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Colegio Marta Brunet-2015
Departamento de Matemáticas
MSc:. Alejandro Andrés Panes Pérez
Razones y Proporciones Guía 5
Objetivo 1. Conocer y Aplicar conceptos de proporciones de datos en matemática, en áreas aplicadas del vivir diario.
Definición 1. Una razón es el cuociente entre dos cantidades. En una razón,
el numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente.
ANTECEDENTES
= VALOR DE LA RAZÓN
CONSECUENTE
Ejemplo 1.
1. Una razón se puede expresar como
resultado de la división es 1, 5.
3
2
y se lee: tres es a dos, cuyo valor,
3 → Antecedente
2 → Consecuente
2. Si en una razón, el antecedente es 5 y el consecuente es 2. ¿Cuál es el
valor de la razón?. Respuesta: El valor de la razón es 2, 5
3. Si en una razón, el antecedente es 7 y el valor es 0, 14. ¿Cuál es el
consecuente de la razón?.Respuesta: El consecuente de la razón es 50.
4. Si en una razón, el consecuente 5 y el valor es 0,6. ¿Cuál es el antecedente de la razón? Reemplazamos los valores numéricos que nos entregan
y la incógnita x por el consecuente. Respuesta: El antecedente de la
razón es 3.
Ejercicios 1.
1. Si en una razón, el antecedente es 3 y el consecuente es 4. ¿Cuál es el
valor de la razón?
1
2. Si en una razón, el antecedente es 18 y el valor es 9. ¿Cuál es el consecuente de la razón?
3. Si en una razón, el consecuente 2 y el valor es 100, ¿cuál es el antecedente de la razón?
4. En un curso hay 24 hombres y 12 mujeres. ¿Cuál es la razón entre la
cantidad de hombres y mujeres del curso?. Respuesta: La razón entre
la cantidad de hombres y mujeres del curso es 2. Esto quiere decir, que
por cada 2 hombres hay 1 mujer.
5. En un curso hay 12 mujeres y 16 hombres. ¿Cuál es la razón entre la
cantidad de mujeres y el total del curso?. Respuesta: La razón entre
la cantidad de mujeres y el total del curso es 3 es a 7. Esto quiere decir,
por cada 7 estudiantes del curso, 3 de ellos, son mujeres.
6. En un curso hay 52 alumnos, de los cuales 12 están ausentes. ¿Cuál es
la razón entre la cantidad de alumnos presentes y ausentes del curso?
7. En un curso hay 44 alumnos, de los cuales 16 están ausentes. ¿Cuál es
la razón entre la cantidad de alumnos presentes y el total del curso?
Definición 2. Una proporción es la igualdad entre dos o más razones.
Teorema 1 (Teorema fundamental de las proporciones).
Sea
c
a
= ⇔ a · d = b · c ∀a, b, c, d ∈ R, b 6= d
b
d
Ejemplo 2.
1. Sea
5
2
=
10
,
4
determine si las siguientes razones forman una proporción.
Demostración.
5
10
=
⇔ 5 · 4 = 2 · 10 ⇔ 20 = 20
2
4
2. Sea
18
24
= 73 , determine si las siguientes razones forman una proporción.
2
Demostración.
18
3
= ⇔ 18 · 7 = 24 · 3 ⇔ 126 6= 72
24
7
Ejercicios 2.
1. Determinar cuál de los siguientes pares de razones forma una proporción:
a)
b)
c)
20
y 24
40
12
1
y 12
144
56
y 78
49
d)
e)
f)
55
30
84
48
9
36
y
y
y
11
3
7
2
2
8
2. Determine el valor de cada incógnita en las siguientes proporciones:
d)
96
y
b)
27
= x3
36
y
= 47
9
e)
c)
42
15
x
2
f)
x
2
8
5
a)
=
=
=
=
8
7
15
6
12
y
3. Desarrollando los siguientes problemas de planteo:
a) La razón entre las edades de dos hermanos es 4 : 3, si el menor de
ellos tiene 21, ¿qué edad tiene el hermano mayor?. Respuesta: La
edad del hermano mayor tiene 28 años.
b) Se sabe que en un campo de fútbol la estructura del arco posee
una razón de 1 : 3 entre el poste y su travesaño. ¿Cuál es el largo
del travesaño si la altura del poste es de 2, 44 metros?. Respuesta:
El largo del travesaño es de 7, 32 metros.
c) En un curso, la razón entre la cantidad de hombres y de mujeres es
3 : 2. Si la cantidad de hombres es 18, ¿cuál es el total de alumnos
del curso?
d) Dos amigos deben repartirse 270,000 en la razón 7 : 2. ¿Cuánto
dinero recibe cada uno?
3