ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES
ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES DR. LUIS MIGUEL GALI NDO Contenido I. ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES II. MODELOS Y VAR III. REPRESENTACIÓN DE MODELOS VAR IV. LA FUNCIÓN DE MÁXIMA VEROSIMILITUD V. PRUEBA F: VI. PRUEBA CHI CUADRADA VII. PRUEBA PSEUDO T Dr. Galindo I. ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES Funciones de impulso respuesta. Descomposición de varianza. Necesario transformas las innovaciones en una forma contemporánea no correlacionada. Razones: 1.- Como las variables son endógenas entonces la secuencia de errores de pronóstico para predecir estas variables es una combinación de un conjunto de factores tanto de oferta como de demanda. Dr. Galindo I. ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES 2.- Así, para interpretar la descomposición de varianza o las funciones de impulso respuesta se requiere distinguir entre cada una de las respuestas. Pero como las sorpresas están correlacionados la respuesta de una variable a la respuesta de otra variable describe la respuesta dinámica de una combinación de distintos efectos. 3.- Para transformar las innovaciones del VAR a una forma ortogonal en donde los shocks tengan una interpretación económica es necesario identificar al modelo. Esto es se requiere identificar o asociar innovaciones observadas con variables no observadas que tiene una interpretación económica (proceso similar a forma estructural y reducida). Dr. Galindo II. EJEMPLO DE ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES Bi-VAR (Charemza y Deadman, 1992): (1) x t a1 y t c1 b x d y 1 1 a 2 t 1 c2 t 1 b d x t 2 e it 2 y t 2 e 2 t 2 Con correlación contemporánea en el término de error: E(e1t) = E(e2t) = 0, E(e21t) = σ11 E(e22t) = σ22, E(e1t,e2t) = σ12 Dr. Galindo II. EJEMPLO DE ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES Para obtener que no exista correlación contemporánea multiplicando la primera fila por δ = σ12 / σ11 y restando el resultado de la segunda fila: (2) xt yt a1 xt c1 * b x d * y 1 1 a2 t 1 c2 * t 1 b x d * y 2 2 eit t 2 e*2t t 2 Donde: c*1 = (c1 – δa1); d*1 = (d1 – δb1); e2t = (e2t – δe1t) Dr. Galindo II. EJEMPLO DE ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES Así, en (2) los errores no están autocorelacionados: E(e1t,e2t) = E(e1t,(e2t-δe1t)) = E(e1t,e2t) – (σ12 /σ11)E(e21t) = σ12 – σ12 = 0 → Permite utilizar la primera propósitos de política económica. Dr. Galindo ecuación para III. LA FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA La función de impulso respuesta básicamente describe la representación de MA de l sistema y describe la forma en que la variable responde en el tiempo a una sorpresa en ella misma o en otra variable. Sims (1980) argumenta que este sistema ayuda a causalidad de Granger. Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO VAR(1): (1) x t a1 y t c 1 b d x t 1 e 1 t 1 y t 1 e 2 t 1 Pregunta: ¿Cuál es la de yt en t, t+1, … a un shock unitario exógeno en xt? Ello es lo mismo que un shock en la primera ecuación a e1t. La presencia de covarianza (σ12) entre e1t y e2t dificulta el análisis porque el efecto de e1t dado por c1 es incompleto y se debe incluir el efecto de d1. Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO Necesario ortogonalizar el VAR : (3) xt yt a1 xt c1 * b x d * y 1 1 eit t 1 e*2t t 1 Donde: c*1 = (c1 – δa1); d*1 = (d1 – δb1); e2t = (e2t – δe1t) y δ = σ12/σ11 Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO VAR: (4) Zt = A1Zt-1 + et Rezagando: (5) Zt = A1(A1Zt-2 + et-1) + et = A21Zt-2 + A1et-1 + et (6) Zt = ∑nAn+11Zt-n+1 + ∑nAi1et-i Con lim An1 = 0 es la condición de estabilidad: (7) Zt = ∑nAi1et-i → Vector moving-average (VMA) representation donde Zt es la suma infinita de errores aleatorios ponderados por coeficientes decrecientes. Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO La ecuación (7) puede utilizarse para evaluar las trayectorias de las variables de no haber correlación entre los términos de error. Para ortogonalizar se utiliza que: (8) e*2t = e2t – δe1t donde δ = σ12/σ11 Por tanto (9) e2t = e*2t – δe1t Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO (10) i xt 11 i0 i y t 21 e 1t i 12 i e *2 t i 22 i Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO La ecuación (10) en forma matricial es: (11) Zt = ∑Θφiet-i En (11) los residuales son ortogonales.La matriz φi se denomina funciones de impulso respuesta y el vector et-i se denomina el vector de innovaciones. (11.1) φ021= el impacto instantáneo de un cambio en e1t. (11.2) φ121= el impacto instantáneo de un cambio en e1t-1. (11.3) ∑φ = efecto acumulado de un cambio en e1t en la secuencia de (yt+i). Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO NÚMERICO (1.1) yt = A1yt-1 + ut Donde: (1.2) 0.5 0.3 A1 0.0 0.2 y 0.5 0.3 y u1t 1t 1t y 2t 0.0 0.2 y 2t u 2t Dr. Galindo III. FUNCIÓN DE IMPULSO RESPUESTA: EJEMPLO NÚMERICO Considerando un shock en y1t en el tiempo t0. (1.3) u10 1 y 0 0 u 20 (1.4) 0.5 0.3 1 0.5 y1 A1 y0 0.0 0.2 0 0 (1.5) y 2 0.5 0.3 0.5 0.25 A1 y1 0.0 0.2 0 0 Dr. Galindo IV. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA Descomposición de varianza indica la proporción del error pronosticado promedio cuadrado de la varianza de una variable a k pasos adelante se asocia con los movimientos sorpresas de otra variable. Descomposición de varianza y función de impulso respuesta son ejercicios de pronóstico dentro de la muestra. La descomposición de varianza determina la proporción que la varianza del error de pronóstico se explica por las innovaciones de cada variable explicativa. Dr. Galindo VI. INDENTIFICACIÓN: CHOLESKY DESCOMPOSICIÓN Cholesky tiene la ventaja discrecionalidad del investigador. de reducir DE la Desventaja: Supone que existe un modelo interpretable abajo que tiene una forma recursiva (las variables hasta arriba del triángulo afectan contemporáneamente a las otras variables y las variables hasta abajo del triángulo afectan sólo a ellas mismas. Dr. Galindo VI. INDENTIFICACIÓN: CHOLESKY DESCOMPOSICIÓN DE OBJECIONES A CHOLESKY: 1. La teoría económica raramente da modelos que tengan una relación contemporánea recursiva lo que resulta crucial porque se busca con la identificación que las innovaciones tengan sean interpretables desde el punto de vista económico. 2. Choleski impone un orden en la causalidad que es arbitrario y requiere validación empírica. Opciones que ante cambios del orden siga los mismos resultados y que la matriz de covarianzas de las innovaciones sea triangular. Dr. Galindo VII. REFERENCIAS Canova, F. (1999), Vector autoregressive models: specification, estimation, inference and forecasting, en M.H. Pesaran y M.R. Wickens (eds.), Handbook of applied econometrics, Blackwell Handbooks in economics. Descomposición de Wold permite descomponer una serie con media cero y covarianza estacionaria como la suma de dos componentes ortogonales. El primero es predecible el conjunto de información disponible en el tiempo t-1 y el segundo es impredecible basado en la información en t. Dr. Galindo VII. REFERENCIAS X 1t X 2t (L) b 11 b 21 ( L ) b b (L) Y t 1 ( L ) 22 12 Granger non causalidad: b12(l)=0 Exogeneidad de Sims : b21(L) ≠ 0 Stock, J.H. y M.W. Watson (2001) Vector Autoregressions, Journal of Economic Perspectives, 15, 101-115. Dr. Galindo ORTOGONALIDAD DE LOS ERRORES DR. LUIS MIGUEL GALI NDO
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