1 1. Sean A,B,C conjuntos, U conjunto universal
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1. Sean A, B, C conjuntos, U conjunto universal. Demuestre
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
2. Exprese como un intervalo o como la unión de intervalos
a ) {x ∈ R | x < 1 → x2 < 1}
b ) {x ∈ R | (x < −2 ∨ x > 2) → x2 > 9}
3. Describa en palabras (R>0 = reales positivos.)
a ) ∃n ∈ N, ∀p primo, p + n es un primo.
b ) ∀p primo, ∃n ∈ N, p + n es primo.
c ) ∀x, y ∈ R>0 , ∃n ∈ N, x < ny
d ) ∃n ∈ N, ∀x, y ∈ R>0 , x < ny
e ) ∃n ∈ N, ∀x ∈ R>0 , ∃y ∈ R>0 , x < ny .
f ) ∀n ∈ N, ∃x, y, z ∈ Z, n = x2 + y 2 + z 2
4. Escriba en símbolos la negación de los ejercicios en 3
5. Para cada uno de los ejercicios en la parte 3, determine si el enunciado es cierto
o falso. Justique. (Excluya el ejercicio (c).)
1. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Para cada relación en A, determine si ésta es reexiva,
o simétrica, o transitiva.
a) R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}.
b) S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 1)}. c)
T = {(x, y) | 2x + 3y > 10}. d) V = {(x, y) | x = zy para algún z ∈ A}.
2. Sean A y B relaciones en un conjunto X . Demuestre que:
a) Si A es reexiva, entonces A ∪ B es reexiva.
b) Si A y B son reexivas, entonces A ∩ B es reexiva.
c) Si A y B son simétricas, entonces A ∪ B es simétrica.
d) Si A y B son simétricas, entonces A ∩ B es simétrica.
e) Si A y B son transitivas, entonces A ∩ B es transitiva.
f) ¾Si A y B son transitivas, entonces A ∪ B es transitiva?
3. Sean A y B relaciones en el conjunto X = {1, 2, 3, 4}
a) Si A ∪ B es reexiva, ¾es A o B reexiva?
b) Si A ∩ B es simétrica, ¾es A o B simétrica?
c) Si A ∩ B es transitiva, ¾es A o B transitiva?
4. Sea A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} y sea R = {(x, y) ∈ A × A | x2 + x = y 2 + y}.
Demuestre que R es una relación de equivalencia en A. Para cada x ∈ A halle la
clase de equivalencia de x.
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5. Sea P el conjunto formados por los pueblos de Puerto Rico, excluyendo a Vieques
y Culebras. Sea T = {(a, b) ∈ P × P | hay un pueblo que es vecino de a y de b}.
Justique sus respuestas.
a) ¾Es cierto que (San Juan, Bayamón)∈ T ?
b) ¾Es cierto que (Camuy, Hatillo)∈ T ?
c) ¾Es cierto que (Lares, Lares)∈ T ?
d) ¾Es T una relación reexiva?
e) ¾Es T una relación simétrica?
f) ¾Es T una relación transitiva?
6. (a) Sea R una relación sobre un conjunto A. Demuestre que si R es simétrica,
entonces R = R−1 .
(d) Dada la relación R = {(x, y) ∈ Z | 2x + 3y = 4}, determine R−1 .
7. Sea X = N × N. Se dene sobre X la relación T por
(a, b)T (c, d) si y sólo si a + d = b + c
(a) Demuestre que T es una relación de equivalencia.
(b) Exhiba tres elementos en la clase de (1,4).
(c) Determine la clase de (1,1).
8. Sea X = N × N. Se dene sobre X la relación R por
(a, b)R(c, d) si y sólo si ad = bc
(a) Demuestre que R es una relación de equivalencia.
(b) Exhiba tres elementos en la clase de (1,4).
(c) Determine la clase de (1,1).
9. Dada la relación G sobre Z, xGy si y sólo si x + 4y = 5k, para algún k ∈ Z
(a) Demuestre que G es una relación de equivalencia.
(b) Exhiba tres elementos en la clase de 0, de -5, de 1.
10. Dada la relacion T en R, xT y si y sólo si x − y ∈ Z.
(a) Demuestre que T es una relación de equivalencia.
(b) Demuestre que la clase de 0 es [0] = Z.
(c) Halle x, y, z ∈ [0, 1) tales que xT (−5,46), πT y , 39/7T z .
(d) Demuestre que para cada r ∈ R hay x ∈ [0, 1) tal que [r] = [x]. ([x] es la clase
de equivalencia de x.)
11. Determine si la relación es una relación de equivalencia.
a) En R, xT y si y sólo si |x − y| < 1.
b) En Z, xT y si y sólo si x + y es par.
c) En Z, xT y si y sólo si x + y es impar.
d) En R, xT y si y sólo si x < 3y .
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12. ¾Cuál de las siguientes es una función de A = {1, 2, 3, 4, 5} en A?
a) f = {(x, y) | x + 2y = 5} b) g = {(x, y) | x + y = 6}
c) h = {(x, y) | y = x2 }
d) j = {(x, y) | x < y ≤ x + 1}
13. Sea F el conjunto de todas las funciones de X = {1, 2, 3, 4} en X . Para f y g en F
se dene la relacion ∼ por f ∼ g si y sólo si f = g◦h, para alguna función biyectiva h ∈
F . Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia. Determine la clase de f ,
donde f (x) = 1 para todo x ∈ X , y la clase de idX .
14. Dadas las funciones f y g de R en R, f (x) = 3x + 1, g(x) = 5x − 12, halle
a, b ∈ R si la función h : R → R , h(x) = ax + b es tal que h ◦ f = g .
15. Sea h : R → R, h(x) = 5x − 3. Sean A = {x ∈ R | x < −2 o x > 2} y
B = {x ∈ R | − 4 < x < 5}. Determine h(A), h−1 (A), h−1 (B) y h(B).
16. ¾Es la función f : R → R biyectiva?, donde f (x) =
x2 ,
si x < 0;
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−x , si x ≥ 0.
17. Para (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) en R × R se dene (x1 , y1 ) ≡ (x2 , y2 ) si y sólo si y1 − y2 =
3(x1 − x2 ). (a) Demuestre que ≡ es una relación de equivalencia sobre R × R. (b)
Exhiba tres elementos en la clase de (1, 2).
18. Para cada número real b, sea Cb = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x + b}. Se dene en
R × R la relación ∼ por (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) si y sólo si (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ Cb , para
algún b ∈ R. Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia.
19. Sea t : N → N, denida por t(x) es el menor natural tal que x ≤ 2t(x) .
(a) Determine t(1), t(2), t(210 ), t(33). (b) Halle t({x|10 < x < 72}). (c) Halle
t−1 ({x|1 < x < 6}).
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