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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre de 2015
Semana 4:
Guía de Ejercicios de Cálculo
, lunes 30 de Marzo al Viernes 3 de Abril.
Contenidos
1.
1.1.
Clase 1:
Composición de funciones.
Clase 2:
Funciones inyectivas, epiyectivas, biyectivas, funciones inversas
Ejercicios propuestos
Encontrar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones. Trazar sus grácos:

 −3
1
a) f (x) =

4
b) f (x) =
;
x ≤ −1
; −1 < x ≤ 2
;
x>2
x2 −9
x−3
c) f (x) =
x+3
2
d) f (x) =
p
x (x − 2)
√
; x 6= 3
; x=3
1.2.
Dada f (x) =
1.3.
Si g (x) = 2x + 1 y h (x) = 4x2 + 4x + 7, encuentre una función f (x) tal que f ◦ g = h
1.4.
Sea g : R → R tal que:
2x − 1 determine
f (x+h)−f (x)
,h
h
g (x) =
y f : R → R, f (x) =
6= 0 de modo que no aparezcan raíces en el numerador.
√ 3x + 6
1−x−1
; Si x ≥ 1
; Si x < 1
√1
1−x
a) Restringa adecuadamente de modo que ambas sean funciones biyectivas.
b) Determine g ◦ f.
1.5.
Pruebe que cualquier función se puede expresar como la suma de una función par y una función impar.
: f (x) = 12 (f (x) + f (−x)) + 12 (f (x) − f (−x))
Indicación
1.6.
Aplique el resultado anterior a la función:
a) f (x) = |x| + |x − 1|
b) f (x) =
x−1
x+1
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(
1.7.
Sea la función f (x) =
x+
(
1.8.
1
x
Sea la función f (x) =
x>0
y g(x) = x3 . Encontrar gof
x≤0
(
x>2
3x − 2
x>0
y g(x) =
Encontrar g ◦ f y f ◦ g si existen.
x≤2
x−1
x≤0
1
2
3x2 − 1
3x − 1
Una escalera de longitud L se apoya en un muro. Determinar la función área del triángulo que forma ella con
el muro y la pared, en términos de la distancia x que separa el pie de la escalera al muro. Cuál es el dominio de tal
función área.
1.9.
1.10.
Sea f : R → R una función impar tal que
f (x) =
−2
+ 2 para x ≥ 0
1+x
a) Determine la expresión de f para x < 0.
b) Encontrar el recorrido de f : R → R
c) ¾Es f monótona?
d) Determine en caso de existir la función inversa de f : R →Rec(f ).
2.
2.1.
Ejercicios propuestos que incluyen respuesta
Sean
f (x) =
y
g (x) =
√
4x + 5
;
x2 + 2x + 1 ;
Si x ≤ 2
Si x > 2
x + 5 − 2, si − 5 ≤ x ≤ 8
Determinar (g ◦ f ) , si es que existe, y el dominio de ella.
2.2.
Sabiendo que f (x) = 3x + 2, determine la función real g (x) tal que:
(f ◦ g ◦ f ) (x) = 6x + 7
2.3.
Sea:
h : A
x
→ [9, ∞[
→ 8x−1
x
a) Determine h (2). ¾Existe?
b) Encuentre A para que h sea función.
2.4.
Sea
f
: A⊂R
x
→ B⊂R
→ 2x−1
x+3
Determinar A y B tal que f sea una función biyectiva.
3.
Ejercicios Incluyen desarrollo
(
3.1.
Sea la función f (x) =
(
3.2.
Sea la función f (x) =
3x
x +
1
2
x>0
y g(x) = x3 . Encontrar gof
x≤0
3x
x2 +
1
2
x>0
y g(x) = x3 . Encontrar f og .
x≤0
2
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3.3.
Considere la función
f
:
D⊆R
x
→
R
→ f (x)
=






si
1
x−1
− (x − 1)





√
2
x−1
x<0
si 0 ≤ x < 1
si
x≥1
Determine dominio, recorrido. Analizar la paridad de esta función y si es monótona.
3.4.
Sean f : R → R y g : R → R funciones tales que f (x) = 2x2 − 3 y
(f ◦ g) (x) =

 32x2 − 16x − 1
si x < 1
47

si x ≥ 1
determine una función g para la que se cumpla la igualdad.
3.5.
Sea f : R → R una función impar tal que
f (x) =
1
1
− para x ≥ 0
2+x 2
a) Determine la expresión de f para x < 0.
b) Encontrar el recorrido de f : R → R.
c) ¾Es f monótona?
d) Determine en caso de existir la función inversa de f : R →Rec(f ).
3.6.
Sea f : R → R una función impar tal que
f (x) =
x
para x ≥ 0
1+x
a) Determine la expresión de f para x < 0.
b) Encontrar el recorrido de f : R → R.
c) ¾Es f monótona?
d) Determine en caso de existir la función inversa de f : R →Rec(f ).
3.7.
Sea
ϕ : D
⊆ R
x
→
R
→ ϕ (x)
=
√
e 1+log2 x+1
determine el dominio de ϕ y su recorrido, restringir de forma que la función resulte biyectiva y encuentre su
inversa.
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Respuestas y desarrollos
2.1
El Dominio de (g ◦ f ) corresponde a − 52 , 34 .
2.2
g (x) =
2.3
b) A = [−1, 0[
2x+1
3
a) No
2.4
Respuesta: A = R − {−3} , B = R − {2}
..............................................................................................................
x > 0(⇒ f (x) = 3 · x =⇒ g(f (x)) = 27 · x3 x ≤ 0 ⇒ f (x) = x2 +
(x2 + 21 )3
x≤0
g(f (x)) =
3
27 · x
x > 0.
3.1
1
2
=⇒ g(f (x)) = (x2 + 12 )3 luego
x > 0(=⇒ g(x) = x3 > 0 =⇒ f (g(x)) = 3 · x3 x ≤ 0 =⇒ g(x) = x3 ≤ 0 =⇒ f (g(x)) = x6 +
(x6 + 21 )
x≤0
f (g(x)) =
3
3·x
x > 0.
3.2
1
2
luego
f es una función denida por tramos, el dominio de esta función es la unión de los dominios de la funciones de
los tramos. Si
3.3
f
: D⊆R →
x
→
R
f (x)

1
f1 (x) =

x−1




2
f2 (x) = − (x − 1)




√

f3 (x) =
x−1
=
si
x<0
si 0 ≤ x < 1
si
x≥1
entonces
Dom (f1 )
=
1
∈R
x∈R :
x−1
−
= R−
Dom (f2 )
Dom (f3 )
=
n
o
2
x ∈ [0, 1[ : − (x − 1) ∈ R
=
[0, 1[
=
√
x ∈ [1, +∞[ : x − 1 ∈ R
=
[1, +∞[
así
Dom (f )
=
Dom (f1 ) ∪ Dom (f2 ) ∪ Dom (f3 )
=
R− ∪ [0, 1[ ∪ [1, +∞[
=
R
Ahora determinemos el recorrido de f que corresponde a la unión de recorridos de las funciones f1 , f2 y f3 .
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Se tiene:
Rec (f1 )
=
=
=
=
=
=
=
Rec (f2 )
1
y ∈ R : ∃x ∈ R , y =
x−1
−
y ∈ R : ∃x ∈ R− , yx − y = 1
1+y
y ∈ R : ∃x ∈ R− , x =
y
1+y
y ∈ R : ∃x ∈ R− , x =
y
1+y
y∈R:
<0
y
1+y
<0
y∈R:
y
]−1, 0[
=
n
o
2
y ∈ R : ∃x ∈ [0, 1[ , y = − (x − 1)
n
o
2
y ∈ R : ∃x ∈ [0, 1[ , −y = (x − 1)
√
y ∈ R : ∃x ∈ [0, 1[ , −y = |x − 1| , y ≤ 0
√
y ∈ R : ∃x ∈ [0, 1[ , 1 ± −y = x, y ≤ 0
√
√
y ∈ R : 0 ≤ 1 − −y < 1 ∨ 0 ≤ 1 + −y < 1 ∧ y ≤ 0
√
√
y ∈ R : −1 ≤ − −y < 0 ∨ −1 ≤ −y < 0 ∧ y ≤ 0
√
y ∈ R : −1 ≤ − −y < 0 ∧ y ≤ 0
√
y ∈ R : 1 ≥ −y > 0 ∧ y ≤ 0
=
{y ∈ R : (1 ≥ −y > 0) ∧ y ≤ 0}
=
{y ∈ R : −1 ≤ y < 0}
=
[−1, 0[
=
=
=
=
=
=
=
y nalmente
Rec (f3 )
=
√
y ∈ R : ∃x ∈ [1, ∞[ , y = x − 1
y ∈ R : ∃x ∈ [1, ∞[ , y 2 + 1 = x ∧ y ≥ 0
y ∈ R : y2 + 1 ≥ 1 ∧ y ≥ 0
=
{y ∈ R : y ≥ 0}
=
[0, +∞[
=
=
se sigue que
Rec (f )
=
Rec (f1 ) ∪ Rec (f2 ) ∪ Rec (f3 )
=
]−1, 0[ ∪ [−1, 0[ ∪ [0, +∞[
=
[−1, +∞[
Esta función no es par ni impar y tampoco monótona (se puede argumentar que no es monótona analizando la
intersección de recorridos), note que cada función fi es monótona en su intervalo de denición.
3.4
Notamos que
f (g (x)) =

 32x2 − 16x − 1

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si x ≥ 1
si x < 1
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entonces
f (g (x)) = 2g 2 (x) − 3
luego
g 2 (x) =

 16x2 − 8x + 1
f (g (x)) + 3
=

2
ahora bien
g (x) =
√


así
g (x) =
si x ≥ 1
si x < 1
25
si x ≥ 1

 4x − 1
si x < 1
5

si x < 1
25
 q
2


(4x − 1)
si x ≥ 1
sirve (note que otras elecciones de signo también son posibles).
3.5
a) Si f es una función impar entonces
f (−x) = −f (x)
luego
f (x) =



1
2+x
−
si x ≥ 0
1
2
1
− 2−x
+
1
2
si x < 0
b) Por imparidad, podemos encontrar el recorrido para x ≥ 0 y agregamos los elementos con signo contrario.
1
1
−
y ∈ R : ∃x ≥ 0, y =
2+x 2
1
=
y ∈ R : ∃x ≥ 0, x =
−2
y + 12
1
=
y∈R:
−2≥0
y + 12
1
=
− ,0
2
el recorrido es Rec(f ) = − 21 , 12 .
c) Si u, v ≥ 0 con u < v entonces
u
<
v
⇒
2+u
<
2+v
⇒
1
2+v
1
1
−
2+v 2
<
⇒
<
1
2+u
1
1
−
2+u 2
es estrictamente decreciente, de manera similar para u, v < 0 (los recorridos de los tramos no intersectan).
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d) Como es estrictamente decreciente, es inyectiva, se sigue que f : R → − 21 , 12 es invertible y
y=
1
1
1
− ⇔x=
2+x 2
y+
y=−
1
1
1
+ ⇔x=
2−x 2
y−
entonces
f −1 (x) =
3.6
1
2
−2
1
2
+2



1
x+ 21
−2
si x ∈ − 12 , 0


1
x− 12
+2
si
x ∈ 0, 12
a) Si f es una función impar entonces
f (−x) = −f (x)
entonces
f (x) =


x
1+x
si x ≥ 0

−x
− 1−x
si x < 0
b) Por imparidad, podemos encontrar el recorrido para x ≥ 0 y agregamos los elementos con signo contrario.
=
=
=
=
=
x
y ∈ R : ∃x ≥ 0, y =
x+1
{y ∈ R : ∃x ≥ 0, yx + y = x}
{y ∈ R : ∃x ≥ 0, y = x − xy}
y
y ∈ R : ∃x ≥ 0,
=x
1−y
y
y∈R:
≥0
1−y
[0, 1[
el recorrido es Rec(f ) = ]−1, 1[.
c) Si. Si u, v ≥ 0 con u < v entonces
u
<
v
⇒
1+u
<
1+v
⇒
− (1 + u)
>
− (1 + v)
⇒
−1
1+v
−1
1+
1+v
v
v+1
>
⇒
>
⇒
>
−1
1+u
1+
−1
1+u
u
u+1
es creciente, de manera similar para u, v < 0.
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d) Como es estrictamente creciente, es inyectiva, se sigue que f : R → ]−1, 1[ es invertible y
y=
y=−
entonces
f
−1
(x) =
x
y
⇔x=
x+1
1−y
−x
y
⇔x=
−x + 1
y+1


x
1−x
si

x
x+1
si x ∈ ]−1, 0[
x ∈ [0, 1[
3.7
Dom (ϕ)
n
o
√
x ∈ R : e 1+log2 x+1 ∈ R
n
o
p
=
x ∈ R : 1 + log2 x + 1 ∈ R
=
= {x ∈ R : 1 + log2 x ≥ 0}
= {x ∈ R : log2 x ≥ −1}
1
=
x∈R:x≥
2
1
,∞
=
2
por otra lado
Rec (ϕ) =
=
=
=
=
=
=
√
1
log2 x+1+1
y ∈ R : ∃x ∈
,∞ ,y = e
2
p
1
y ∈ R : ∃x ∈
, ∞ , ln y = log2 x + 1 + 1
2
1
2
y ∈ R : ∃x ∈
, ∞ , (ln y − 1) = log2 x + 1, ln y ≥ 1
2
1
(ln y−1)2 −1)
(
y ∈ R : ∃x ∈
,∞ ,2
= x, ln y ≥ 1
2
n
o
2
y ∈ R : 2((ln y−1) −1) ≥ 2−1 , ln y ≥ 1
n
o
2
y ∈ R : (ln y − 1) − 1 ≥ −1, ln y ≥ 1
n
o
2
y ∈ R : (ln y − 1) ≥ 0, ln y ≥ 1
= {y ∈ R : |ln y − 1| ≥ 0, ln y ≥ 1}
= {y ∈ R : y ≥ e}
=
[e, ∞[
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note que ϕ en
1
2, ∞
es una función inyectiva
ϕ (u)
√
e
=
ϕ (v)
⇔
log2 u+1+1
=
√
e
log2 v+1+1
⇔
p
log2 u + 1 + 1
=
p
log2 v + 1 + 1
p
log2 v + 1
⇔
p
log2 u + 1
=
⇔
log2 u
=
log2 v
⇔
u
=
v
de esta forma
1
ϕ :
, ∞ → [e, ∞[
2
√
x → ϕ (x) = e log2 x+1+1
es biyectiva, la inversa es
ϕ−1
x
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1
,∞
2
2
→ ϕ−1 (x) = 2((ln x−1) −1)
:
[e, ∞[ →
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