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INECUACIONES FRACCIONARIAS
Ejemplos
1. Resuelva la inecuación 1  2x  2 .
x2
Solución
Inecuación
1  2x
 2
x2
Se determina el dominio de
la expresión algebraica.
El dominio de 1  2x es
Se reescribe la inecuación
para que uno de los
miembros sea 0.
1  2x
2  0
x2
Se realizan las operaciones
indicadas.
1  2x
2 0
x2
1  2x  2x  2
0
x2
x2
 2 .
1  2x  2x  4
0
x2
5
0
x2
El numerador es 5, por lo tanto, nunca será igual
a 0.
Se determinan los números
que hacen 0 el numerador y Además, la expresión es negativa solo cuando el
el denominador.
denominador es negativo. Por lo tanto, se debe
resolver la inecuación x  2  0 ; es decir x  2 .
Se escribe el conjunto
solución.
S   ,2
Note que el número  2 no se incluye en el
conjunto solución, pues hace 0 el denominador.
2. Resuelva la inecuación 2x  1  1 .
x
Solución
Inecuación
2x  1
1
x
Se determina el dominio de la
expresión algebraica.
El dominio de 2x  1 es
Se reescribe la inecuación para
que uno de los miembros sea
0.
2x  1
1  0
x
Se realizan las operaciones
indicadas.
2x  1
10
x
2x  1 x
 0
x
x
 0 .
x
Se determinan los números que
hacen 0 el numerador y el
denominador.
2x  1  x
0
x
x 1
0
x
x 1  0
x0
x  1
0
1
x  1
Se hace una tabla de signos
para determinar la solución a la
inecuación.
Se escribe como conjunto
solución la unión de los
intervalos en los que se cumple
la desigualdad, en este caso,
cuando la expresión es positiva
o 0.
1  x  0
0x
x 1
–
+
+
x
–
–
+
x 1
x
+
–
+
S   ,1  0,
Note que el número 0 no se incluye en el
conjunto solución, pues hace 0 el
denominador.
3. Resuelva la inecuación
2
1
.

x 1 x 1
Solución
2
1

x 1 x 1
Inecuación
Se determina el dominio de
cada expresión algebraica.
El dominio de
2
es
x 1
 1 .
El dominio de
1
es
x 1
 1 .
Se reescribe la inecuación para
que uno de los miembros sea 0.
2
1

0
x 1 x 1
Se realizan las operaciones
indicadas.
2
1

0
x 1 x 1
2x  1  x  1
0
x  1x  1
Se determinan los números que
hacen 0 el numerador y el
denominador.
x3  0
x3
2x  2  x  1
0
x  1x  1
x3
0
x  1x  1
x 1  0
x  1
x 1  0
x 1
Se hace una tabla de signos para determinar la solución a la inecuación.
1
1
3
x  1
1  x  1
1x3
3x
x3
–
–
–
+
x 1
–
+
+
+
x 1
–
–
+
+
x3
x  1x  1
–
+
–
+
Se escribe como conjunto
solución la unión de los
intervalos en los que se
cumple la desigualdad, en
este caso, cuando la
expresión es positiva.
S   1,1  3,
Ejercicios
1. Resuelva las siguientes inecuaciones fraccionarias:
a)
3x
3
x5
b)
x 1
 4
2x  1
c)
x
1

x 1 x 2
Soluciones
1. Resuelva las siguientes inecuaciones fraccionarias:
a)
3x
3
x5
Inecuación
3x
3
x5
Se determina el dominio
de la expresión
algebraica.
El dominio de 3x es
Se reescribe la inecuación
para que uno de los
miembros sea 0.
3x
3  0
x5
Se realizan las
operaciones indicadas.
3x
3  0
x5
3x
3x  5

0
x5
x5
x5
 5 .
3x  3x  15
0
x5
 15
0
x5
El numerador es  15 , por lo tanto
Se determinan los
números que hacen 0 el
numerador y el
denominador.
Se escribe el conjunto
solución.
15
,
x5
nunca
será igual a 0.
Además, la expresión  15 es negativa solo
x5
cuando el denominador es positivo. Por lo tanto,
se debe resolver la inecuación x  5  0 ; es decir
x  5 .
S   5,
b)
x 1
 4
2x  1
Inecuación
x 1
 4
2x  1
Se determina el dominio de la
expresión algebraica.
El dominio de x  1 es
Se reescribe la inecuación
para que uno de los miembros
sea 0.
x 1
40
2x  1
Se realizan las operaciones
indicadas.
x 1
40
2x  1
42x  1
x 1

0
2x  1
2x  1
Se determinan los números
que hacen 0 el numerador y el
denominador.
1 
  .
2 
2x  1
x  1  8x  4
0
2x  1
9x  3
0
2x  1
9x  3  0
9x  3
x
2x  1  0
2x  1
3 1

9 3
x
1
3
x
Se hace una tabla de signos
para determinar la solución de
la inecuación.
9x  3
2x  1
9x  3
2x  1
Se escribe como conjunto
solución la unión de los
intervalos en los que se
cumple la desigualdad, en
este caso, cuando la
expresión es positiva.
1
2
1
2
1
3
1
1
x
3
2
1
x
2
–
+
+
–
–
+
+
–
+
1 1


S    ,    ,
3
2

 

c)
x
1

x 1 x 2
Inecuación
x
1

x 1 x 2
Se determina el dominio
de cada expresión
algebraica.
El dominio de
x
es
x 1
 1 .
El dominio de
1
es
x2
 2 .
Se reescribe la inecuación
para que uno de los
miembros sea 0.
x
1

0
x 1 x 2
Se realizan las
operaciones indicadas.
x
1

0
x 1 x 2
xx  2  x  1
0
x  1x  2
Se determinan los
números que hacen 0 el
numerador y el
denominador.
x 2  2x  x  1
0
x  1x  2
x 2  3x  1
0
x  1x  2
x 2  3x  1  0
3  13
x1 
2
3  13
x2 
2
x 1  0
x  1
x2  0
x2
Se hace una tabla de signos para determinar la solución de la inecuación.
3  13
2
1
x  1
1  x 
3  13
2
3  13
2
2
3  13
x2
2
2x
3  13
2
3  13
x
2
x
3  13
2
–
–
+
+
+
x
3  13
2
–
–
–
–
+
x 1
–
+
+
+
+
x2
–
–
–
+
+
x 2  3x  1
x  1x  2
+
–
+
–
+
Se escribe como conjunto
solución la unión de los
intervalos en los que se
cumple la desigualdad, en
este caso, cuando la
expresión es negativa.

3  13   3  13 
S    1,
  2,

2
2

 
