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VAR ESTRUCTURALES
DR. LUIS MIGUEL GALINDO
I. INTRODUCCIÓN
Importancia de los VAR estructurales:
 El VAR es una forma reducida de donde la interpretación
económica no es posible a menos que la forma reducida del
VAR se asocie con un modelo económico
 Utiliza teoría económica para relacionar los errores de
pronostico y stocks fundamentales que resultan en un VAR
estructural (SVAR)
Dr. Galindo
I. INTRODUCCIÓN
Análisis
 Shocks monetarios (Cristiano etal, 1999)
 Shocks tecnológicos (Galindo, 1999)
 Shocks fiscales (Rotenberg y Woodford, 1992)
Dr. Galindo
II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Modelo VAR:
1.1
Y1t  α1  α1 y 2t  α 3 y1t 1  et
(1.2) Y1t  β1  β 2 y1t 1  β 3 y 21t 1  et
Forma redicuda :
2.1
Y1t   11   12 y1t 1   13 y 2t 1  u1t
2.2
Y2t   21   22 y1t 1   23 y 2t 1  u 2t
3
Yt  d  y t 1  vt
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
 y1t 
 12  13 
 11 
Yt    d      



y

23 
 21 
 2t 
 22
 v1t 
vt   
v 2 t 
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Supuestos:
vt   0
 w11
cov vt     
 w21
cov v1t ,v2t 
w12   var v1t 


var v2t  
w22  cov v2t ,v1t 
w12  covarianza contempora nea entre las formas reducidas
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Modelos SVAR con restricciones contemporáneas para identificar
Stocks
VAR():
Yt  A1 y t 1  ... A y t    u t
Ecuación (1) representa una forma reducida
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Los stocks se expresa en términos de la forma estructural como:
AYt  A1 yt 1  A2 yt 2  ...  A yt    B t
Donde AB son matrices invertibles de dimensiones k x k y t es un
vector de k x 1con los errores estructurales no observables
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Este SVAR es un modelo B (Amisano y Giannini, 1977) y permite
relaciones instantáneas entre las variables es Yt (vía A) mientras que
los stocks estructurales están determinados por la estructura de B
Otros modelos son unidos en el modelo AB
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
La ecuación estructural (2) puede transformarse en una forma
reducida premultiplicado por A-1 (MODELO AB):
3
Yt  A 1 A1 yt 1  ..  A 1 A yt    A 1 B t
Yt  A1 yt 1  ..  A yt    ut
Donde : A1  A 1 A1 , . . . A  A   A
3.1
ut  A 1 B t
Relaciona los errores ut con los stocks estructurales et
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Supuestos: los stocks estructurales no están correlacionados
 
      t  t1
es una matriz diagonal
En algunos casos las varianza de los shoks estructurales se
normalizan a uno a modo de que
   I K
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Utilizando (3.1)
4  u

  ut


u t1  A 1 B  t
u t1 B 1 A11  A 1 BB 1 A11
La simetría de u y el supuesto de ortogonalidad de los stocks
estructurales imponen k(k+1)/2 restricciones no lineales en los
elementos de A y B
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Ejemplo 1: con k=2 y sean A0=A-1B
La ecuación (4) puede escribirse como:
2
2






0,110,21  0,120,22 


11
21
0,11
0,12
1


 
5 u  A0 A0  
2
2


0,21  0,22
 12  22  0,110,21  0,120,22

k (k  1) 2.3

3
Restricciones:
2
2
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Se necesitan más restricciones de la teoría económica para
identificar los parámetros del SVAR.
Dos casos especiales animados en el modelo AB se reduce al modelo
K:
1. Con B=IK entonces al modelo AB se reduce al modelo K:
(6) KYt  A1 yt 1  ...  A yt     t
 La relación entre los shocks estructurales y las formas reducidas de
los errores es :
(7) Kut   t
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
 Los shocks estructura les  t se expresan como combinacio nes
lineales de los errores de la forma reducida u t  y por lo tanto :
(8) u  k 1 k 11
k k  1
2
restriccio nes idependien tes se requieren más restriccio nes para
identifica r al modelo y recuperar los párametros estructura les
del modelo K
Ello provee un sistema de ecuaciones no lineales con
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
1. Con A=fk se obtiene el modelo C:
(9) BYt  A1 yt 1  ..  A yt     t
 Los errores del modelo reducido ut se expresan como combinaciones
lineales de shock estructurales  t :
(10) ut  C t
y cosecuentemente :
(11)  u  CC 1
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Todos
los
VAR
requieren
supuestos
adicionales
para
la
identificación normalmente desprendida de la teoría económica
La identificación se puede obtener a través de imponer las
restricciones lineales en las matrices A, B, K o C
Las restricciones lineales en los parámetros estructurales se expresan
como en el “Modelo general AB”:
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
(9.1) Vec A   A A   A
(9.1) Vec B   B B   B
Donde A B son m A X 1 y mB x1 vectores con elementos libres en A
y B.
Las restricciones se expresan en forma explicita como A y B
donde k2 x mA y k2 x mB son matrices y A y B son constantes
normalizadas de dimensión k2 x 1
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Estás restricciones estructurales se conocen como de corto plazo o
restricciones contemporáneas y son normalmente difíciles de
justificar
En algunos casos la teoría económica da más información con
respecto a los efectos específicos de largo plazo de los shocks
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Los efectos de los shocks estructurales se investigan con un análisis
de impulso respuesta
Un VAR estacionario puede invertirse y expresarse como un MA:
10
Yt   ii ut i
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
El elemento j del MA de la matriz i representa la reacción de la
variable j al shock de una unidad en la variable k, de hace i periodos.
Respuesta a los errores de pronóstico
Interés en los efectos de los shocks estructurales et lo que se obtiene
remplazando la forma reducida de ut por la correspondiente a los
shocks estructurales et.
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
En ocasiones es más interesante investigar shocks que se prueba
interpretar desde el punto de vista económico (Shocks estructurales
et). Eso puede hacerse remplazando los errores de la forma reducida
ut por los correspondientes et
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
En los SVAR
Los shock estructurales son recuperados utilizan la combinación
lineal de los errores en su forma reducida
La matriz de las combinaciones lineales se denomina matriz de
impactos contemporáneos (A0)
Modelo AB: A0=A-1B
Modelo K: A0=K-1
Modelo C: A0=C
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Los coeficientes MA de la forma reducida deben calcularse como
i =J Ah J1 y remplazar ut por A0t en la ecuación (10):
11
 i*  JA h J l A0
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
El VAR en forma reducida especificado en primeras diferencias de
la función acumulada de impulso respuesta de los errores de
pronóstico es:
12 
 i   ii0 i
Contiene el impacto en los niveles de las variables del sistema al
integrar los efectos de los cambios
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
En un VAR en primeras diferencias los efectos de largo plazo de las
variables en niveles están dados por:
13
   1  I K  A1  ...  A   1
Por tanto el efecto de largo plazo de shocks estructurales:
14  * 1   1A 1 B
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Pueden imponerse restricciones de largo plazo en los efectos de
algunos shocks utilizando teoría económica, ello corresponde a
algunos elementos de cero en *(1)
Las restricciones se expresan como:
15
vec * 1  R *  *
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Las restricciones de largo plazo incluyen a A-1 y a menos que se
asuma A=IK entonces no puede escribirse las restricciones en forma
lineal. Entonces es conveniente formular las restricciones en un
modelo –C
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Los efectos cero de largo plazo de los shocks estructurales:
16
 * 1   1C
Efectos cero de largo plazo puede imponerse utilizando
17 
Rc vec C  0
Rc  incluye elementos de  1
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Ejemplo de los efectos de estructurales en un VAR
dimensiones:
 11c11  12 c 21 11c12  12 c 22 

18  1C  
  21c11   22 c 21  21c12   22 c 22 
Dr. Galindo
de dos
II. MARCO GENERAL DEL SVAR
La teoría económica sugiere que es segundo shock estructural 2t no
tiene un impacto de largo plazo en la primer variable
 El elemento de arriba de la derecha de  1C se restringe a cero
 11c12  12 c 22  0
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II. MARCO GENERAL DEL SVAR
Utilizando (17):
(19)...Rc vecC  0 0 11
 c11 
 
 c 21 
 12    0
c
 12 
c 
 22 
Se requiere el conocimiento de la matriz de impacto contemporáneo
y por lo tanto los parámetros estructurales de los modelos AB, K o C
III. ESTIMACIÓN DE SVAR
 Estimación de SVAR en forma reducida
ESTIMACION DE LOS PÁRAMETROS DE LA FORMA
REDUCIDA SIN RESTRINGIR
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III. ESTIMACIÓN DE SVAR
Estimación de máxima verosimilitud:
Supuesto:
et , yt son V. A distribuidos normalmente
La función de densidad conjunto de la muestra
Y1, …YN dado X1, 1 2 , 2 está dado por:
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III. ESTIMACIÓN DE SVAR
 yt
20 f  , 1 ,  2 , 
 xt


  2 2


2 
N
2 2


N
2
 y t - 1   2 xt 2 
exp  

2
2


1
 y t - 1   2 xt  
exp 

2 2


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III. ESTIMACIÓN DE SVAR
Criterio: Estimadores  1 2 que maximizan la probabilidad
obtener muestra de datos como observada
Se maximiza (20) que hace la suma del cuadrado
 Hacer al denominador de (20) lo más pequeño posible
Dr. Galindo
de
III. ESTIMACIÓN DE SVAR
Nota: Se sugiere normalizar la matriz de impactos A0=A-1 tiene
una diagonal de elementos positivos
Utilizando las restricciones:
 vecA   R A
  
21 
 vecB   0
0 V A   v A 
    
RB V B   vb 
Las estimaciones ML maximizan él log-likelihood con respecto a
los parámetros libres en A y B sujeto a las restricciones de (21)
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III. ESTIMACIÓN DE SVAR
SVECM:
(22) A Δyt = yt-1+1Δyt-1+…+ρ-1Δyt-ρ+1+Bεt
Premultiplicando por A-1 permite obtener la forma reducida del
VECM y la relación entre los errores en su forma reducida y
estructural
 ut = A-1 Bεt
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III. ESTIMACIÓN DE SVAR
Opción: ML
Nota: Esta forma de estimación no considera que en el VAR
cointegrado algunos shocks pueden ser solo transitorios
Dr. Galindo
III. ESTIMACIÓN DE SVAR
Estimación por GMM:
Las estimaciones por GMM son más eficientes asintóticamente que
los estimadores de ML con errores no normales o heterocedasticos
Errores estructurales:
(22) εt = B-1 A(yt – A1yt-1 – A2yt-2 -…-Aρyt-ρ)
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III. ESTIMACIÓN DE SVAR
ML vs OLS:
 La estimación sin restringir por ML equivale a la OLS.
 Sin embargo con restricciones en los coeficientes de la forma
reducida del VAR las estimaciones de ML ya no se obtienen
por OLS.
 Hamilton
(1994):
Estimación
por
OLS
sigue
dando
estimaciones consistentes de A y los residuales de OLS dan
estimaciones consistentes de Σu.
 La forma reducida se puede estimar por GLS.
Dr. Galindo
III. ESTIMACIÓN DE SVAR
Estimación de modelos exactamente identificados:
1. Se conocen los efectos de largo plazo de los shocks
estructurales de modo que la matriz de impacto de largo plazo
λ(1) se representa en forma triangular baja y el VAR es
estacionario (Blanchard y Quach (1989) y Gali(1999))
2. Estimar a través de imponer restricciones no lineales
Dr. Galindo
IV. EJEMPLO
Gali (1992) : IS-LM
yt = (Pt, Rt, Mt)
(23.1) ut   a12 uti  b11 tIS
: IS
(23.2) u it   a21ut  a23utm  b22 tLM
(23.3) utm  b33 tMS
: Demanda de dinero invertida
: Oferta monetaria
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IV. EJEMPLO
Con:
Pt =PIB real
Rt = Tasa de interés
Mt = Agregado monetario real
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IV. EJEMPLO
Aut = Bεt:
 1

(24) a 21
 0

a12
1
0
0 
 b11


a 23 u t   0
 0
1 

0
b22
0
0 

0  t
b33 
La economía tiene 3 shocks:
1.- Shocks de gasto o IS: εtIS
2.- Shocks de demanda de dinero o LM: εt
3.- Shocks de oferta de dinero: εtMS
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LM
IV. EJEMPLO
Primera ecuación es el mercado de bienes y relaciona el PIB con la
tasa de interés (curva IS)
Segunda ecuación se deriva de una función de demanda de dinero
que relaciona el agregado monetario real con la tasa de interés. La
ecuación esta invertida y resuelta para la tasa de interés (ecuación
LM invertida)
Tercera ecuación: Es el proceso de oferta monetaria
Dr. Galindo
IV. EJEMPLO
1.- Paso 1: Estimación del VAR en forma reducida.
Estimaciones OLS con sus respectivos t.
2.- Paso 2: Selección del número de rezagos incluyendo algunos
coeficientes de ceros.
3.- Paso 3: Restricciones linealmente independientes: de A y B.
Disponibles: k(k+1)/2
Dr. Galindo
IV. EJEMPLO
Nota: Las matrices A y B son k x k así que sin restricciones
adicionales 2k2 parámetros no se puede obtener la estimación
Pasa exactamente identificado:
k (k  1)
2k 
 18  6  12
2
2
k =3

Se necesitan 12 restricciones en A y B que están
en (24)
Dr. Galindo
IV. EJEMPLO
Nota: Con SVAR exactamente identificado las estimaciones ML y
GMM son equivalentes
Nota: Es posible imponer restricciones adicionales utilizando LR
test con χ2 (1)
Nota: Con sobreidentificación las estimaciones por ML o GMM son
distintas
Dr. Galindo
IV. EJEMPLO
4. Paso 4: Funciones de impulso respuesta estructural
Nota: Las diferencias en el impulso respuesta dependen más de las
restricciones que de la forma de estimación
Dr. Galindo
V. CONSIDERACIONES GENERALES

La reducción de los modelos antes de estimar los parámetros
estructurales lleva a un pequeño sesgo pero en otros casos la
redacción del espacio de parámetros mejora la precisión de la
estimación. No es claro
Dr. Galindo
V. CONSIDERACIONES GENERALES
 En la práctica los parámetros estructurales no son de interés
específico, objetivo: las funciones de impulso-respuesta que
sintetiza la dinámica entre las variables incluidas. Las
funciones de impulso- respuesta se interpretan como funciones
de los parámetros estructurales y de la forma reducida
La forma de las funciones de impulso respuesta depende de las
restricciones en los parámetros, de la forma reducida,
A1,A2,…,Aρ
Dr. Galindo
V. CONSIDERACIONES GENERALES
 Diferentes criterios de información no cambian las formas
de impulso respuesta
Modelos más parsimoniosos mejoran la precisión con h > 4.
Los intervalos de confianza de las funciones de impulso-repuesta
pueden estimarse mejor con un VAR parsimonioso
Dr. Galindo
V. CONSIDERACIONES GENERALES
 Los procedimientos de identificación hacen al SVAR útil para
análisis estructural
 Existen restricciones contemporáneas y de largo plazo
 Los SVAR tienen problemas similares a los VAR
 Imponer restricciones puede en ocasiones mejorar la precisión
de los estimadores de los coeficientes estructurales
Dr. Galindo
VI. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS GENERALES
 Las funciones de impulso-respuesta se ven afectados
negativamente (tienen MSE menores a los esperados) 
utilizan modelos reducidos, afecta la precisión de las funciones
de impulso- respuesta
 Los intervalos de las funciones de impulso-respuesta también
se ven afectados negativamente por la reducción
Dr. Galindo
VI. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS GENERALES
Utilizar un VAR seleccionado con un criterio de información liberal
(AIC)
Mayores restricciones pueden eliminar variables relevantes para la
dinámica representada en las funciones de impulso- respuesta
Dr. Galindo
VAR ESTRUCTURALES
DR. LUIS MIGUEL GALINDO