1. No category

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
Práctica #4
Líneas de espera
Objetivo: Optimizar la operación de los servicios y la manufactura utilizando modelos
de líneas de espera.
Introducción: El sistema de líneas de espera, es el más conocido de todos, ya
que, independientemente de la ocupación de cada uno de nosotros, hemos
utilizado uno de ellos alguna vez, cuando vamos al cine, cuando utilizamos el
servicio de un banco, cuando pagamos los víveres en un supermercado, etc.
De los sistemas de líneas de espera más utilizados están: Un servidor con una fila
(figura 1), varios servidores con una fila (figura 2).
Lo interesante de este tema, es la gran gama de aplicaciones que tiene, ya que lo
podemos utilizar en la vida cotidiana así como en la industria, por ejemplo:





La llegada y recepción de materia prima a la industria
El servicio de mantenimiento en las máquinas.
El proceso de ensamble.
El proceso de empaque.
Etc.
Los elementos que componen una línea de espera o fila; como comúnmente le
llamamos; los identificaremos con letras (estas pueden variar de acuerdo con los
autores).
LETRA
REPRESENTA
S
SERVIDOR(ES)
C
CLIENTE(S)
RAZON O PROPORCION DEL
TIEMPO DE SERVICIO
(tasa de servicio)
RAZON O PROPORCION DE
LLEGADA DE LOS CLIENTES
(tasa de llegadas)
CANTIDAD DE CLIENTES EN EL
SISTEMA
CANTIDAD DE CLIENTES EN LA FILA
TIEMPO DE ESPERA TOTAL DEL
CLIENTE EN EL SISTEMA
µ (miu)
λ (lamba)
Ls
Lq
Ws
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 35
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
TIEMPO DE ESPERA DEL CLIENTE
EN LA FILA
Wq
Algo que debemos tener muy claro, es cuando los clientes forman parte del
sistema, y cuando dejan de pertenecer al sistema. En las figura se aprecian las
“posibles entradas” y las que son salidas “reales” del sistema. Mientras el cliente
potencial no haya ingresado al SISTEMA no lo consideraremos para los cálculos
necesarios, es importante identificar plenamente lo que conoceremos como
SISTEMA, ya que de eso dependerá el buen análisis del problema.
Por ejemplo; analizaremos una tienda de ropa y calzado donde se cuenta con
varios departamentos, entre ellos “DAMAS”, “CABALLEROS”, “NIÑOS”, etc. En el
departamento de caballeros se cuenta con el servicio para subir bastillas y arreglar
el largo de las mangas de las camisas. Si deseamos conocer cuánto tardará una
persona en que le tomen medidas para el arreglo de un pantalón,
¿contabilizaremos a todos los clientes de la tienda, o solo aquellos que entraron al
salón donde toman las medidas?. La respuesta es sencilla; solo los que entraron
al salón de medidas, en ese caso el salón de medidas se convertirá, para análisis
y cálculos necesarios, en el SISTEMA a analizar.
Figura 1
Será necesario también, identificar la rapidez o habilidad del servidor o quien este
atendiendo a los clientes (tasa de servicio), y además identificar el número de
clientes por unidad de tiempo que llegan (tasa de llegadas), es importante revisar
que ambas tasas este en la misma unidad de tiempo (minutos, segundos u horas),
en caso de no cumplirse esto, realizaremos una transformación de cualquiera de
las dos tasas.
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
Figura 2
Correlación con otros temas del programa: En esta unidad se empiezan a
entrelazar los temas sobre líneas de producción, así como casos de comercios y
de la vida cotidiana, con la finalidad de entender que de alguna manera se puede
estudiar la vida como un todo.
Material y equipo necesarios: Una calculadora y libreta para resolver los
problemas, y practicar la metodología vista, en caso de utilizar algún software,
imprimir o enviar de forma electrónica el resultado.
Metodología: De acuerdo con la teoría revisada, se deberá determinar el modelo
apropiado de líneas de espera, ante determinada cantidad de colas y servidores
disponibles. Esto es analizar el problema y decidir si es un solo servidor con una
fila y aplicar las fórmulas necesarias para encontrar:
Si es de un servidor con una fila:
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 37
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
;
;
;
;
;
Si es de servidores múltiples con una fila:
O simplificando la fórmula, utilizando una aproximación a P0 se obtendría por medio de
tablas (anexo)
Para este sistema el valor de
;
Sugerencias didácticas: Realizar actividades grupales que propicien la
comunicación, el intercambio de ideas, la reflexión, la integración y la colaboración
de los estudiantes.
Plantear, resolver y analizar casos reales propios de las empresas.
Propiciar el uso de la tecnología en el desarrollo de la asignatura (procesador de
texto, hoja de cálculo, base de datos, graficador, Internet, etc.) para el
planteamiento y la solución de problemas.
Proponer problemas y casos prácticos que permitan al estudiante adentrarse en la
problemática de las empresas hoy en día.
Reporte del alumno: Entregar los problemas solicitados por el docente para la
calificación de la competencia.
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 38
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
Bibliografía preliminar:
INVESTIGACION DE OPERACIONES (HAMDY TAHA)
INVESTIGACION DE OPERACIONES (W. L. WINSTON)
INVESTIGACION DE OPERACIONES (HILLER)
METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS (SWEENEY)
METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS (RENDER)
INVESTIGACION DEOPERACIONES (EPPEN)
ENFOQUES CUANTITATIVOS EN LA ADMINISTRACION (LEVIN)
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 39
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
TEORIA: I.- Responda las siguientes preguntas con F falso o V verdadero
1. Los modelos de líneas de espera también son
F
conocidos como teoría de colas
2. La tasa de servicio mide la rapidez de llegada de
F
los clientes potenciales
3. Los modelos de líneas de espera son: un servidor
una fila, servidores múltiples una fila, y servidores
F
múltiples, múltiples filas.
4. El número de clientes en el sistema está
F
representado por Ls
5. La tasa de servicio está representada por la letra
F
λ(lamba)
6. P0 representa la probabilidad de que el sistema
F
este desocupado
7. El tiempo total de espera del cliente está
F
representado por Lq
8. Probabilidad de que el sistema este vacío es igual
a la probabilidad de que el sistema este
F
desocupado
9. El factor de utilización ρ (ro) representa también
F
la probabilidad de que el sistema este ocupado
10. El tiempo de espera en la fila está representado
F
por Wq
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
II.- Elaborar un mapa conceptual sobre los temas que contempla la Teoría de
Líneas de Espera
PRACTICA. III.- Encuentre la solución a cada problema, según el método que se
pida.
Sección 1
1.- En un aeropuerto internacional, todos los pasajeros tienen que ser revisados
por una sola máquina para saber si no llevan armas o alguna herramienta que
pueda ser usada como tal, el proceso de revisión de la máquina de rayos x puede
examinar en promedio 12 pasajeros por minuto, y los pasajeros llegan a una tasa
de 10 pasajeros por minuto.
a) Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser
revisado.
b) Cuantos pasajeros hacen fila para pasar por la revisión
c) Cuanto tiempo pasará el pasajero en el punto de revisión
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 40
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
2.- Los barcos llegan a un canal del río Mississippi a una tasa promedio de
llegadas de 1 barco cada 60 minutos y en promedio toma 30 minutos pasar un
barco por el canal. Si los tiempos tienen una distribución de Poisson, encontrar:
a)
b)
c)
d)
El tiempo que un barco tarda en pasar por el canal
El número de barcos en espera de utilizar el canal
El número de barcos en el canal
La probabilidad de que el canal este vacío
3.- Un agente de inmigración en el aeropuerto de la cd. de México puede procesar
en promedio 120 pasaportes de turistas que desean entrar al país en sus 8 horas
de trabajo (si estuviera ocupado todo el tiempo). Si en promedio llega un turista
cada 6 minutos, y se cuenta con un solo agente de emigración, encuentre:
a) La cantidad esperada de turistas en la sala de espera
b) El tiempo que un turista utiliza para el sellado del pasaporte
c) El tiempo que un turista emplea en el trámite de ingreso al país
4.- Los autos llegan a una estación de mecánica rápida para un cambio de aceite
en promedio de 1 auto cada 60 minutos, y la estación de servicio es capaz de
atender hasta 48 autos en un lapso de 8 horas sin tiempo de ocio y con un solo
mecánico. Suponga que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria.
Estime:
a)
b)
c)
d)
El tiempo que un auto pasa en la estación de servicio
El número de autos en la estación de servicio
El número de autos esperando ser atendidos
La probabilidad de que la estación de servicio este vacía
5.-Una oficina de venta de boletos utiliza la venta y reservación de boletos por
medio telefónico en un conmutador, el cual concentra y distribuye las llamadas a la
primer vendedora disponible, cuenta con 3 operadoras, y en promedio cada una
de ellas atiende una llamada que dura aproximadamente 6 minutos. Si las
llamadas entran aleatoriamente con una distribución de Poisson a razón de 20
llamadas por hora. Calcule:
a)
b)
c)
d)
La probabilidad de que la llamada entre inmediatamente
La probabilidad de que la llamada tenga tono de ocupado
El número de llamadas en espera
El tiempo que esa llamada tendrá que esperar para ser atendida
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 41
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
6.- En un consultorio dental de la clínica #6 del IMSS, se detectó la siguiente
situación. Los pacientes llegan con una distribución de Poisson de 5 pacientes por
hora, de manera que se forman en una sola fila y son atendidos por 3 dentistas, y
en promedio cada consulta dura 30 minutos, calcule:
a) El número de pacientes esperando ser atendidos
b) El tiempo que tarda un paciente en el consultorio
c) La probabilidad de que el consultorio dental este vacío
7.- Una empresa debe tomar la decisión respecto a la política de contratar un
mecánico para reparar las máquinas que se descomponen con una tasa promedio
de 4 por hora. El tiempo improductivo de cualquiera de las máquinas está
costando a la empresa $10.00 dólares por hora. La empresa puede contratar 2
tipos distintos de mecánicos, uno de $2.50 dólares por hora y el otro de $4.50
dólares por hora. El mecánico más barato puede reparar en función de una
distribución exponencial las máquinas con una tasa promedio de 6 por hora,
mientras que el mecánico caro a una tasa promedio de 8 por hora. Basándose en
los datos anteriores ¿Cuál mecánico deberá contratarse?
8.-Una fábrica de ropa de una marca reconocida, tiene la política de que no se
debe hacer esperar a los operarios por más de 10 minutos para que les sean
entregadas las órdenes de fabricación. Se cuenta con 5 terminales de
computadora, y cada computadora puede procesar y entregar 4 órdenes de
fabricación de ropa en una hora, los operarios llegan con una distribución de
Poisson de 18 operarios por hora. Determine:
a) ¿El gerente de producción tiene razón en publicar esta política de servicio?
b) ¿Qué modificaciones a su centro de operación tendrá que hacer si esta
política no se cumple?
c) ¿Por qué?
9.- El centro de reparaciones de un taller de computadoras, maneja la política de
asignar las máquinas que llegan en forma rotatoria para los 3 técnicos conforme
van llegando, es decir, no se asignan al técnico que este desocupado en turno.
Las llegadas son aleatorias a una tasa de 30 pc por mes, y el servicio de
reparación es de 2 pc por técnico por día, suponga que se trabajan 20 días hábiles
por mes. Determinar:
a) Cuál es el tiempo promedio que una pc permanece en el taller
b) Cuantas pc están esperando ser reparadas
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 42
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
c) Si los técnicos se quejan sobre la carga de trabajo de que no es
proporcional, que modificaciones sugiere para este caso y en que basa su
respuesta.
10.- El almacén de producto terminado de una empresa tiene 3 montacarguistas,
los camiones de carga llegan a una tasa promedio de 90 camiones por hora y se
forman en una sola fila, los montacarguistas pueden atender en promedio 40
camiones por hora cada uno. Calcular:
a) Cuál es la probabilidad de que en un momento dado estén desocupados los
montacarguistas
b) Cuál es el número promedio de camiones esperando su cargamento
c) Cuál es el tiempo que un camión utiliza para tener la carga y empezar la
entrega.
11.- Un fabricante está estudiando una propuesta para instalar un dispositivo
automático en una de sus operaciones de producción. Es dispositivo deberá
realizar la operación en exactamente 30 segundos. La tasa de llegadas es de 50
productos por hora y la tasa actual de servicio de la operación manual de un solo
servidor es de 60 por hora. Si el dispositivo cuesta $10,000 dólares, y se producen
1,500 al año, y cada minuto ahorrado por producto de la operación vale $2
dólares, deberá instalarse el nuevo dispositivo.
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 43
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
PROBLEMA RESUELTO.
El auto cinema Australia tiene 3 taquillas, los automóviles llegan a una tasa
promedio de 90 autos por hora y se forman en una sola fila, las taquillas pueden
atender en promedio 40 autos por hora cada una.
a) Cuál es la probabilidad de que en un momento dado estén desocupadas las
taquillas
b) Cuál es el número promedio de automovilistas esperando comprar el boleto
c) Cuál es el tiempo que un automovilista invierte para ingresar al auto cinema
d) Cuál es la probabilidad de que un automovilista tenga que esperar para
comprar el boleto de entrada
e) Cuanto tiempo tendrá que esperar un automovilista para estar comprar el
boleto de entrada
f) En que cambiaría el modelo de este problema si fueran 3 filas?
ANÁLISIS
Realicemos un diagrama para entender el problema.
SISTEMA = TAQUILLAS DEL AUTO CINEMA
SALIDA
ENTRADA
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 44
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
PROCEDIMIENTO
Una vez realizado el diagrama y entendido el problema, contestaremos algunas
preguntan necesarias para encontrar el modelo y la solución:
Cuantos servidores: 3
Cuantas filas: 1
Modelo a utilizar: Servidores múltiples con una fila
Valor de la tasa de llegadas λ (lamba): 90 autos/hr
Valor de valor de la tasa de servicio µ (miu): 40 autos/hr cada taquilla
Comprobar características del sistema (S*µ≥λ), SI SE CUMPLE se puede
resolver = 3*40≥90
Ahora podemos
correspondientes:
responder
cada
pregunta
aplicando
las
fórmulas
a) Cuál es la probabilidad de que en un momento dado estén desocupadas las
taquillas.
La respuesta es P0= probabilidad de que el sistema este vacío
P0= para encontrar este valor en las tablas del anexo, necesitamos calcular
la relación de (λ/µ)= 90/40 = 2.25
Y el número de servidores = 3
Con estos dos valores, nos vamos a la tabla a buscar el valor más próximo
al 2.25.
Estos son los valores de las dos tablas en el anexo, de manera que el más
aproximado a 2.25 y con intersección de 3 (que es el número de servidores;
y está indicado por columna) encontramos que es el enmarcado en el
recuadro rojo (buscar lo anterior en las tablas del anexo), es cuestión de
establecer si se aplicará el redondeo o que criterio seguir para determinar
cuál será el valor a elegir entre los dos, ya que el 2.25 no se encuentra
exacto. Así que el valor para P0 en este problema es:
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 45
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
P0= 0.0815 (sin redondeo) y la respuesta es = 0.0815*100= 8.15%
b) Cuál es el número promedio de automovilistas esperando comprar el
boleto.
Para responder esto, debemos entender cuál de los dos tamaños de fila
están buscando; todos los autos en el sistema o solo los que están en
espera de obtener el servicio.
Como respuesta es; solo los que esperan obtener el servicio Lq
Del formulario tenemos que
Pero para esta fórmula no conocemos el valor de Pso, por lo que debemos
calcularlo aunque no lo pregunten, así que:
Pso=
Entonces:
c) Cuál es el tiempo que un automovilista invierte para ingresar al auto cinema
De forma similar que el inciso anterior, cuál de los dos tiempos que
podemos calcular es el solicitado aquí: el tiempo total Ws
d) Cuál es la probabilidad de que un automovilista tenga que esperar para
comprar el boleto de entrada
Si nos preguntan que se tiene que esperar, es porque las taquillas están
atendiendo a otros autos por lo tanto están ocupadas, y esto indica Pso, y
este valor ya lo calculamos en el inciso b
Pso = 0.61889*100
y la respuesta es 61.88%
e) Cuanto tiempo tendrá que esperar un automovilista para poder comprar el
boleto de entrada.
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 46
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LEÓN
Aquí nos solicitan el tiempo antes del servicio, lo que quiere decir Wq
Estos son los resultados utilizando el software del Winqbs,
Manual de Práctica de Investigación de Operaciones
Página 47