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IES Francisco Ayala Granada
Modelo 5 de COU I del libro_96_97 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
Análisis
Ejercicio 1 Modelo 5 de COU I del libro_96_97
(1) [1 punto]. Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.
(2) [0'5 puntos]. Define el concepto de función monótona creciente en un intervalo.
(3) [1'5 puntos]. Aplica el teorema del valor medio de Lagrange para probar que la función f:R → R, definida
x
3
por f(x) = e + x + x, es monótona creciente en todo su dominio.
Solución
(1)
Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.
Teorema del Valor Medio de Lagrange: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable
f(b)-f(a)
= f ‘(c) o también
en el intervalo abierto (a,b) entonces existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que
b-a
f(b) - f(a) = f ‘(c)⋅(b - a).
(2)
Define el concepto de función monótona creciente en un intervalo.
Def. Una función f(x) se dice que es monótona creciente (estrictamente creciente) en un intervalo Ι sii para
dos puntos cualesquiera x1 , x2 de Ι que verifiquen x1 < x2 se cumple que f(x1) ≤ f(x2) [f(x1) < f(x2)]
f(x 2 ) - f(x1 )
≥ 0.
Es decir si 0 < x2 - x1 entonces 0 ≤ f(x2) - f(x1), por tanto
x 2 - x1
Def.- Una función f(x) decimos que es creciente (decreciente) en un punto x = a sii es creciente
(decreciente) en un entorno de x = a (valores de “x” muy próximos a “a”).
f(x) - f(a)
f(x) - f(a)
Teorema.- f(x) es creciente (decreciente) en un punto x = a sii
≥0 (
≤ 0), con valores de
x-a
x-a
“x” muy próximos al nº “a”.
Teorema.- (1) Si f(x) es derivable en x=a y f ‘(a) > 0 entonces f(x) es estrictamente creciente en x=a.
(3)
x
3
Aplica el teorema del valor medio de Lagrange para probar que la función f:R → R, definida por f(x) = e + x
+ x, es monótona creciente en todo su dominio.
Lo que tenemos que ver es que f ‘(x) es > 0 sea cual sea el valor de x ∈ R.
x
3
x
2
f(x) = e + x + x; f ‘(x) = e + 3x + 1
x
e > 0 siempre.
2
x
2
3x + 1 > 0 siempre, por tanto f ‘(x) = e + 3x + 1 > 0 siempre sea cuales el valor de x, y f(x) es estrictamente
creciente en R.
Ejercicio 2 Modelo 5 de COU I del libro_96_97
Dada la función f:R → R definida por f(x) = 33x + 32, se pide:
(1) [1 punto]. Halla la función derivada de f.
(2) [1 punto]. Halla la derivada de f en el punto x = 31.
1
(3) [1 punto]. Halla ∫ 0 [ 33·f(x) ]dx.
Solución
(1) y (2)
Halla la función derivada de f. Halla la derivada de f en el punto x = 31.
Definición. Si y = f(x) es una función definida en un intervalo I y “a” un punto de I, se llama derivada de f
f(a+h)-f(a)
en a, y se suele representar por f ´(a) , al siguiente límite cuando existe y es finito lim
. Es decir
h→0
h
f(a+h)-f(a)
f ‘(a) = lim
h→0
h
Si la función f es derivable en todos los puntos de su dominio podemos hablar de la función derivada que es
la que hace corresponder a cada punto su derivada, es decir la función
f ′ : R 
→R
f(x+h)-f(x)
h
que está perfectamente definida en todos los puntos x del dominio de f en que ésta sea derivable.
x 
→ f ′(x)=lim
h →0
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1
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Modelo 5 de COU I del libro_96_97 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
En nuestro caso:
( 33(x+h)+32 ) - ( 33(x)+32 )
f(x+h)-f(x)
33x+33h+32-33x-32
33h
= lim
= lim
= lim
= lim 33 = 33
h →0
h →0
h →0
h →0 h
h→0
h
h
h
Halla la derivada de f en el punto x = 31.
( 33(31+h)+32 ) - ( 33(31)+32 )
f(31+h)-f(31)
33(31)+33h+32-33(31)-32
f ′(31) = lim
= lim
= lim
=
h →0
h →0
h →0
h
h
h
33h
= lim
= lim 33 = 33
h →0 h
h →0
Vemos que coinciden ambas.
Hemos aplicado la definición pero podríamos haberlo realizado directamente:
f ′(x) = lim
f(x) = 33x + 32; f ‘(x) = 33; f ‘(31) = 33
(3)
1
Halla ∫0 [ 33·f(x) ]dx.
1
1
1
2
1
∫0 [ 33·f(x) ]dx = ∫0 [ 33·(33x + 32) ]dx = ∫0 [ 1089x + 1056 ]dx = [ 1089(x /2) + 1056x ]0
= (1089/2 + 1056) – (0) = 3201/2 = 1600’5
Ejercicio 3 Modelo 5 de COU I del libro_96_97
[3 puntos]. Desde una casa situada en el punto P = (7,0) se quiere hacer un camino recto para conectarla
con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuación y =
¿Con qué punto de la carretera conecta el camino más corto posible?
Solución
1 + 2x + 2x 2 .
Es un problema de optimizar la distancia entre dos puntos.
Sea X(x,y) un punto genérico de la curva y =
d(x) = d(P,X) = ||PX|| =
(x-7)2 +
(
1 + 2x + 2x 2 , es decir X(x, 1 + 2x + 2x 2 ).
1 + 2x + 2x 2
)
2
=
x 2 -14x + 49 + 1 + 2x + 2x 2 =
3x 2 -12x + 50
PX = (x – 7, 1 + 2x + 2x 2 - 0) = (x – 7, 1 + 2x + 2x 2 )
Sabemos que si d ’(a) = 0 y d ‘’(a) > 0, x = a es un mínimo relativo de la función d(x).
6x - 12
3x - 6
d(x) = 3x 2 -12x + 50 ; d ‘(x) =
=
.
2
2
2· 3x -12x + 50
3x -12x + 50
De d ‘(x) = 0 tenemos 3x – 6 = 0, de donde x = 2 (posible mínimo).
3x - 6
3· 3x 2 -12x + 50 - (3x - 6)·
2
3x -12x + 50 .
d ‘‘(x) =
2
3x 2 -12x + 50
)
(
Como d ‘‘(2) =
3· 38 - 0
(
38
)
2
> 0, x = 2 es un mínimo relativo de d(x), y el punto pedido es
X(2, 1 + 2(2) + 2(2)2 ) = X(2, 13 ).
Ejercicio 4 Modelo 5 de COU I del libro_96_97
0
dx
6
[3 puntos]. Haciendo el cambio de variable 1 - x = t , halla ∫
-63
1-x + 3 1-x
Solución
[email protected]
2
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∫
dx
0
Germán-Jesús Rubio Luna
= {1 - x = t → -dx = 6t dt → dx = -6t dt.
6
1-x + 3 1-x
-63
Modelo 5 de COU I del libro_96_97 Solución
Si x = 0 → 1 = t → t =
6
6
5
5
1 = 1.
3
1
1 -6t dt
-6t 5 dt
-6t 5 dt
=
=
∫2 t3 + t 2 ∫2 t 2 ·(t + 1) ∫2 t + 1 {***}
La integral es racional, y como el grado del numerador es mayor que el denominador, efectuamos la división
entera antes.
Si x = -63 → 1+63 = t → t =
6
3
-6t
3
2
+6t +6t
2
6t
2
-6t - 6t
- 6t
6t + 6
6
Recordamos que {***} =
6
64 = 2 } =
1
t+1
2
-6t + 6t - 6

∫  Cociente +
Resto 
dx =
divisor 
1

∫  -6t
2
2
+ 6t - 6 +
6 
dt =
t + 1 
1
1
 -6t3 6t 2

+
- 6t + 6·ln|t + 1| = -2t 3 + 3t 2 - 6t + 6·ln|t + 1| =
= 
2
2
 3
2
3
2
3
2
= ( -2(1) +3(1) -6(1) + 6·ln(2) ) – ( -2(2) +3(2) -6(2) + 6·ln(3) ) = 11 + 6·ln(2) – 6·ln(3) = 11 + 6·ln(2/3).
Álgebra Lineal y Geometría
Ejercicio 5 Modelo 5 de COU I del libro_96_97
Dado α de R, sea r la recta del espacio tridimensional que pasa por el punto P = (1,2,3) y cuyo vector
director es v = (α - 1, 2α + 4, 3α - 6).
(1) [1 punto]. Escribe las ecuaciones de las rectas obtenidas, respectivamente, para los valores α=0 y α=1.
(2) [3 puntos]. Prueba que todas las rectas obtenidas como se ha descrito, variando α en R, están
contenidas en un plano y determina la ecuación de dicho plano.
Solución
Dado α de R, sea r la recta del espacio tridimensional que pasa por el punto P = (1,2,3) y cuyo vector
director es v = (α - 1, 2α + 4, 3α - 6).
(1)
Escribe las ecuaciones de las rectas obtenidas, respectivamente, para los valores α=0 y α=1.
x-1
y-2
z-3
=
=
-1
4
-6
x-1
y-2
z-3
Si α = 1, v1 = (1 - 1, 2(1) + 4, 3(1) - 6) = (0,6,-3) y la recta es r1 ≡
=
=
0
6
-3
(2)
Prueba que todas las rectas obtenidas como se ha descrito, variando α en R, están contenidas en un plano
y determina la ecuación de dicho plano.
Si α = 0, v0 = (0 - 1, 2(0) + 4, 3(0) - 6) = (-1,4,-6) y la recta es r1 ≡
Las rectas dadas se cortan en el punto P = (1,2,3), por tanto el plano que determinan tien por punto el P y
como vectores independientes el v0 y el v1.
 x = 1 - 1λ + 0·µ

El plano es π ≡  y = 2 + 4λ + 6·µ , con λ, µ ∈ R.
 z = 3 - 6λ + 3·µ

Ejercicio 6 Modelo 5 de COU I del libro_96_97
 1 -4 1 
 0 -1 -1
 1 0 0






Dadas las matrices A =  1 3 -2  , B =  -1 1 2  e I =  0 1 0  , se pide:
 -1 2 0 
 -1 0 1 
 0 0 1






(1) [1 punto]. Estudia si existe y, si es así, calcula la inversa de A.
[email protected]
3
IES Francisco Ayala Granada
Modelo 5 de COU I del libro_96_97 Solución
Germán-Jesús Rubio Luna
(2) [1 punto]. Estudia si existe y, si es así, calcula la inversa de B.
(3) [2 puntos]. Determina una matriz X que verifique (2A + I)·B = B + AXA.
Solución
 1 -4 1 
 0 -1 -1




Dadas las matrices A =  1 3 -2  , B =  -1 1 2  e
 -1 2 0 
 -1 0 1 




(1)
Estudia si existe y, si es así, calcula la inversa de A.
 1 0 0


I =  0 1 0  , se pide:
 0 0 1


La matriz A tienen matriz inversa A =(1/|A|)·Adj(A ), si det(A) = |A| ≠ 0.
1 -4 1 F1 +F3
0 -2 1 Adjuntos
-1
Como |A| = 1
3
-1 2
-2 F2 +F3 = 0
0
5
-1 2
t
-2 primera = (-1)·(4-5) = 1 ≠ 0, existe A-1 =(1/|A|)·Adj(At).
0 columna
 1 1 -1
4 2 5




t
-1
t
A =  -4 3 -2  , Adj(A ) =  2 1 3  , luego A =(1/|A|)·Adj(A ) =
 1 -2 0 
5 2 7




(2)
Estudia si existe y, si es así, calcula la inversa de B.
t
4 2 5


2 1 3 .
5 2 7


La matriz B tienen matriz inversa B =(1/|B|)·Adj(B ), si det(B) = |B| ≠ 0.
0 -1 -1
0 -1 -1
-1
Como |B| = -1 1
-1 0
2
1 F3 -F2
t
= -1 1
0
2 = 0, por tener dos filas iguales, luego no existe B-1.
-1 -1
(3)
Determina una matriz X que verifique (2A + I)·B = B + AXA.
De (2A + I)·B = B + AXA, tenemos 2A·B + B - B = AXA → AXA = 2A·B.
-1
Multiplicando la expresión AXA = 2A·B por la izquierda y la derecha por A , tenemos:
-1
-1
-1
-1
-1
-1
→ X = 2BA
A AXAA = A 2A·BA → IXI = 2I·BA
 0 -2 -2   4 2 5 
 -14 -6 -20 
 0 -1 -1  4 2 5 


 




 
-1
X = 2BA = 2·  -1 1 2  ·  2 1 3  =  -2 2 4  ·  2 1 3  =  16 6 24  .
 -1 0 1   5 2 7 
 -2 0 2   5 2 7 
 2
0
4 


 



 
[email protected]
4