1. No category

EJEMPLOS, EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDAD
1) Veamos un ejemplo para ver lo que son experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos
elementales y sucesos compuestos:
2) Lanza 100 veces una moneda. Construye una tabla con el resultado y las frecuencias absoluta
y relativa.
Resultado
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
CARA
57
57/100=0,57
CRUZ
43
43/100=0,43
100
1
3) Lanzamos un dado cúbico cuyas caras están numeradas del 1 al 6, y anotamos el resultado de
la cara superior. Se pide:
a) Espacio muestral b) Suceso “obtener nº par” c) suceso “obtener nº impar”
a) Ω={1,2,3,4,5,6}
b) A={2,4,6}
c) B={1,3,5}
4) En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω={1,2,3,4,5,6}, se consideran los
siguientes sucesos: A={2,5,6}, B={1,3,4,5}, C={4,5,6}, D={3}
Forma los sucesos contrarios.
Solución:
A’= {1,3,4} B’= {2,6} C’= {1,2,3} D’= {1,2, 4,5,6}
5) Al lanzar dos dados, ¿cuál es el suceso contrario al suceso “obtener suma menor que 5”?
Solución:
S= “obtener suma mayor o igual que 5”
6) En una urna hay bolas pero no sabemos cuántas ni de qué colores. Sacamos una bola,
observamos el color y la devolvemos a la urna. Repetimos el proceso 200 veces y hemos
anotado 96 bolas rojas, 25 bolas blancas y 79 bolas negras.
a) confecciona una tabla de frecuencias
b) si al terminar la experiencia nos dicen que hay 40 bolas, ¿cuántas crees que habrá de cada
color?
Solución
a)
Bolas
Frecuencia absoluta
Bolas rojas
96
Bolas blancas
25
Bolas negras
79
b) Bolas rojas=0,48 . 40 =19,2 ...........hay 19 bolas rojas
Bolas blancas=0,125 . 40 = 5 ..........hay 5 bolas blancas
Bolas negras = 0,395 . 40 = 15,8 ....hay 16 bolas negras
Frecuencia relativa
96/200=0,48
25/200=0,125
79/200=0,395
7) Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer
una, ésta sea blanca?. ¿Y negra?
Solución
Antes de aplicar Laplace, hemos de ver si los sucesos son equiprobables. En este caso lo son.
Si los sucesos no fueran equiprobables, no se podría aplicar Laplace. En estos casos la asignación
de probabilidades se hace después de repetir los lanzamientos muchas veces
P(Blanca)=3/5 = 0,6
P(Negra) =2/5 = 0,4
8) En una bolsa se han introducido 80 bolas de golf, de las cuales 6 están marcadas con el
logotipo de una marca comercial. Una persona extrae una bola al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el logotipo?. b) ¿Y de que no lo tenga?.
Solución
a) P(bola con logotipo)= 6/80
b) P(bola sin logotipo)= 74/80
9) Veamos como cuando todos los resultados de un experimento son equiprobables,
calcularemos la probabilidad aplicando Laplace:
10) Rosa tiene 15 cartas con los números siguientes: 1-2-2-2-3-3-4-5-5-6-7-7-7-8-9. Las pone boca
abajo y después las baraja. Juan coge una carta. Halla la probabilidad de que la carta
escogida sea:
a) el 3 b) el 7 c) mayor que 3 d)cualquiera e)divisible por 4 f) múltiplo de 13 g) impar
h) menor que 7 i) menor o igual que 7
Solución:
a) P(3)=2/15 b) P(7)= 3/15 c) P(mayor que 3)=9/15
d) P(cualquiera)=1
e)P(divisible por 4)= 2/15 f) P(múltiplo de 13)=0 g) P(impar)=9/15=3/5
h) P(menor que 7)=10/15=2/3 i) P(menor o igual que 7)=13/15
11) Una urna contiene 8 bolas rojas y 5 bolas blancas. Se sacan dos bolas una tras otra (sin
devolución). Halla la probabilidad de que:
a) la 1ª sea blanca y la segunda roja
b) la 2ª sea roja
Solución:
Esquematicemos la situación en el siguiente diagrama en árbol (a veces muy conveniente):
a) P(1ºB∩2ºR)= 5/13 . 8/12 = 10/39
b) P(2ªR)= P(1ªB∩2ªR) + P(1ªR∩2ªR) = 8/13 . 7/12 + 5/13 . 8/12 = 8/13
12) En una baraja española de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos ases al sacar
dos cartas?
Solución:
Consideremos los sucesos:
A= sacar un as
B= sacar otro as
P(AB)= P(A).P(B/A)
La baraja tiene 40 cartas y 4 ases: P(A)=4/40
Si ya ha salido un as quedan 3 ases y 39 cartas, por tanto
P(B/A)=3/39
P(AB)=4/40 . 3/39 = 1/130 = 0.0076923
13) ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar tres cartas de la baraja fueran los tres ases?
Solución:
P(as,as,as)= 4/40 . 3/39 . 2/38 = 0.0004048
14) Cuando lanzamos al aire dos veces consecutivas una moneda, el que la segunda vez salga cara
o cruz no está influenciado por el primer resultado. Compruébalo mediante un diagrama de
árbol.
Solución:
1erlanzamiento2º lanzamiento
Resultado
Probabilidad
1/2
c
cc
P(cc)=P(c)P(c)=1/2.1/2=1/4
c
1/2
1/2
x
cx
P(cx)=P(c)P(x)=1/2.1/2=1/4
1/2
1/2
c
xc
P(xc)=P(x)P(c)=1/2.1/2=1/4
1/2
x
xx
P(xx)=P(x)P(x)=1/2.1/2=1/4
x
15) De una bolsa en la que hay 5 bolas rojas, 4 blancas y 3 negras, se toman tres bolas. ¿Cuál es
la probabilidad de sacar roja-blanca-negra?
Solución:
a) Sin devolución: P(rbn)=P(r).P(b/r).P(n/rb)=5/12 . 4/11 .3/10=1/22=0.04545
b) Con devolución: P(rbn)=P(r).P(b).P(n)= 5/12 .4/12 .3/12 = 5/144 =0.03472
16) Un jugador que suele encestar el 70%de sus tiros, tiene que lanzar una falta personal. Si el
jugador acierta el primer tiro, puede repetir el lanzamiento. Por lo tanto, es posible que
consiga 0 puntos (fallando el primer lanzamiento) o 1 punto (acertando el primero y fallando
el segundo) o 2 puntos (acertando los dos).¿Qué probabilidad tiene en cada caso?.
Solución:
1erlanzamiento
2ºlanzamiento
Resultado
Probabilidad
0,7
Acierto
AA
P(AA)=0,7.0,7=0,49
Acierto
0,7
0,3
Fallo
AF
P(AF)=0,7.0,3=0,21
0,3
Fallo
F
P(F)= 0,3 =0,3
SUMA=1
Lo más probable es que enceste y obtenga 2 puntos.
17) Una mesa de despacho tiene dos cajones. El primero contiene 4 rotuladores rojos y 2 azules.
El segundo contiene 3 rotuladores rojos y 3 azules. Se abre un cajón al azar y se extrae un
rotulador. ¿Cuál será la probabilidad de que se haya abierto el segundo y se haya cogido un
rotulador rojo?
Solución:
Cajones
rotuladores resultado
probabilidad
4/6
Rojo
PR
P(PR)=1/2 . 4/6 =4/12=1/3
2/6
Azul
PA
P(PA)= 1/2 .2/6 =2/12=1/6
3/6
Rojo
SR
P(SR)=1/2 .3/6 =3/12=1/4
3/6
Azul
SA
P(SA)=1/2 .3/6 =3/12=1/4
Primero
1/2
1/2
Segundo
P(segundo y rojo)=3/12 = 1/4
18) Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Otra urna contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.
Se toma al azar una bola de cada urna. ¿Cuál será la probabilidad de que ambas sean del
mismo color?.¿Y de que sean de distinto color?.
Solución:
1ª urna 2ª urna resultado
Probabilidad
2/5
R
RR
P(RR)= 3/5 . 2/5 = 6/25
Rojo
3/5
3/5
V
RV
P(RV)= 3/5 . 3/5 =9/25
2/5
2/5
R
VR
P(VR)= 2/5 .2/5 = 4/25
Verde
3/5
V
VV
P(VV)= 2/5 . 3/5= 6/25
Probabilidad de que sean del mismo color: P(RR) + P(VV)=6/25 + 6/25=12/25
Probabilidad de que sean de distinto color: P(RV) + P(VR)=9/25 + 4/25=13/25
De una urna que contiene 7 bolas azules y 5 verdes se extraen dos bolas al azar sin devolución.
¿Cuáles son las probabilidades de los resultados posibles?.
Solución:
1ªextracción 2ªextracción Resultado
Probabilidad
6/11
A
AA
P(AA)=7/12 .
6/11=42/132
A
7/12
5/11
V
AV
P(AV)=7/12 .
5/11=35/132
5/12
7/11
A
VA
P(VA)=5/12 .
4/11
V
VV
P(VV)=5/12 .
7/11=35/132
V
4/11=20/132
19) ¿Cuál será la probabilidad de obtener tres copas al extraer tres cartas de una baraja de 40?.
¿Y que ninguna sea copa?.
Solución:
P(CCC)= 10/40 . 9/39 . 8/38 = 0,012
P(C’C’C’)=30/40 . 29/39 . 28/38 = 0,411
20) En un instituto se está aplicando experimentalmente la E.S.O., y los alumnos están repartidos
de la siguiente forma: 40% en 1º, 30% en 2º, 20% en 3º y el resto en 4º. El porcentaje de
aprobados en cada curso está en el 70% en 1º, 60% en 2º, 40% en 3º y 30% en 4º. Si elegimos
un alumno de este instituto, ¿cuál será la probabilidad de que haya aprobado? ¿y de que
haya suspendido?
Solución:
Llamemos A=aprobar y A’=suspender
P(A)= P(1ºy A)+P(2ºy A)+P(3ºy A)+P(4ºy A) =
(0,4 . 0,7) +(0,3 . 0,6) + (0,2 . 0,4)+P(0,1 . 0,3)=0,57
P(A’)= P(1ºy A’)+P(2ºy A’)+P(3ºy A’)+P(4ºy A’)=
(0,4 . 0,3) +(0,3 . 0,4) + (0,2 . 0,6)+(0,1 . 0,7)=0,43
21) Una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00, 01, 02,.....,99. Se extrae una bola al azar y sea
“a” la 1ª cifra del nº y b la segunda. Escribe los sucesos elementales de los siguientes sucesos:
a) la primera cifra es 5
b) la suma a+b=8
c) el producto a.b=12
Solución:
a) 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 y 59
b) 08, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 y 80
c) 26, 62, 34, 43
22) En una urna hay 50 bolas entre blancas(B), rojas(R) y negras(N). ¿Cuántas bolas hay de cada
color en los siguientes casos:
a) P(B)=2/5 y P(N)=1/10
b) P(B)=2/5 y P(N)=P(R) ?.
Solución:
a) P(B)=2/5 = 20/50 P(N)=5/50 . Hay 20 bolas blancas, 5 negras y 25 rojas
b)P(B)=2/5=20/50. Hay 20 bolas blancas, 15 negras y 15 rojas.
23) Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que:
a) no salga ningún 6
b) salga un 6 en cada dado
c) el segundo sea 6, siendo 6 el primer resultado
d) el segundo no sea 6, siendo 6 el primer resultado
e) el segundo no sea 6, no siendo 6 el primer resultado
Solución:
a) y e) P(6’ 6’)=5/6 . 5/6 = 25/36
b) y c) P(6 6)= 1/6 . 1/6 =1/36
c) P(6 6’)=1/6 . 5/6 = 5/36
24) En una urna hay bolas pero no sabemos cuantas ni de qué colores. Sacamos una bola,
observamos el color y la devolvemos a la urna. Repetimos el proceso 200 veces y hemos
anotado 96 bolas rojas, 25 bolas blancas y 79 bolas negras.
a) Confecciona una tabla de frecuencias
b) Si al terminar la experiencia nos dicen que hay 40 bolas. ¿cuántas crees que hay de cada
color?.
Solución:
a)
bolas
ni
fi
b. roja 96
0,48
b.blanca 25
0,125
b.negra 79
0,395
b) bolas rojas = 0,48.40 = 19,2
bolas blancas = 0,124.40 = 5
bolas negras = 0,395.40 = 15,8
19 bolas rojas
5 bolas blancas
16 bolas negras
25) Lanzamos 2 dados y sumamos sus resultados. Halla la probabilidad de que su suma sea 2, 7,
y 9.
Solución:
Formemos el espacio muestral:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
P(suma sea 2)=1/36
P(suma sea 7)=6/36=1/6
P(suma sea 10)=3/36=1/12
6
7
8
9
10
11
12
25)
26)
27)
28) En un sorteo de lotería nos fijamos en la cifra en que termina el “gordo”.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Describe los sucesos A=“menor que 4”, B=“Par” y C=”mayor que 5”, escribiendo
todos sus elementos.
c) Halla los sucesos A∪B, B∩C, A’∩B’ y A∩C
d) ¿Cuántos sucesos hay?
Solución:
a) Ω={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b) A={ 0, 1, 2, 3}
B= {0, 2, 4, 6, 8 }
C={ 6, 7, 8, 9}
c) A∪B={0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
B ∩C= {6, 8}
A’= {4, 5, 6, 7, 8}
A’∩B’= {5, 7, 9}
B’= {1, 3, 5, 7, 9}
A∩C=∅
d) Hay 210sucesos, es decir, 1024 sucesos
29)De los sucesos A y B se sabe que: P(A)=0,4; P(B)=0,5; P(A’∩B’)=0,3. Halla P(A∪B) y
P(A∩B).
Solución:
P(A’∩B’)=P[(A∪B)’]=1-P(A∪B)
0,3=1-P(A∪B)
Para calcular P(A∩B), aplicamos la igualdad:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A∪B)=0,7
0,7=0,4+0,5-P(A∩B)
P(A∩B)=0,2
30)Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0,7;
P(B)=0,6 y P(A’∪B’)=0,58.
a) ¿Son sucesos independientes A y B?
b) Si M⊂A, ¿cuál es el valor de P(M’/A’)?
Solución:
a) Para ver si son independientes, comprobaremos si se cumple la siguiente igualdad:
P(A∩B)=P(A).P(B)
• P(A).P(B)=0,7 . 0,6 = 0,42
•
P(A’∪B’)=P[(A∩B)’]=1–P(A∩B) ; 0,58=1-P(A∩B);P(A∩B)=1-0,58=0,42
Luego los sucesos A y B son independientes
c) Si M⊂A, entonces A’⊂M’ y por tanto:
P(M’/A’)=P(M’∩A’) / P(A’) = P(A’) / P(A’) =1
31) De una urna que contiene 4 bolas rojas y 2 azules, extraemos 3 bolas. Calcula la
probabilidad de que las tres sean rojas si las extracciones son:
a) con reemplazamiento
b) sin reemplazamiento
Solución:
a) Las 3 pruebas son independientes, por tanto
P(RRR)=P(R).P(R).P(R)=4/6 . 4/6. 4/6 =8/27
b) En este caso, las pruebas son dependientes, por tanto
P(las 3 rojas)=P(roja la 1ª).P(roja la 2º/siendo roja la 1ª).P(roja la 3ª/siendo roja la 1ª y
la 2ª) = 4/6 . 3/5 . 2/4 = 1/5
32) Se elige al azar un nº menor que 100. ¿Cuál es la probabilidad de que la cifra de las
unidades sea mayor que la de las decenas?.
Solución:
Contamos los números y se ve que de entre los posibles 100 números, hay 45 que sus unidades
son mayores que sus decenas. Luego
P=45/100=0,45
33)
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Para designar el suceso complementario de B, podemos expresarlo también como Bc
por tanto, Si p(Bc) = 2/3, entonces p(B) = 1 – 2/3 = 1/3
• Sabemos que p(A∪ B) = p(A) + p(B) – p(A∩ B) y despejando p(A) resulta:
•
•
Nos fijaremos en el siguiente diagrama:
La parte sombreada de la primera figura es la intersección de Ac y de B
La parte sombreada de la 2ª figura es A∩ B.
Además, ambos sucesos, ambas zonas, son incompatibles.
Se verifica que:
•
Teniendo en cuenta que p(B∩ A) = p(B).p(A/B), tenemos:
34) En un cierto edificio se usan dos ascensores; el primero lo usan el 45 % de los inquilinos y el resto
usan el segundo. El porcentaje de fallos es del 5%, mientras que el del segundo es del 8 %. Si en un
cierto día un inquilino queda "atrapado" en un ascensor, hallar la probabilidad de que haya sido en el
primero
Resolución:
Utilizamos el diagrama del árbol:
•
Aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos:
(Se toman todas las ramas que van a F)
Ahora aplicamos el teorema de Bayes:
p(de ser atrapado en el 1º)=p(utilizar A/condicionado a que falle)=
•
que es la probabilidad pedida
(Se toma la rama del ascensor A y se divide por la suma de las ramas o caminos)
35) En un espacio probabilístico se consideran los sucesos A y C cuyas probabilidades son p(A)
= 0,3 y p(B) = 0,6. Por Bc se designa el suceso complementario o contrario al suceso B. Calcular
la probabilidad del suceso A∩ Bc en los siguientes casos:
a. La probabilidad del suceso A∩B es 0,2.
b. Los sucesos A y B son independientes.
Resolución
Si observamos la figura resulta:
La zona roja, sombreado del centro, es la intersección de A y B, es decir, A∩ B
La zona amarilla, sombreado de la izquierda, es la intersección de A y del complementario de B, es decir, A∩ Bc
Además, la unión de las dos zonas es A, es decir, (A∩ Bc)∪ (A∩ B)=A
Aplicando probabilidad:
p(A∩ Bc)+p(A∩ B) = p(A), ya que se trata de dos sucesos incompatibles.
Y despejando en la igualdad anterior, p(A∩ Bc) = p(A) – p(A∩ B)
• En el primer caso, p(A∩ B) = 0,2
p(A∩ Bc) = 0,3 – 0,2 = 0,1
• En el segundo caso los sucesos son independientes, por tanto,
p(A∩ B) = p(A).p(B) = 0,3.0,6 = 0,18
y entonces, p(A∩ Bc) = 0,3 – 0,18 = 0,12
36) .- En una urna hay 10 bolas blancas y 12 bolas rojas. Encontrar la posibilidad de que al
extraer dos bolas sin devolución se obtenga una de cada color.
Resolución:
Tenemos un conjunto de 10 bolas blancas y 12 bolas rojas.
Para extraer un bola de cada color se ha de extraer 1 blanca y 1 roja.
Formas de extraer 1 bola blanca entre un conjunto de 10:
Formas de extraer 1 bola roja entre un conjunto de 12:
•
Los casos favorables son:
•
Casos posibles son las distintas formas de escoger 2 bolas entre un conjunto de 22:
La probabilidad pedida será:
Otra manera:
Sea B1 el suceso "extraer bola blanca en la primera extracción"
B2 es el suceso "extraer bola blanca en la segunda extracción"
R1 es el suceso "extraer bola roja en la primera extracción"
R2 es el suceso "extraer bola roja en la segunda extracción".
Dos bolas del mismo color se pueden conseguir de la forma siguiente:
(primera blanca y segunda roja) o (primera roja y segunda blanca).
A la y se le asocia el símbolo de ∩
A la o se le asocia el símbolo de ∪
De ese modo tenemos:
p(obtener dos bolas del mismo color) = p[(B1∩ R2)∪ (R1∩ B2)],
es decir, p = p(B1∩ R2) + p(R1∩ B2) =p(B1).p(R2/B1) + p(R1).p(B2/R1).
Por tanto:
37) En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de
70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene
menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna
vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones.
Representar la información anterior en un diagrama de Venn.
Solución
(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)
Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.
“
B
“
tienen menos de 70 años.
“
E
“
no padecen enfermedad contagiosa.
card ( C ) = 50% de la población;
card (E) = 80%;
card (B) =50%:
card (E  B) = 48%; card (E  C) = 32%; card (C  B) = 10%;
card (C  E  B) = 10%
38) De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al
menos una de ellas sea copas?.
Solución . Sea A el suceso “ al extraer dos cartas al menos una es copas”
Pasamos al contrario, Ac , es decir calculamos la probabilidad de que ninguna sea copas.
Sucesos posibles:
Sucesos favorables:
, que son todos los grupos de 2 cartas que se pueden sacar.
pues hay 30 cartas que no son copas.
Por la regla de Laplace tenemos: p(Ac ) =
= 0,56  p(A) = 1 - 0,56 = 0,44
39) . En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al
baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol y
al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un
individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?
Solución
Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado
al menos a uno de los tres.
p( FTB) [3] = 0,70 + 0,60 + 0,65 - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90
Por lo tanto p(“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1 - 0,90 = 0,10.
40) . En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un
referéndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los
resultados en % en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones:
PP
PSOE IU
Abs
Sí
25
20
8
12
No
15
10
2
8
a) ¿Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado Sí en el referéndum?
b) Calcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado sí.
Solución:
En primer lugar completamos la tabla con las sumas parciales:
PP
25
15
PSOE
IU
Abs
Sí
20
8
12
65
No
10
2
8
35
40
30
10
20
100
a) p( Sí ) = 0,65; b) p( PP/Sí ) = 25/65 = 0,38.
41) En una clase de COU el 45% de los estudiantes suspende Matemáticas, el 60% suspende
física y el 30% suspende ambas. Se selecciona al azar un alumno:
a) Si suspendió Física ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera Matemáticas?
b) Si suspendió Matemáticas “
“
Física?
Solución
Sea A = “suspende Matemáticas” y B = “ suspende Física”
p(A) = 0,45; p(B) = 0,60 ; p(A  B) = 0,30
a) p(A/B) = 0,30/0,60 =1/2; p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3
42) . Calcular la probabilidad de que al extrer dos cartas de una baraja la 1ª sea copas y la 2ª
bastos.
Solución p( 1ªC, 2ªB) = p(1ªC). p(2ªB/1ªC) =
43) En una urna hay 3 bolas blancas , 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas
consecutivamente, sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que las tres sean rojas
Solución
p(1ªR, 2ªR, 3ªR)=
44) Una urna contiene 8 blancas y 7 negras, hacemos una extracción de 2 bolas, en el supuesto
de que hemos visto que una de estas bolas es negra. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra
también lo sea?
Solución
Sea el suceso A = “al extraer dos bolas, al menos una sea negra”
“
B = “al extraer dos bolas, las dos sean negras”
Se verifica B  A, luego A  B = B y p (B) =
p(A) = 1- p(Ac) = 1 -
;
;
La probabilidad pedida es: p(B/A)=
45) Se lanza un dado, si el número obtenido es < 3 se extrae una bola de una urna U1 que
contiene 4 bolas blancas y 3 rojas; si el número es  3 se extrae una bola de una urna U 2 que
contiene 2 bolas blancas y 6 rojas. Calcular la probabilidad de que salga un 5 y que la bola sea
roja.
Solución
p(5, R) = p (5). p(R/5) , ya que son dependientes.
p(5) = 1/6 y como 5> 3, p(R/5) = 6/8 = 3/4. Por lo tanto p(5, R) = 1/8.
46) Un libro tiene 3 capítulos. El 85% de las páginas del 1er capítulo no tiene ningún error. El
90% del segundo y el 95% del tercero tampoco tienen ningún error.
El primer capítulo tiene 125 páginas, el 2º 150 y el 3º 175.
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una página al azar no tenga ningún error?
Solución
Llamamos: A1 = “ser página del primer capítulo”, p(A1) = 125/450 = 5/18
A2 = “ser página del segundo capítulo”, p(A2) = 150/450 = 1/3
A3 = “ser página del tercer capítulo” , p(A3) = 175/450 = 7/18
A1 , A2 y A3 forman un sistema exhaustivo.
Sea B = “ser página que no tenga errores”
p(B/A1 ) = 0,85, p(B/A2 ) = 0,90, p(B/A2) = 0,95 y por lo tanto:
p(B) =
= 0,905
47) Cada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es
correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas.
a) Construya un espacio muestral adecuado a esta experiencia.
b) Calcule p(B), p(A  B), p(C), p(B  C), siendo A, B y C los siguientes sucesos:
A = “El alumno contesta correctamente la primera pregunta”
B = “El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas”
C = “El alumno contesta correctamente las tres preguntas”.
Solución
Vamos a designa por a el acierto, es decir contestar correctamente una pregunta y por f el fallo,
el dedir su contrario.
El espacio muestral tiene 8 elementos:
E = (aaa), (aaf), (afa), (aff), (faa), (faf), (ffa), (fff)
p(B) = 4/8 = 1/2; p(A  B) = 3/8; p(C) = 1/8; p(B  C) = p(B) = 1/2, pues C  B
48) De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas sin reemplazamiento. Si ambas no son
espadas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?.
Solución ..
Llamamos A al suceso “al extraer dos cartas al menos una sea copas sabiendo”, que ninguna
es espada.
Calculamos en primer lugar la de su contrario, Ac, es decir la del suceso de que ninguna sea
copas:
Teniendo en cuenta la Observación 1, podemos suponer que sólo hay 30 cartas en la baraja.
= 0,437 luego:
P(A) = 1 - 0,437 = 0,563
Veamos otra forma de resolverlo:
Llamamos B al suceso ninguna es espada. Nos piden:
p(A/B)=
p(A  B ) =
, A B representa el suceso alguna copa y ninguna espadas.
, p(B) =
; p(A/B) =
= 0,563
49) Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Hallar la probabilidad de
que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento.
Solución
Observar un 6 por segunda vez (antes del 5º) puede ocurrir al 2º, 3º ó 4º lanzamiento,
P(ocurra en 2º) =1/36; 6 y 6
P(ocurra en 3º) = 2. (5/6).(1/36)= 5/108; 6  6,  6 6 (dos 6 y otro número cualquiera)
P(ocurra en 4º) = 3. (25/36).(1/36) = 25/432; 66 (dos 6 y los otros dos nº cualesquiera 3
formas para esta situación).
P(observar un 6 por segunda vez antes del 5º lanzamiento)= 1/36 + 5/108 + 25/432 = 0,132
50) La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a una cierta
distancia es 0,2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:
a) no acierte ninguna; b) acierte alguna; c) acierte 2.
Solución
a) P(5 fallos) = (0,8)5; b) P(acertar alguna vez) = 1 - P(fallar todas) = 1 - (0,8)5;
c) P(acierte 2) =
, pues hay 10 formas de obtener 2 aciertos y e fallos.
51) Una caja contiene 5 tornillos defectuosos y 4 aceptables; otra caja contiene 4 defectuosos y 5
aceptables. Se traslada un tornillo de la primera caja a la segunda; a continuación se extrae un tornillo
de la segunda caja. ¿Cuál es la probabilidad de que este último sea aceptable?.
Solución
Sean los sucesos :
B = “tornillo sacado últimamente sea aceptable”
A1 = “tornillo pasado de la 1ª a la 2ª caja sea aceptable”
A2 = “tornillo pasado de la 1ª a la 2ª caja sea defectuoso”
Tenemos que calcular p(B) = p(A1 )p(B/ A1) + p(A2 )p(B/ A2), luego:
p(B) =
= 0,5444
52) En un cierto país, el 99% de los detenidos y sometidos a juicio son culpables del delito que
se les imputa. Los jueces, al emitir veredicto, aciertan en el 95% de los casos, tanto si el acusado
es culpable como inocente. Según estos datos, calcúlese la probabilidad de que:
a) un ciudadano inocente haya sido declarado culpable.
b) sea culpable, si ha sido declarado inocente.
Solución
Prob.
dec. C
0,9405
0,95
0,99
C
0,05 dec. I 0,0495
0,05 dec.C 0,0005
0,01
I
0,95
dec. I
0,0095
Luego:
p(dec. C) = 0,9405 + 0,0005 =0,9410, p( dec. I) = 0, 0495 + 0,0095 = 0,0590
p( I /dec. C) = 0,0005/0,9410 = 0,00053
p(C/ dec. I) = 0,0495/0,0590 = 0, 8389
53) En una ciudad el 10% de los adultos escucha la radio, el 40% lee el periódico y el 70% ve la
televisión; entre los que ven la televisión, el 30% lee el periódico y el 4% escucha la radio. El
90% de los que escuchan la radio lee el periódico, siendo sólo el 2% de la población total de
adultos los que leen el periódico, ven la televisión y escuchan la radio. Se elige un individuo al
azar, se pide la probabilidad de:
a) De que lea el periódico, escuche la radio o vea la televisión.
b) Sabiendo que lee el periódico, la de que escuche la radio.
Solución . Llamamos T, P y R al suceso de que el individuo elegido vea la televisión, lea el
periódico o escuche la radio respectivamente.
a) Tenemos: p(T) = 0,7,
p(P) = 0,4 ,
p(R) = 0,1
54) Una urna contiene 8 bolas blancas y 4 bolas negras. Se extraen, con reemplazamiento, 5
bolas.
Hallar la probabilidad de que alguna sea blanca.
Si sabemos que al menos 2 han sido blancas, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 lo sean?
55)
Actividades propuestas
1. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes.
Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral [8]. ¿Cuál es la probabilidad de que
ambas sean del mismo color?¿ y la de que sean de distinto color?.
2. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar
dos cruces antes de que se observe la segunda cara.
3. Se lanza un dado 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntuación par en los
lanzamientos impares e impar en los lanzamientos pares?
4. De una baraja de 40 cartas se extraen dos de ellas a la vez. Calcula la probabilidad de que:
a) las dos sean reyes
b) Una sea copas y otra el rey de espadas.
c) al menos una sea copas.
5. Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado
Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la
probabilidad de que:
a) haya aprobado al menos una de las dos materias.
b) haya suspendido ambas materias
c) Si aprobó Matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de haber aprobado Filosofía?
6. Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida 0,25. si juega cuatro partidas
calcula la probabilidad de ganar más de la mitad.
7. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:
a) Las probabilidades que faltan en la tabla
Rico/a Pobre Total
Hombre 

0,607
Mujer

 0,393
0,002

b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre.
c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer.
8. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de cinco cartas de una baraja española se
presenten dos reyes?.
9. Un aparato está formado por dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la
probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es la
probabilidad de que el producto no sea defectuoso?
10. Se lanzan 6 bolas en 3 cajas de modo que cualquiera tenga la misma probabilidad de caer
en cualquier caja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cajas queden ocupadas?
Soluciones de las actividades
1. E = (R, R), (R, V), (V, R), (V; V).
p(R,R) =
p(V,R) =
,
p( R,V) =
,
p(V,V) =
p(mismo color) = 12/25;
p(mismo color) = 13/25.
2. Los casos en que esto ocurre son: CXX ó XX ó XCX, que son incompatibles. por lo tanto
la probabilidad de su unión , (A), es la suma de sus probabilidades.
P(A)= 1/8 + 1/4 + 1/8 = 4/8 = 1/2
3. Sea A el suceso obtener impar en los lanzamientos pares y par en los impares. Como son
independientes se tendrá: p(A) =
4. a) P(2R) =
=
= 1/64
; b) P(Copas y Rey de espadas)=2
c) p(ninguna copas) =
;
 p(al menos una copa) =
5. Designamos por M el suceso aprobar Matemáticas y por F el de aprobar Filosofía.
a) p(MF) = 0,65 + 0,70 - 0,53 = 0,82; b) p(Mc  Fc) = 1- 0,82 = 0,18
c) p(F/M) =
= 0,815
6. Se pide la probabilidad de ganar 3 ó 4 partidas.
p(ganar 3)=
=
, p(ganar 4)= (0,25)4
Sumando estos resultados se tendrá la probabilidad pedida.
7. a)
Rico/a
Pobre
Total
Hombre 0,001214
0,605786 0,607
Mujer
0,000786
0,374214
0,393
0,002
0,98
1
b) Como son independientes p(H/ R) = 0,607
c) p(R  M) = 0,002 + 0,393 - 0,000786 = 0,394214
8. Casos posibles
; casos favorables
 p=
9. p =0,94.0,93 = 0,8742
10. Supongamos que la probabilidad de que una bola caiga fuera de una caja es nula, entonces
la probabilidad de que una bola caiga en una determinada caja es 1/3. Llamemos a las cajas a, b y c.
Sea A el suceso que no caiga ninguna bola en la caja a.
“
B
“
“
b.
“
C
“
“
c.
El suceso A∪ B ∪ C es el de que al menos una caja quede vacía. La probabilidad pedida es la
del suceso contrario. Vamos a aplicar la fórmula [1].
p(A) = p(B) = p(C) = (2/3)6 y p(A∩ B) = p(B ∩C) = p(A ∩ C) = (1/3)6 y p(A ∩ B∩C)=0 .
Luego
p(A ∪B ∪C) = 3(2/3)6 - 3(1/3)6 -0 = 63/243, y por lo tanto p = 180/243 = 20/2