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Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de F´ısica
Electrodin´
amica
Tarea No 2
Lunes 20 de Abril de 2015
Profesor:
Alejandro Valdivia
Ayudante: Jose Mella
1. Tomemos una esfera conductora a tierra de radio b con un diel´ectrico de constante diel´ectrica ε para r ≤ a < b. Encuentre el potencial
producido por una cinta plana y muy delgada de densidad de carga
constante σ, la cual se ubica en forma conc´entrica a la esfera entre
los radios a < R2 < r < R1 < b. Encuentre el potencial en todo el
espacio de inter´es.
b
ε
σ
Top
View
ε
σ
Side
a
View
Problema con diel´
ectrico.
2. Considere un cascaron conductor a tierra (infinito y uniforme en la
direcci´on longitudinal) que tiene la forma de medio cilindro como
se muestra en la figura. El radio de este medio cilindro es R, y tiene
a su vez en su interior medio cilindro de radio a < R, como se ve en
la figura, compuesto de un material que responde con P=constante
independiente de la intensidad del campo el´ectrico que se le aplica.
Encuentre el campo el´ectrico dentro del conductor y la densidad de
carga en las superficies.
Material dentro de un
conductor infinito
3. Tomemos una distribuci´on de carga continua dada por
2
r
2
ρ = ρo
e−(r/ro) cos 2θ sin φ
ro
a) Calcule la expansi´on multipolar del potencial y escriba este potencial para grandes distancias
1
b) Estime el potencial cerca del origen
c) Supongamos que cerca del origen hay un n´
ucleo con momento quadrupolar Q=10−24 cm2 . Determine la energ´ıa de interacci´on donde ro es la distancia de Bohr.
4. Dos esferas conc´entricas a < b tienen cargas ±Q. La mitad del espacio entre las esferas (θ < π/2)
tiene un dial´ectico ε1 , el resto (θ > π/2) tiene ε2
a) encuentre el campo el´ectrico entre las esferas
b) calcule la densidad de carga superficial r=a y r=b
c) calcule la densidad de carga de polarizaci´on inducida en r=b y r=a
5. Tomemos un cilindro de material magn´etico de radio a y muy largo,
con magnetizaci´on constante M como se muestra en la figura (a)
a) Encuentre el campo magn´etico en todo el espacio.
b) Si ponemos otro cilindro a una distancia d a, cual de las
dos configuraciones que se muestran en la figura (b) es la mas
favorable energeticamente (explique).
6. Tomemos una esfera de radio a hecha de un material magn´etico con
magnetizaci´on permanente M constante. Esta esfera es puesta en
forma conc´entrica dentro de una esfera conductora de radio b > a.
Encuentre el campo magn´etico en todo el espacio y la corriente
superficial en el conductor. Demuestre que la integral de la corriente
es cero. Ayuda: Asuma que los campos dentro del conductor son
cero.
M
M1
M2
M1
M2
b
a
Esfera con M constante dentro de un
conductor
7. Tomemos una esfera de material magn´etico constante M . Calcule el campo magn´etico producido por
esta esfera. Si ahora la ponemos en un campo magn´etico externo constante, que fuerza siente? Que
pasa si la esfera esta hecha de un material magn´etico con constante µ.
8. Tomemos un anillo de corriente de radio a y corriente Io puesto en forma conc´entrica dentro de un
hueco esf´erico de radio b en un material magn´etico de constante µ. Calcule el campo magn´etico en todo
2
el espacio. Grafique las lineas de campo para diferentes valores de µ. Que pasa en el limite µ → ∞.
Grafique las lineas de campo.
9. Considere una esfera de radio a de material polarizable con constante µ. En el plano ecuatorial alrededor de esta esfera tenemos
un anillo de radio b > a en la cual fluye una corriente constante
ˆ Encuentre el campo magn´etico en todo el espacio.
J = Jo φ.
µ
10. Un medio diel´ectrico consistente en cargas libres positivas y negativas (un plasma) responde a los
campos el´ectricos suavemente variables en el espacio, manteniendo el equilibrio t´ermico, de manera
que
ni (z) ≈ nio exp (−qi Φ(z)/kB T )
donde Φ(z) es el potencial electrost´atico, T es la temperatura, qi es la carga de la especie i, y nio es
a la densidad de la especie i cuando Φ(z) = 0, expresada en part´ıculas por unidad de volumen.
a) Demuestre que si el potencial es peque˜
no, la densidad de carga neta esta dada por
ρ(z) = −
Φ
4πλ2
X 4πnio q 2
1
i
=
λ2
k
T
B
i
b) Suponga que un electrodo con forma de plano infinito con densidad de carga σ se inserta en el
plasma en z = 0. Calcule el potencial Φ(z) en ambos lados del electrodo.
c) ¿ Cuan peque˜
na debe ser σ para que sea valida la soluci´on?
d ) Encuentre la densidad de polarizaci´on P (x) en este plasma
3
J