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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er
Semana 14:
Semestre de 2015
Guía de Ejercicios de Cálculo,Lunes 8 al Viernes 12 de Junio
Contenidos
Clase 1: Razón de cambio.
Clase 2: Recordar Teoremas de Weierstrass y Fermat. Máximos y mínimos absolutos
y relativos. Puntos críticos.
1.
Ejercicios propuestos
1.1. Dos autos se cruzan a las 12:00 hrs. en el punto A siguiendo rutas rectilíneas separadas en un ángulo de
390 .
El primer auto va a una rapidez constante de 30[Km/h] y el segundo a una rapidez constante de 60[Km/h].
a) A que distancia se encuentran separados a las 12:10?
b) Con que rapidez se estan separando a las 12:10?
1.2. En un triángulo isosceles, cuyos lados iguales miden 10cm, el ángulo opuesto a la base crece a razón de 0.5
radian por minuto.
a) Hallar la razón de cambio de la base del triángulo cuando el ángulo del vértice opuesto es
600 .
b) Hallar la razón de crecimiento del área del triángulo cuando el ángulo del vértice opuesto es de
600
1.3. Una piscina tiene 25 mts. de ancho, 40 mts. de largo, 3 mts. de profundidad. Si se bombéa agua al interior de
3
la piscina a razón de 10 mts
por minuto.¾A qué velocidad se está elevando el nivel del agua, cuando este nivel es
de 4 mts?
1.4. Hallar el máximo y el mínimo en los intervalos indicados, hallando los puntos del intervalo en que la derivada
es 0 y comparando los valores en estos puntos con los valores en los extremos.
a)
f (x) = x3 − x2 − 8x + 1
b)
f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2
c)
f (x) =
1.5. Sea
x
x2 −1 sobre
a > 0.
sobre
sobre
[−2, 2]
[−1, 1]
[0, 5]
Pruebe que el valor máximo de
f (x) =
es
1
1
+
1 + |x| 1 + |x − a|
2+a
1+a .
1.6. Si
f (x) = x2 ex ,
encuentre dónde se presentan los extremos relativos.
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2.
Ejercicios propuestos que incluyen respuesta
2.1. Un globo asciende verticalmente sobre un punto
pies
de
A
cuando el globo está a
40 pies
de
A.
A
del suelo a razón de
15 pies
seg .
B
B?
Un punto
¾A que ritmo está cambiando su distancia de
del suelo dista
30
8 pies de largo, 2 pies de ancho y 4 de profundidad. Si el agua uye en ella a
pies3
.
¾Como está subiendo el nivel cuando el agua tiene un pies de profundidad?
mı́n
2.2. Una artesa rectángular tiene
razón de
8
2.3. Suponga que se introduce un gas en un globo esférico a la razón constante de 50
cm2
por segundo. Supongáis
que la presión del gas permanece constante y que el globo tiene siempre forma esférica. ¾Cual es la rapidez con que
aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5
cm?
2.4. Hallar el máximo y mínimo de la función:
f (x) = x3 − x
2.5. Si
3.
f (x) = x +
4
x+1 , encuentre dónde se presentan los extremos relativos.
Ejercicios Incluyen desarrollo
3.1. Una caja aumenta su largo en
3 [cm/sg]
, su ancho disminuye en
2 [cm/sg]y
Determine cómo aumenta o disminuye el volumen de la caja, cuando el alto mide
largo mide
su alto aumenta en
13 [cm],
0, 1 [cm/sg].
6 [cm] y el
el ancho mide
16 [cm].
3.2. Un cilindro reduce su altura a razón de0,3[cm/sg] y su radio aumenta en
de su volumen al momento que el radio mide
3 [cm]
y la altura
0, 1 [cm/sg]. ¾Determinar la variación
10 [cm]?
3.3. En una circunferencia dos cuerdas forman un ángulo inscrito, si las cuerdas se abren formando diversos ángulos
inscritos y lo hace a una rapidez de
0, 1 [rad/seg]. Determine la rapidez de cambio del área circular, interior al círculo
2 [rad]. El radio del circulo es 5 [cm].
y entre las cuerdas, al momento que el ángulo de abertura es
3.4. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 centímetros cuadrados por minuto. Calcule la rapidez
de variación de la longitud de sus lados en el momento en el que el área del triángulo es 200
h
i
cm2
min .
3.5. Un ltro de café con forma de cono circular recto drena hacia un recipiente cilindrico a una razón de
Si el cono tiene diámetro y altura de
6
pulgadas, y el cilindro un diámetro de
6
10 pulg
min .
pulgadas
i) ¾Que tan rápido aumenta el nivel de café en el recipiente cuando el café en el ltro tiene una profundidad de
5
pulgadas?
ii) En ese preciso instante, ¾ Qué tan rápido disminuye el nivel de café del ltro?
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Respuestas y desarrollos
2.1
12 pies
seg
2.2
1 pies
2 mı́n
q
1
3 , que se presenta en
y el valor máximo es 6, que se presenta en 2.
− 32
2.4 El valor mínimo es
1
2π centímetros por se-
2.3 El radio aumenta a razón de
gundo.
q
1
3
2.5 en -3 tiene un máximo relativo y esto da un valor
máximo relativo de
−5;
tiene un valor mínimo relativo
en 1, el valor mínimo relativo es 3.
..............................................................................................................
Paso 1. Determinación de la s variables involucradas, bosquejo del problema.
3.1
instante de tiempo t;
tiempo t y
A(t):
V (t) :Volumen
ancho de la caja en el instante de tiempo t;
H(t):
L(t):
largo de la caja en el
alto de la caja en el instante de
de la caja en el instante de tiempo t.
V (t) = A(t) · L(t) · H(t).
Paso 2. Relación funcional entre las variables.
Paso 3. Derivar con respecto a la variable pedida ( generalmente el tiempo).
0
V 0 (t) = A0 (t)L(t)H(t) +
0
A(t)L (t)H(t) + A(t)L(t)H (t).
Paso 4. Evaluar en el momento que se pide. En este caso cuando
A(t) = 6; L(t) = 16; H(t) = 13
sabiendo
A0 (t) = −2; L0 (t) = 3; H 0 (t) = 0, 1.
Luego
V 0 (t) = −2(16)(13) + 6(3)(13) + 6(16)(0, 1) = −172,4
luego disminuye.
Paso 1. Determinación de las variables involucradas.
3.2
r(t) :radio
h(t):
basal en el instante t,
V (t):
altura del cilindro en el instante t,
Volumen del cilindro en el
instante de tiempo t.
V (t) =
Paso 2. Relación funcional entre las variables.
1
3
· π · r2 (t) · h(t).
Paso 3. Derivar con respecto a la variable pedida ( generalmente el tiempo).
0
−0, 3 [cm/sg]; V (t) =
π
3
0
V (t) =
π
3
· (2 · 3 · 0, 1 · 10 − 9 · 0, 3) =
− 24·π
3
instante t.
A(t) :
h0 (t) =
r0 (t) = 0, 1 [cm/sg]; h0 (t) = −0, 3 [cm/sg]; r(t) = 3; h(t) = 10;
= −8π , disminuye.
Paso 1. Determinación de las variables involucradas, bosquejo del problema.
3.3
;
· (2 · r · r · h + r · h ).
Paso 4. Evaluar en el momento que se pide.
0
r0 (t) = 0, 1 [cm/sg]
0
2
α(t) :
ángulo inscrito en el
área del sector interior al círculo y entre las cuerdas.
Paso 2. Relación funcional entre las variables. La región entre las cuerdas e interior al círculo se puede ver como
25·sen(α)(1+cos(α))
A(t) = 25 · (α + sen(α)).
: El area de del triángulo OAB más el área del segmento circular. área del triángulo OAB:
área del segmento circular:
25 · α − 25cos(α) · sen(α)
luego sumando ambas áreas :
Paso 3. Derivar con respecto a la variable pedida ( generalmente el tiempo).
Paso 4. Evaluar en el momento que se pide.
3.4 Si
A
representa el área del triángulo y
x
A0 (t) = 25 · (α0 (t) + cos(α) · a0 (t)).
α0 (t) = 0, 1 ; α(t) = 2 A0 (t) = 25·(0, 1+cos(2)·0, 1) = 25 ·(1+cos(2)).
el lado del mismo, entonces se tiene:
√
√
3 2
dA
3 dx
A(x) =
x ⇒
=
x
4
dt
2 dt
usando el hecho que
dA
= −4cm2 /min.
dt
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y que
A = 200,
si el lado es
√
20 2
√
x= 4 ,
3
de donde
√
dx
2
=− √
4
dt
5 3
cm/min.
3
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3.5
i)
El volumen de un cilindro de radio
r
y altura
h
es de
V = πr2 h.
En este caso
r=3
y
h = h(t),
donde
t
es el
tiempo, puesto que la altura del café"dentro del cilindro varía durante el tiempo.
Así, obtenemos
V (t) = 9πh(t).
Luego,
dh
dV
(t) = 9π (t)
dt
dt
para cualquier tiempo
t.
De esta manera, dado que
dV
dt
(t) = 10
se tiene que
dh
10
(t) =
dt
9π
es la rápidez buscada.
ii)
El volumen de un cono circular recto de radio
r
y altura
h
es
π
2
3 hr . Ahora bien, note que desde el enunciado del
problema y utilizando el Teorema de Thales obtenemos
r=
Luego,
V (t) =
h
.
2
π 3
h (t).
12
Entonces,
dV
π
dh
(t) = h2 (t) (t)
dt
4
dt
para cualquier tiempo
t.
En este caso
dV
dt
(t) = −10
pues el cafe se está drenando hacia el recipiente cilíndrico (hay
pérdida de volumen).
En algún instante
t = t0
se tiene que
h(t0 ) = 5
luego,
−10 =
π dh
25 (t0 ).
4 dt
Por lo tanto,
dh
8
(t0 ) = −
dt
5π
es la rápidez buscada.
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