1. No category

Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Los estimadores mínimo cuadráticos
bajo los supuestos clásicos
Propiedades estadísticas e inferencia
Mariana Marchionni
[email protected]
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
1 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Temario de la clase
1
Repaso
2
El modelo lineal clásico
3
Propiedades de los estimadores
4
Inferencia
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
2 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Estimación por MCO del modelo lineal simple
Tenemos el modelo lineal con 2 variables
Yi = α + β Xi + µi
Y el objetivo es estimar
α
y
β
i = 1, ...n
a partir de
(Yi , Xi ) i = 1, ...n.
Recordemos notación y deniciones:
α̂
y
β̂
son los estimadores de
α
y
β
Ŷi ≡ α̂ + β̂ Xi es la versión estimada
ei ≡ Yi − Ŷi = Yi − (α̂ + β̂ Xi ) es el
de
Yi
error de estimación
(residuo)
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
3 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
α̂ y β̂
(Y , X )
Cada posible valor que asignemos a
plano
Mariana Marchionni
dene una recta en el
MCO bajo los supuestos clásicos
4 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
Criterio de MCO: elegir
α̂
y
β̂
de manera de minimizar SRC.
Formalmente:
Minα̂,β̂ SRC (α̂, β̂) =
CPO :
n
X
i =1



(1)


(2)
ei2 =
n
X
i =1
[Yi − (α̂ + β̂ Xi )]2
∂ SRC
∂ α̂
=0
∂ SRC
∂ β̂
=0
Solución:
N
P
(3) α̂ = Ȳ − β̂ X̄
y
Xi Yi −nȲ X̄
1
(4) β̂ = i =P
N 2
Xi −nX̄ 2
i =1
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
5 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Propiedades algebraicas
1
2
3
Pn
ei = 0
Pin=1
i =1 ei Xi = 0 (⇒ Cov (X , e ) = 0)
Ŷ (X̄ ) = Ȳ (⇒la recta de regresión
pasa por las medias
muestrales)
4
β̂ = rY ,X SY /SX
(relación entre el coeciente de regresión y el
de correlación)
5
6
Ȳ = Ŷ¯ (la media de las estimaciones de Y coincide con Ȳ )
rŶ ,e = 0 (la correlación entre las estimaciones de Y y los
residuos es nula)
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
6 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Así luce la regresión estimada por MCO
Ŷi = α̂ + β̂ Xi
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
7 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Bondad del ajuste
Vimos que cuando se estima por MCO es válida la siguiente
descomposición:
n
X
|i =1
(Yi − Ȳ )2 =
{z
STC
}
=
n
X
|i =1
(Ŷi − Ȳ )2 +
{z
SEC
}
+
n
X
ei2
1
|i ={z
}
SRC
STC : Suma Total de Cuadrados, SEC : Suma Explicada de Cuadrados,
SRC : Suma de los Residuos al Cuadrado
Denimos:
R2 =
SEC
SRC
=1−
STC
STC
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
8 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
R 2=0.94
94 % de la variabilidad muestral de
Y está
X
explicada por el modelo
lineal en
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
9 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
R 2=0.35
35 % de la variabilidad de
Y
está explicada por el modelo
lineal en
Mariana Marchionni
X
MCO bajo los supuestos clásicos
10 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
El modelo lineal clásico
Adoptaremos algunos supuestos llamados supuestos clásicos
Linealidad: Yi = α + β Xi + µi , i = 1, ...n
X no aleatoria: las Xi son determinísticas, jas
en muestreos
repetidos.
Esperanza nula de µi : E [µi ] = 0, i = 1, ..., n.
Homocedasticidad de µi : V [µi ] = cte . ≡ σ 2 , i = 1, ..., n.
No correlación serial de µi : Cov [µi , µj ] = 0, i 6= j .
No multicolinealidad perfecta de las variables explicativas:
Xi no pueden ser todas iguales, X debe variar entre las
las
observaciones.
La mayoría de estos supuestos son poco realistas. Los adoptamos
por razones pedagógicas. Levantaremos la mayoría a lo largo del
curso.
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
11 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
El modelo lineal clásico
Adoptaremos algunos supuestos llamados supuestos clásicos
Linealidad: Yi = α + β Xi + µi , i = 1, ...n
X no aleatoria: las Xi son determinísticas, jas
en muestreos
repetidos.
Esperanza nula de µi : E [µi ] = 0, i = 1, ..., n.
Homocedasticidad de µi : V [µi ] = cte . ≡ σ 2 , i = 1, ..., n.
No correlación serial de µi : Cov [µi , µj ] = 0, i 6= j .
No multicolinealidad perfecta de las variables explicativas:
Xi no pueden ser todas iguales, X debe variar entre las
las
observaciones.
La mayoría de estos supuestos son poco realistas. Los adoptamos
por razones pedagógicas. Levantaremos la mayoría a lo largo del
curso.
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
11 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Linealidad
De esto ya habíamos hablado. Nuestro modelo:
Yi = α + β Xi + µi , i = 1, ...n
Lo importante es la linealidad en los parámetros
α
y
β.
Por qué?
Vimos algunos modelos no lineales que pueden linealizarse
(log-log, log-lin, etc.)
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
12 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
X no aleatoria
¾Qué signica esto?
Fijas en muestreos repetidos
Poco real para una ciencia social
Experimentos
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
13 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Esperanza nula
E [µi ] = 0 , i = 1, ..., n
⇒ E [Yi ] = α + β Xi , i = 1, ..., n
En promedio, la relación es lineal y exacta
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
14 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Homocedasticidad
V [µi ] = V [µj ], ∀ i 6= j
V [µi ] = cte . ≡ σ 2 , i = 1, ..., n
Intuitivamente: para todas las observaciones, la relación entre
Y
y
X
está igual de cerca de una relación lineal
Si la varianza no es constante decimos que hay
heterocedasticidad
Notar: si E [µi ] = 0
y
V [µi ] = σ 2 ⇒ E [µ2i ] = σ 2
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
15 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
No correlación serial
Cov [µi , µj ] = 0, i 6= j .
Es una forma débil de independencia entre los términos
aleatorios
E [µi ] = 0 y Cov [µi , µj ] = 0 ⇒ E [µi µj ] = 0
vale Cov [µi , µj ] para i = j ?
Notar que si
¾Cuánto
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
16 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
No multicolinealidad perfecta
Las
Xi , i = 1, ...n
no pueden ser todas iguales
Por qué? Ver gráco
Fuerte supuesto de
identicación
Intuición?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
17 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Recapitulando... el modelo lineal clásico
Yi = α + β Xi + µi , i = 1, ...n
1 E [µi ] = 0, i = 1, ..., n .
2 V [µi ] = σ 2 , i = 1, ..., n .
3 Cov [µi , µj ] = 0, i 6= j .
4 Las Xi no son aleatorias y
no son todas iguales
Notar: en este contexto los parámetros desconocidos son
β
y
α,
σ
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
18 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Recapitulando... el modelo lineal clásico
Yi = α + β Xi + µi , i = 1, ...n
1 E [µi ] = 0, i = 1, ..., n .
2 V [µi ] = σ 2 , i = 1, ..., n .
3 Cov [µi , µj ] = 0, i 6= j .
4 Las Xi no son aleatorias y
no son todas iguales
Notar: en este contexto los parámetros desconocidos son
β
y
α,
σ
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
18 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Ya sabemos que los estimadores mínimo cuadraticos
α̂
y
β̂
son
buenos en el sentido de que minimizan la SRC
En la derivación de los estimadores MCO de la clase pasada
nunca recurrimos a los supuestos clásicos
Vamos a explorar si los estimadores MCO son buenos en algún
otro sentido, ahora sí basándonos en los supuestos clásicos
Nuevas propiedades: linealidad, insesgadez, de varianza
mínima, etc.
Nos concentramos en
β̂ .
Los resultados para
α̂
serán cubiertos
en los prácticos.
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
19 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Las propiedades
1. Linealidad:
β̂
β̂ =
P
ωi Y i
puede escribirse como una combinación lineal de las
Yi , i = 1, ...n
Ver demostración
Intuitivamente poco interesante, analíticamente conveniente
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
20 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
2. Insesgadez:
Es decir,
β̂
E [β̂] = β
es un estimador insesgado del parámetro
β
Ver demostración
Intuitivamente: qué quiere decir que un estimador sea
insesgado?
¾Qué pasa con la propiedad de insesgadez si levantamos el
supuesto de homocedasticidad?
¾Cuál es el supuesto más importante para el insesgadez?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
21 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
3.
V [β̂] = σ 2 /
P
xi2
Ver demostración
¾Qué mide
V [β̂]?
¾Qué supuestos usamos para la prueba?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
22 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Notar:
σ2
V [β̂] = P
xi2
=
σ2
nV [X ]
Entonces, en el modelo lineal simple, la varianza del estimador
depende de:
la dispersión del término aleatorio
la cantidad de observaciones
la variabilidad de
X
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
23 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
4. Teorema de Gauss-Markov
Si valen todos los supuestos clásicos,
β̂
tiene la menor varianza en
la clase de todos los estimadores lineales e insesgados de
β.
En el modelo lineal clásico, los estimadores MCO son los
Mejores Estimadores Lineales e Insesgados
(MELI)
Mejor en el sentido de más eciente dentro de su clase
Entonces, MCO es bueno?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
24 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Inferencia
Consideremos el modelo
Yi = α + β Xi + µi , i = 1, ...n
Sabemos cómo producir estimaciones puntuales de
α
y
β
¾Qué hacemos si quisiéramos evaluar la veracidad de una
hipótesis como
β = 0?
(test de hipótesis)
O si quisiéramos construir intervalos de conanza para los
parámetros? (estimación por intervalos)
Necesitamos asociar alguna medida de conanza a esa
estimación puntual
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
25 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Test de hipótesis
Hipótesis: una armación acerca de una parámetro
desconocido
Ejemplo:
H0 : β = 0
Puede ser cierta o falsa
Si pudiéramos observar
¾Y si no conocemos
β?
β
no hay problema
No sabemos realmente
Pero... esperamos poder conocer algo acerca de si
H0
es cierta
o falsa
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
26 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Supongamos que estamos interesados en distinguir entre
H0 : β = 0
y
HA : β 6= 0,
Podemos obtener
β̂
pero sin observar
β.
β̂
es una variable aleatoria. Por qué?
Puede tomar cualquier valor tanto bajo
H0
como bajo
HA :
no
podemos resolver nuestro problema observando los valores que
toma
β̂
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
27 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Supongamos que
Si
H0 : β = 0
β̂
es un buen estimador
es cierta, entonces, aunque
β̂
pueda tomar
cualquier valor, esperamos que tome valores cercanos a cero.
Por qué?
H0
rechazamos H0 .
Con esta lógica, podemos sospechar que
valores lejanos de cero:
es falsa si
β̂
toma
Problema: cómo denimos qué valores están cerca y qué
valores estan lejos del cero?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
28 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
A nes de denir qué valores de
β̂
están cerca y qué valores
están lejos del cero en el caso de que
necesitamos conocer la distribución de
bajo
H0 )
A partir de las propiedades de
sabemos que si
H0 : β = 0
β̂
H0
fuera cierta,
β̂ (distribución de β̂
bajo los supuestos clásicos,
entonces
E [β̂] = 0.
Por qué?
También sabemos su varianza.
Pero no tenemos información suciente para conocer toda la
distribución de
β̂
bajo
H0
Dónde conseguimos esa información?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
29 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Nuevo supuesto: normalidad del término aleatorio
µi ∼ N (0, σ 2 )
Recordemos: cualquier función lineal de una variable normal es
también normal
Entonces
Yi
Entonces
β̂
es normal. Por qué?
es normal. Por qué?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
30 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Entonces, con los supuestos clásicos más el supuesto de normalidad
tenemos:
β̂ ∼ N (β, σ 2 /
De manera que cuando es cierta
X
xi2 )
H0 : β = 0,
β̂ ∼ N (0, σ 2 /
X
se cumple:
xi2 )
y también:
β̂
∼ N (0, 1)
P
σ 2 / xi2
z≡q
Cuando
β̂
es chico,
z
es chico
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
31 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Distribución de
β̂
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
32 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Distribución de
z
(estandarización de
Mariana Marchionni
β̂ )
MCO bajo los supuestos clásicos
33 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Regla:
aceptamos H0
si
β̂
es cercano al valor correspondiente a esa
hipótesis
Para denir cercano: sea 0
<c <1
y
zc
un número tal que:
zc ≤ z ≤ zc ] = 1 − c
Pr [−
Entonces, si el valor
−zc
y
zc ,
z (estandarización
H0
de
β̂ )
está entre los límites
aceptamos
Grácamente...
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
34 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
35 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
La región de aceptación en términos de
z
está dada por:
zc ≤ z ≤ zc ] = 1 − c
Pr [−
Reemplazando
Pr
z
por su denición:
q
q
X X −zc
σ2/
xi2 ≤ β̂ ≤ zc
σ2/
xi2 = 1 − c
Entonces la región de aceptación de
de
β̂
H0
viene dada por los valores
en el intervalo:
q
X 2
σ /
xi2
0 ± zc
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
36 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Aceptamos
rechazamos
H0 si β̂
H0
cae en ese intervalo. En caso contrario,
Notar: especicamos
c
de antemano
c es la signicatividad del test: probabilidad de rechazar una
H0 cierta
A partir de c , zc puede obtenerse a partir de una tabla de
percentiles de la distribución normal estándar
Luego las zonas de aceptación y rechazo se computan usando
q
P 0 ± zc
σ 2 / xi2
Problema:
σ2
Mariana Marchionni
no se observa!
MCO bajo los supuestos clásicos
37 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Aceptamos
rechazamos
H0 si β̂
H0
cae en ese intervalo. En caso contrario,
Notar: especicamos
c
de antemano
c es la signicatividad del test: probabilidad de rechazar una
H0 cierta
A partir de c , zc puede obtenerse a partir de una tabla de
percentiles de la distribución normal estándar
Luego las zonas de aceptación y rechazo se computan usando
q
P 0 ± zc
σ 2 / xi2
Problema:
σ2
Mariana Marchionni
no se observa!
MCO bajo los supuestos clásicos
37 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Estimación de
σ2:
2
S =
P
ei2
n−2
Resultado: bajo todos los supuestos, si
H0 : β = 0
es cierta
β̂
t≡q
P 2 ∼ Tn−2
2
S / xi
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
38 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
β̂
t≡q
P 2 ∼ Tn−2
2
S / xi
t es z pero reemplazando σ 2 por S 2
Tn−2 es la distribición T de Student
con
n−2
grados de
libertad
Ahora todo puede ser computado con los datos disponibles
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
39 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
40 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Hasta ahora vimos el caso particular:
HA : β 6= 0
H0 : β = 0
vs.
H0 : β = β0 vs. HA : β 6= β0
Yi = α + β Xi + µi , si Y es el consumo
Caso general:
Ejemplo: en
ingreso, y
β0 = 1,
y
X
el
qué estamos evaluando?
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
41 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
Entonces, bajo todos los supuestos y cuando es cierta
H0 : β = β0 ,
se cumple:
β̂ ∼ N (β0 , σ 2 /
X
xi2 )
β̂ − β0
∼ N (0, 1)
P
σ 2 / xi2
z≡q
Y también:
β̂ − β
0
t≡q
∼ Tn−2
P
S 2 / xi2
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
42 / 43
Repaso
El modelo lineal clásico
Propiedades de los estimadores
Inferencia
β̂ − β
0
∼ Tn−2
t≡q
P
S 2 / xi2
En la práctica, reemplazamos
β0
por cualquier valor que nos
interese
En general, el estadístico
t
es la versión estimada de
H0 ,
dividida por la raíz cuadrada de la varianza estimada
Mariana Marchionni
MCO bajo los supuestos clásicos
43 / 43