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VAR ESTRUCTURALES Y FUNCIONES
DE IMPULSO RESPUESTA
DR. LUIS MIGUEL GALI NDO
I. INTRODUCCIÓN
• Sims (1986), Bernanke (1986), Shapiro y Watson (1988)
iniciales VAR estructurales (SVAR) o VAR identificados
•En vez de identificar los coeficientes se identifican los
errores del sistema que se interpretan como combinaciones
lineales de los shocks exógenos
•Inicialmente los VAR (Sims, 1980) se ortogonalizaban las
innovaciones utilizando la descomposición de Choleski de
la matriz de covarianzas
Dr. Galindo
I. INTRODUCCIÓN
 Se impone una estructura recursiva en las relaciones
instantáneas entre las variables
 Este sistema es arbitrario distinto orden cambia los
efectos de los shocks
Dr. Galindo
I. INTRODUCCIÓN
Recientemente la identificación de shocks utilizando
restricciones de largo plazo es utilizada crecientemente
La teoría económica puede ofrecer restricciones no
lineales de los parámetros que se pueden usar para
identificar la estructura del sistema
Los SVAR utilizan normalmente solo las restricciones
necesarias a diferencias de los modelos multiecuacionales
que están sobre identificados
Dr. Galindo
I. INTRODUCCIÓN
Razón – Crítica de Sims (1980)
El SVAR impone solo las restricciones necesarias para
identificar a los parámetros
Impulso respuesta del SVAR o SVECM son funciones no
lineales de los parámetros
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
SUECM:

(1) Yt   * Yt 1  1 Yt 1  ...   * p 1 Yt  p 1  C * Dt  B * Z t  U t
Donde:
Yt  (Y1t ,...Ykt )' es(k * 1) y es un vector de variables endógenas
Zt= Vector de variables exógenas o variables estocásticas
no modelados
Dt= Contiene todos los términos determinísticos
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Los shocks se asocian con un sentido económico (shocks
de precios de petróleo) pero como no son observados
directamente se requieren supuestos para identificarlos
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Para analizar por separado el impacto dinámico a los
shocks como no correlacionados (ortogonales)
 Los shocks o innovaciones estructurales (et) se
relacionan con los residuales del modelos como
Vt=  et
Se considera que las verdaderas variables exógenas entrar
a traves del termino de error
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Así, el modelo a utilizar es:
(2)
Yt   * yt 1  1 * Yt 1  ...   * p 1 Yt  p 1   et
con et~(0, k )
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
El VAR en niveles equivalentes es:
(3)
 Y t   x 1Y t 1  ...   * p Y t  p   e t
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
La forma reducida de (2) o (3) es:
(4.1)
 Y t    Y t 1  1  Y t 1  ...   p 1  Y t  p 1  u t
(4.2)
Y t   1 Y t  1  ...   pY t  p  u t
Donde:
    1 *  j    1  *j

j
 
1
 *j
 e t  Relaciona los errores de la forma
reducida con los shocks estructurales et
U
t
 
1
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
La identificación de los parámetros estructurales requiere
imponer restricciones en las matrices de parámetros
La matriz A especifica las relaciones instantáneas puede
incluso suponer (A = Ik) que implica que los shocks de et
son ortogonales y ello no es suficiente para alcanzar la
identificación.
Para un sistema de k dimensiones se requieren k(k-1)/2
restricciones para ortogonalizar los shocks porque existen
k(k-1)/2 potencialmente diferentes covarianzas.
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Las restricciones pueden obtenerse con un “ajuste en el
tiempo” de los shocks: los shocks afectan a algunas
variables directamente en el tiempo actual y a otro
subconjunto de variables solo con un rezago de tiempo.
Ejemplo: Identificación triangular o recursiva (Sims,
1980)
World causal Chain System
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Las opciones de restricciones son:
1.   I k  El vector de innovaciones et se modela
como un sistema interdependiente de ecuaciones lineales
tal que u t  et
Las restricciones lineales de A pueden escribirse como un
vector           donde  contiene todos los
elementos sin restringir de A,   es una matriz con 0-1
elementos y  es un vector normalmente de constantes.
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
2.   I k  El vector de innovaciones es U t   et y
la exclusión de algunos shocks estructurales (que son sus
combinaciones lineales) en ecuaciones particulares
Vec          
se impone donde   incluye los
elementos sin restringir de  y   es la matriz con
elementos 0-1.
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
3. El modelo AB (Amisano y Gionnini (1997) que
combina las restricciones en A y B en donde el modelo de
las innovaciones es Aut = et y las restricciones son:
vec(A) =   



vec(B) =  B 
B
 
B
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
4. Existe información a priori de los efectos de largo plazo
de algunos de los shocks. Estos shocks son medidos
considerando las respuestas de las variables del sistema.
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Es posible verificar la identificación del sistema de un
SVAR utilizando la condición de orden similar a la
utilizada para los sistemas de ecuaciones simultáneas.
El numero de parámetros de la forma reducida del VAR
(dejando afuera los parámetros asociados a las variables
rezagadas) esta dado por el numero de elementos no
redundantes de la matriz de covarianzas.
 u k k  1  / 2 
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Entonces no es posible identificar a más de k(k+1)/2
parametros de la forma estructural.
El número total de elementos de la forma estructural de las
matrices A y B son 2k2
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS

Las restricciones requeridas para identificar un modelo
completo son:
(5)
k k  1 
k k  1 
2
 k 
2k 
2
2
2
Haciendo a una de las matrices A o B igual a la identidad
entonces se requiere k(k-1)/2 restricciones adicionales.
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Ejemplo: Modelo estructural “keynesiano”:
(6.1)
u tq   a 12 u t  b 11 e tIS
(IS)
(6.2)
u ti   a 21 u tq  a 23 u tm  b 22
(LM)
(6.3)
u
m
t
  3 e tm
(Oferta Monetaria)
Donde:
q= output
i= tasa de interes
m=agregado monetario
Supuesto: Los shocks estructurales no están auto
correlacionados
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
(6.1) Es una curva tradicional IS con un parámetro
negativo para la innovación de tasa de interés
(6.2) Resolviendo una demanda de dinero con respecto a
las innovaciones de la tasa de interés
u tm   1 u tq   2 u ti  e tLM
β1>0 β2<0
(6.3) Indica que las innovaciones de la base monetaria son
llevados por shocks de oferta monetaria exógenas
Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
(6.1) (6.2) y (6.3) en un modelo AB puede escribirse con 0
(7) Aut =  et
1
a
 21
 0
a12
1
0
0 
a 23  ut =
1 
b11
0

 0
Dr. Galindo
0
b22
0
0

0
b23 
εt
II. LOS MODELOS
vec(A) =
1 
a 
 21 
0
 
 a 21 
1 
 
0
0
 
a 23 
1 
 
=
0
1

0

0
0

0
0

0
0

0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 
0

0
0

0
0

1
0 
a21
a 
 12
a23
Dr. Galindo
+
1
0 
 
0 
 
0 
1
 
0 
0 
 
0 
1
 
II. LOS MODELOS
vec(B) =
 b11 
0
 
0
 
0
b22 
 
0
0
 
0
b 
 33 
=
1
0

0

0
0

0
0

0
0

0 0
0 0 
0 0

0 0
1 0

0 0
0 0

0 0
0 1 
Dr. Galindo
b11
b 
 22
b33
II. LOS MODELOS
Se requieren 2k2 –k(k+1)/2 restricciones para que el
modelo este exactamente identificado
Ejemplo:
k=3  2k2 – k(k+1)/2
2 (9 ) 
3( 4 )
 18  6  12
2
Se requieren 12 restricciones en A y B
Las restricciones en (7) son 12 (incluyendo 1 y 0)
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
VAR estacionario:
La representación Wold de un promedio móvil es:
(8)
y t   u t   1 u t  1   2 u t  2  ...
Donde:
0  Ik
s 
s

j 1
s j
 Aj
Los coeficientes de esta representación pueden representarse
como reflejando las respuestas a los impulsos que pegan al
sistema.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Con series I(0) el efecto de un impulso es transitorio
Los elementos de las matrices  s capturan las respuestas
esperadas de y i t+s y el cambio de una unidad en yj t,
manteniendo constantes los valores pasados de yt.
 Mide
el efecto de ut en yi t
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Función de pronóstico de impulso respuesta para los ut son
el error de pronóstico de un paso adelante.
Los efectos acumulados se obtienen sumando las matrices
s :
(9)
 


s0
 s  I k  A 1  ...  A 
Esta matriz existe si el VAR es estable.
Dr. Galindo

1
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Es difícil capturar el efecto aislado si los componentes de
ut están correlacionados contemporáneamente, esto es, u
no es diagonal.
Descomposición de Choleski:
 u  BB ´
por: e t  
donde los shocks ortogonales están dados
1
ut
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Se obtiene:
(10) y t   e t   e t  1  ... e t  p
Donde    es una matriz triangular baja, donde los
efectos de eit pueden ser instantáneos en las otras
variables, pero no a la inversa.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En SVAR los residuales están representados por et con
una matriz diagonal de covarianzas E et et´    et que se
especifica, normalmente, como una matriz identidad
Au
Modelo AB:
t
 Be
t
 Las
funciones de impulso respuesta en un SVAR se
obtiene de    j A  1 B
Suponiendo algunos elementos de largo plazo como ceros
(11.1)
 
0

1
 ...
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Impulso respuesta para VAR no estacionarios y VECM:
No existe la descomposición de Wold, pero se pueden
obtener las matrices s aunque no converjan a cero los
shoks.
En general las funciones acumuladas no existen.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En el caso donde yt puede representarse como VECM, se
tiene:
´

y


y t 1  1 y t 1  ...   p 1 y t  p 1  u t
(11.2)
y
Entonces tiene representación MA:
(11.3)
y
t
 
t

i1
u
i
 

L u t
Dr. Galindo
 y

0
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Donde:
  



 I
´

L   
N


j0



j
p 1
i 1
L

i  

1

´

j
y  contiene los valores iniciales
 tiene rango k – r. Si el rango de cointegración del
sistema es r y representa los efectos de largo plazo,
mientras que  j contiene los efectos de corto plazo.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Reemplazando ut por A-1Bet, entonces el efecto
ortogonalizado de corto plazo de impulso respuesta es  A1B
Los efectos et de largo plazo son:  A 1 B
y rango   k  r
La matriz  tiene a lo más r columnas de ceros
Tiene a los más r shocks con efectos transitorios

(impacto cero de largo plazo) y al menos existen k  k  r
shocks con efectos permanentes.
Supuesto:
A  Ik
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Para identificar los shocks se necesitan


k  k  1
2
restricciones adicionales.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En forma similar, se requieren
r r  1 
2
restricciones adicionales para identificar
los shocks transitorios.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En total existen:




k
k
1
r r  1  k k  1 

k r 


2
2
2
restricciones.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Ejemplo: Con r = 2 y k = 3
k  k  r
L.P.: k* = 1 
C.P.:


k k 1
 0
2
r r  1 
 1
2
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Ejemplo: Jacobson, Verdín y Warne (1997):
Función de producción, función de demanda de trabajo y
oferta de trabajo y salario:
1. Función de producción de producción: Relaciona output
(gdpt) y empleo (empt):
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
(12.1)
gdp
t
 pemp
t
  1t
p = mide los rendimientos a escala
1t = es la tendencia estocástica tecnológica que significa
un camino aleatorio.
(12.2)
etgdp
 1 t   1 t 1  e tgdp
es un shock puramente tecnológico.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
2. La demanda de empleo a producto y salarios reales es
(w – p)t:
(12.3)
emp t  gdp t   w  p t   2t
con rérmino de error:
(12.4)
 2t   d  2t 1  etd
Con  d  1 la demanda de trabajo es estacionaria y
sólo tiene efecto estacionario.e td
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Jacobson et. al (1997) asumen  d  0 que implica que la
demanda de trabajo no tiene efectos de largo plazo con
cointegración el supuesto de estacionariedad puede
evaluarse.
3. La fuerza de trabajo (lt) se relaciona con el precio como
(12.5)
l t   w  p t   3t
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Donde:
3t es una senda aleatoria:
(12.6)  3 t   3 t 1  e ts
e
s
t
es el shock de oferta de trabajo.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
4. La relación de salario:
(12.7) w  p     gdp  emp t   1  emp t   4t
Salarios son función de la productividad y del desempleo
4t puede ser estacionario o no estacionario.
 4 t   w  4 t 1  e tw
Se puede utilizar análisis empírico.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
El modelo es llevado por dos sendas aleatorias de oferta
de trabajo y la función de producción.
Suponiendo r = 2 entonces k  r  k   2
shocks tiene efectos permanentes.
y sólo dos
Para identificar a los dos shocks permanentes se considera
que:
k  k  1
1
2


Supuesto: Rendimientos constantes a escala p = 1 implica que
la productividad sólo es afectada por los shocks egdp de largo
plazo.
Dr. Galindo
IV. ESTIMACIONES DE LOS PARÁMETROS DE SVAR
1. Estimadores GLS
2. Inferencia estadística con un modelo sobreidentificado
con LR
Dr. Galindo
V. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA DE
PRONÓSTICO
El gasto h de error de pronóstico del VAR es:
(13)
y T  h  y T  h T  u T  h  1u T  h 1  ...   h 1u T 1
Expresando este modelo en términos de las innovaciones
estructurales:
e t  e 1 t ,..., e kt
´
 B  1 Au t
Dr. Galindo
da:
V. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA DE
PRONÓSTICO
(14)
y T  h  y T  h T   0 eT  h   eT  h 1  ...   h 1 eT 1
Donde:

j
  jA
1
B
Así, la descomposición de varianza es:
(15)  n    
h 1
2
k
h0
2
k 1, n
 ...  
   
k
2
kk , h
Dr. Galindo
j 1
2
kj , 0
 ...  
2
kj , h  1

V. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA DE
PRONÓSTICO
La contribución en porcentaje es:
(16)
w kj


h  
2
kj , 0
 ...  

2
k
h 
Dr. Galindo
2
kj , h  1

VI. EJEMPLOS
Modelo AB:
IS – LM (Breiturg, 2000):
y t  q t , i t , m t
´
SVAR en niveles para no imponer demasiadas restricciones
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
(17.1)
(17.2)
(17.3)
u tq   a 12 u ti  b 11 e tIS
(IS)
u ti   a 21 u tq  a 23 u tm  b 22 e tLM
u tm  b 33 e tm
1
a
 21
 0
a12
1
0
0  b11
a 23    0
1   0
(LM)
(Oferta de dinero)
0
b22
0
Dr. Galindo

e
 t
b33 
0
0
VI. EJEMPLOS
Estimando por ML:
2
9
.
4
1
5
.
0
0
0 
0.0068
0 


 



~ 0

B
0.0087
0 
0.73



0
0.0056
 
 0

  
1 
9
.
3
1
5
2
.
0
7
.
4
1
 1
 0.04

 

~
A    0.14
1



 0
0

Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Incluyendo pruebas de t
-0.04 signo equivocado pero no significativo
La matriz de impacto de las estimaciones ML es:
0.69 0.03  0.02
~
1 ~ 
A B  0.10 0.88  0.42 102
0.00 0.00 0.56 
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Modelo Blanrhard Quah:
Modelo divariado de producto y desempleo
y t   q t , uN t

´
Los shocks de demanda agregada son identificados como
transitorios y los shocks de oferta tienen efectos
permanentes en el producto.
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Vector de shocks estructurales et  ets , etd  esta identificada
a través de las restricciones de largo plazo
en el
etd
producto.
Esta restricción implica una estructura triangular que puede
obtenerse con la descomposición de Choleski.
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
La estimación de las matrices del VAR sin restricciones
son:
Los efectos de oferta son relevantes
Dr. Galindo
1
0
.
3
5
0
0
.
0
8
9
.
2
8
1
.
3
0 
 0.519
 


ˆ  
 0.008 4.044








9
2
.
4
2
0
.
7
0
7
2
.
0
 0.075  0.930







B̂  
 0.220 0.208 








VI. EJEMPLOS
Mercado de trabajo.

y t   gdp  em t , emt , u tN , w  p t
gdp  e t , emt , u, w  p t
Dr. Galindo

son I 1
VI. EJEMPLOS
VECM:
w  p t
 0.54dgp  e t  0.013emt  1.724uN t  0.709t  ect
t: productivity
Identificación de los shocks en el mercado laboral:
gdp d s w 

, et , et , et 
et   et


´
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Supuesto:
A  Ik 
se necesitan
1
k k  1  6
2
restricciones
linealmente independientes para identificar exactamente a B
k  k  r  3
r 1
los shocks son permanentes
shocks con efectos transitorios
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Cointegración sugiere que etw esI 0 y por tanto no tiene
impacto en las variables incluídas en y t que corre con 4
restricciones en la última columna de la matriz de
identificación de largo plazo ΘB.
El rango reducido de ΘB impone que k  r  3

Para identificar los k  3 shocks permanentes se
requieren restricciones adicionales.
Dr. Galindo


k k 1
3
2
VI. EJEMPLOS
B
Con rendimientos constantes la productividad es sólo
ydp
llevada por shocks tecnológicos et
en el largo plazo.
Θ
Esto se impone
haciendo 2, 3 y 4 igual a cero.
Como B14  0 ya esta impuesto se requiere una restricción
más.
Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Supuesto: Los shocks de demanda no tienen efectos en los
salarios reales
B
420



B 




  

  
  

0  



B  




Dr. Galindo
0 0 0

  0
  0

  0
VI. EJEMPLOS
Estimaciones:
B~
 0 . 58

 
 5.94 

  0 .12

  1.72 

 0 .03

 0.44 

 0 . 11

 0.73 

0 .07
0.61 
 0 .15
 0.66 
0 .26
4.15 
 0 .27
 5.22 
0
 0 .16
 0.88 
0 .01
0.09 
0 .48
0.74 
Dr. Galindo
0 .07 
0.92  
0 .09 
2.12  

0 .05 

1.53  

0 .49 

5.99  
VI. EJEMPLOS
 0.79

  
 5.21

 0.20

0.86 
B  
  0.16

  1.38 

  0.15

  0.84 

0
0
0.58
3.10 
0.49
 0.85 
 0.34
 3.54 
0.14
0.91
0.60
3.59 
 0.25
 0.91
0 


0 



0



0



Dr. Galindo
VI. EJEMPLOS
Los shocks laborales de ofertano teienen impacto de largo
plazo en el desempleo H 0 : B33  0
LR   2 1
LR  6.07 p  0.014 
H0 : Rechazada
Dr. Galindo
VII. CONCLUSIONES
Problema: La identificación de las innovaciones
Restricciones increíbles
La teoría “coincide” con la práctica
Dr. Galindo
VAR ESTRUCTURALES Y FUNCIONES
DE IMPULSO RESPUESTA
DR. LUIS MIGUEL GALI NDO