1. Educación

´
CALCULO
INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
CLASE # 20
Continuaci´on sucesiones
Definici´
on. Una sucesi´
on se llama creciente si an < an+1 para toda n ≥ 1, es decir a1 < a2 < a3 < · · · . Y
se llama decreciente si an > an+1 para toda n ≥ 1. Una sucesi´on es mon´
otona si es siempre creciente o
siempre decreciente.
Una forma recomendable para determinar si una sucesi´on es mon´otona es usar el siguiente m´etodo:
an
simplificar
y luego
an+1


 < 1 =⇒ an < an+1 creciente
an  > 1 =⇒ an+1 < an decreciente
= 1 la sucesi´on es constante
an+1 


¿ < = >? no es posible concluir.
Cuando este m´etodo no permite concluir definimos una funci´on derivable f tal que f (n) = an , y miramos
el signo se su primera derivada, si f crece an crece y si f decrece an decrece.
Ejemplos. Determine si la sucesi´
on es creciente, decreciente o no mon´otona.
(a) an =
6n+1
4 ,
√
n≥1
(b) an =
n+2
4n+2 ,
n ≥ 0.
Soluci´
on.
(a) Computamos
an
=
an+1
luego
6n+1
4
6n+1
4
6n+7
4
=
6n + 1
< 1,
6n + 7
es creciente.
(b) En este caso
√
an
=
an+1
n+2
4n+2
√
n+3
4n+6
√
n + 2 2n + 3
=√
,
n + 3 2n + 1
como tengo el producto
de un factor < 1 por uno > 1, no podemos decidir. Para resolver el problema
√
−(2x+7)
x+2
√
, x ≥ 0. Ahora, f (x) = (4x+2)
< 0, x ≥ 0, luego f decrece y as´ı
definimos f (x) = 4x+2
2
x+2
√
f (n) =
n+2
4n+2
= an decrece.
Nota. Puede ocurrir que una sucesi´
on sea mon´otona solo a partir de un cierto n. Por ejemplo,
1, 12 , 31 , 2, 3, 4, 5, ... .
Definici´
on. Una sucesi´
on {an } est´
a acotada por arriba si existe un n´
umero M tal que an ≤ M para todo
n ≥ 1. Y est´
a acotada por abajo si existe un n´
umero m tal que m ≤ an para todo n ≥ 1. Si m ≤ an ≤ M
para todo n ≥ 1, decimos que {an } est´
a acotada.
Por ejemplo, la sucesi´
on an =
√
y as´ı 0 < an < a0 =
2
2
√
n+2
4n+2 ,
n ≥ 0, est´a acotada ya que decrece y todos los t´erminos son positivos
y converge pues lim an = 0. Sin embargo, hay sucesiones acotadas que no
convergen como por ejemplo cos
nπ
2
n→∞
∞
.
n=0
Teorema de las sucesiones mon´
otonas. Toda sucesi´on acotada y mon´otona es convergente.
Ejemplo. Muestre que
2n
n!
∞
n=2
es convergente.
n
2
n! ,
n ≥ 2.
2n
an
n+1
n!
· an es mon´
otona:
= 2n+1
=
> 1, n ≥ 2 =⇒ an decreciente.
an+1
2
(n+1)!
· an es acotada: por ser decreciente y de t´erminos positivos es claro que 0 < an < a2 = 2.
Soluci´
on. Sea an =
1
Se sigue del teorema anterior que an es convergente.
8.2. Series
Sumando los t´erminos de una sucesi´
on {an } obtenemos una expresi´on de la forma
a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·
(#)
la cual se denomina serie y se representa por
∞
an ´o
an .
n=1
Si sumamos t´erminos como 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n + · · · vemos que esta suma va creciendo muy r´apido. A
saber
2+4=6
2 + 4 + 6 = 12
2 + 4 + 6 + 8 = 20
..
.
Sin embargo, si hacemos lo anterior con
1
3
+
1
32
+
1
33
+
1
34
+ · · · 31n + · · · se observa lo siguiente
1
4
1
+
= ≈ 0.44
3 32
9
1
1
1
13
+
+ 3 =
≈ 0.46
3 32
3
27
1
1
1
1
40
+
+ 3+ 4 =
≈ 0.48
3 32
3
3
81
..
.
∞
1
2
Podemos intuir que las sumas se est´
an acercando a
y justificaremos que
n=1
1
3n
= 12 .
Usando esta misma idea queremos ver si la serie (#) tiene una suma finita o no. Consideremos las sumas
parciales:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
..
.
n
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an =
ai .
i=1
∞
Estas sumas parciales forman una nueva sucesi´on {Sn }n=1 que puede ser o no convergente. Si lim Sn = s
n→∞
∞
entonces decimos que la serie
an converge y su suma es s, es decir
n=1
∞
n
s = lim Sn = lim
n→∞
n→∞
ai =
i=1
∞
ai =
i=1
an .
n=1
∞
Si este l´ımite no existe o es infinito decimos que la serie
an diverge.
n=1
Ejemplo. (Serie geom´etrica) Consideremos la serie
∞
a + ar + ar2 + ar3 + · · · + arn−1 + · · · =
arn−1 ;
a = 0, r ∈ R.
n=1
Vemos que cada t´ermino se obtiene a partir del anterior multiplicando por un n´
umero com´
un r que lo
llamaremos raz´
on. Consideremos dos casos:
2
(i) Si r = 1 : Sn = a + a + a + a + · · · + a = na. Por tanto lim Sn = ∞ si a > 0 y lim Sn = −∞ si a < 0,
n→∞
∞
en cualquier caso la serie
ar
n−1
n→∞
diverge.
n=1
(ii) Si r = 1 :
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + · · · + arn−1
rSn = ar + ar2 + ar3 + · · · + arn−1 + arn
a
restando estas dos expresiones obtenemos Sn − rSn = a − arn , esto es Sn =
(1 − rn ) . De donde
1−r
a
lim Sn =
si |r| < 1 y como vimos en sucesiones lim Sn es infinito o no existe cuando r > 1 o
n→∞
n→∞
1−r
r ≤ −1.
∞
a
si |r| < 1 y diverge si |r| ≥ 1. Observar que a es el primer
1−r
n=1
t´ermino en la suma de la serie y r es la raz´on.
En resumen, la serie
arn−1 converge a
∞
Ejemplo. Determine si la serie
5−n 4n+1 converge o no.
n=1
Soluci´
on. Observemos que
∞
∞
5−n 4n+1 =
n=1
En este caso a =
16
5
y |r| =
4
5
∞
42 4n−1
16
=
n−1
55
5
n=1
n=1
4
5
n−1
.
< 1, luego la serie converge y su suma es s =
∞
Ejemplo (Importante). Halle la suma de la serie
16
5
1−
4
5
= 16
xn , |x| < 1.
n=0
Soluci´
on. Primero debemos observar que la serie no empieza en n = 1 como en la definici´on de la
∞
xn =
geom´etrica. Pero si cambiamos n por n − 1 en todas partes nos queda que
n=0
∞
xn−1 . Esta es una
n=1
serie geom´etrica con a = 1 y |r| = |x| < 1, luego su suma es
∞
xn =
n=0
1
,
1−x
|x| < 1.
Ejemplo. (Serie telesc´
opica). Determine si la serie
∞
sen
n=1
1
n
− sen
1
n+1
converge o no. Si converge calcule su suma.
Soluci´
on. Esta serie no es geom´etrica entonces para analizar la convergencia o divergencia debemos usar
la definici´
on. Consideremos
n
Sn =
sen
i=1
= sen
1
1
1
i
− sen
− sen
1
2
1
i+1
+ sen
1
2
− sen
1
3
+ sen
1
3
− sen
1
4
+ · · · + sen
como se observa los t´erminos se van cancelando de tal forma que Sn = sen (1) − sen
lim Sn = sen (1) la serie converge a sen (1) .
n→∞
3
1
n+1
1
n
− sen
. Ahora como
1
n+1
,
Nota. Observar que al usar la definici´
on para determinar si una serie converge o no debemos conseguirnos
una f´
ormula para Sn , obtener dicha f´
ormula en general es muy dif´ıcil. Por esta raz´on estudiaremos algunos
criterios que nos permitiran decidir si la serie converge o no, sin recurrir a la definici´on.
Ejemplo. (Serie arm´
onica). La serie
∞
1
1 1 1
1
= 1 + + + + ··· + + ···
n
2 3 4
n
n=1
es divergente (m´
as adelante lo justificaremos).
Teorema. Si
an es convergente, entonces lim an = 0.
n→∞
Nota. En general no se cumple el rec´ıproco, es decir, si lim an = 0 no puedo concluir que
n→∞
convergente. Por ejemplo, en la serie arm´
onica an =
1
n
→ 0 cuando n → ∞, y la serie
Teorema. (Prueba de la divergencia). Si lim an = 0 o no existe, entonces la serie
an sea
es divergente.
an diverge.
n→∞
∞
1
n
tan−1 (n) converge o diverge.
Ejemplo. Determine si la serie
n=0
Soluci´
on. Usamos la prueba de la divergencia con an = tan−1 (n) . Luego
π
lim an = lim tan−1 (n) = .
n→∞
n→∞
2
Por tanto la serie diverge.
Teorema. Si
an y
bn son convergentes, entonces tambi´en lo son
(an ± bn ) . En este caso
(i)
can = c
an
can , donde es una c constante, y
(an ± bn ) =
(ii)
an ±
bn .
3n + 2n
converge o diverge.
6n
n=1
∞
Ejemplo. Determine si la serie
∞
3n + 2 n
=
6n
n=1
n=1
∞
Soluci´
on. Sabemos que
∞
n=1
1
3
n
3n
2n
+
6n
6n
∞
1
2
=
n=1
n
+
1
3
n
∞
. Puesto que
n=1
1
2
n
y
3n + 2n
converge y
6n
n=1
∞
convergen, por ser geom´etricas con |r| < 1, entonces
∞
∞
3n + 2 n
=
6n
n=1
n=1
Teorema. Si
an converge y
1
2
∞
n
1
3
+
n=1
bn diverge, entonces
n
=
1/2
1/3
3
+
= .
1 − 1/2 1 − 1/3
2
(an ± bn ) diverge.
Nota.
1. Puede ocurrir que
an y
bn divergen pero
(an ± bn ) converge. Por ejemplo, podemos tomar
an = n y
bn = n las cuales divergen, sin embargo
(an − bn ) = 0.
2. Un n´
umero finito de t´erminos no afecta la convergencia o divergencia de una serie. Por ejemplo,
∞
supongamos que se sabe que
n=4
∞
1
n3
converge, luego
∞
1
1
1
1
=1+ +
+
= # peque˜
no + serie converge,
3
n
8 27 n=4 n3
n=1
∞
luego la serie
n=1
1
n3
converge.
4