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Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net
Asignatura: Matemáticas I – 1ºBachillerato
Problemas – Tema 1: Solución a problemas de Repaso 4ºESO - Hoja 22 - Todos resueltos
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Problemas – Tema 1
Solución a problemas de Repaso 4ºESO - Hoja 22 Todos resueltos
Hoja 22. Problema 1
1. Representa gráficamente y=|2 x−3|+| x−1| .
Rompemos el primer valor absoluto.
2 x−3=0 →
x=
3
2
Si x <
3
→ 2 x−3<0 → Cambiar signo del argumento del valor absoluto
2
Si x >
3
→ 2 x−3>0
2
{
3
2
y=
3
2 x−3+∣x−1∣ si x >
2
−2 x +3+∣x−1∣ si x≤
}
Rompemos el segundo valor absoluto.
x−1=0 →
x=1
Si x <1 →
x−1< 0 → Cambiar signo del argumento del valor absoluto
Si x >1 →
x−1> 0
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{
−2 x+3−x +1 si x≤1
3
y= −2 x +3+ x −1 si 1< x≤ 2
3
2 x−3+ x −1 si x >
2
} {
→
−3 x +4 si x ≤1
3
y= −x +2 si 1< x≤ 2
3
3 x−4 si x >
2
}
En cada tramo tenemos una recta, que podemos representar obteniendo un par de puntos
en cada tramo. Con ayuda de Geogebra la gráfica quedaría:
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Hoja 22. Problema 2
2. Un campesino tiene bueyes que comen la misma cantidad de pienso todos los
días. Si vendiese 15 el pienso duraría 3 días más y si comprase 25 el pienso duraría
tres días menos. Halla el número de bueyes y el número de días que los puede
alimentar.
x
= número de bueyes
k ·x
d
= pienso total que comen los bueyes al día
= número de días
k · x·d
= total de pienso que tiene el campesino
Primero, represento los datos que me dan obteniendo así un sistema de ecuaciones:
k · x · d =k (x−15)(d + 3)
k · x · d =k (x + 25)(d −3)
Operando y simplificando:
45=3 x – 15 d
75=– 3 x+ 25 d
De la primera ecuación:
3 x=45+15 d → x=
45 15 d
+ →
3
3
x=15+5 d
Y sustituimos este valor en la segunda ecuación:
75=−3(15+5 d )+ 25 d → 75=−45 – 15d + 25 d → 75=−45+10 d → 120=10 d
d =12→ x=75
Bueyes que tiene el campesino = 75
Días que durará el pienso = 12
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Hoja 22. Problema 3
3. Simplifica, indicando todas las operaciones.
(
)
18x−9x2 12x 2 +2x−2 4x 2+ 6x+2
·
:
9x 2−1 4x3 −9x 2+2x 12x2 + x−1
Factorizamos y eliminamos términos poco a poco.
(
18 x−9 x 2 12 x 2+2 x−2 4 x2 +6 x +2
→
·
:
9 x 2−1 4 x3−9 x 2 +2 x 12 x 2+ x−1
)
(
(2−x ) (6x 2+ x−1) (2 x 2 +3x+ 1)
·
:
1 (4x 2−9 x +2) 12x 2 + x−1
2
(x − )
9
(
)
(
(
)
)
1
1
6 ( x− )( x + )
(2−x)
3
2
(2 x 2+3x +1)
·
:
1
1
1
1
1
(x+ )(x− ) 4( x−2)(x− ) 12( x− )( x+ )
3
3
4
4
3
1
1
6 (x− )(x+ )
2
(2−x)
3
2
( 2 x +3x+1)
·
:
→
1
1
4( x−2)
1
( x+ )( x− )
12( x+ )
3
3
3
(
)
9 x (2−x) 2(6x 2+ x−1) 2(2 x 2 +3x+ 1)
·
:
1 x (4x2−9 x +2)
2
12x2 + x−1
9(x − )
9
)
1
6( x+ )
(2−x )
2
(2 x 2+ 3x+1)
·
:
→
1
4( x−2)
12
1
−18(x + )
2
→
2
2 x + 3+ 1
1
−18( x + )
2
→
1
2( x +1)(x + )
2
(
(
)
1
6 ( x+ )
−1
2
(2 x 2 +3x+1)
·
:
1
4
12
−9
x+1
)
1
1
6 ( x− )( x + )
2
( 2−x)
3
2
(2 x +3x+ 1)
·
:
1
4 ( x−2)
12
(x− )
3
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Hoja 22. Problema 4
4. Resuelve
{
}
√ x −√2+ y =2
x
+ 2 y =1
3
En la primera ecuación del sistema, se deja
ambas partes al cuadrado.
x
en un lado de la ecuación y se elevan
2
√ x= √ 2+ y+ 2 → ( √ x ) =( 2+√ 2+ y ) ² → x=4+ ( 2+ y ) +4 √ 2+ y
x=6+ y+ 4 √ 2+ y
x
Con
despejada de la primera ecuación, la despejo también de la segunda.
x
+ 2 y =1 → x=3(1−2 y)
3
Igualamos los valores de
x .
2
6+ y +4 √ 2+ y=3 (−2 y +1 ) → 6+ y +4 √ 2+ y=−6 y+3 → ( 4 √ 2+ y ) =(−3−7 y )
2
2
16 ( 2+ y )=9+49 y + 42 y → 49 y +26 y−23=0 → y=
y=
2
−26± √26 2−4 · 49 ·(−23)
2· 49
−26±72
98
y 1 =
y 2=
−26+ 72 46 23
= =
→ No es solución por no satisfacer el sistema inicial
98
98 49
−26−72 −98
=
=−1→ y =−1
98
98
Calculo
x
a partir de la solución de
y .
x
+ 2 y =1 → x=3 (−2 y+1 ) → x=3 ( 2+1 ) → x=9 → Soluciones →
3
(
)
y=−1
x =9
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Hoja 22. Problema 5
5. Resuelve
{
y−x=3
126
5 x +5 y =
5
De la primera ecuación →
}
y=x +3
Sustituimos en la segunda ecuación del sistema →
Cambio de variable 5 x =t → t+125 · t=
5 x +5 x+3=
126
126
→ 126 ·t=
5
5
1
→
5
Deshacemos el cambio de variable →
5 x=
Y obtenemos la segunda incógnita →
y=x +3 →
x=−1
y=2
126
126
x
x
→ 5 +125 · 5 =
5
5
→ t=
1
5
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Hoja 22. Problema 6
6. Resuelve
{
6x 4 +7x 3−12x2 −3x+2⩽0
1
3
+1⩽
x−2
4−x 2
}
Estudiamos la primera inecuación → 6x 4 +7x 3−12x2 −3x+ 2⩽0 → Por Rufinni obtenemos
1
1
4
3
2
sus raíces → 6x +7x −12x −3x+ 2=6(x− )( x−1)(x +2)(x + )
3
2
Evaluamos el polinomio en los siguientes intervalos:
4
3
2
6x +7x −12x −3x+ 2>0 → No cumple la desigualdad
(−∞ ,−2) →
x=−10 →
1
(−2 ,− ) →
2
x=−1 → 6x 4 +7x 3−12x 2−3x+ 2<0 → Sí cumple la desigualdad
(
−1 1
, ) →
2 3
1
( ,1) →
3
(1,+∞) →
x=0 → 6x 4 +7x 3−12x 2−3x+ 2>0 → No cumple la desigualdad
x=
2
→ 6x 4 +7x 3−12x 2−3x+ 2<0 → Sí cumple la desigualdad
3
x=10 → 6x 4 +7x 3−12x 2−3x+ 2>0 → No cumple la desigualdad
1
1
Solución de la primera inecuación → [−2,− ]∪[ , 1]
2
3
Estudiamos la segunda inecuación →
fracción →
x 2 + x +1
(x−2)( x +2)
Raíces del numerador →
Raíces del denominador →
∄ℝ
x=±2
1
3
+1⩽
→ unificamos en una única
x−2
4−x 2
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Evaluamos el cociente en los siguientes intervalos:
(−∞ ,−2) →
(−2 , 2) →
(
−1 1
, ) →
2 3
x=−10 →
x=0 →
x 2 + x +1
> 0 → No cumple la desigualdad
(x−2)( x +2)
x 2 + x +1
< 0 → Sí cumple la desigualdad
( x−2)( x +2)
x=0 → 6x 4 +7x 3−12x 2−3x+ 2>0 → No cumple la desigualdad
Solución de la segunda inecuación →
(−2 , 2)
La solución final del sistema será la intersección de las soluciones particulares.
Solución final → (-2,
−1
1
]U[
2
3
, 1]
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Hoja 22. Problema 7
7. Resuelve
{
x 2 + y 2=5
1 1 3
− =
x2 y2 4
}
Despejamos x 2 en la primera ecuación x 2=5− y 2 . Llevamos este resultado a la
segunda ecuación.
1
1 3
− 2=
2
5− y y 4
Calculamos un denominador común para las fracciones.
4 y2
4 (5− y 2 )
3 y 2 (5− y 2 )
−
=
→ 4 y 2−4(5− y 2)=3 y 2 (5− y 2)
2
2
2
2
2
2
4 y (5− y ) 4 y (5− y ) 4 y (5− y )
2
2
2
4 y −20+ 4 y =15 y −3 y
4
→ 3 y 4−7 y 2−20=0
La ecuación bicuadrática la resolvemos con el cambio de variable y 2=t .
4
2
3 y −7 y −20=0 →
t=
3 t 2−7 t−20=0 → t=
7±17
7±√ 49+ 240
→ t=
6
6
−5
, t=4
2
Si t=
−5
→
2
Si t=4 →
y=
√
−5
∉ℝ
2
y=±2 → solución válida
Si y=2 , x 2=5− y 2 →
Si y=−2 , x 2=5− y 2 →
x=±√ 5−4 →
x=±√ 5−4 →
x=±1 → soluciones (1, 2) , (−1, 2)
x=±1 → soluciones (1,−2) , (−1,−2)
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Hoja 22. Problema 8
x−1 x+1
<
x+1 x−1
8. Resuelve
Unificamos en una sola fracción.
x−1 x +1
−
<0 →
x+1 x−1
x−1 x+1
<
→
x+1 x−1
( x−1)2−( x +1)2
<0 →
x 2−1
−4 x
<0
x 2−1
x=0
Raíz del numerador →
Raíces del denominador →
x=±1
Evaluamos la fracción en los siguientes intervalos:
(−∞ ,−1) →
(−1,0) →
(0,1) →
(1,+∞) →
x=−10 →
x=
x=
−1
→
2
1
→
2
−4 x
<0 → Sí cumple la desigualdad
2
x −1
−4 x
>0 → No cumple la desigualdad
x 2−1
x=10 →
Solución final →
−4 x
>0 → No cumple la desigualdad
x 2−1
−4 x
<0 → Sí cumple la desigualdad
2
x −1
(−1,0)∪(1,+∞)