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MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD
CONDICIONAL
Dr. Luís Miguel Galindo
“I was interestedin measuring the response of
economic agents to uncertainty using time series
data, bat recognized that if the variance was
constant, the response was unidentified”.
Robert. F. Engle (1995)
INTRODUCCIÓN:
Características de las series económicas:
1. Tienen tendencia.
2. Tienen persistencia.
3. Muestran variabilidad en el tiempo.
4. Existen datos extremos asociados.
Dr. Galindo
INTRODUCCIÓN:
Características de las series financieras:
1. Son leptokurticas (achatadas y con colas más gordas)
2. Las relaciones entre ganancia y riesgo no son lineales
3. La volatilidad aparece en clusters
4. Leverage effect: la volatilidad es mayor con una
caída de la variable
Dr. Galindo
INTRODUCCIÓN:
Forward looking behaviour requiere pronosticar
adecuadamente la volatilidad y el riesgo de un activo
La volatilidad no es una serie observable en el momento
t, se requieren datos históricos para estimar la
volatilidad
 Alto 
  log 

Bajo


2
t
Volatilidad histórica se estima con la varianza
Dr. Galindo
INTRODUCCIÓN:
Una opción para estimar la volatilidad histórica es:
Exponantiall y Weigted Moving Average Models (EWMA)
que es una extensión del promedio histórico pero haciendo
que las observaciones más recientes tengan un mayor peso

  1    j1  t  j   
2
t
2
j 0
 2t  varianza estimada
 t - j  ganancia observada
  ganancia promedio
 " decay factor" Riskmetrics : 0.94 
Dr. Galindo
INTRODUCCIÓN:
Pronósticos ARMA:

  0    j  e t
2
t
j1
Dr. Galindo
2
t j
INTRODUCCIÓN:
Características de la volatilidad de los activos
financieros:
1.La volatilidad viene en clusters
2.La volatilidad cambia en el tiempo
3.La volatilidad no crece sin cota y se mantiene dentro
de ciertos rangos
4.La volatilidad reacciona asimétricamente a un
aumento o disminución del precio
Dr. Galindo
HISTORIA:
• Engle R. en LSE en 1979: la respuesta de los agentes
económicos al riesgo
• El riesgo de un activo se puede igualar a su varianza
y la ganancia esperada depende de ese nivel de riesgo
(ARCH-M)
• Respuesta: la función de maximaverosimilitud puede
descomponerse en sus densidades condicionales
Dr. Galindo
HISTORIA:
• ARCH  AR aunque parece más un MA ya que la
varianza condicional es un MA de los residuales al
cuadrado
• GARCH  ARMA
• EGARCH incluye el log de la varianza condicional
para flexibilizar la estimación y permitir efectos
asimétricos
Dr. Galindo
SINTESIS GENERAL:
AR(1):
(1)
y t  y t 1  e t
 1
La media condicional de yt:
(2)
yt 

E
 y t 1

 
Dr. Galindo
SINTESIS GENERAL:
La media condicional cambia en el tiempo (la media
no condicional no cambia)
La varianza condicional de yt
(3)
e

yt
2


var 
 E




t 1 
  t 1 

2
t
Dr. Galindo
SINTESIS GENERAL:
Engle (1982) propone el siguiente modelo del término
de error:
(4)

e t  v t  0  1 e
2
t 1
v t  N0,1
 0 0

01 1
Dr. Galindo
1
2
SINTESIS GENERAL:
La media no condicional de et:
(5)
2




E e t  E e t E 0  1 e 
 0 ya que Ee t   0
2
t 1
Dr. Galindo
1
SINTESIS GENERAL:
La varianza no condicional de et:
(6)

E e t  E e t 
2
  
2
t
  Ee 
2
t
 E v E  0  1 e

  0   1 E e 2t 1
2
t 1

 ya que Ev   1


1  1
Dr. Galindo
2
t
SINTESIS GENERAL:
La media condicional de et:
(7)

et
vt
2




E
 E
 0  1e t 1


  t 1 
  t 1 
  vt


 0  E
  0

t 1 
 

Dr. Galindo

1
2
SINTESIS GENERAL:
La varianza condicional et:
(8)
 e 2t

 v 2t

2

E
 E
 0  1 e t 1 




t

1
t 



2
  0  1 e t 1
  v 2t


dado que  E
 1 


t 1 
 

Dr. Galindo
MODELO GENERAL:
Modelo general: incluye una variable independiente que
ayuda a predecir la volatilidad
(1)
y t 1  e t 1 x t
y t 1  varianble de interés
e t 1  Ruido blanco con σ 2 constante
x t  variable independie nte
Dr. Galindo
MODELO GENERAL:
Con xt constante  yt es ruido blanco con varianza
constante
Con xt variable  la varianza condicional de yt+1es:
y t 1 
2 2

var 

x


t
xt 

La autocorrelación de xt permite explicar periodos de
volatilidad en la secuencia de yt
El cuadrado de la serie (después de eliminar
autocorrelación) tiene patrones de autocorrelación
Dr. Galindo
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
AR(1):
(1)
y t   0  1 y t 1  e t
1 1
e t  R.B.
var e t   
2
e
Dr. Galindo
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
AR(1):
(1)
y t  1 y t 1  e t
El pronóstico un paso adelante:
Media condicional de:
y

(1.1)
t

y t 1 , y t 2 ,...
yt


E
 y t 1
 y t 1 
Dr. Galindo
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
Media no condicional:
(1.2)
E y t   0
 Las mejoras en los pronósticos provienen de utilizar
modelos con media condicional (Engle, 1982)
Dr. Galindo
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
Varianza no condicional:
(2.1)
var y t   var 1 y t 1  e t 
  var y t   var e t 
2
1
2
y
2
1
2
y
   
2
e
Dr. Galindo
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
2






var
y

var
y
y
var
e


Aprovechando que
t
t 1
t
e
Entonces:
(2.1)
1   
(2.1)
2

e
 2y 
1  12
2
1

2
y

Dr. Galindo
 2e
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
Varianza condicional:
(3.1)
2


yt
et


var 
 E


y
y
t 1 
t 1 


Manteniendo fijo a yt-1 la única fuente de variación es
e 2t   2e
Dr. Galindo
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
(PRONÓSTICO)
ARCH:
(4)
(4.1)
(4.2)
yt
2
2


var 
  x t 1e
x
t 1 

y t
, x t  ~ N  t , h t 
 y t 1

 t  z 't 
q
ht   0   i et2i
et  yt   t
Dr. Galindo
MODELO GENERAL
AR(1):
(5.1)
(5.2)
yt  1 yt 1  et
et

  h     e2
E
 t
0
1 t 1
E

t 1 t 1 

Para asegurarse que ht es positivo:
 0 0
1  0
la varianza es finita con 1 1
Dr. Galindo
MODELO GENERAL
2
La varianza condicional  t :
(6.1)
 et

  var  e , e ,, e 
t 1
t 2
t q 

2
t

ut  E ut 
E
2
con E et   0
Dr. Galindo
et 1 , et 2 ,...
MODELO GENERAL
(6.2)
  var et et 1 , et 2 ,
2
t
e

 E

e
,
e
,

t

1
t

2


2
t
La varianza condicional de una variable et distribuida
normalmente con media cero es igual al valor
esperado del cuadrado de et
Dr. Galindo
MODELO GENERAL
la autocorrelación de la volatilidad se obtiene
permitiendo que la varianza condicional del término
de error  t2  dependa del calor anterior
(7)
2
t
   0  1 e
Dr. Galindo
2
t 1
MODELO GENERAL
Modelo general: ARCH (q):
(8.1)
y t  1   2 x 2 t   3 x 3 t  e t

e t ~ N 0,  2t
(8.2)
 t2   0  1et21
Dr. Galindo

MODELO GENERAL
Extensión:
(8.3)
  0   e
2
t
2
1 t 1
   e
2
q t q
Posible rescribirlo como:
(8.4)
2
1 t 1
h t  0   e
   qe
h t  varianza condiciona l
Dr. Galindo
2
t q
MODELO GENERAL
(9.1)
(9.2)
(9.3)
yt  1   2 x2t   3 x3t    et
et  vt t2
vt ~ N0,1
 t2   0  1et21
con var et   1
yt

  var e  
var 

t t
y
t 1 

 var et  t2   t2
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL ARCH
1. Los et tienen media cero
2. La varianza condicional esta dada por
  0  e
2
t
2
1 t 1
3. La varianza no condicional es:
 
2
y

2
e
1   
sólo existe con  0  0
2
1
1 1
4. Las autocovarianzas son iguales a cero
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL ARCH
(10.1)
eˆt2   0  1eˆt21   2 eˆt22     q et2q  vt
vt  Ruido blanco
(10.2)
 t  v t  0  1e 2t 1
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL ARCH
 2v  1
(10.3)
 0 0
(10.4)
1 1


E e t   E v t  0  1 e 2t 1  0
como Ev t v t 1   0  Ee t e t 1   0
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL ARCH
(10.5)
 
 

 E v E    e 
 1 y E e   E e 
E e 2t  E v 2t  0  1 e 2t 1
2
t
como  2v
(10.6)
0
2
t
0
Ee 
1  1 
 
2
t
Dr. Galindo
1
2
t 1
2
t 1
PROPIEDADES DEL ARCH
La media y la varianza no
condicional no se ven afectadas por
la varianza condicional
 La varianza condicional depende de et-1
e

2
E




e
0
1
t 1

e
,
e
,

t 1
t 2


2
t
Dr. Galindo
MODELO GENERAL:
2

Para que la varianza
t sea positiva se imponen las
siguientes restricciones:
1.
 0  0 con 1  0
 la varianza condiciona l es  0
2.
1  0  y 2t 1 es siempre no-negativo
2
y
 el incremento de t 1 hace que la varianza de yt
aumente
Dr. Galindo
MODELO GENERAL:
3.
1 1  proceso estacionario
4. 312 1 para un cuarto momento finito (Ángel,
1982 Teorema 1)
Dr. Galindo
MODELO GENERAL:
1.La selección del número de rezagos (q)
Forma simple: Arbitraity lineaty declining lag leagth

2t   0  1 0.4ê 2t 1  0.3ê 2t 2  0.2ê 2t 3  0.14ê 2t 4
Sólo estimo  0 y 1
2.Las restricciones negativas no se corrigen
Dr. Galindo

Bollersler (1986):
El GARCH permite que la varianza condicional
dependa de sus propios rezagos
(11)
2
t
2
1 t 1
  0   e
2
t 1
 
Es posible interpretar a la varianza pronosticada
actual (ht) como una función ponderada del valor
promedio (α0), de la volatilidad del periodo previo 1 e 2t 1
y de la varianza pronosticada previa

Dr. Galindo

Bollersler (1986):
El término de error es:
(11.1)
et  vt h t
donde :  2v  1
q
h t  0   i
i 1
y:
2
t i
 GARCH q,  
Dr. Galindo

   i h t i
i 1
GARCH:
En la práctica GARCH(1,1):
2
t
2
1 t 1
  0   e
(12.1)
 1 
2
t 1
Despejando:
(12.2)
0
 
 1 e 2t 1  1 e 2t 2   2 e 2t 3  
1  1
2
t

Dr. Galindo

GARCH:
La varianza actual depende de todas
perturbaciones anteriores elevadas al cuadrado
IGARCH:
    1  efecto persistente
Dr. Galindo
las
GARCH:
El modelo GARCH puede interpretarse como un
ARMA:
2
t
ut  e  
(13.1)
2
t
2
t
2
t
  e  ut
(13.2)
Substituyendo en la varianza condicional:

2
t
2
1 t 1
 0   e
Dr. Galindo
2
t 1
 

GARCH:
(13.3)
2
t
2
1 t 1
e  u t  0   e

 e
2
t 1
 u t 1

Reordenando:
(13.4)
e 2t   0  1 e 2t 1  e 2t 1  u t 1  u t
 ARMA(1,1)
Dr. Galindo
GARCH:
El GARCH (1,1) es un modelo parsimonioso:
(14.1)
 2t   0  1 e 2t 1  2t 1
(14.2)
 2t 1   0  1 e 2t 2  2t 2
(14.3)
 2t 2   0  1 e 2t 2  2t 3
Dr. Galindo
GARCH:
Sustituyendo en (14.1):
(14.4)
(14.5)

 2t   0  1 e 2t 1    0  1 e 2t 2  2t 2
2
t
2
1 t 1
  0   e
2
1 t 2
 0   e
Dr. Galindo
2

 
2
t 2
GARCH:
Substituyendo a
(14.6)
 2t 2 :
2t   0  1e 2t 1   0  1e 2t 2
2

   0  1e
2
t 3
2
t 3
 

Reordenando:




(14.7)  2   0 1     2  1 e 2t 1 1  L  L2   3  2t 3
Dr. Galindo
GARCH:
Substituciones recursivas:
(14.8)




 2t   0 1     2    1e 2t 1 1  L  L2       2t 
 (14.9)
2
2
1 t 1
  0   e
Dr. Galindo
  2e
2
t 2

GARCH:
0
var e t  
1  1  
(15)
Con
1    1  unit root variance
IGARCH
Dr. Galindo
GARCH:
(15.1)
y t   0  1 x t  e t
(15.2) e t  v t 0  1e2t 1     q e2t q  1 h t 1     h t 
xt =ARMA o variable exógenas
• αt es la varianza condicional de et
• El proceso GARCH (ecuación (15.2) es la varianza
condicional de la ecuación de la media
Dr. Galindo
GARCH:
•
e 2t
no es la varianza condicional directamente
et  v h t
(15.3)
2
t
2
e  v ht
(15.4)
2
t
2
t
como E t v  E t 1 v  1

 
E t 1 e 2t  h t
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL GARCH:
(15.5)
e  0   e
2
t
2
1 t 1
  1 ht 1
Media de et:
(15.6)
E (e t )  E ( v t h t )  0
como
E( v t )  0
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL GARCH:
Varianza de et:
(15.7)
2
t
2
2
1 t 1
e  v ( 0   e
 1 E(h t 1 )
Varianza no condicional
(15.8)
E t (e 2t )  E( v 2t ( 0  1 E(e 2t 1 )  1 E(h t 1 )))
Dr. Galindo
PROPIEDADES DEL GARCH:
Como:
E( v 2t )  1
E(e 2t 1 )  E(h t 1 )
(15.9)
E t (e 2t )   0  (1  1 )Ee 2t 1
(15.10)
0
E t (e ) 
1  1  1
2
t
La varianza condicional:
(15.11)
E t 1e 2t  E t 1 v 2t h t  h t
 La varianza condicional no es constante
Dr. Galindo
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Prueba de normalidad:
(16.1)
(16.2)

et  vt t vt ~ N 0,  2
  0   e
2
2
1 t 1
 

2
t 1
et es difícil que se distribuya como normal es
probablemente leptokurtica de (16.1):
(16.3)
et
vt 
t
Dr. Galindo
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Es común que sea v̂ t leotokurtica aunque menos que et
 El GARCH captura parte de este efecto
Las estimaciones serán consistentes si las ecuaciones
están correctamente especificadas
Sin embargo se requieren las desviaciones estándar
calculadas por Balleislew y Wooldridg (1991) con quasi
– maximain likelihoot (QML), algunos programas
aceptan una distribución t en el GARCH (Enders)
Dr. Galindo
PRUEBAS ARCH - GARCH:
El ARCH esta modelado como una función de los
errores al cuadrado rezagados

q
(17.1)
h t   0    i e 2t i    i h t i
i 1
Correlograma:
1.Calcula la varianza muestral de los residuales de:
y t  ARMA  e t
2
e
ˆ 2   t
T
T
(17.2)
Dr. Galindo
PRUEBAS ARCH - GARCH:
2.Calcula las correlaciones muéstrales del cuadrado de
los residuales:
T
(17.3)
i 
2
2
2
2
(
e


)(
e


ˆ )
 t
t i
T
2
2 2
(
ê


 t ˆ )
Dr. Galindo
PRUEBAS ARCH - GARCH:
3.Calcular LB:
i
Q  T ( T  2) 
i 1 (T  i )
n
(17.4)
 2 (n )
Rechazo de H0 implica rechazar que no existe ARCH
o GARCH
Dr. Galindo
PRUEBAS ARCH - GARCH:
LM para ARCH:
H0:
 0  1  ...  0
Pasos:
1.Estimar
yt  xt   et
2.Obtener las et de OLS
3.Regrasión Auxiliar:
ê  f ( 0 , ê
2
t
Dr. Galindo
2
t 1
, ê
2
t 2
,...)
PRUEBAS ARCH - GARCH:
TR 2   2 (q)
4.
5.Versión f: f(q,T-q-1)
ρ=1
q=1
GARCH(ρ,q)
ρ=2
q=1
Dr. Galindo
ARCH – M – GARCH – M:
Engle, Lilien y Robins (1987) incluyeron dentro del
ARCH la Posibilidad de que la varianza condicional
afecta a la media
La hipótesis es que los inversionistas que son adversos
al riesgo requieren compensación por tener un activo
riesgoso
Dr. Galindo
ARCH – M – GARCH – M:
Se forma mayor riesgo y se espera una mayor ganancia
La ganancia esta, en parte, determinada por riesgo
La varianza condicional se incluye en la ecuación de la
media condicional
Dr. Galindo
ARCH – M – GARCH – M:
ARCH-M:
(18)
yt  t  et
yt = exceso de ganacias
μt = risk premium necesario para inducir la tendencia
del activo
et = error
Dr. Galindo
ARCH – M – GARCH – M:
El exceso de ganancias equivale al risk premium:
(18.1)
E t 1 y t   t
El risk premium es una función creciente de la
varianza condicional de et
Dr. Galindo
ARCH – M – GARCH – M:
El risk premium con ht definida como la varianza
condicional de et se expresa como:
(18.2)
 t    h t
0
ARCH(q):
q
(18.3)
h t  0   ie
i 1
Dr. Galindo
2
t i
ARCH – M – GARCH – M:
GARCH – M:
yt     t 1et
(18.4)

et ~ N 0,
(18.5)
  0   e
2
t
2
1 t 1
δ = risk premium
Dr. Galindo
2

  t 1
ARCH – M – GARCH – M:
con δ>0  Un aumento del riesgo dado por un aumento
de la varianza condicional conduce a una umento de la
media
Posible utilizar en (18.4):
1.

2.
 t 1
3.

2
t 1
2
t
Dr. Galindo
MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD
CONDICIONAL
Dr. LUIS MIGUEL GALINDO