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Problemas de Algebra Moderna II
Lista 3
1. Demuestre lo siguiente:
(a) Suponga que R es un anillo de división, demuestre que cent(R)
forma un campo.
(b) Demuestre que cada subanillo con identidad de un campo es un
dominio entero.
2. Sea R un dominio entero y considere el conjunto Z · 1 de todos los
múltiplos enteros del elemento identidad:
Z · 1 = {n1 | n ∈ Z}
Demuestre que Z · 1 es un campo si y sólo si R tiene caracterı́stica
positiva.
3. En el campo C de los números complejos, defina la función f : C → C
que manda cada número complejo a su conjugado; esto es, f (a + bi) =
a − bi. Demuestre que f es un automorfismo de C.
4. Encuentre el centro del anillo de los cuaternios QR .
5. Sea R el subanillo de M2 (C) que consiste de todas las matrices de la
forma:
α β
a + bi c + di
=
(a, b, c, d ∈ R).
−β̄ ᾱ
−c + di a − bi
Demuestre que R es un anillo de división isomorfo al anillo de división
de los cuaternios reales.
6. Dado el conjunto Hn = {ā ∈ Zn | ā no es divisor de cero de Zn } , demuestre que (Hn , ·) forma un grupo finito de orden φ(n).
7. Demuestre lo siguiente:
(a) Todo campo es un dominio de ideales principales.
√
√
(b) Que el anillo Z[ 2 ] = a + b 2 | a, b ∈ Z no es un campo, des√
cribiendo un ideal no trivial de Z[ 2 ].
8. Sea f un homomorfismo del anillo R en el anillo R0 y suponga que el
anillo R tiene un subanillo F el cual es un campo. Demuestre que se
cumple una de F ⊆ nucl(f ) o que R0 contiene un subanillo isomorfo a
F.
9. Demuestre los siguientes resultados:
(a) El elemento identidad de un subcampo es el mismo que aquél del
campo.
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(b) Si {Fi } es una colección de subcampos del campo F, entonces ∩Fi
es también un subcampo de F.
(c) Un subanillo F 0 de un campo F es un subcampo de F si y sólo si
F 0 contiene al menos un elemento no cero y a−1 ∈ F 0 para todo
elemento no cero a ∈ F 0 .
(d) Un subconjunto F 0 de un campo finito F es un subcampo de F
si y sólo si F 0 contiene más de un elemento y es cerrado bajo la
adición y multiplicación.
10. (a) Considere el subconjunto S de R definido por:
√
S = {a + b p | a, b ∈ Q; p número primo} .
Demuestre que S es un subcampo de R.
(b) Demuestre que cualquier subcampo del campo R debe contener
los números racionales.
11. Sea F un campo de caracterı́stica p > 0. Demuestre que para n ∈ Z+
n
F 0 = a ∈ F | ap = a
es un subcampo de F.
12. Sea F un campo, F 0 un subcampo de F , y f un automorfismo de F .
Decimos que f fija un elemento a ∈ F en el caso de que f (a) = a.
Demuestre las siguientes afirmaciones:
(a) El conjunto de todos los automorfismos de F forman un grupo (en
el cual la operación binaria es la composición de funciones).
(b) El conjunto de todos los automorfismos de F los cuales fijan cada
elemento de F 0 forman un grupo.
(c) Si G es un grupo de automorfismos de F , entonces el conjunto
de todos los elementos de F que son fijados por G (esto es, el
conjunto F(G) = {a ∈ F |f (a) = a ∀ f ∈ G} es un subcampo de
F, conocido como el campo fijo de G.
13. Sea R un anillo conmutativo con 1 y sea S el conjunto de todos los no
divisores de cero. Demuestre lo siguiente:
(a) Un elemento ab−1 es no divisor de cero en RS si y solo si a no es
divisor de cero en R.
(b) Si todo no divisor de cero de R es invertible entonces R = RS ;
(c) Demuestre que RT = RS . En donde T son los no divisores de cero
de RS .
(d) Si R es finito, entonces R = RS . (Sugerencia: Para cualquier
a ∈ R no divisor de cero, hay algún b ∈ R tal que a2 b = a ; ab es
idempotente.)
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14. Utilice la parte (d) del problema anterior para dar otra demostración
de que cualquier dominio entero finito es un campo.
√
√
15. (a) Si Z[ 2 ] = a + b 2 | a, b ∈ Z , determine su campo de cocientes.
(b) Si K es un campo de cocientes de un dominio entero R, demuestre
que K también es un campo de cocientes de cada subdominio de
K que contienen a R.
16. Demuestre que cualquier automorfismo de un dominio entero R admite
una única extensión al campo de cocientes.
17. Sea F un campo y Z1 = {n1| n ∈ Z} el conjunto de los múltiplos
enteros de la identidad. Verifique que el subcampo primo de F coincide
con C(Z1).
18. Si R es cualquier anillo que satisface Z ⊆ R ⊆ Q, demuestre que
R = ZS para algún S ⊆ Z multiplicativamente cerrado.
19. Sea R anillo conmutativo con 1, S ⊆ R multiplicativamente cerrado.
Demuestre :
(a) El conjunto I = {a ∈ R | as = 0 para algún s ∈ S} es un ideal de
R.
(b) π(S) = {I + s | s ∈ S} es un subconjunto multiplicativamente
cerrado de R/I.
(c) Ningun elemento de π(S) es divisor de cero en R/I.
(d) Si S no contiene divisores de cero de R entonces (R/I)π(S) = RS .
20. Sea R anillo conmutativo con 1, S ⊂ R multiplicativamente cerrado
que no contiene divisores de cero. Demuestre que:
(a) (I + J)RS = IRS + JRS
(b) (IJ)RS = (IRS )(JRS )
(c) (I ∩ J)RS = IRS ∩ JRS .
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