la presión del gas de p1 a p2 como se muestra en el segmenta ab de la
figura 7.4 (proceso isocórico),
b. ahora, a partir de aquí el gas se expande de V1 a V2 a presión constante P2 (proceso
isobárico), como es indicado por el segmento bc de la figura 7.4.
Bien, en ab no se efectúa trabajo puesto que dV = 0,
W = 0 (proceso isocórico)
(7.7)
mientras que, en bc la presión permanece constante de modo que,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
W =
Z
V2
pdV = p2 (V2
V1 ) (proceso isobárico)
(7.8)
V1
que para un gas ideal es,
V1
(proceso isobárico gas ideal)
(7.9)
V2
En este caso, el trabajo realizado también se representa por medio del área entre
la curva abc sobre el diagrama pV y el eje V , representado por el área sombreada en
la figura 7.4. Nótese, además, que la temperatura no permanece costante durante el
proceso isobárico, aunque es la misma en los puntos finales del proceso isocórico más
el proceso isobárico (abc en la figura 7.4: T1 = T2 ).
W == nRT2 1
Es fácil notar que el trabajo para llevar el sistema desde el estado 1 al estado 2 es
diferente para ambos procesos, lo cual es un resultado general que podemos enunciar
de la siguiente manera:
El trabajo efectuado para llevar un sistema desde un estado A a otro B
depende no sólo de su estado inicial y final, sino también del tipo de proceso
(o “trayectoria”).
Lo mismo se cumple para el calor. El calor de entrada necesario para pasar el gas
del estado 1 al 2 depende del proceso. Para el proceso isotérmico de la figura 7.3
resulta ser mayor que para el proceso abc de la figura 7.4. En general:
La cantidad de calor que se suministra o se extrae al llevar un sistema de un
estado A a otro B depende no sólo de los estados inicial y final sino también de
la trayectoria o proceso.
Ejemplo 7.1 ¿Cuánto trabajo realizan 8; 0 moles de gas O2 inicialmente a 0 o C y a 1 atm
cuando se duplica su volumen (a) en un proceso isotérmico y (b) en un proceso
isobárico?.
Solución:
a. Al usar (7.6) con V2 = 2V1 , y T1 = 0 o C = 273; 15 K = T2 [ver (5.1)], obtenemos:
V2
V1
2V1
= nRT2 ln
V1
= nRT2 ln (2)
W = nRT2 ln
= 8; 0 moles:8; 314Jmol 1 K
1
:273; 15K:0; 69
= 1; 25:104 J
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
No usamos (7.9) porque aquí T no se mantiene constante al cambiar el volumen.
b. Al usar (7.8) con V2 = 2V1 y p1 = 1 atm obtenemos:
W = p2 (V2
V1 )
= p2 (2V1
V1 )
= p2 V1
que al usar (7.1) para sustituir V1 , resulta
W = p2
nRT1
p1
y como p2 = p1 , entonces,
W = nRT
= 8; 0 moles:8; 314Jmol 1 K
1
:273; 15K
= 1; 8:104 J
Ejemplo 7.2 Determine el trabajo que realizan n moles de un gas de van der Waals
cuando se expande desde el volumen V1 hasta V2 isotérmicamente.
Solución: Sabemos de (7.5) que,
W =
Z
V2
pdV
V1
Por lo tanto, al despejar la presión p de la ecuación de estado de van der Waals
(7.2) y sustituirla en la anterior y teniendo presente que en un proceso isotérmico T
se mantiene constante, obtenemos,
W =
Z
V2
V1
que al ser integrada resulta,
W = nRT ln
7.4
V2
V1
nRT
V nb
nb
nb
an2
V2
+ an2
dV
1
V2
1
V1
Energía interna
Llamamos energía interna U de cualquier cuerpo, a aquella de la que se ha
sustraído la energía cinética del cuerpo como un todo y la energía potencial de éste
en el campo exterior de fuerzas.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Por ejemplo, al determinar la energía interna de cierta masa de gas no debemos
tomar en consideración la energía de movimiento del gas junto con el recipiente y
la energía condicionada por hallarse el gas en el campo de fuerzas de la atracción
terrestre.
Es decir, en la noción de energía interna se incluyen la energía del movimiento
caótico de las moléculas, la energía potencial de interacción entre ellas y la energía
intermolecularz .
La energía interna de un sistema es igual a la suma de las energías internas
de cada uno de los cuerpos por separado y de la energía de interacción entre
los cuerpos, que de por sí es la energía de interacción intermolecular en una
fina capa en la superficie de separación entre los cuerpos.
Este último tipo de energía es tan pequeña, en comparación con la de los cuerpos
macroscópicos, que puede ser despreciada y se considera que la energía interna de
un sistema de cuerpos macroscópicos es igual a la suma de las energías internas de los
cuerpos que lo constituyen. De este modo, la energía interna es una magnitud aditiva.
La energía interna es función del estado del sistema, lo que significa que
cada vez que el sistema se encuentra en el estado dado, su energía interna
toma el valor propio de dicho estado, independientemente de la prehistoria
del sistema.
Por consiguiente, durante el paso de un sistema de un estado a otro, la variación de
la energía interna siempre será igual a la diferencia de los valores de la energía interna
en dichos estados independientemente del camino por el que se realizó la transición,
es decir, sin que dependa de la transformación o del conjunto de transformaciones
que provocaron la transición del sistema de un estado a otro.
7.5
Primera ley de la termodinámica
La primera ley de la termodinámica identifica el calor como una forma de energía. Esta idea, que hoy nos parece elemental, tardó mucho en abrirse camino y
no fue formulada hasta la década de 1840, gracias a las investigaciones de Mayer y
de Joule principalmente. Anteriormente, se pensaba que el calor era una sustancia
indestructible y sin peso (el calórico) que no tenía nada que ver con la energía.
z
Esta definición debe ser considerada como previa. En la física estadística la noción de energía interna
se precisa. La aclaración de dicha precisión sale de los márgenes del presente texto.
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Pág.: 370
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
La primera ley de la termodinámica es una ley de conservación de la energía. El
calor y el trabajo son mecanismos por los que los sistemas intercambian energía entre
sí.
El primer reconocimiento del principio de conservación, por Leibniz en 1693, se
refería sólo a la suma de la energía cinética ( 12 mv 2 ) y la energía potencial (mgh) de
una masa mecánica simple situada en el campo gravitacional terrestre. En la medida
en que se consideraron nuevos tipos de sistemas, la forma establecida del principio
de conservación fallaba repetidamente, pero en cada caso, fue posible revivirlo mediante la incorporación de un nuevo término matemático (una “nueva clase de energía”). El principio de la conservación de la energía es uno de los más fundamentales,
generales y significantes principios de la teoría física [14].
En cualquier máquina, hace falta cierta cantidad de energía para producir trabajo;
es imposible que una máquina realice trabajo sin necesidad de energía. Una máquina
hipotética de estas características se denomina móvil perpetuo de primera especie.
La ley de conservación de la energía descarta que se pueda inventar nunca una
máquina así. A veces, la primera ley se enuncia como la imposibilidad de la existencia
de un móvil perpetuo de primera especie.
7.5.1 Enunciado
Para un sistema cerrado (de masa constante) la primera ley de la termodinámica
se expresa matemáticamente por medio de:
ET = Q
(7.10)
W
donde ET es el cambio total de energía del sistema, Q es el calor agregado al sistema y W el trabajo realizado por el sistema. La primera ley de la termodinámica sólo
proporciona la expresión cuantitativa del principio de conservación de la energía. En
palabras, expresa que:
el cambio total de energía de un sistema cerrado es igual al calor transferido al sistema, menos el trabajo efectuado por el sistema.
Puesto que ET = Ek + Ug + U , donde Ek , Ug , U son las variaciones de
la energía cinética, potencial gravitacional(energías externas) e interna del sistema
respectivamente, la ecuación (7.10) puede escribirse ahora como,
Ek +
Ug +
U =Q
W
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(7.11)
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
En el caso frecuente donde las energías potencial y cinética del sistema no cambian, (7.11) se convierte en:
U =Q
(7.12)
W
o, en forma diferencial,
dU = Q
(7.13)
W
y todo el intercambio de energía con el entorno sirve para cambiar sólo la energía
internax .
De la primera ley podemos deducir que:
a. Si el proceso no es cíclico
U 6= 0.
b. Si no se realiza trabajo mecánico
U = Q.
c. Si el sistema está aislado térmicamente
U=
W.
d. Si el sistema realiza trabajo, U disminuye.
e. Si se realiza trabajo sobre el sistema, U aumenta.
f. Si el sistema absorbe calor al ponerlo en contacto térmico con un foco a temperatura superior, U aumenta.
g. Si el sistema cede calor al ponerlo en contacto térmico con un foco a una temperatura inferior, U disminuye.
Debemos tener presente que:
a. Q es positivo cuando el calor se introduce en el sistema, y negativo, cuando se
extrae calor del mismo.
b. W es positivo cuando el sistema realiza trabajo exterior, y negativo, cuando se
aplica o se introduce en el mismo.
x
dU representa un cambio infinitesimal en el valor de U y la integración da una diferencia entre dos
valores
Z U2
dU = U2 U1
U1
mientras que
denota una cantidad infinitesimal y la integración da una cantidad finita
Z
Q=Q y
Z
W =W
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
7.5.2 Algunas ejemplos donde se aplica
Las ecuaciones (7.6), (7.7) y (7.8) permiten calcular el trabajo para un proceso
isotérmico, isocórico e isobárico respectivamente si el sistema está constituido por un
gas ideal.
Bien, en esta sección será mostrado cómo se aplica la primera ley de la termodinámica, mediante algunos ejemplos, a cada uno de estos procesos.
Ejemplo 7.3 Supongamos que 2; 00 moles de un gas ideal de volumen V1 = 3; 50 m3 a
T1 = 300 K se deja expandir hasta V2 = 7; 00 m3 a T 2 = 300 K. El proceso se
efectúa (a) isotérmicamente; (b) a lo largo de la trayectoria abc de la figura 7.4,
por lo que se permite que la presión descienda a volumen constante a lo largo de
la trayectoria ab y después el volumen aumenta a presión constante a lo largo de
la trayectoria bc. Para cada proceso, (a) y (b), determine el trabajo que efectúa
el gas, el calor que se suministra al gas, así como el cambio en su energía interna.
Solución:
(a) El trabajo realizado por el gas viene dado por la ecuación (7.6), entonces,
W = nRT ln
V2
V1
= 2; 00 mol:8; 314 J mol 1 K
1
:300 K: ln
7; 00m3
3; 50m3
= 3460 J
Puesto que para un gas ideal U sólo depende de la temperatura [ver ecuación
(7.23)] y en este proceso no cambia la temperatura, entonces,
U =0
Por lo tanto, de acuerdo con (7.12), podemoes escribir,
Q=
U + W = W = 3460 J
(b) Este proceso incluye dos partes: En la trayectoria ab tenemos que,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Wab = 0
según (7.7) y en la trayectoria bc tenemos que,
Wbc = nRT2 1
V1
V2
= 2; 00 mol:8; 314 J mol 1 K
1
:300 K: 1
3; 50m3
7; 00m3
= 2490 J
Por lo tanto, el trabajo total realizado en la trayectoria abc es,
W = 0 + 2490 J = 2490 J
y como
U = 0, entonces,
Q=
U + W = W = 2490 J
Ejemplo 7.4 Determínese (a) el trabajo y (b) el cambio en la energía interna de 1; 00
Kg de agua cuando hierve para convertirse en vapor a 100 o C. Suponga una
presión constante de 1 atm = 1; 01:105 mN2 . Se sabe que el calor que se requiere
para hervir 1 Kg de agua (calor de vaporización) es de 539 Kcal = 22; 6:105 J y
que 1 Kg de agua a 100 o C tiene un volumen de 1; 00:10 3 m3 y que 1 Kg de vapor
a 100 o C tiene un volumen de 1; 67 m3 .
Solución:
(a) En este caso, según (7.8), obtenemos,
W = p (V2
V1 )
N
= 1; 01:105 2 : 1; 67m3
m
5
= 1; 69:10 J
1; 00:10 3 m3
(b) Al usar ahora la primera ley de la termodinámica (7.12), se obtiene,
U =Q
W = 22; 6:105 J
1; 69:105 J = 20; 9:105 J
Ejemplo 7.5 Mostrar que se cumple,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
pV = ctte
para un gas ideal que experimenta un proceso adiabático (proceso que transcurre sin
intercambio de calor con el entorno del sistema), donde = CCVp . Esta ecuación recibe
el nómbre de ecuación adiabática de un gas ideal o ecuación de Poisson y la curva
definida con esta ecuación es llamada adiabática.
Solución: Bien, a partir de la primera ley de la termodinámica (7.12),
Q=
(7.14)
U +W
pero para un proceso adiabático Q = 0 y W = p V . Cómo el gas es ideal, U sólo
depende de la temperatura y viene dado por (??), entonces,
p V
(7.15)
nCV
Ahora, si p, V y T sufren pequeñas variaciones, a partir de (7.1) podemos escribir,
0 = nCV
(p +
pV + p V + V
que, al despreciar la cantidad
T +p V )
p) (V +
p+
T =
T)
(7.16)
= nRT + nR T
(7.17)
V ) = nR (T +
p V
p V y tomar en cuenta (7.1), nos queda como,
p V +V p
(7.18)
nR
Bien, ahora si igualamos (7.15) con (7.18) y tomamos en cuenta (7.32), obtenemos,
p V +V
p = nR T )
p V Cp + V
pCV = 0 )
T =
p
+
p
V
=0
V
(7.19)
siendo en el caso límite de cambios diferenciales,
dp
dV
+
=0
p
V
que al ser integrada (suponiendo
(7.20)
constante) resulta,
ln p + ln V = ctte ) pV = ctte
(7.21)
que se cumple para un proceso adiabático en el que intervenga un gas ideal.
El valor de la constante es proporcional a la cantidad de gas. En la figura 7.5 se
comparan los comportamientos isotérmico y adiabático de un gas.
Por otro lado, para un proceso isotérmico se cumple que,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.5): Comparación de comportamientos isotérmico y adiabático para un mol de gas ideal.
pV = ctte
(7.22)
la cual proviene de (7.1) al hacer la temperatura T constante y recibe el nómbre de
ecuación isotérmica de un gas ideal mientras que la curva definida con esta ecuación
es llamada isoterma.
Ejemplo 7.6 En cada uno de los siguientes casos, hallar la variación de energía interna
del sistema: (a) Un sistema absorbe 500 cal y realiza 40 Kpm de trabajo, (b) un
sistema absorbe 300 cal y se le aplica un trabajo de 419 J y (c) de un gas se
extraen 1500 cal a volumen constante.
Solución: Al usar (7.12), en donde Q, W y U se deben expresar en las mismas
unidades de energía. Q es positivo cuando el calor se introduce en el sistema, y negativo, cuando se extrae calor del mismo. W es positivo cuando el sistema realiza trabajo
exterior, y negativo, cuando se aplica o se introduce en el mismo. Ahora bien,
(a) Para este caso,
U =Q
W = 500cal
40=0; 427cal = 406; 33cal
U =Q
W = 300cal
( 419=4; 19cal) = 400cal
(b) y en este,
(c) Por último, como no existe variación de volumen (proceso isocórico), no se realiza
trabajo alguno, entonces
U =Q
W =
1500cal
0=
1500cal
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Ejemplo 7.7 En cada una de las siguientes transformaciones adiabáticas, hallar la variación
de energía interna: (a) Un gas produce, en un a expansión adiabática, 0; 5 Kpm
de trabajo exterior y (b) durante una compresión adiabática se aplica a un gas
un trabajo de 80 J.
Solución: En un proceso adiabático no hay transferencia de calor entre el sistema
y el medio exterior, por lo tanto, Q = 0 y al usar (7.12), nos queda,
(a) en este caso,
U =Q
W =0
0; 5Kpm =
0; 5Kpm
y aquí,
U =Q
W =0
( 80 J) = 80 J
Ejemplo 7.8 Un kilogramo de vapor a 100 o C y 1 atm ocupa un volumen de 1; 673 m3 .
(a) Hallar el porcentaje, respecto al calor de vaporización del agua (540 Kcal=Kg
a 100 o C y 1 atm), del trabajo exterior producido al transformarse agua en vapor
a 100 o C, venciendo la presión atmosférica. Sabiendo que 1 Kg de agua a 100
o
C tiene un volumen de 0; 001 m3 , determinar el incremento de energía interna al
formarse 1 Kg de vapor a 100 o C.
Solución:
(a) El trabajo realizado en la transformación de 1 Kg de agua en 1 Kg de vapor a
presión constante viene dado por, según (7.8),
W = p(V2
V1 ) = 1:104 Kp=m2 :(1; 673 m3
0; 001 m3 )
= 16720 Kpm
El calor equivalente a
16720 Kpm = 16720 Kpm:1=427 Kcal=Kpm
= 39; 16 Kcal
y el porcentaje pedido
= (39; 16 Kcal)=(540 Kcal) = 0; 0725 = 7; 25 %
(b) ahora, al usar (7.12),
U = Q
W = 540 Kcal
39; 16 Kcal
= 500; 84 Kcal
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
7.6
Energía interna de un gas ideal
La energía interna de un gas ideal monoatómico viene dada por,
3
U = nRT
(7.23)
2
que es una predicción de la teoría cinética estableciendo que la energía interna
de un gas ideal es proporcional a la temperatura Kelvin y sólo depende de la temperatura y del número de moles de gas, siendo independiente de la presión y del
volumen.
Si las moléculas del gas contienen más de un átomo, debe tomarse en cuenta la
energía rotacional y vibracional de las moléculas. La energía interna será mayor a
cualquier temperatura que para el caso de un gas monoatómico, pero seguirá siendo
sólo función de la temperatura.
7.7
Capacidades caloríficas de un gas ideal
Como vimos, el calor específico c de una sustancia es el calor que la unidad de
masa requiere para sufrir un cambio de una unidad en su temperatura. Una unidad
de masa conveniente es el mol. La capacidad calorífica correspondiente recibe el
nombre de Capacidad calorífica molar C. Matemáticamente se escribe,
C=
Q
n T
(7.24)
En los gases, sólo son importantes dos tipos de capacidad calorífica molar:
Las consideradas a volumen constante CV y a presión constante Cp .
Figura (7.6): Gas ideal encerrado en un dispositivo de cilindro y émbolo.
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Pág.: 378
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Consideremos un cierto número de moles de un gas ideal encerrados en un dispositivo de cilindro y émbolo como el mostrado en la figura 7.6(a). El cilindro se apoya
sobre un depósito de calor cuya temperatura puede aumentarse o disminuirse a voluntad, de modo que se pueda añadir calor al sistema o extraérselo, según se desee.
El gas tiene una presión p, tal que la fuerza hacia arriba que ejerce sobre el émbolo
(sin fricción) equilibra justamente al peso del émbolo y de su carga de arena. El estado del sistema está representado por el punto a en el diagrama pV de la figura 7.7;
este diagrama muestra dos lineas isotérmicas o isotermas, puesto que todos los puntos de una de ellas corresponden a una temperatura T y todos los puntos de la otra
corresponden a una temperatura mayor T + T .
Figura (7.7): La temperatura dada de una masa de gas aumenta en la misma cantidad ya sea por un
proceso a presión constante ab o por un proceso a volumen constante ac.
Ahora aumentamos la temperatura del sistema en T , incrementando lentamente
la temperatura del depósito. A medida que esto ocurre, añadimos arena al émbolo,
de modo que su volumen V no cambie. Este proceso a volumen constante hace
pasar al sistema del estado inicial de la figura 7.6(a) al estado final de la figura 7.6(c).
También podemos decir que pasa del punto a al punto c en la en la figura 7.7.
Por (7.24) CV tenemos que,
Q = nCV
T
(7.25)
y además V = 0 ) W = p V = 0, por lo tanto al aplicar la primera ley de la termodinámica (7.12), se obtiene,
U = nCV
T
(7.26)
que en forma diferencial se escribe,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
dU = nCV dT
(7.27)
Ahora hagamos que el sistema regrese a su estado original y que su temperatura
aumente de nuevo en T , pero esta vez evitando que la carga de arena se altere, de
manera que la presión p no cambie. Este proceso a presión constante lleva al sistema
desde su estado inicial en la figura 7.6(a) a su estado final en la figura 7.6(b) o, lo que
es lo mismo, lo lleva desde el punto a hásta el punto b en la figura 7.7.
Bien, por (7.24),
Q = nCp T
(7.28)
y por ser el proceso isobárico, a partir de (7.8),
(7.29)
W =p V
y además, como los procesos ab y ac de las figuras 7.6 y 7.7 implican el mismo cambio
T en la temperatura, también deben implicar el mismo cambio U en la energía
interna, es decir, el que establece (7.26). Así, en un proceso a presión constante, la
primera ley de la termodinámica (7.12) nos permite escribir,
nCp T = nCV
T +p V
(7.30)
que al usar la ecuación de estado de un gas ideal (7.1) para el proceso a presión
constate ab, tomando diferencias, es decir,
p V = nR T
(7.31)
Cp
(7.32)
se obtiene,
CV = R
La ecuación (7.32) demuestra que la capacidad calorífica molar de un gas ideal,
a presión constante, es siempre mayor que la obtenida a volumen constante, en una
cantidad igual a la constante universal de los gases R.
A partir de (6.10), podemos escribir,
T
(7.33)
Q = mcp T
(7.34)
Q = mcV
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
y al dividir miembro a miembro (7.25) entre (7.33), se obtiene,
Q
Q
nCV T
m
) CV = cV
mcV T
n
) CV = M cV
=
(7.35)
donde,
m
n
es la denominada masa molecular del gas. Análogamente,
(7.36)
M=
(7.37)
Cp = M cp
Ahora bien, al usar (7.35) y (7.37), la ecuación (7.32), se puede escribir como,
R
(7.38)
M
A partir de (7.23) y (7.27) en el límite de cambios diferenciales, encontramos que,
cp
cV =
1 dU
3
= R
(7.39)
n dT
2
cal
Este resultado de t 3 mol:K
es bastante aproximado para los gases monoatómicos, sin
embargo, está en serio desacuerdo con los de los gases diatómicos y poliatómicos.
Esto sugiere que (7.23) no es del todo correcta y como dicha relación se obtuvo directamente del modelo de la teoría cinética, se sugiere un cambio en el modelo si queremos que la teoría cinética sobreviva como una aproximación útil al comportamiento
de los gases reales. Al sustituir (7.39) en (7.32), obtenemos,
CV =
5
Cp = R
2
(7.40)
Ahora, para los gases biatómicos, la teoría cinética predice que,
5
CV = R
2
(7.41)
7
Cp = R
2
(7.42)
que al sustituir en (7.32), resulta,
Ejemplo 7.9 El calor específico del nitrógeno a volumen constante es cV = 0; 177 g:cal
oC .
Hallar su calor específico a presión constante cp . Masa molecular del N2 = 28; 0
g
.
mol
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Solución:Al usar (7.38), se obtiene,
cp
cV
R
1; 986 cal mol 1 (o C)
=
) cp =
M
28; 0 g mol 1
cal
) cp = 0; 248 o
g: C
1
+ 0; 177
cal
g:o C
o también, al usar (7.42) por ser el N2 un gas biatómico y teniendo presente (7.37),
cp =
7R
7 1; 986 cal mol 1 (o C)
=
2M
2
28; 0 g mol 1
1
cal
g:o C
= 0; 248
Ejemplo 7.10 Calcular los calores específicos cp y cV del gas O2 , cuya masa molecular
g
.
vale 32; 00 mol
Solución: Al usar (7.42) por ser el O2 un gas biatómico y teniendo presente (7.37), se
obtiene,
7R
7 1; 986 cal mol 1 (o C) 1
cal
cp =
=
= 0; 217 o
1
2M
2
32; 00 g mol
g: C
Por otro lado, al usar (7.41) por ser el O2 un gas biatómico y teniendo presente (7.35),
se obtiene,
cV =
5R
5 1; 986 cal mol 1 (o C)
=
2M
2
32; 00 g mol 1
1
= 0; 155
cal
g:o C
Ejemplo 7.11 Se comprime adiabáticamente un volumen de 22; 4 L de nitrógeno gaseoso
a 0 o C y 1 atm a 1=10 de su volumen inicial. Hallar: (a) la presión final, (b) la temperatura final, (c) el trabajo que hay que realizar sobre el sistema. Para el gas N2 ,
g
= 1; 40; cV = 0; 178 g:cal
o C y masa molecular = 28; 0 mol .
Solución:
a. Al usar (7.21),
p1 V1 = p2 V2 ) p2 = p1
pero V2 =
1
V,
10 1
V1
V2
entonces,
p2 = p1 (10) = 1 atm (10)1;40 = 25; 1 atm
b. Al usar (7.21) y sustituir T a partir de (??), obtenemos,
p1 V1
= p2 V2 )
) T1 V1
1
nRT1
nRT2
V1 =
V
V1
V2 2
= T2 V2
1
) T2 = T1
V1
V2
1
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
pero como V2 =
1
V
10 1
y por (5.1) T1 = 273; 15K, entonces,
T2 = T1 (10)
1
= 273; 15 K (10)0;40 = 686 K
c. Cómo el proceso es adiabático entonces Q = 0, por lo tanto a partir de la primera
ley de la termodinámica (7.12),
W )W =
U =Q
U
Ahora, al usar (7.26),
W = nCV
T =
nCV (T2
T1 )
pero CV = M cV según (7.35), entonces,
W =
nM cV (T2
T1 )
luego, para un mol de gas,
W =
=
cal
g
:0; 178 o (686 K
mol
g: C
3
2; 06:10 cal = 8; 62:103 J
1 mol:28; 0
273; 15 K)
donde se ha tenido presente que 1cal = 4; 1855 Joules. El resultado es negativo pues
se realiza trabajo sobre el sistema.
Ejemplo 7.12 La temperatura de 5 Kg de N2 gaseoso se eleva desde 10 o C a 130 o C. (a)
Si se realiza el proceso a presión constante, hallar la cantidad de calor necesaria
para ello, el incremento de energía interna, U , y el trabajo exterior W realizado
por el gas y (b) calcular la cantidad de calor necesaria, si el proceso se lleva a
Kcal
cabo a volumen constante. Los calores específicos del gas N2 son cp = 0; 248 Kg:K
g
Kcal
y cV = 0; 177 Kg:K
y su masa molecular = 28; 0 mol
.
Solución:
(a) Al usar (7.34),
Q = mcp (T2
T1 ) = 5 Kg:0; 248
Kcal
:120K
Kg:K
= 149 Kcal
por otro lado, al usar (7.8),
W = p (V2
V1 )
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
pero como V =
nRT
p
según (??) y n =
W
m
M
según (7.36), entonces,
nRT2 nRT1
) W = nR (T2
p
p
m
) W =
R (T2 T1 )
M
= p
entonces,
W =
T1 )
cal
5 Kg
:120 K = 42; 5 Kcal
g :1; 986
28; 0 mol
mol K
y por último, al usar (7.12),
U =Q
W = 149 Kcal
42; 5 Kcal = 106; 5 Kcal
(b) A volumen constante (proceso isocórico), W = 0 y según (7.12),
Q =
U = mcV (T2 T1 ) =
Kcal
= 5 Kg:0; 177
:120 K = 106; 2 Kcal
Kg:K
7.8
Energía interna de un gas real
La energía interna de los gases reales también depende principalmente de la
temperatura, pero en donde se desvían del comportamiento del gas ideal, depende
de la presión y del volumen.
La energía interna del gas de Van der Waals debe contener, además de la energía
cinética de las moléculas, la energía de interacción entre éstas. Con el fin de hallar la
energía interna de un gas de Van der Waals, hagamos uso del hecho que el trabajo
W que se realiza durante la dilatación de un gas contra las fuerzas de la atracción
recíprocas de las moléculas, es igual al incremento de la energía de interacción Ep , es
decir,
dW = dEp
(7.43)
Las fuerzas de atracción entre las moléculas se tuvieron en cuenta en la ecuación
2
(7.2) con ayuda de una adición a la presión igual a an
. Correspondientemente, el traV
bajo W contra las fuerzas de interacción entre las moléculas puede ser representado
como,
dW =
an2
dV
V2
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(7.44)
Pág.: 384
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
en concordancia con (7.5). Así, pues,
an2
dV
V2
La integración de la anterior expresión nos da,
dEp =
(7.45)
an2
+ ctte
(7.46)
V
La energía interna de un gas de Van der Waals depende tanto del volumen, como
de la temperatura. Por lo tanto, la expresión para U tiene la forma,
Ep =
an2
U = f (T )
V
donde la constante de la expresión (7.46) ha sido incluida en f (T ).
(7.47)
En el límite, cuando el volumen tiende al infinito, la anterior expresión debe convertirse en la (7.26) para la energía interna de un gas ideal. Por consiguiente,
an2
(7.48)
V
Con esta ecuación se pueden hallar los valores aproximados de la energía interna
de los gases reales.
U = nCV T
La energía interna de los líquidos y de los sólidos es bastante complicada, ya que
incluye la energía potencial asociada con las fuerzas (o enlaces “químicos”) entre
átomos y moléculas.
7.9
Procesos cíclicos
Un ciclo es una serie de transformaciones que llevan a un cuerpo o sistema de
cuerpos al estado inicial.
Consideremos un gas encerrado en un cilindro por medio de un émbolo cuyo estado inicial (1) se caracteriza por las condiciones
(p1 ; V1 ; T1 )
(7.49)
como se muestra en la figura 7.8.
En la figura 7.9, el estado (1) está representado por el punto N de coordenadas
(V1 ; p1 ).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.8): Diversos estados de un gas cuando efectúa un ciclo
El émbolo puede moverse entre los topes N y M . Si se ejerce una fuerza sobre el
émbolo por medio de pesas, se puede calentar el gas hasta que ejerza la presión p2
con el mismo volumen V1 .
Figura (7.9): Representación gráfica del ciclo en un diagrama pV
Las nuevas condiciones son ahora
(p2 ; V1 ; T2 )
(7.50)
La figura 7.9 representa esta situación por el punto P , cuyas coordenadas son
(V1 ; p2 ).
Si se continúa dando calor al gas y no se colocan más pesas, se dilata a la presión
p2 constante. El nuevo estado está dado por las siguientes condiciones:
(p2 ; V2 ; T3 )
(7.51)
El punto Q del plano representa esta nueva situación de coordenadas: (V2 ; p2 ).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Si se colocan nuevas pesas que ejerzan la presión p1 enfriando el gas para obtenerla, el volumen permanece constante a V2 . Las condiciones ahora son:
(7.52)
(p1 ; V2 ; T1 )
El punto M del plano representa esta nueva situación, cuyas coordenadas son:
(V2 ; p1 )
Al continuar enfriando el gas se puede llegar a la temperatura T1 , y a la presión p1 ,
o sea que ha recobrado las condiciones iniciales. Gráficamente se vuelve al punto N .
Se dice entonces que el gas ha recorrido un ciclo.
Analizando las diversas transformaciones, se tiene:
1. Desde N a P , el gas no ha hecho trabajo, lo ha recibido del medio externo, porque
no ha variado el volumen.
2. Desde P a Q, el gas ha hecho trabajo, dado por el área del rectángulo V1 P QV2 .
3. En el trayecto QM tampoco se realiza trabajo, no hay variación de volumen.
4. En el recorrido M N , el trabajo recibido del exterior está representado por el área
del rectángulo V2 M N V1 .
5. El trabajo entregado al exterior por el sistema está dado por la diferencia de las dos
áreas.
W =
V1 P QV2
V2 M N V1
(7.53)
Como ha sido recorrido el ciclo en el sentido de la aguja del reloj, el trabajo realizado es positivo y ejecutado por el sistema. En caso contrario, el trabajo sería negativo, o sea recibido por el sistema y realizado por el exterior.
7.10
Procesos reversibles e irreversibles
Un proceso reversible es aquel que se efectúa infinitamente despacio, de manera que el proceso puede considerarse como una serie continua de estados de equilibrio y todo el proceso puede hacerse en sentido inverso sin cambiar la magnitud
del trabajo realizado o del calor que se intercambia. Estos procesos que ocurren con
mucha lentitud reciben el nombre de cuasiestáticos.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Los procesos cuasiestáticos pueden ser o no reversibles, pero aquí sólo consideraremos los reversibles.
Un ejemplo de proceso reversible es la expansión adiabática de un gas. Imaginemos un cilindro de paredes perfectamente aisladoras del calor (ver fig. 7.10), y en
su interior un gas encerrado a preión p y a temperatura T por medio de un émbolo
que ocupa la posición AB en su estado inicial. Encima del émbolo se colocan unas
pesas, y como la presión p es mayor que la ejercida por el émbolo, se sujeta por medio
de los topes S.
Figura (7.10): Proceso reversible
Al quitar los topes el gas se dilata adiabáticamente, ya que por estar encerrado en
el cilindro térmicamente aislado no intercambia calor con el entorno del sistema.
En su ascensión, el émbolo llega a la posición CD, donde se equilibra la presión del
gas y la presión de las pesas. Allí se le detiene de nuevo por los topes S 0 para que
no descienda, pues de lo contrario quedaría oscilando. Al quitar los topes, el émbolo
desciende y llega de nuevo a la posición AB, donde se le sujeta.
La anterior transformación efectuada es reversible por lo siguiente:
a. En la posición CD, el volumen del gas ha aumentado.
b. La presión ha disminuido.
c. Se ha realizado un trabajo exterior levantando la pesa; luego su temperatura ha
disminuido.
Al volver a la posición inicial AB, se tiene:
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Pág.: 388
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
a. Ha recuperado el volumen inicial.
b. La presión es también la inicial.
c. Por efecto de la compresión ha aumentado su temperatura, llegando a la que
tenía.
El trabajo lo ha ejecutado la pesa. Como el gas al dilatarse y luego comprimirse
ha recuperado las condiciones iniciales y pasado por las condiciones intermedias, la
transformación es reversible.
Una transformación es irreversible cuando no existe ningún procedimiento
ideal, por el cual los elementos que intervienen en la transformación pueden
recuperar su estado inicial.
Los fenómenos y procesos de la naturaleza son irreversibles; por lo tanto las transformaciones reversibles son imaginarias (ideales).
7.11
Máquina térmica de Carnot
La idea básica detrás de cualquier máquina térmica es que la energía mecánica
puede obtenerse del calor sólo cuando éste se deja fluir de una temperatura alta Tc
a una temperatura baja Tf ; en el proceso cierta cantidad de calor puede transformarse en trabajo mecánico. En una máquina térmica “perfecta” o ideal todo el calor
suministrado se transforma íntegramente en trabajo mecánico.
Las temperaturas elevada y baja Tc y Tf , se denominan temperaturas de operación
de la máquina; por simplicidad, supondremos que estas temperaturas se mantienen
por medio de dos reservorios de calor a temperatura uniforme Tc y Tf . Nos interesarán
sólo las máquinas que realicen procesos cíclicos.
El motor térmico más simple posible fue estudiado, en forma teórica, por
Sadi Carnot. Se trata de un motor ideal, debido a que se supone que opera
mediante procesos cuasiestáticos sin rozamiento y el fluido termodinámico empleado es un gas ideal.
La máquina de Carnot utiliza el denominado ciclo de Carnot, el cual se ilustra en la
figura 7.11 (Para un gas real, el diagrama pV sería un poco diferente).
Tomaremos el punto A como el estado inicial. El gas se expande primero isotérmicamente y reversiblemente, trayectoria AB a temperatura Tc ; para que esto ocurra,
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.11): Ciclo de Carnot
podemos imaginar que el gas está en contacto con un reservorio térmico a temperatura Tc que entrega el calor jQc j a nuestra sustancia de trabajo (el gas). Después el
gas se expande adiabáticamente y reversiblemente, trayectoria BC; no se intercambia calor y la temperatura del gas se reduce a Tf . La tercera etapa es una compresión
isotérmica reversible, trayectoria CD, en contacto con un reservorio térmico a baja
temperatura, Tf , durante el cual fluye el calor jQf j hacia afuera de la sustancia de
trabajo. Por último, el gas se comprime adiabáticamente, trayectoria DA, regresando
a su estado original. De modo que un ciclo de Carnot se compone de dos procesos
isotérmicos y de dos adiabáticos.
Es fácil mostrar que el trabajo neto que se realiza en un ciclo en una máquina de
Carnot (o por cualquier otra máquina que efectúe un ciclo reversible) es igual al área
encerrada por la curva que representa el ciclo en el diagrama pV , la curva ABCD en
la figura 7.11.
Para un ciclo completo de Carnot, como para cualquier ciclo, se tiene que,
U =0
(7.54)
de manera que al usar la primera ley de la termodinámica (7.12) nos queda,
Q
W =0)Q=W
(7.55)
Si indicamos con jQc j y jQf j los módulos de la cantidad de calor que el fluido intercambia con las dos fuentes a lo largo de la isoterma caliente y fría respectivamente,
se tiene que,
Q = jQc j
jQf j
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(7.56)
Pág.: 390
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
que al usar (7.55) podemos escribir,
W = jQc j
(7.57)
jQf j
Por definición, se llama rendimiento o eficiencia de un motor a la razón
entre el trabajo que realiza y el calor Qc = jQc j que el mismo absorbe de la
fuente caliente, esto es,
=
W
jQc j
(7.58)
que al usar (7.57), podemos escribir como,
=
jQc j jQf j
=1
jQc j
jQf j
jQc j
(7.59)
Calcularemos ahora el rendimiento en función de los valores que los parámetros
termodinámicos T y V adquieren en los estados A, B, C y D del ciclo (ver fig. 7.11).
Para la expansión isotérmica cuasiestática desde A hasta B, al usar la primera ley
de la termodinámica, se obtiene que,
(7.60)
Qc = WAB
puesto que para la isoterma de un gas ideal
U = 0. Entonces,
WAB = nRTc ln
VB
VA
(7.61)
según la ecuación (7.6).
Puesto que VB > VA ) WAB > 0, entonces de (7.60) y (7.61) se obtiene que,
jQc j = Qc = nRTc ln
VB
VA
(7.62)
VD
VC
(7.63)
Análogamente, para la compresión de C a D,
Qf = WCD = nRTf ln
y puesto que VD < VC ) WCD < 0, entonces,
jQf j =
Qf = nRTf ln
VC
VD
(7.64)
Ahora, de (7.62) y (7.64) obtenemos,
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Pág.: 391
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
VC
VD
jQf j
Tf ln
=
jQc j
Tc ln
(7.65)
VB
VA
Por otro lado, para las trayectorias AB y CD la temperatura es constante (son isotermas), por lo tanto, a partir de (7.22), podemos escribir respectivamente,
pA VA = pB VB
(7.66)
pC VC = pD VD
(7.67)
y para las trayectorias AD y BC los procesos son adiabáticos, por lo tanto, a partir de
(7.21),
pB VB = pC VC
(7.68)
pD VD = pA VA
(7.69)
Multiplicando, miembro a miembro, (7.66), (7.67), (7.68) y (7.69), obtenemos,
(VB VD )
1
1
= (VC VA )
)
VC
VB
=
VA
VD
(7.70)
Sustituyendo ahora (7.70) en (7.65), resulta,
Tf
jQf j
=
jQc j
Tc
(7.71)
Tf
Tc
(7.72)
Por último, al sustituir este resultado en (7.59), se obtiene,
=1
Sería posible imaginar otros ciclos reversibles factibles que podrían emplearse para
una máquina ideal reversible. De acuerdo al teorema establecido por Carnot:
Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas dos temperaturas tienen lel mismo rendimiento; ninguna máquina irreversible que opere entre
las mismas dos temperaturas puede tener un rendimiento mayor que éste.
El anterior teorema se conoce como teorema de Carnot y establece que la ecuación
(7.72), se aplica a cualquier máquina reversible y que esta ecuación representa el
máximo rendimiento posible para una máquina real (irreversible).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Ejemplo 7.13 Una máquina de vapor opera entre 490 o C y 265 o C. ¿Cuál es el máximo
rendimiento posible de esta máquina?.
Solución: Lo primiero que debemos hacer es transformar las temperaturas a K. Bien,
usando la ecuación (5.1), obtenemos
T (K) = T ( C) + 273; 15
entonces,
Tf = 265o C = (265 + 273; 15) K = 538; 15K
Tc = 490o C = (490 + 273; 15) K = 763; 15K
Ahora, al usar (7.72), obtenemos,
=1
Tf
=1
Tc
538; 15K
= 0; 29
763; 15K
que representa un 29 %.
Ejemplo 7.14 Calcular el rendimiento ideal de una máquina térmica que funciona entre dos focos a 100 o C y 400 o C de temperatura, respectivamente.
Solución: Igual que en el ejemplo anterior, lo primiero que debemos hacer es transformar las temperaturas a K. Bien, usando la ecuación (5.1), obtenemos
T (K) = T ( C) + 273; 15
entonces,
Tf = 100o C = (100 + 273; 15) K = 373; 15K
Tc = 400o C = (400 + 273; 15) K = 673; 15K
Ahora, al usar (7.72), obtenemos,
=1
Tf
=1
Tc
373; 15K
= 0; 445
673; 15K
que representa un 44; 5 %.
Ejemplo 7.15 Una máquina de Carnot opera entre dos fuentes a temperaturas de Tc =
500 K y Tf = 300 K. Calcular:
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Pág.: 393
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
a. El rendimiento de la máquina. Calcular también el rendimiento de la máquina en
los casos en que:
b. Tc se aumente en
T = 20 K y Tf se mantenga en 300 K;
c. Tc se mantenga en 500 K y Tf se disminuya en
T = 20 K.
Solución:
a. Al usar (7.72), obtenemos,
=1
Tf
=1
Tc
300K
= 0; 4
500K
que representa un 40 %.
b. De la misma manera,
=1
Tf
=1
Tc + T
300K
= 0; 42
500K + 20K
Tf
300K 20K
= 0; 44
500K
que representa un 42 %.
c. Por último,
=1
T
Tc
=1
que representa un 44 %.
Ejemplo 7.16 Una máquina térmica de gas ideal opera en un ciclo de Carnot entre
227 o C y 127 o C. Absorbe 6; 0:104 cal de la temperatura mayor (a) ¿cuál es la eficiencia de la máquina? y (b) ¿cuánto trabajo por ciclo es capaz de producir
esta máquina?.
Solución:
(a) Al usar (7.72), obtenemos,
=1
(127 + 273; 15) K
=1
(227 + 273; 15) K
400; 15K
= 0; 2
500; 15K
que representa un 20 %.
(b) Al usar (7.58), resulta,
W = jQc j = 0; 2:6; 0:104 cal = 1; 2:104 cal
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
7.12
Entropía
7.12.1
Definición
El concepto de entropía S fue introducido por primera vez por el ingeniero francés
R. J. Clausius a mediados del siglo XIX. La entropía (que es una finción de estado),
permite la formulación matemática de la segunda ley que fue propuesta por el mismo
ingeniero en los años 1860.
Como vimos al estudiar el motor térmico de Carnot tenemos, según (7.71), que
para el ciclo reversible de Carnot,
jQf j
Tf
=
jQc j
Tc
(7.73)
Qc Qf
+
=0
Tc
Tf
(7.74)
En la ecuación anterior, si eliminamos las barras de valor absoluto y tenemos presente que Q es positivo cuando representa un flujo de calor hacia el sistema (como
Qc ) y negativo cuando sale del sistema (como Qf ), podemos escribir,
Si ahora consideramos cualquier ciclo reversible, como el representado por medio
de la curva continua (en forma de óvalo) de la figura 7.12, llegamos a la conclusión
de que:
Todo ciclo reversible puede aproximarse como una serie de ciclos de
Carnot.
Figura (7.12): Todo ciclo reversible puede aproximarse mediante una serie de ciclos de Carnot.
La figura 7.12 muestra sólo ocho ciclos de Carnot (las isotermas, se conectan por
medio de trayectorias adiabáticas para cada una) y la aproximación se vuelve mejor
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Pág.: 395
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
H
Figura (7.13): La integral dS de la entropía para un ciclo reversible es igual a cero. Por tanto, la diferRb
encia de entropía entre los estados a y b, Sa Sb = a dS, es la misma para la trayectoria I que para la
II.
a medida que aumentamos el número de ciclos. La ecuación (7.74) es válida para
cada uno de estos ciclos, por lo que podemos escribir,
XQ
=0
(7.75)
T
Ahora, notemos que el calor de salida Qf de un ciclo es aproximadamente igual
al negativo del calor de entrada Qc del ciclo que le sigue (la igualdad real se da
en el límite de un número infinito de ciclos de Carnot infinitamente pequeños); en
consecuencia, el calor que fluye en las trayectorias internas de todos estos ciclos de
Carnot se cancela, de manera que el calor neto que se transfiere, así como el trabajo
realizado, son los mismos para las series de los ciclos de Carnot y para el ciclo original.
Por lo tanto, en el límite de un número infinito de ciclos de Carnot, la ecuación (7.75)
se aplica a cualquier ciclo reversible; en este caso (7.75) se convierte en,
I
Q
=0
T
(7.76)
H
donde Q representa un flujo de calor infinitesimal y significa que tomamos la integral
alrededor de una trayectoria cerrada. La integral puede iniciarse en cualquier punto
de la trayectoria tal como a o b en la figura 7.12 y proceder en cualquier dirección.
Si dividimos el ciclo de la figura 7.12 en dos partes como se indica en la figura 7.13,
podemos reescribir (7.76) como,
Z
a
I
b
Q
+
T
Z
a
b
II
Q
=0
T
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(7.77)
Pág.: 396
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
y si una trayectoria se toma en sentido inverso, por ejemplo II, Q en cada punto se
vuelve
Q, ya que la trayectoria es reversible. Por lo tanto, podemos escribir,
Z
b
a
I
Q
=
T
Z
b
a
II
Q
T
(7.78)
Cómo nuestro ciclo es arbitrario, la ecuación (7.78) nos dice que la integral de TQ
entre cualesquiera dos estados de equilibrio a y b, no depende de la trayectoria del
proceso. En consecuencia, podemos definir una nueva cantidad, la cual denominaremos entropía S, por medio de la relación,
Q
(7.79)
T
donde Q es la cantidad de calor absorbida por un cuerpo en proceso isotérmico y T
la temperatura del cuerpo donador de calor.
dS =
La expresión (7.79) establece que la variación de entropía de un sistema,
entre dos estados de equilibrio cualesquiera, se obtiene llevando el sistema a
lo largo de cualquier camino reversible que una dichos estados, dividiendo el
calor que se entrega al sistema en cada punto del camino por la temperatura
del sistema y sumando los coeficientes así obtenidos.
De la ecuación se observa que dS y Q tienen el mismo signo, por consiguiente, el
carácter de la variación de la entropía puede servir para determinar en qué sentido
se realiza el intercambio de calor: Cuando un cuerpo se calienta Q > 0 su entropía
crece dS > 0 y cuando se enfría Q < 0 su entropía decrece dS < 0.
De (7.78) y (7.79) podemos escribir que para un ciclo reversible,
y de (7.79) para un proceso reversible,
S = Sb
I
(7.80)
dS = 0
Sa =
Z
a
b
dS =
Z
a
b
Q
T
(7.81)
la cual es independiente de la trayectoria entre los punto a y b. A esta integral se
le da el nombre de integral de Clausius Este es un importante resultado y nos dice
que la diferencia de entropía Sb Sa , entre dos estados de equilibrio de un sistema no
depende de la forma en que se llega de un estado al otro.
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Pág.: 397
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
En consecuencia, la entropía es una variable de estado, es decir, su valor
depende sólo del estado del sistema y no del proceso o de la historia por la que
llega al nuevo estado. Esto se distingue claramente de Q y de W , que no son
variables de estado; sus valores dependen del proceso que se siga.
La entropía para un proceso irreversible no viene dada por (7.79), en este caso para
poder calcularla debemos resolver algún otro proceso reversible que siga el sistema
entre los mismos dos estados de equilibrio del irreversible y calculamos S para este
proceso reversible. Este valor será igual al S para el proceso irreversible, ya que S
depende sólo de los estados inicial y final del sistema.
En la práctica, generalmente los procesos no son del todo reversibles por lo que
la entropía aumenta , no es conservativa y ello es en gran parte el misterio de este
concepto.
La entropía puede considerarse como una medida de lo próximo o no que
se halla un sistema al equilibrio; también puede considerarse como una medida
del desorden (espacial y térmico) del sistema.
UNIDADES: Las unidades comunes de la entropía son
J
K
o bien
cal
K
De todo lo anterior podemos resumir lo siguiente:
1. La entropía se define solamente para estados inicial y final de equilibrio.
2. Solamente pueden calcularse variaciones de entropía S. En muchos problemas
prácticos, como el diseño de una máquina de vapor, consideramos únicamente
diferencias de entropía. Por conveniencia, se considera nula la entropía de una
sustancia en algún estado de referencia conveniente. Así se calculan las tablas de
vapor, en donde se supone cero la entropía del agua cuando se encuentra en fase
líquida a 0 o C y presión de 1 atm.
3. La variación de entropía de un sistema depende sólo de sus estados, inicial y final
y no de los procesos reversibles o irreversibles para pasar de un estado al otro ni de
la historia por la que llega al nuevo estado. En consecuencia, la entropía es una
variable de estado{ .
{
La energía potencial gravitacional Ug , la energía interna U , la presión p y la temperatura T son otras
H
variables de estado y para todas ellas se cumple una ecuación de la forma dX = 0 siempre que se
sustituya por X el símbolo apropiado. El calor Q y el trabajo W no son variables de estado y sabemos
H
H
que, en general,
Q 6= 0 y
W 6= 0.
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Pág.: 398
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
4. Sí un cuerpo describe un ciclo formado únicamente de transformaciones reversibles,
la entropía del sistema de cuerpos que intervino no experimenta variación según
(7.80).
5. Sí en un sistema aislado se efectúa una transformación irreversible cíclica o no, la
entropía del sistema aumenta. Por ejemplo: Considérese un sistema aislado que
contenga 2 secciones separadas con gases a diferentes presiones. Al quitar la separación ocurre un cambio altamente irreversible en el sistema al equilibrarse las dos
presiones. Pero el mediono ha sufrido cambio durante este proceso, asi que su
energia y su estado permanecen constantes, y como el cambio es irreversible la
entropía del sistema a aumentado.
Como en el Universo se verifican continuamente transformaciones irreversibles, deduce Clausius que la energía del Universo es constante, pero que su entropía crece
continuamente tendiendo a un máximo.
7.12.2
Entropía de algunos sistemas termodinámicos notables
Al sustituir (7.13) en (7.81), resulta la expresión,
S=
Z
a
b
dU + W
T
(7.82)
7.12.2.1 Entropía de un cuerpo sólido
En la hípótesis de que el calor específico c sea independiente de la temperatura y
despreciando el trabajo W debido a la dilatación, podemos escribir a partir de (7.13),
dU =
Q
=
Q
W
(7.83)
(7.84)
y al usar (6.11),
dU = mcdT
(7.85)
que al sustituir en (7.82) resulta,
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Pág.: 399
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
S =
Z
b
a
dU
T
Z b
(7.86)
dT
a T
Tb
S = mc ln
Ta
= mc
(7.87)
(7.88)
7.12.2.2 Entropía de un gas ideal
Para un gas ideal, según (7.27),
(7.89)
dU = nCV dT
y además, al usar (7.4) y (7.1),
nRT
dV
V
(7.90)
Tb
Vb
+ nR ln
Ta
Va
(7.91)
W = pdV =
que al sustituir en (7.82) e integrar resulta,
S = nCV ln
7.12.2.3 Entropía de un gas de van der Waals
La energía interna para un gas de van der Waals viene dada por (7.48),
an2
V
(7.92)
an2
dV
V2
(7.93)
nRT
V nb
an2
V2
(7.94)
nRT
V nb
an2
V2
U = nCV T
que al diferencial resulta,
dU = nCV dT +
Por otro lado, de (7.2), se sabe que,
p=
y de aquí, a usar (7.4) , obtenemos,
W =
dV
(7.95)
Ahora, al usar (7.82), obtenemos,
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Pág.: 400
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
S=
Z
b
nCV dT +
S = nCV ln
7.13
+
nRT
V nb
an2
V2
dV
T
a
que al ser integrada resulta,
an2
dV
V2
Tb
Vb
+ nR ln
Ta
Va
nb
nb
(7.96)
Segunda ley de la termodinámica
No es posible convertir completamente calor en trabajo, pero sí trabajo en calor.
Así pues, mientras, según la primera ley, calor y trabajo son formas equivalentes de
intercambio de energía, la segunda ley varía radicalmente su equivalencia, ya que
el trabajo puede pasar íntegramente a calor pero el calor no puede transformarse
íntegramente en trabajo.
Desde el punto de vista de la primera ley de la termodinámica, los dos procesos
(trabajo y calor) son equivalentes. El calor puede transformarse en trabajo, o el trabajo
en calor. Esta equivalencia se pierde si consideramos la segunda ley. El trabajo es una
forma más “coherente” de energía. Siempre podemos transformarlo en calor, pero la
inversa no siempre es posible.
La segunda ley afirma que la entropía, o sea, el desorden, de un sistema aislado
nunca puede decrecer. Por tanto, cuando un sistema aislado alcanza una configuración de máxima entropía, ya no puede experimentar cambios: ha alcanzado el
equilibrio. La naturaleza parece pues “preferir” el desorden y el caos. Puede demostrarse
que el segundo principio implica que, si no se realiza trabajo, es imposible transferir
calor desde una región de temperatura más baja a una región de temperatura más
alta.
El segundo principio impone una condición adicional a los procesos termodinámicos. No basta con que se conserve la energía y cumplan así el primer principio. Una
máquina que realizara trabajo violando el segundo principio se denomina “móvil perpetuo de segunda especie”, ya que podría obtener energía continuamente de un
entorno frío para realizar trabajo en un entorno caliente sin coste alguno. A veces, el
segundo principio se formula como una afirmación que descarta la existencia de un
móvil perpetuo de segunda especie.
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Pág.: 401
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
7.13.1
Enunciado
La segunda ley de la termodinámica puede establecerse de las siguientes maneras equivalentes:
1. Enunciado de Clausius: Es imposible realizar un proceso termodinámico cuyo
único resultado sea el pasar calor de un cuerpo a temperatura inferior a uno
de temperatura superior.
2. Enunciado de Kelvin-Planck: Es imposible realizar un proceso termodinámico
cuyo único resultado sea absorber calor de una sola fuente y transformarlo
íntegramente en trabajo.
3. Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desorden o entropía. Este es el más general y puede reformularse más precisamente como: La entropía total S de cualquier sistema más la de sus alrededores aumenta como resultado de todo proceso natural:
S>0
(7.97)
La segunda ley de la termodinámica señala la dirección en la cual los procesos tienden a desencadenarse; es por esto, que la entropía también recibe
el nombre de “flecha del tiempo ”. A medida que el tiempo transcurre, la energía se degrada a formas menos útiles (es decir, está menos disponible para
efectuar trabajo útil).
De la segunda ley de la termodinámica se sigue que el trabajo y el calor no son dos
formas equivalentes de transmisión de la energía.
7.14
Tercera ley de la termodinámica
La segunda ley de la termodinámica sugiere la existencia de una escala de temperatura absoluta con un cero absoluto de temperatura.
La tercera ley de la termodinámica afirma que el cero absoluto no puede
alcanzarse por ningún procedimiento que conste de un número finito de pasos.
Es posible acercarse indefinidamente al cero absoluto, pero nunca se puede
llegar a él.
Ejemplo 7.17 Un trozo de hielo de 1; 00 Kg a 0o C se funde muy lentamente hasta convertirse en agua a 0o C. Supóngase que el hielo está en contacto con un reservorio
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Pág.: 402
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
de calor cuya temperatura es sólo infinitesimalmente mayor que 0o C. Determine
el cambio en la entropía de (a) el cubo de hielo, (b) del reservorio de calor.
Solución:
(a) El proceso se realiza a temperatura cosntante de T = (0 + 273; 15) K = 273; 15 K [ver
(5.1)] y en forma reversible (lentamente), por lo que podemos utilizar la ecuación
(??) como sigue,
Z
Z
Q
1
Q
=
Shielo =
Q=
T
T
T
Ahora, como el calor que se requiere para fundir el hielo se obtiene de (6.13) y
tomando en cuenta el calor de fusión del hielo (6.14), entonces,
Q = mLf = 1; 00 Kg:80
Kcal
= 80 Kcal
Kg
de aquí que,
Shielo =
Kcal
80 Kcal
= 0; 292
273; 15 K
K
(b) El calor necesario para fundir el hielo se extrae del reservorio de calor, por lo que
(puesto que T = 273; 15 K y es constante),
Sreservorio =
Q
=
T
Notar que el cambio total en la entropía
0; 292
Shielo +
Kcal
K
Sreservorio = 0.
Ejemplo 7.18 Un pedazo de hierro de 2; 0 Kg calentado al rojo a una temperatura T1 =
880K se lanza a un enorme lago cuya temperatura es T2 = 280K. Suponga que el
lago es tan grande que su aumento de temperatura es insignificante. Determine
el cambio en la entropía (a) del hierro, (b) del medio que lo rodea (el lago). Calor
Kcal
.
específico del hierro 0; 11 Kg:K
Solución:
(a) El proceso es irreversible (se reliza en forma rápida), pero el mismo cambio de
entropía ocurrirá en un proceso reversible. Suponemos que el calor específico del
hierro es constante, en consecuencia, al usar (7.88) obtenemos,
Shierro = mc ln
Kcal
280K
T2
= 2; 0Kg:0; 11
ln
=
T1
Kg:K 880K
0; 25
Kcal
K
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Pág.: 403
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
(b) Las temperaturas final e inicial del lago son las mismas, T = 280 K. El lago recibe
del hierro una cantidad de calor dada por (6.10),
Q = mc T = 2; 0Kg:0; 11
Kcal
(880 K
Kg:K
280 K) = 130Kcal
Estrictamente hablando, éste es un proceso irreversible (el lago se calienta localmente antes de que se alcance el equilibrio), pero es equivalente a una transferencia isotérmica reversible de calor Q = 130 Kcal a T = 280 K. Por consiguiente,
Slago =
130Kcal
Kcal
Q
=
= 0; 46
T
280K
K
Podemos observar que, aun cuando la entropía del hierro en realidad disminuye, el
cambio total en la entropía del hierro más la de los alrededores es positiva,
Shierro +
7.15
Máquinas
7.15.1
Máquinas térmicas
Slago = 0; 21
Kcal
K
Las máquinas o motores térmicos son mecanismos que transforman la energía
calórica en energía mecánica.
Se pueden dividir en dos clases, máquinas de combustión externa y máquinas de
combustión interna (ver figura 7.14): En las dos primeras la producción del calor a partir
de los combustibles se efectúa en hogares o calderas exteriores al motor propiamente
dicho. Son de este tipo las máquinas de vapor reciprocante y las turbinas de vapor. En
los motores de combustión interna, el calor se produce dentro del motor; son de esta
clase el motor de explosión, el motor diesel, el motor semidiesel y otros.
Como mencionamos al estudiar el motor térmico de Carnot, la idea básica detrás
de cualquier máquina térmica es que la energía mecánica puede obtenerse del calor
sólo cuando éste se deja fluir de una temperatura alta a una temperatura baja; en el
proceso cierta cantidad de calor puede transformarse en trabajo mecánico. En una
máquina térmica “perfecta ” todo el calor suministrado se transforma íntegramente
en trabajo mecánico.(ver figura 7.15).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.14): Máquina de combustión externa (izquierda) y máquina de combustión interna (derecha).
Figura (7.15): Máquina térmica real (izquierda) y máquina térmica perfecta (derecha).
7.15.2
Refrigeradores
En el caso de un refrigerador o de otra bomba de calor (tal como la que se
emplea para producir un flujo de calor hacia el interior o el exterior de una casa; en
este último caso se denomina acondicionador de aire), el principio de operación es
exactamente lo inverso de una máquina térmica (ver figura 7.16).
Al realizar trabajo W se toma calor de una región de baja temperatura Tf (en el
interior de un refrigerador, por ejemplo), y de una cantidad mayor de calor se expulsa
a elevada temperatura Tc (la habitación). Podemos sentir esta expulsión de calor detrás de un refrigerador. El trabajo W lo efectúa casi siempre un motor compresor que
comprime el fluido de trabajo (gas) como se muestra en la figura 7.17.
En un refrigerador “perfecto”, el calor fluirá del depósito a menor temperatura al
de mayor temperatura sin que se necesite proporcionar ningún trabajo a la máquina
(ver figura 7.16).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.16): Refrigerador real (izquierda) y refrigerador “perfecto” (derecha).
Figura (7.17): Refrigerador
7.16
Motores de combustión externa
7.16.1
Máquina de vapor
Una máquina de vapor está formada por tres dispositivos fundamentales.
a. Un generador de vapor.
Al quemar un combustible (leña, carbón, gas-oil) se produce una gran cantidad de
calor, parte de la cual se utiliza en calentar el agua de una caldera a temperaturas
superiores a los 100 o C. El vapor producido ejerce presión sobre el agua, por lo cual su
punto de ebulliciónk sube. Se suministra agua a la caldera a medida que el vapor se
utiliza.
k
Temperatura a la que la presión de vapor de un líquido se iguala a la presión atmosférica existente
sobre dicho líquido. A temperaturas inferiores al punto de ebullición (p.e.), la evaporación tiene lugar
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Las calderas son de tipo tubular, es decir, que están formadas por una serie de tubos
que reciben directamente el calor y un tanque superior llamado acumulador. Los
tubos están unidos al tanque, presentan gran superficie de radiación calórica; de esta
forma la producción de vapor es rápida y abundante. Los vapores se acumulan en la
parte superior a grandes presiones. Cuando la presión es superior al límite estipulado,
salen por la llamada válvula de escape o de seguridad, parecida en cierto modo a
la válvula de las ollas a presión que hemos visto en nuestros hogares. Lleva también
indicaciones de nivel. del agua, manómetro, termómetro, etc. (ver figura 7.18).
Figura (7.18): Caldera de vapor. (A) cilindro con agua y vapor, (B) válbula de seguridad, (C) tubo de
conducción del vapor, (D) entrada del agua a la caldera, (E) manómetro, (F) nivel, (G) chimenea, (H)
fogón, (I) sección tubular de la caldera, (J) tabiques deflectores del calor y (K) colector de cenizas.
b. Un cilindro o distribuidor.
El vapor de la caldera es conducido por medio de tuberias de presión hasta el cilindro distribuidor, de paredes resistentes, dentro del cual se puede desplazar un émbolo.
El vapor ejerce presión sucesivamente en las dos caras del émbolo y lo desplaza en un
sentido u otro, produciendo un movimiento de vaivén. Es un émbolo de doble acción.
En la figura 7.19 se indican las cuatro etapas. En la etapa (1) llega el vapor por la parte
superior; están cerradas las válvulas V2 y V3 , y abiertas V1 , y V4 . Entra el vapor por la
únicamente en la superficie del líquido. Durante la ebullición se forma vapor en el interior del líquido,
que sale a la superficie en forma de burbujas, con el característico hervor tumultuoso de la ebullición.
Cuando el líquido es una sustancia simple o una mezcla azeotrópica (disolución que contiene la misma
proporción de componentes químicos antes y después de la destilación), continúa hirviendo mientras
se le aporte calor, sin aumentar la temperatura; esto quiere decir que la ebullición se produce a una
temperatura y presión constantes con independencia de la cantidad de calor aplicada al líquido.
Cuando se aumenta la presión sobre un líquido, el p.e. aumenta.
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Pág.: 407
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
V1 , empuja elo émbolo hacia la derecha y expulsa los vapores o aire que están en el
cilindro.
Figura (7.19): Cilindro o distribuidor
En la etapa (2) están cerradas las válvulas V1 , V2 y V3 , y está abierta la V4 . El émbolo
está terminando su recorrido hacia la derecha, imprimiendo por medio de la biela el
movimiento de rotación al volante, en un cuarto de vuelta.
En la etapa (3) están ; cerradas las válvulas V1 y V4 , y están abiertas V2 y V3 ; el vapor
entra por la V2 , empuja al émbolo hacia la izquierda y expulsa el vapor anterior por la
válvula V3 ; el volante ha girado otro cuarto de vuelta.
Por último, en la etapa (4), están cerradas las válvulas V1 , V2 y V4 , permaneciendo
abierta la V3 . Elvapor, al expandirse, continúa desplazando el émbolo, el cual está
llegando al final de su recorrido hacia la izquierda. El volante sigue su movimiento de
giro.
c. El dispositivo transformador del movimiento.
Este dispositivo cambia el movimiento rectilíneo del émbolo en movimiento circular. El vástago del émbolo se articula a la biela, y ésta a la manivela, que se mueve
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
alrededor del eje del volante. El movímiento se comunica al resto de la máquina que
lo utiliza. La manivela es sustituida a veces por una excéntrica (ver figura 7.20).
Figura (7.20): Transformación del movimiento rectilíneo en circular en la máquina de vapor.
Otros dispositivos importantes son el regulador de Watt y el condensador. El primero
regula la entrada del vapor al cilindro y hace que el movimiento sea uniforme. El
condensador es el recinto con agua fría, al él llega el vapor expulsado por el émbolo
y se condensa. Representa la fuente fría en el ciclo, mientras que la caldera es la
fuente caliente.
7.17
Motores de combustión interna
7.17.1
Motor de explosión
Este tipo de motor usa un combustible inflamable, al cual comprime previamente
y luego lo quema. Como la combustión se verifica bruscamente en forma de explosión, estos motores se llaman motores de explosión. El funcionamiento se efectúa
en dos tiempos o en cuatro tiempos; tiempo significa aquí etapa. De ahí que existan
motores de explosión de dos tiempos y de cuatro tiempos.
Ahora será explicado brevemente el funcionamiento de uno de cuatro tiempos.
Todo motor tiene uno o varios cilindros generalmente en número par cuando son varios. El cilindro (ver figura 7.21) lleva un pistón que ajusta exactamente por medio de
anillos. El émbolo está unido por medio de una biela con el codo del cigüeñal; se
llama así al eje en forma de zig-zag que recibe todas las bielas. La biela y el codo o
manivela transforman el movimiento rectilíneo del émbolo en movimiento circular del
cigüeñal, el cual, por el sistema de transmisión utiliza el motor para los fines apropiados.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.21): Motor de explosión de cuatro tiempos.
El espacio que queda en la parte superior del cilindro cuando el émbolo está
subido se denomina cámara de combustión. Lleva dos válvulas llamadas: válvula de
admisión y válvula de escape. La primera permite la entrada de la mezcla gaseosa
a la cámara de combustión. La otra deja escapar los gases producidos en la combustión.
El sistema de ignición o encendido lo forma una bujía, que no es otra cosa que
un conductor eléctrico aislado que penetra en la cámara, y que al producirse una
corriente eléctrica salta la chispa eléctrica entre dos puntas produciendo la explosión.
Los cuatro tiempos son:
Primer tiempo: Admisión.-Se llama así porque al bajar el émbolo produce un vacio en el cilindro, se abre la válvula de admisión y penetra en él la mezcla explosiva
formada por aire y el combustible volatilizado (ver 1 de la figura 7.21). La válvula de
escape está cerrada.
Segundo tiempo: Compresión-El émbolo asciende; se cierra la válvula de admisión
y la mezcla explosiva queda comprimida en la cámara de combustión. Las dos válvulas están cerradas. La mezcla está a una temperatura alta por efecto de la compresión (ver 2 de la figura 7.21).
Tercer tiempo: Combustión-En el mismo instante que el émbolo termina su carrera
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Pág.: 410
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
de compresión. salta la chispa eléctrica provocando instantáneamente la combustión
de la mezcla en forma de explosión.
La explosión lanza al pistón con fuerza hacia afuera. y su eje mueve a la biela y
ésta comunica un movimiento de giro al cigüeñal. Durante todo este proceso. las dos
válvulas han permanecido cerradas (ver 3 de la figura 7.21).
Cuarto tiempo: Expulsión-Con la inercia que ha adquirido el cigüeñal, desplaza
por medio de la biela el émbolo hacia arriba y expulsa los gases originados en la
combustión por la válvula de escape, que se abre en ese instante. La válvula de
admisión permanece cerrada (ver 3 de la figura 7.21). A continuación se repite el
ciclo.
Figura (7.22): Carburador (partes fundamentales).
El carburador tiene por objeto preparar la mezcla explosiva. El combustible generalmente empleado está en el estado líquido como la gasolina. Para que se queme
bruscamente debe mezclarse en proporciones debidas con el oxígeno del aire y estar
en estado gaseoso. Este proceso se denomina carburación (ver figura 7.22).
Un carburador está formado esencialmente por un pequeño depósito de combustible líquido que proviene de un tanque mas grande. Este depósito tiene un flotador
que cierra la válvula de admisión y hace que siempre tenga la misma cantidad.
El depósito comunica por medio de un tubo estrecho con el tubo ancho de admisión del aire exterior hacia el cilindro. El tubo estrecho tiene una aguja en su centro
y hace que el combustible salga en forma de diminutas gotas, favoreciendo la evaporación. El tubo de admisión del aire está provisto de dos válvulas, una superior, que
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
regula la entrada del aire; se denomina válvula “choque” o estranguladora, y la inferior, es la válvula reguladora de la admisión de la mezcla explosiva; se denomina
obturador y se acciona por medio de la palanca llamada acelerador.
Figura (7.23): Sistema de encendido del motor de un automóvil.
Entre las dos válvulas, el tubo presenta una estrangulación formando un tubo de
Venturi y una tobera. En la parte estrecha es precisamente donde termina el tubo pulverizador. De esta forma se provoca una evaporación rápida y una mezcla simultánea
con el aire.
El sistema de encendido puede obtenerse por la corriente eléctrica de una batería
o bien por la que genera un magneto. Cuando el motor tiene varios cilindros, la chispa
eléctrica debe llegar a tiempo a cada uno de ellos; esto se efectuará por el distribuidor
(ver figura 7.23).
Todo motor de explosión genera gran cantidad de calor; una pequeña parte se
transforma en energía mecánica, el resto debe sustraerse del sistema por medio del
refrigerador o sistema de enfriamiento. Los motores de explosión se enfrían por aire o
por agua.
7.17.2
Motor diesel
El motor diesel tiene algunas diferencias con relación al motor de explosión. Las
partes esenciales son las mismas; no emplea la chispa eléctrica para la ignición, no
tiene carburador para preparar la mezcla (ver figura 7.24).
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Los cuatro tiempos en este motor son:
Primer tiempo: Admisión.-El pistón desciende, se abre la válvula de admisión y el
cilindro se llena de aire solamente.
Segundo tiempo: Compresión.-Asciende el émbolo, comprime el aire adiabáticamente de modo que su temperatura asciende a un punto superior al punto de inflamación del combustible . Han quedado cerradas las dos válvulas. La temperatura es
de 600 o C y la presión de unas 40 atm.
Figura (7.24): Motor diesel.
Tercer tiempo: Combustión.-Cuando se ha completado la compresión se inyecta
en la cámara de combustión el combustible por medio de un inyector que lo pulveriza.
El combustible se quema bruscamente por efecto de la alta temperatura.
La expansión producida por la combustión de los gases desplaza el émbolo hacia
abajo.
Cuarto tiempo: Expulsión.-El émbolo se desplaza de nuevo hacia arriba, se abre la
válvula de escape, por la cual salen los gases originados en la combustión.
Temperatura a la cual el combustible se quema por sí sólo.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
El motor diesel es el motor térmico de mayor rendimiento; el combustible que consume es aceite pesado sin refinar, no emplea sistema de ignición eléctrica ni otros
sistemas complicados. Es el motor más útil para grandes potencias. Se emplea en
camiones, locomotoras, barcos, etc.
7.18
Problemas
1. (a) Hallar el calor específico a volumen constante, cV , del gas monoatómico argón
(Ar), para el cual cp = 0; 125 g:cal
= 1; 67. (b) Calcular el valor de cp del gas
oC y
biatómico óxido de nitrógeno (N O) para el cual cV = 0; 166 g:cal
= 1; 40. Resp.: (a)
oC y
cal
cal
0; 0749 g:o C y (b) 0; 232 g:o C .
2. Calcular los calores específicos cp y cV del gas (a) monoatómico neón (N e), (b)
biatómico hidrógeno (H2 ). Las masas moleculares del N e y del H2 son 20; 18 y 2; 016
cal
cal
cal
g=mol, respectivamente. Resp.: (a) 0; 148 g:cal
o C y 0; 247 g:o C y (b) 2; 47 g:o C y 3; 45 g:o C .
3. Hallar el trabajo que hay que suministrar a un gas para comprimirlo desde un volumen de 30 L a 1 atm hasta un volumen de 3 L, permaneciendo constante la temperatura. Resp.: 6990 J.
4. Se comprime adiabáticamente, hasta un tercio de su volumen inicial, 5 moles de
gas neón a 2 atm y 27 o C. Hallar la presión y la temperatura finales y el trabajo que
se ha suministrado al gas. Para el gas N e, = 1; 67, cV = 0; 148 g:cal
o C y 1 mol = 20; 18 g.
4
Resp.: 12; 5 atm; 6260 K; 2; 04:10 J.
5. Cálcular el rendimiento teórico máximo de una máquina de vapor en la que el
fluido entra a 400 o C y abandona el cilindro a 105 o C. Resp.: 43; 8 %.
6. Hallar el rendimiento termodinámico ideal de una máquina térmica que funciona
entre 50 o C y 150 o C. ¿Cuál debe ser la temperatura del foco caliente para que el
rendimiento sea del 40 %?. Resp.: 0; 24 %; 265; 33 o C.
7. Hallar el trabajo exterior en la expansión de un gas que, en contra de una presión
constante de 2 atm, pasa de ocupar un volumen de 3 L a otro de 30 L. Resp.: 5470
J.
8. Calcular el trabajo que realiza un gas cuyo volumen inicial es de 3 L y cuya temperatura aumenta de 27 o C a 227 o C, al expansionarse en contra de una presión
constante de 2 atm. Resp.: 405 J.
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Pág.: 414
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
9. La temperatura de ebullición del agua a 1 atm vale 100 o C. En estas condiciones, se
sabe que 1 g de agua ocupa un volumen de 1 cm3 , 1 g de vapor ocupa 1671 cm3 y
el calor de vaporización es de 540 cal
. Hallar el trabajo exterior que se produce al
g
formarse 1 g de vapor a 100 o C y el aumento correspondiente de energía interna.
Resp.: 169 J o 40; 4 cal; 500 cal.
10. La temperatura de 3 Kg del gas criptón (Kr) se eleva desde 20 o C hasta 80 o C. (a)
Si el proceso se realiza a presión constante (proceso isobárico), calcular la cantidad
de calor necesaria, el aumento de energía interna y el trabajo exterior producido
por el gas y (b) hallar la cantidad de calor necesaria para llevar a cabo la transformación a volumen constante (proceso isocórico). En cuanto al gas monoatómico
cal
cal
, cp = 0; 0595 g:K
y masa molecular M = 83; 7g=mol. Resp.: (a)
criptón, cV = 0; 0357 g:K
17; 8 Kcal; 10; 7 Kcal; 7; 1 Kcal y (b) 10; 7 Kcal.
11. Un mol de óxido de carbono (CO) gaseoso se calienta de 15 o C a 16 o C. Calcular
el aumento que experimenta su energía interna cuando el proceso se realiza (a) a
volumen constante (proceso isocórico), (b) a presión constante (proceso isobárico).
Asimismo, hallar el trabajo exterior realizado por un mol de CO al elevarse su temperatura de 15 o C a 16 o C, cuando el calentamiento se lleva a cabo, (c) a volug
men constante, (d) a presión constante. La masa molecular del CO vale 28; 01 mol
,
cp = 0; 248 g:cal
= 1; 40. Resp.: (a) 4; 96 ca1; (b) 4; 96 cal; (c) 0; (d) 1; 99 cal.
oC y
12. Calcular el rendimiento del ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico
y que está constituido de dos isócoras y dos isóbaras, como se muestra en la figura
7.25. PA = 4 atm, PD = 2 atm, VA = 1 L y VB = 4 L. Resp.: = 0; 188.
Figura (7.25): Problema 12: Ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico-
13. Calcular el rendimiento del ciclo reversible representado en la figura 7.26, en la
hipótesis de que el fluido termodinámico sea un gas perfecto biatómico. La transforSOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 415
CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
mación AB es sotérmica, la BC isócora y la CA adiabática. Se sabe que VA =VB = 3.
Resp.: = 0; 19.
Figura (7.26): Problema 13: Ciclo reversible.
14. Una masa de 100 g de agua, inicialmente a temperatura T1 = 30 o C es refrigerada
a presión atmosférica para obtener hielo a 0 o C. Calcular la variación de la entropía
del agua sabiendo que el calor específico del agua es de 1 g:cal
o C y el del hielo 0; 5
cal
cal
; el calor de fusión del hielo es 80 g . Supóngase que el calor específico no varía
g:o C
en el intervalo de temperatura considerado. Resp.: S = 0; 042 cal
.
K
15. Calcular:
15.1. La variación de la entropía Sa de una masa m = 2 Kg de agua, inicialmente
a temperatura T1 = 10 o C, puesta en contacto con una fuente a temperatura
T2 = 100 o C asta que la temperatura del agua sea la de la fuente.
15.2. ¿Cuánto vale la variación de entropía
15.3. ¿Cuánto vale la variación de entropía
Sf = 483 cal
y Suniv = 69 cal
K
K
Sf de la fuente?.
Suniv del universo?. Resp.:
Sa = 552 cal
,
K
16. Se hace que un sistema termodinámico pase de su estado inicial A hasta otro
estado B y regrese de nuevo a A a través del estado C como lo muestra la trayectoria ABCA del diagrama p V de la figura 7.27-a. (a) Completar la tabla de la
adecuados a las indicaciones de los signos de
figura 7.27-b con los signos + o
las cantidades termodinámicas asociadas con cada proceso. (b) Calcular el valor
numérico del trabajo efectuado por el sistema en un ciclo completo ABCA.
17. La figura 7.28-a muestra un cilindro que contiene gas y está cerrado por un émbolo móvil. El cilindro se sumerge en una mezcla de hielo y agua. Rápidamente
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
Figura (7.27): Problema 16: Sistema termodinámico que pasa de su estado inicial A hasta otro estado B
y regresa de nuevo a A a través del estado C como lo muestra la trayectoria ABCA.
se empuja el émbolo hacia abajo desde la posición (1) hasta la posición (2). Se
mantiene el émbolo en la posición (2) hasta que el gas se encuentre de nuevo a
0 o C y entonces se le levanta lentamente hasta regresar a la posición (1). La figura
7.28-b es un diagrama p V de este proceso. Si durante el ciclo se funden 100 g de
hielo, ¿cuánto trabajo se ha efectuado sobre el gas?. El calor de fusión del hielo es
80 cal
. Resp.: 8000 cal.
g
Figura (7.28): Problema 17: Cilindro que contiene gas y que está cerrado por un émbolo móvil. El cilindro
se sumerge en una mezcla de hielo y agua.
18. (a) Una máquina de Carnot opera entre un recipiente caliente a 320 K y un recipiente frío a 260 K. Si absorbe 500 J de calor del recipiente caliente, ¿cuánto
trabajo produce? (b) Si la misma máquina, trabajando en reversa, funciona como
un refrigerador entre los mismos dos depósitos, ¿cuánto trabajo debe sumínístrársele
para extraer 1000 J de calor del recipiente frío?. Resp.: (a) 94 J y (b) 230 J.
19. En una máquina térmica de dos etapas, en la primera se absorbe una cantidad
de calor Q1 a una temperatura T1 y se hace un trabajo W1 cediendo una cantidad
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
de calor Q2 . a una temperatura inferior T2 . En la segunda etapa se absorbe el
calor cedido en la primera, se efectúa un trabajo W2 ,y se cede una cantidad de
calor Q3 a una temperatura inferior T3 . Demostrar que el rendimiento de la máquina
combinada es:
T1 T3
=
T1
20. Una turbina que funciona mediante una combinación de mercurio y de vapor de
agua, toma vapor de mercurio saturado en una caldera a 876 o F y lo invierte en calentar una caldera de vapor de agua a 460 o F . La turbina de vapor recibe el vapor
a esta temperatura y lo cede a un condensador a 100 o F .¿Cuál es el rendimiento
máximo de la combinación?. Resp.: 58 %.
21. Usando la ecuación de estado de un gas ideal (7.1) y la ecuación que describe
un proceso adiabático para un gas ideal (7.21), demostrar que la pendiente dp=dV ,
de una adiabática en un diagrama p V , puede escribirse como,
dp
=
dV
p
V
y la de una isoterma [ver ecuación (7.22)] como,
dp
=
dV
p
V
Con estos resultados, demostrar que las adiabáticas tienen mayor pendiente que
las isotermas.
22. Si se provocan pocas perturbaciones en el agua, se puede extraer calor del agua
a 0 o C y a la presión atmosférica sin hacer que se congele. Supóngase que el
agua se enfría hasta 5; 0 o C antes de que empiece a formarse el hielo. ¿Cuál es
el cambio de la entropía por unidad de masa que tiene lugar durante el repentino
cal
congelamiento que ocurre entonces? Resp.: 0; 30 g:K
.
23. En un experimento de calor específico se mezclan 200 g de aluminio c = 0; 215 g:cal
oC a
100 o C con 50 g de agua a 20 o C. Encontrar la diferencia entre la entropía del sistema
al final y su valor antes de la mezcla.
24. Un cubo de hielo de 8; 00 g a 10; 0 o C se deja caer en un termo que contiene 100
cm3 de agua a 20; 0 o C. ¿Cuál es el cambio de la entropía del sístema cuando se
alcanza un estado final de equilibrio?. El calor específico de hielo es de 0; 52 g:cal
oC .
cal
Resp.: 0; 15 K .
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
25. Un cubo de hielo de 10 g a 10 o C se coloca en un lago cuya temperatura es de 15
o
C. Calcular el cambio de la entropía del sistema cuando el cubo de hielo queda
en equilibrio térmico con el lago.
26. Un gas ideal monoatómico se expande lentamente hasta que su presión se reduce a la mitad de su valor riginal. ¿Cómo cambia su volumen si el proceso es (a)
adiabático y (b) isotérmico?. Resp.: (a) VV21 = 1; 52 y (b) VV21 = 2; 0.
27. Un gas ideal se comprime a una presión constante de 2; 0 atm desde 10; 0 L hasta
2; 0 L. (En este proceso un poco de calor circula hacia afuera y la temperatura
disminuye.) Después suministra calor al gas, manteniendo el volumen constante y
se deja que la presión y la temperatura aumenten hasta que esta última alcance
su valor original. Calcule (a) el trabajo total que realiza el gas en el proceso y (b) el
flujo de calor total hacia el gas. Resp.: (a) 1; 6 KJ y (b) 1; 6 KJ.
28. Una barra vertical de acero en forma de I se encuentra en la base de un edificio,
mide 6; 0 m de altura, su masa es de 300 Kg y soporta una carga de 3; 0:105 N . Si la
temperatura de la barra desciende 4; 0 o C, calcule el cambio en su energía interna
Kcal
considerando que para el acero cp es de 0; 11 Kg:K
y que el coeficiente de dilatación
1
lineal es igual a 11:10 6 (o C) . Resp.: 5; 5:105 J.
29. ¿Cuál será el aumento de temperatura si se suministran 80 Kcal de calor a 300 moles
de CO2 mantenido a presión constante?. Resp.: 13 o C.
30. ¿Cuánto calor debe suministrarse a 12; 0 m3 de gas nitrógeno a 20 o C para duplicar
su volumen a una presión de 1; 00 atm?. Resp.: 4; 25:106 J.
31. Una muestra de 800 moles de gas nitrógeno se mantiene a una presión constante
de 1; 00 atm en un recipierite flexible. El gas se calienta de 40 o C a 180 o C. Calcule (a)
el calor que se suministra al gas, (b) el trabajo realizado por el gas y (c) el cambio
en la energía interna. Resp.: (a) 780 Kcal,(b) 220 Kcal y (c) 560 Kcal.
32. A temperaturas muy bajas, la capacidad calorífica de un gran número de sustancias varía con el cubo de la temperatura absoluta:
C=k
T3
To3
que en ocasiones se denomina ley de Debye. Para la sal gema, To = 281 K y k = 1940
J
. Determine el calor que se necesita para elevar la temperatura de 3; 5 moles
mol:K
de sal gema de 12; 0 K a 38; 0 K. Resp.: 158 J.
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CAPITULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINAMICA
33. Demuestre, empleando las ecuaciones (7.4) y (7.21), que el trabajo realizado por
un gas que se expande lentamente en un proceso adiabático desde la presión p1
y el volumen V1 hasta p2 , V2 , está determinado por,
W =
p1 V1
p2 V2
1
34. ¿Cuál es el rendimiento máximo de una máquina térmica cuyas temperaturas de
operación son 480 o C y 305 o C?. Resp.:
35. La temperatura de escape de una máquina térmica es de 280 o C. ¿Cuál debe ser
el valor de la temperatura mayor si el rendimiento de Carnot debe ser del 32 %?.
Resp.: 540 o C.
36. Una máquina que funciona a la mitad de su rendimiento teórico (de Carnot)
opera entre 525 o C y 290 o C cuando produce trabajo a razón de 850 KW . ¿Cuánto
calor se desecha por hora?. Resp.: 1; 77:1010 J=h.
37. Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 610 o C y tiene un rendimiento de
Carnot de 27 %. Para incrementar la eficiencia hasta 35 %, ¿cuál será la temperatura
de la fuente de calor?. Resp.: 713 o C.
38. Cuando 2; 0 Kg de agua a 20 o C se mezclan con 1; 0 Kg de agua a 80 o C en un
recipiente bien aislado, ¿cuál es el cambio en la entropía del sistema?. Resp.: 50
J=K.
39. ¿Cuánto trabajo realizan 8; 0 moles de gas 02 inicialmente a 0 o C y a 1 atm cuando
se duplica su volumen (a) en un proceso isotérmico y (b), a presión constante?.
Resp.: (a) 13 KJ y (b) 18 KJ.
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PARTE IV
APENDICES Y BIBLIOGRAFIA
421
APENDICE A
FACTORES DE CONVERSION
Longitud
1 kilómetro (Km) =1000 metros (m)
1 m = 100 centímetros (cm)
1 cm = 10 2 m
1 milímetro (mm) = 10 3 m
1 micra ( ) (micrómetro) = 10 3 mm
1 milimicra (m ) = 10 9 m
o
1 angstrom (A) = 10 10 m
1 pulgada (pulg) = 2; 540 cm
1 pie = 30; 48 cm
1 milla (mi) = 1; 609 Km
1 mi = 10 3 pulg
1 cm = 0; 3937 pulg
1 m = 39; 37 pulg
1 Km = 0; 6214 mi
Area
1 m2 = 10; 76 pie2
1 pie2 =929 cm2
1 mi2 = 640 acres
1 acre = 43560 pies2
Volumen
1 litro (L) = 1000 cm3 =1057 cuartillos (qt) = 61; 02 pulg 3
= 0; 03532 pies3
422
APENDICE A. FACTORES DE CONVERSION
1 m3 = 1000 L = 35; 32 pies3
1 pie3 = 7; 481 galones (E.E. U.U.) = 0; 02832 m3 = 28; 32 L
1 galón (E.E. U.U.) = 231 pulg 3 = 3; 785 L
1 galón británico = 1; 201 galones (E.E. U.U.) = 227; 4 pulg 3
Masa
1 kilogramo (Kg) = 2; 2046 lb = 0; 06852 slug
1 gramo (g) = 10 3 Kg
1 libra (lb) = 453; 6 g = 0; 03108 slug
1 slug = 32; 174 lb = 14; 59 Kg
Velocidad
1 Km=h = 0; 2778 m=s = 0; 6214 mi=h = 0; 9113 pies=s
1 mi=h = 1; 467 pies=s = 1; 609 Km=h = 0; 4470 m=s
Densidad
1 g=cm3 = 103 Kg=m3 = 62; 43 lb=pie3 = 1; 940 slug=pie3
1 lb=pie3 = 0; 01602 g=cm3
1 slug=pie3 = 0; 5154 g=cm3
Fuerza
1 newton (N ) = 105 dinas = 0; 1020 Kgf = 0; 2248 lbf
1 1ibra fuerza (lbf ) = 4; 448 N = 0; 4536 Kgf = 32; 17 poundals
1 kilogramo fuerza (Kgf ) o kilopondio (Kp) = 2; 20; lbf = 9; 807 N
1 tonelada (E.E. U.U.) = 2000 lbf ;
1 tonelada grande = 2240 lbf ;
1 tonelada métrica = 2205 lbf
Energía
1 joule (J) = 1 N:m = 107 ergios = 0; 7376 pies:lbf
= 0; 2389 caloría (cal) = 9; 481:10 4 Btu
1 pie:lbf = 1; 356 J = 0; 3239 cal = 1; 285:10 3 Btu
1 cal = 4; 186 J = 3; 087 pie:lbf = 3; 968:10 3 Btu
1 Btu (unidad térmica británica) = 778 pie:lbf = 1055 J
= 0; 293 W:h
1 kilowatt hora (KW h) = 3; 60:106 J = 860 Kcal = 3413 Btu
1 electrón voltio (ev) = 1; 602:10 9 J
Potencia
1 watt (W ) = 1 J=s = 107 ergios=s = 0; 2389 cal=s
1 caballo de fuerza (hp) = 550 pie:lbf =s = 33000 pie:lbf =min
= 745; 7 W
1 kilowatt (KW ) = 1; 341 hp = 737; 6 pie:lbf =s =0; 9483 Btu=s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 423
APENDICE A. FACTORES DE CONVERSION
Presión
1 N=m2 = 105 dinas=cm2 = 9; 869:10 8 atmósferas (atm)
= 2; 089:10 2 lbf =pie2
1 lbf =pulg 2 = 6895 N=m2 = 5; 171 cm de mercurio (cmHg)
= 27; 68 pulg agua
1 atm = 1; 013:105 N=m2 = 1; 013:108 dinas=cm2
= 14; 70 lbf =pulg 2 = 76 cmHg = 406; 8 pulg agua.
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Pág.: 424
APENDICE B
DERIVACION
B.1
Definición de Derivada
Sea la función:
F = f(x; y) =y = F (x) ; x Xg
(B.1)
y sea p 6= 0, positivo o negativo, que tenga la propiedad de que (x + p) X; llamaremos
dF (x)
derivada de F (x) con respecto a x y la denotaremos
a límite:
dx
F (x + p)
dF (x)
= L{m
p!0
dx
p
F (x)
(B.2)
En otros textos es denotada por: F 0 (x) ó Dx F (x) :
Si una función F es derivable en todos los púntos de un intervalo, se dice que es
derivable sobre el intervalo y si es derivable en a, entonces se dice que F es continua
en a:
B.2
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Consideremos la función (B.1) y su derivada:
dF
=
dx
y sea p 6= 0: Si existe una función
(x; y) =y =
dF (x)
;x X
dx
d2 F
con la propiedad:
dx2
425
(B.3)
APENDICE B. DERIVACION
dF (x + p)
d F (x)
dx
= L{m
2
p!0
dx
p
2
dF (x)
dx
(B.4)
para algunos valores de x X; entonces:
dF (x + p)
dx
L{m
p!0
p
dF (x)
dx
(B.5)
se denomina segunda derivada de F (x) con respecto a x:
La derivada de
d2 F
recibe el nombre de tercera derivada de F y se denota por
dx2
d3 F
: Las derivadas superiores siguen esta pauta.
dx3
B.3
Derivadas parciales
Sea la función:
F = f(x; y; z) =y = F (x; y) ; (x; y) Dg
(B.6)
y sea p 6= 0 para el cual (x + p; y) D; se denomina derivada parcial de F (x; y) con
@F (x; y)
respecto a x y la denotaremos por
al límite:
@x
@F (x; y)
F (x + p; y)
= L{m
p!0
@x
p
F (x; y)
(B.7)
En otros textos se denota como: Dx F (x; y), @x F (x; y) ó Fx (x; y) :
Por otro lado, consideremos nuevamente (B.6) y se p 6= 0 para el cual (x; y + p) D; se
@F (x; y)
denomina derivada parcial de F (x; y) con respecto a y y la denotaremos por
@y
al límite:
@F (x; y)
F (x; y + p)
= L{m
p!0
@y
p
F (x; y)
(B.8)
En otros textos se denota como: Dy F (x; y), @y F (x; y) ó Fy (x; y) :
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Pág.: 426
APENDICE B. DERIVACION
B.4
Derivadas de las funciones más comunes
dF
dx
y0 = 0
y 0 = nxn 1
F 0 (x) =
F (x)
y = c (c = ctte)
y = xn
1
y = xn
1
1
y0 = x n
n
1
1
x n
y0 =
n
1
y=x n
y = Sen x
y = Cos x
y = tan x
y = cot x
y = ex
y = ax
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctan x
y = ar cot x
y = [F (x)]n
y = [F (x)]
y = xx
=
1 1
p
n n xn
1
( n entero > 0 )
1 1
p
( n entero > 0 )
n n xn+1
1
y 0 = ( con x > 0 )
x
y 0 = Cos x
y 0 = Sen x
y 0 = sec2 x
y 0 = csc2 x
y 0 = ex
y 0 = ax ln a
1
y0 = p
1 x2
1
y0 = p
1 x2
1
y0 =
1 + x2
1
1 + x2
0
y = n [F (x)]n 1 F 0 (x)
y = ln x
'(x)
1
0
'(x)
y = [F (x)]
1
=
'(x)F 0 (x)
+ '0 (x) ln F (x) y de aquí que:
F (x)
y 0 = xx (1 + ln x)
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Pág.: 427
APENDICE C
ECUACIONES DIFERENCIALES
Se presentará el procedimiento parae darle solución a una ecuación diferencial
homogeneas de segundo orden con coeficientes constantes.
Las ecuaciones diferenciales de este tipo son de la forma:
d2 y
dy
+
a
+ by = 0
dx2
dx
(C.1)
donde a y b son constantes.
Se obtiene una solución particular de (C.1), determinando el valor de la constante
R de manera que se satisfaga por:
y = eRx
(C.2)
dy
= ReRx
dx
(C.3)
d2 y
= R2 eRx
dx2
(C.4)
R2 + aR + b = 0
(C.5)
que al derivarla, se obtiene:
y al ser sustituidas en (C.1), resulta:
428
APENDICE C. ECUACIONES DIFERENCIALES
es decir, la expresión (C.2) es una solución particular de la ecuación dada si R es
una raíz de (C.5) ; que recibe el nombre de Ecuación Auxiliar o Característica de la
ecuación (C.1) :
1. Caso A:
La ecuación auxiliar o característica tiene raices reales diferentes. Entonces:
y = C1 eR1 x + C2 eR2 x
(C.6)
1. Caso B:
La ecuación característica tiene raices reales iguales. En este caso, a partir de
(C.6) ; tenemos:
y = (C1 + C2 ) eRx
(C.7)
1. Caso C:
La ecuación característica tiene raices imaginarias conjugadas. En este caso,
las soluciones son del tipo: R1 = a + bi y R2 = a bi; entonces:
eR1 x = eax [Cos (bx) + i Sen (bx)]
(C.8)
eR2 x = eax [Cos (bx)
(C.9)
i Sen (bx)]
y, por lo tanto, la solución general se escribe como:
y = eax [(C1 + C2 ) Cos (bx) + i (C1 + C2 ) Sen (bx)]
(C.10)
A = C1 + C2
(C.11)
B = i (C1 + C2 )
(C.12)
y = eax [A Cos (bx) + B Sen (bx)]
(C.13)
que, al hacer,
la (C.10) nos queda como:
Por otro lado, si definimos,
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Pág.: 429
APENDICE C. ECUACIONES DIFERENCIALES
=
p
A2 + B 2
(C.14)
la solución (C.13) puede entonces escribirse como,
y = eax
que al definir un ángulo
A
Cos (bx) +
B
Sen (bx)
(C.15)
de manera que,
Sen
=
Cos
=
A
B
(C.16)
(C.17)
la (C.15) queda como,
y = eax Sen (bx + )
(C.18)
que finalmente, dependiendo de la definición exacta de ; podemos escribirla como:
y =
eax Sen (bx + )
(C.19)
y =
eax Cos (bx + )
(C.20)
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Pág.: 430
APENDICE D
MINIBIOGRAFIAS
D.1
ISAAC NEWTON 1642 - 1727
Matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de
la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus
descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos
desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada
cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del
movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal.
Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces;
el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en
Woolsthorpe, Lincolnshire. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y
lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una
escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de la
Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller.
Después de una interrupción de casi dos años provocada por una epidemia de
peste, Newton volvió al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667. Recibió
el título de profesor en 1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigación
de los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la
naturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó
descubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica.
431
APENDICE D. MINIBIOGRAFIAS
D.2
BLAISE PASCAL 1623 - 1662
Físico, matemático y filósofo francés. Nació el 19 de junio de 1623 en Clermont
Ferrand, Francia y murió el 19 de agosto de 1662 en París.
A los 17 años escribió un tratado de las secciones cónicas y a los 18 inventó una
máquina calculadora. Demostró más tarde que la presión atmosférica aumenta la
altura de una columna de mercurio en un tubo.
En 1648 realizó una experiencia con el barómetro en Puy de Dome, que corroboró
los resultados antes obtenidos por su inventor, el italiano Torricelli. Otros experimentos
físicos fueron resumidos en una obra magisterial sobre el equilibrio de los fluidos.
Descubrió la teoría de la probabilidad y la del análisis combinatorio, base del cálculo de probabilidades, del que publicó una parte en 1654 con el título De aleae
geometria.
En los últimos años de su vida, se entregó a las prácticas ascéticas, enseñó apologética
cristiana en Port Royal y redactó una serie de notas, las cuales después de su muerte,
acaecida prematuramente, fueron publicadas por los jansenistas bajo el título de Pensées.
Principio de Pascal: La presión ejercida sobre una parte de la superficie de un fluido
se transmite con igual intensidad a toda la masa y en todas las direcciones.
Pascal sostenía que se lograra o no la salvación, el último destino de la humanidad
es pertenecer después de la muerte a un reino sobrenatural que puede conocerse
solamente de forma intuitiva.
En los escritos de Pascal, que defienden la aceptación de un modo de vida cristiano, se aplica frecuentemente el cálculo de probabilidades; argumentaba que el
valor de la felicidad eterna es infinito y que, aunque la probabilidad de obtener dicha
felicidad por la religión pueda ser pequeña, es infinitamente mayor que siguiendo
cualquier otra conducta o creencia humana.
Pascal fue uno de los más eminentes matemáticos y físicos de su época y uno
de los más grandes escritores místicos de la literatura cristiana. Sus trabajos religiosos
se caracterizan por su especulación sobre materias que sobrepasan la comprensión
humana. Se le clasifica, generalmente, entre los más finos polemistas franceses, especialmente en Provinciales, un clásico de la literatura de la ironía. El estilo de la prosa
de Pascal es famoso por su originalidad y, en particular, por su total falta de artificio
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Obras: Cartas provinciales, Ensayo sobre las secciones cónicas, Nuevas experiencias sobre el vacío, Tratado de las facultades numéricas, Pensamientos.
D.3
ARQUIMEDES 287 - 212 a.C.
Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría
plana y del espacio, aritmética y mecánica.
Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las
matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas
curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.
En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ’tornillo sin fin’
para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece
que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al
peso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este descubrimiento lo hizo
mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.
Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores,
dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público,
durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades
de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de
Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos -quizá legendario- que incendiaba las embarcaciones
enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.
Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por
un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena.
Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al
intruso al decirle: ”No desordenes mis diagramas”. Todavía subsisten muchas de sus
obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El
arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de
su pensamiento matemático.
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D.4
JOSEPH LOUIS LAGRANGE 1736 - 1813
Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad estudió. Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19
años y en 1758 fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia de
Ciencias de Turín. En 1766 fue nombrado director de la Academia de Ciencias de
Berlín, y 20 años después llegó a París invitado por el rey Luis XVII. Durante el período
de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de la comisión para el establecimiento de
un nuevo sistema de pesos y medidas (véase Sistema métrico decimal). Después de
la Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembro
del Senado y recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantes
del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones
diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía
destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su
obra más importante es Mecánica analítica (1788).
D.5
LEONHARD EULER 1707 - 1783
Matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de
las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea
y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue
miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de
matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta
su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir
30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras
matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento
analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría
analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la
que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se
representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones.
Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de
números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque
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principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la
mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al
álgebra (1770).
D.6
DANIEL BERNOULLI 1700 - 1782
Científico suizo nacido en Holanda que descubrió los principios básicos del comportamiento de los fluidos. Era hijo de Jean Bernoulli y sobrino de Jacques Bernoulli,
dos investigadores que hicieron aportaciones importantes al primitivo desarrollo del
cálculo.
Bernoulli nació en Groningen (Países Bajos), el 29 de enero de 1700 y desde muy
pronto manifestó su interés por las matemáticas. Aunque consiguió un título médico
en 1721, fue profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en
1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en las
universidades de Groningen y Basilea, en Suiza.
Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglés
Isaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presión
ejercida por un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo (Teorema
de Bernoulli). Utilizó conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría
cinética de los gases, explicando su comportamiento bajo condiciones de presión y
temperatura cambiantes en términos de probabilidad. Sin embargo, este trabajo no
tuvo gran repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea.
D.7
EVANGELISTA TORRICELLI 1608 - 1647
Matemático y físico italiano, conocido sobre todo por el invento del barómetro.
Nació en Faenza y estudió en el Collegio di Sapienza en Roma. De 1641 a 1642 fue ayudante de Galileo. A la muerte de éste en 1642, Torricelli le sucedió como profesor de
filosofía y matemáticas en la Academia Florentina. Descubrió y determinó el valor de
la presión atmosférica y en 1643 inventó el barómetro. Fue autor de Trattato dei moto
(Tratado sobre el movimiento, c. 1640) y Opera geometrica (Obra geométrica, 1644).
Una unidad de medida, el torr, utilizada en física para indicar la presión barométrica
cuando se trabaja en condiciones cercanas al vacío, se denomina así en su honor.
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D.8
GIOVANNI BATTISTA VENTURI 1746 - 1822
Físico italiano inventor del llamado tubo de Venturi, empleado en hidráulica.
Nacido en Babiano, fue profesor de física en la Escuela de Ingenieros Militares de
Módena y posteriormente en la Universidad de Pavía. Especialista en dinámica de
fluidos, orientó sus trabajos de investigación hacia la hidráulica. Se distinguió en esa
disciplina al inventar y fabricar el llamado tubo de Venturi, una tubería dotada de un
estrangulamiento.
El tubo de Venturi se emplea para medir el caudal de un fluido: permite determinar
la diferencia de presión entre la sección normal y la sección estrechada del tubo,
diferencia que, según el teorema de Bernoulli, es proporcional al cuadrado del caudal.
Venturi también realizó investigaciones sobre la gama de sonidos audibles y sobre
los colores.
D.9
HENRI PITOT 1695 - 1771
Físico e ingeniero naval francés que participó en la construcción del canal del Midi
en ese país y desarrolló un dispositivo para medir velocidades en los fluidos.
Nacido en Aramon, en la región francesa del Gard, ingresó en la Academia de
Ciencias en 1724. Como ingeniero jefe de los estados del Languedoc (1740), participó
en la construcción de un gran número de obras públicas, como el acueducto de
Saint-Clément en Montpellier. También fue director del canal del Midi, conocido en
aquella época como canal del Languedoc. Sus investigaciones sobre las bombas y el
rendimiento de las máquinas hidráulicas supusieron grandes aportaciones a la termodinámica y la hidrodinámica. Pitot publicó también varias memorias sobre geometría.
En 1871 el gobierno francés adoptó su teoría sobre la maniobra de los navíos.
Pitot puso a punto una sonda que, dirigida en el sentido del flujo, permite medir la
presión estática en un fluido. El dispositivo está perforado con pequeños orificios laterales suficientemente alejados del punto de parada (punto del flujo donde se anula
la velocidad) para que las líneas de corriente sean paralelas a la pared. Esta sonda,
combinada con una sonda de presión de impacto (perpendicular a la dirección de
flujo), forma una sonda de presión cinética llamada tubo de Pitot. Este dispositivo se
emplea a menudo en aeronáutica: situado en un lugar de poca turbulencia, permite
medir la velocidad de avance de un avión con respecto al aire.
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D.10
JAMES PRESCOTT JOULE 1818 - 1889
Físico británico, nacido en Salford (Lancashire). Uno de los más notables físicos
de su época, es conocido sobre todo por su investigación en electricidad y termodinámica. En el transcurso de sus investigaciones sobre el calor desprendido en un circuito eléctrico, formuló la ley actualmente conocida como ley de Joule que establece
que la cantidad de calor producida en un conductor por el paso de una corriente
eléctrica cada segundo, es proporcional a la resistencia del conductor y al cuadrado
de la intensidad de corriente. Joule verificó experimentalmente la ley de la conservación de energía en su estudio de la conversión de energía mecánica en energía
térmica.
Utilizando muchos métodos independientes, Joule determinó la relación numérica
entre la energía térmica y la mecánica, o el equivalente mecánico del calor. La
unidad de energía denominada julio se llama así en su honor; equivale a 1 vatiosegundo. Junto con su compatriota, el físico William Thomson (posteriormente lord
Kelvin), Joule descubrió que la temperatura de un gas desciende cuando se expande
sin realizar ningún trabajo. Este fenómeno, que se conoce como efecto Joule-Thomson,
sirve de base a la refrigeración normal y a los sistemas de aire acondicionado.
Joule recibió muchos honores de universidades y sociedades científicas de todo el
mundo. Sus Escritos científicos (2 volúmenes) se publicaron en 1885 y 1887 respectivamente.
D.11
NICOLAS LEONARD SADI CARNOT 1796 - 1832
Físico e ingeniero militar francés, hijo de Lazare Carnot, nació en París y estudió
en la Escuela Politécnica. En 1824 describió su concepción del motor ideal, el llamado
motor de Carnot, en el que se utiliza toda la energía disponible. Descubrió que el calor
no puede pasar de un cuerpo más frío a uno más caliente, y que la eficacia de un
motor depende de la cantidad de calor que es capaz de utilizar. Este descubrimiento
es la base de la segunda ley de la termodinámica.
D.12
ROBERT BOYLE 1627 - 1691
Científico británico, uno de los primeros defensores de los métodos científicos y
uno de los fundadores de la química moderna.
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Nació en Lismore, Irlanda, y estudió en Ginebra. Se estableció en Inglaterra y se
dedicó a la investigación científica. Boyle es considerado uno de los fundadores de
los métodos científicos modernos porque creyó en la necesidad de la observación
objetiva y de los experimentos verificables en los laboratorios, al realizar los estudios
científicos.
Boyle fue el primer químico que aisló un gas. Perfeccionó la bomba de aire y sus estudios le condujeron a formular, independientemente de su colega francés Edme Mariotte, la ley de física conocida hoy como ’ley de Boyle-Mariotte’. Esta ley establece
que a una temperatura constante, la presión y el volumen de un gas son inversamente
proporcionales. En el campo de la química, Boyle observó que el aire se consume en
el proceso de combustión y que los metales ganan peso cuando se oxidan. Reconoció la diferencia entre un compuesto y una mezcla, y formuló su teoría atómica de la
materia basándose en sus experimentos de laboratorio. En su obra El químico escéptico (1661), Boyle atacó la teoría propuesta por el filósofo y científico griego Aristóteles
(384-322a.C.) según la cual la materia está compuesta por cuatro elementos: tierra,
aire, fuego y agua. Propuso que partículas diminutas de materia primaria se combinan de diversas maneras para formar lo que él llamó corpúsculos, y que todos los
fenómenos observables son el resultado del movimiento y estructura de los corpúsculos. Boyle fue también el primero en verificar las diferencias entre ácidos, bases y sales
(véase Ácidos y bases). Entre sus obras están Origen de formas y características según
la filosofía corpuscular (1666) y Discurso de las cosas más allá de la razón (1681). Boyle
fue uno de los miembros fundadores de la Sociedad Real de Londres.
D.13
EDME MARIOTTE 1620 - 1684
Físico francés que descubrió, independientemente de su colega británico Robert
Boyle, la ley de compresibilidad de los gases, conocida como ley de Boyle-Mariotte;
fue uno de los pioneros de la física experimental en Francia.
En 1660 emprendió investigaciones sobre las deformaciones elásticas de los sólidos
y enunció una ley al respecto. En su tratado De la naturaleza del aire (1676) formuló
la ley de compresibilidad de los gases: “a temperatura constante, el volumen de un
gas varía en razón inversa a su presión”. Mariotte también realizó estudios sobre óptica,
hidrodinámica y mecánica de fluidos, y fue autor de numerosos escritos sobre la visión,
los colores, las previsiones meteorológicas, los movimientos de los fluidos o los choques
entre cuerpos. En 1666 fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias francesa.
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D.14
GALILEO GALILEI 1564 - 1642
Físico y astrónomo italiano que, junto con el astrónomo alemán Johannes Kepler, comenzó la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac
Newton. Su nombre completo era Galileo Galilei, y su principal contribución a la astronomía fue el uso del telescopio para la observación y descubrimiento de las manchas solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter y las
fases de Venus. En el campo de la física descubrió las leyes que rigen la caída de
los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. En la historia de la cultura, Galileo se
ha convertido en el símbolo de la lucha contra la autoridad y de la libertad en la
investigación.
Nació cerca de Pisa el 15 de febrero de 1564. Su padre, Vincenzo Galilei, ocupó
un lugar destacado en la revolución musical que supuso el paso de la polifonía medieval a la modulación armónica. Del mismo modo que Vincenzo consideraba que
las teorías rígidas impedían la evolución hacia nuevas formas musicales, su hijo mayor
veía la teología física de Aristóteles como un freno a la investigación científica. Galileo
estudió con los monjes en Vallombroso y en 1581 ingresó en la Universidad de Pisa para
estudiar medicina. Al poco tiempo cambió sus estudios de medicina por la filosofía y
las matemáticas, abandonando la universidad en 1585 sin haber llegado a obtener
el título. Durante un tiempo dio clases particulares y escribió sobre hidrostática y el
movimiento natural, pero no llegó a publicar nada. En 1589 trabajó como profesor
de matemáticas en Pisa, donde se dice que demostró ante sus alumnos el error de
Aristóteles, que afirmaba que la velocidad de caída de los cuerpos era proporcional
a su peso, dejando caer desde la torre inclinada de esta ciudad dos objetos de pesos diferentes. En 1592 no le renovaron su contrato, posiblemente por oponerse a la
filosofía aristotélica. Ese mismo año fue admitido en la cátedra de matemáticas de la
Universidad de Padua, donde permaneció hasta 1610.
D.15
DANIEL GABRIEL FAHRENHEIT 1686 - 1736
Físico alemán, que nació en Danzig (actualmente Gdañsk, Polonia). Se instaló en
los Países Bajos y se dedicó a la fabricación de instrumentos meteorológicos. En 1714
construyó el primer termómetro con mercurio en vez de alcohol. Con el uso de este
termómetro, concibió la escala de temperatura conocida por su nombre. Fahrenheit
también inventó un higrómetro de diseño perfeccionado. Descubrió que además del
agua, hay otros líquidos que tienen un punto de ebullición determinado y que estos
puntos de ebullición varían con los cambios de presión atmosférica.
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D.16
ANDERS CELSIUS 1701 - 1744
Astrónomo sueco, fue el primero que propuso el termómetro centígrado, que tiene
una escala de 100 grados que separan el punto de ebullición y el de congelación
del agua. Desde 1730 hasta 1744 fue catedrático de astronomía en la Universidad
de Uppsala, construyó el observatorio de esta ciudad en 1740, y fue nombrado su
director. En 1733 publicó su colección de 316 observaciones sobre la aurora boreal y
en 1737 formó parte de la expedición francesa organizada para medir un grado de
latitud en las regiones polares.
D.17
WILLIAM THOMSON KELVIN 1824 - 1907
Matemático y físico británico, uno de los principales físicos y más importantes profesores de su época.
Nació en Belfast el 26 de junio de 1824 y estudió en las universidades de Glasgow y
Cambridge. Desde 1846 hasta 1899 fue profesor de la Universidad de Glasgow.
En el campo de la termodinámica, Kelvin desarrolló el trabajo realizado por James
Prescott Joule sobre la interrelación del calor y la energía mecánica, y en 1852 ambos colaboraron para investigar el fenómeno al que se conoció como efecto JouleThomson. En 1848 Kelvin estableció la escala absoluta de temperatura que sigue llevando su nombre. Su trabajo en el campo de la electricidad tuvo aplicación en
la telegrafía. Estudió la teoría matemática de la electrostática, llevó a cabo mejoras
en la fabricación de cables e inventó el galvanómetro de imán móvil y el sifón registrador. Ejerció como asesor científico en el tendido de cables telegráficos del Atlántico en 1857, 1858, 1865 y 1866. Kelvin también contribuyó a la teoría de la elasticidad
e investigó los circuitos oscilantes, las propiedades electrodinámicas de los metales
y el tratamiento matemático del magnetismo. Junto con el fisiólogo y físico alemán
Hermann Ludwig von Helmholtz, hizo una estimación de la edad del Sol y calculó la
energía irradiada desde su superficie. Entre los aparatos que inventó o mejoró se encuentran un dispositivo para predecir mareas, un analizador armónico y un aparato
para grabar sonidos en aguas más o menos profundas. También mejoró aspectos de
la brújula marina o compás náutico.
Muchas de sus obras científicas se recopilaron en sus Ponencias sobre electricidad
y magnetismo (1872), Ponencias matemáticas y físicas (1882, 1883, 1890) y Cursos y
conferencias (1889-1894). Kelvin fue presidente de la Sociedad Real de Londres en
1890, y en 1902 recibió la Orden del Mérito. Murió el 17 de diciembre de 1907.
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D.18
SIR HUMPHRY DAVY 1778 - 1829
Célebre químico británico, conocido especialmente por sus experimentos en electroquímica y por su invento de la lámpara de seguridad en la minas.
Davy nació el 17 de diciembre de 1778, en Penzance, Cornualles. En 1798 comenzó
los experimentos sobre las propiedades médicas de los gases, durante los cuales descubrió los efectos anestésicos del óxido nitroso (gas hilarante). Davy fue designado
profesor adjunto de química en la recién fundada Institución Real de Londres en 1801
y al año siguiente se le nombró profesor de química en esa misma institución.
Durante los primeros años en dicha institución, Davy comenzó sus investigaciones
sobre los efectos de la electricidad en los compuestos químicos. En 1807 recibió el
premio Napoleón del Instituto Francés por su trabajo teórico y práctico iniciado el año
anterior. Fabricó la mayor batería construida hasta entonces, con 250 células y pasó
una corriente eléctrica potente a través de soluciones de varios compuestos sospechosos de contener elementos químicos no descubiertos. Davy aisló rápidamente con
este método electrolítico el potasio y el sodio. También preparó calcio con el mismo
método. En experimentos posteriores, no descritos, descubrió el boro y demostró que
el diamante está compuesto de carbono. Davy mostró, asimismo, que las llamadas
tierras raras eran óxidos de metales en lugar de elementos. Sus experimentos con los
ácidos indicaron que es el hidrógeno, y no el oxígeno, el que produce las características de los ácidos. Davy también realizó descubrimientos notables sobre el calor.
En el campo de la ciencia aplicada, Davy inventó la lámpara de seguridad para
los mineros en 1815. Por esto y por las investigaciones descritas recibió la medallas de
oro y plata de Rumford de la Sociedad Real. En 1823 propuso un método para evitar
la corrosión de los fondos de cobre de los barcos que consistía en hacer revestimientos
de hierro y cinc. Fue nombrado sir en 1812 y fue elevado al rango de baronet en 1818.
En 1820 fue presidente de la Sociedad Real. Davy murió el 29 de mayo de 1829 en
Ginebra.
Entre sus obras destacan Elementos de la filosofía química (1812) y Elementos de la
química agrícola (1813).
D.19
JULIUS VON MAYER 1814 - 1878
Médico y físico alemán, conocido por ser el primero en establecer el equivalente mecánico del calor. Nació en Heilbronn y estudió medicina en la Universidad
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de Tubinga. En 1842 publicó un ensayo en el que daba un valor para el equivalente
mecánico del calor. Su cifra estaba basada en el aumento de la temperatura de
la pasta de papel cuando se la removía con un mecanismo accionado por un caballo. Mayer fue también el primero en establecer el principio de conservación de la
energía, en especial en los fenómenos biológicos y en los sistemas físicos.
D.20
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ 1646 - 1716
También conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático
y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII.
Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó
para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector,
Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam
y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la
filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque
de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Hannover, después JorgeI, rey de Gran Bretaña.
Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda
no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.
D.21
RUDOLF EMANUEL CLAUSIUS 1822 - 1888
Físico y matemático alemán, uno de los fundadores de la termodinámica. Nació
en Köslin (actualmente Koszalin, Polonia) y estudió en las universidades de Berlín y Halle.
Desde 1855 hasta su muerte fue sucesivamente profesor en el Instituto Politécnico de
Zurich y en las universidades de Würzburg y Bonn. Clausius fue el primero en enunciar
la denominada segunda ley de la termodinámica (1850): el calor no puede pasar por
sí mismo de un cuerpo más frío a un cuerpo más caliente. Fue uno de los primeros
que aplicó las leyes de la termodinámica, especialmente el concepto de entropía, a
la teoría de la máquina de vapor. También tuvo un papel importante en el desarrollo
de la teoría cinética de los gases. Su teoría de la electrólisis se adelantó en parte a la
teoría iónica del químico sueco Svante Arrhenius.
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D.22
SVANTE AUGUST ARREHENIUS 1859 - 1927
Químico sueco que ayudó a fijar las bases de la química moderna. Nació cerca
de Uppsala, estudió en la Universidad de Uppsala y se doctoró el año 1884. Mientras
todavía era un estudiante, investigó las propiedades conductoras de las disoluciones
electrolíticas (que conducen carga). En su tesis doctoral formuló la teoría de la disociación electrolítica. Esta teoría mantiene que en las disoluciones electrolíticas, los
compuestos químicos disueltos, se disocian en iones. Arrhenius también sostuvo que el
grado de disociación aumenta con el grado de dilución de la disolución, una hipótesis
que posteriormente resultó ser cierta sólo para los electrolitos débiles. Inicialmente se
creyó que esta teoría era errónea y le aprobaron la tesis con la mínima calificación
posible. Sin embargo, más tarde, la teoría de la disociación electrolítica de Arrhenius
fue generalmente aceptada y finalmente se convirtió en una de las piedras angulares
de la química física y la electroquímica modernas.
D.23
MAX KARL ERNST LUDWIG PLANCK 1858 - 1947
Físico alemán, premiado con el Nobel, considerado el creador de la teoría cuántica.
Planck nació en Kiel el 23 de abril de 1858 y estudió en las universidades de Munich
y Berlín. Fue nombrado profesor de física en la Universidad de Kiel en 1885, y desde
1889 hasta 1928 ocupó el mismo cargo en la Universidad de Berlín. En 1900 Planck formuló que la energía se radia en unidades pequeñas separadas denominadas cuantos.
Avanzando en el desarrollo de esta teoría, descubrió una constante de naturaleza universal que se conoce como la constante de Planck. La ley de Planck establece que
la energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por
la constante universal. Sus descubrimientos, sin embargo, no invalidaron la teoría de
que la radiación se propagaba por ondas. Los físicos en la actualidad creen que la
radiación electromagnética combina las propiedades de las ondas y de las partículas. Los descubrimientos de Planck, que fueron verificados posteriormente por otros
científicos, fueron el nacimiento de un campo totalmente nuevo de la física, conocido como mecánica cuántica y proporcionaron los cimientos para la investigación
en campos como el de la energía atómica. Reconoció en 1905 la importancia de las
ideas sobre la cuantificación de la radiación electromagnética expuestas por Albert
Einstein, con quien colaboró a lo largo de su carrera. Véase Átomo.
Planck recibió muchos premios por este trabajo, especialmente, el Premio Nobel de
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APENDICE D. MINIBIOGRAFIAS
Física, en 1918. En 1930 Planck fue elegido presidente de la Sociedad Kaiser Guillermo
para el Progreso de la Ciencia, la principal asociación de científicos alemanes, que
después se llamó Sociedad Max Planck. Sus críticas abiertas al régimen nazi que había
llegado al poder en Alemania en 1933 le forzaron a abandonar la Sociedad, de la
que volvió a ser su presidente al acabar la II Guerra Mundial. Murió en Gotinga el 4
de octubre de 1947. Entre sus obras más importantes se encuentran Introducción a la
física teórica (5 volúmenes, 1932-1933) y Filosofía de la física (1936).
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JOHANNES DIDERIK VAN DER WAALS 1837 - 1923
Físico holandés, premiado con el Nobel. Nació en Leiden y estudió en la universidad de esta ciudad. Desde 1877 hasta 1907 fue profesor de física en la Universidad de
Amsterdam. Van der Waals estuvo interesado principalmente en la termodinámica;
desarrolló una teoría sobre la continuidad de los estados líquido y gaseoso de la materia que se expresa en la ecuación de van der Waals. Por estos descubrimientos recibió
en 1910 el Premio Nobel de Física. Estudió también las fuerzas de atracción entre las
moléculas; se llamaron fuerzas de van der Waals en su honor.
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CHRISTIAN DOPPLER 1803 - 1853
Físico y matemático austriaco, nacido en Salzburgo. Estudió en dicha ciudad y
posteriormente en Viena. Fue profesor en el Instituto técnico de Praga (Checoslovaquia) y en el Instituto politécnico de Viena, y ocupó el cargo de director del Instituto
de Física de la Universidad de Viena en 1850. Describió el fenómeno físico que se
conoce hoy como efecto Doppler en su artículo monográfico sobre los colores de la
luz de las estrellas dobles, Acerca de la luz coloreada de las estrellas dobles (1842).
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