1. Educación

TALLER DE ELECTROMAGNETISMO
Departamento De F´ısica y Geolog´ıa, Universidad De Pamplona
DOCENTE: F´ısico Amando Delgado.
TEMAS: Todos los referentes del segundo corte.
1. En cierta regi´on del espacio, el potencial el´ectrico es V = 5x − 3x2 y + 2yz 2 . Determine las expresiones
correspondientes para las componentes en x, y y z del campo el´ectrico en esa regi´on. ¿Cu´al es la magnitud
del campo en el punto (1, 0, −2)m?
2. Dos cargas puntuales de 2C y 3C est´an separadas por una distancia 1m. Calcular el campo y el potencial
el´ectrico en: a) El punto medio entre la distancia que las une. b) En un punto situado a 4m de la primera pero
fuera de la recta que las une. c) En un punto situado a 1m de cada carga. d) En que punto el campo el´ectrico
es cero? y que se puede decir del potencial en este punto?
3. Calcule la velocidad que experimenta un prot´on acelerado desde el reposo a causa de una diferencia de potencial de 120V . b) Calcule tambi´en la velocidad de un electr´on que se acelera a causa de la misma diferencia
de potencial.
4. La figura (1) muestra la distribuci´on de cargas el´ectricas sobre una nube de tormenta, formada por una carga
puntual de 40C a una altura de 10km, otra carga de −40C a una altura de 5km y una de 10C a 2km. Calcule
el potencial el´ectrico en un punto que esta a una altura de 8km y ha una distancia horizontal de 3km respecto
a la primera carga.
Figura 1. Cargas en una nube.
V
5. En la figura (2) un campo el´ectrico uniforme de magnitud 325 m
est´a dirigido hacia el lado negativo de las y.
Las coordenadas del punto A son (−2, −3)m, y las del punto B son (4, 5)m. Calcule, utilizando la trayectoria
azul, la diferencia de potencial ∆V = VB − VA .
6. Un electr´on que se mueve paralelamente al eje x tiene una rapidez inicial de 3,70 × 106 m
s en el origen. Su
en
el
punto
x
=
2cm.
Calcule
la
diferencia
de
potencial
entre el origen y
rapidez se reduce a 1,40 × 105 m
s
ese punto. ¿Cu´al de los puntos est´a a mayor potencial?
7. Una part´ıcula con una carga q y masa m est´a conecta a un hilo que tiene L atado en el punto de pivote P
como puede apreciarse en la figura (3). La part´ıcula es liberada del reposo cuando el hilo forma un a´ ngulo
θ con un campo el´ectrico de magnitud E. Determine la rapidez de la part´ıcula cuando el hilo es paralelo al
campo el´ectrico.
Figura 2. Trayectoria seguida dentro de un campo el´ectrico uniforme.
Figura 3. Carga atada a una cuerda dentro de un campo el´ectrico uniforme.
8. Como se muestra en la figura (14), dos grandes placas paralelas, conductoras, colocadas verticalmente, est´an
separadas por una distancia d y est´an cargadas de forma de que sus potenciales sean V0 y −V0 . Una peque˜na
esfera conductora de masa m y radio R donde R << d) est´a colgada en el punto medio entre las placas.
El hilo de longitud L que soporta la esfera es un alambre conductor conectado a tierra, de forma que el
potencial de la esfera se ha fijado en V = 0. Cuando V0 es lo suficientemente peque˜no la esfera cuelga hacia
abajo y en equilibrio estable. Demuestre que el equilibrio de la esfera es inestable si V0 excede el valor de
V0 = kd2 mg(4RL). Sugerencia: considere las fuerzas que act´uan sobre la esfera cuando e´ sta es desplazada
una distancia x << L.
Figura 4. Carga atada a una cuerda dentro de un campo el´ectrico uniforme.
9. Dos esferas aislantes tienen radios r1 y r2 , masas m1 y m2 , y cargas uniformemente distribuidas q1 y q2 .
Cuando sus centros est´an separados por una distancia d son liberadas del reposo. a) ¿Qu´e tan r´apida se
mover´a cada una cuando entren en colisi´on? Explique: Qu´e pasar´ıa si las esferas fueran conductoras? Sus
magnitudes de velocidad ser´ıan mayores o menores que las calculadas en el inciso a)?
10. Tres laminas cargadas son paralelas al plano xz. Las laminas est´an en y = 0, y = d y y = 2d, si tienen
distribuci´on uniforme de carga σ, −2σ y σ respectivamente. Calcule el potencial en funci´on de y.
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11. Una esfera maciza de radio R tiene una carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen. Encontrar el
potencial el´ectrico fuera de la esfera, sobre la esfera, dentro de la esfera y en el centro de la esfera.
12. Una esfera de radio R y carga Q es conc´entrica con una esfera hueca de radios interno y externo ay b. La
carga de la esfera hueca es −Q Calcular el potencial en todas las regiones.
13. Calcular el potencial el´ectrico para un disco y un anillo. Con la relaci´on E = −∇V calcular el campo el´ectrico.
14. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial no uniforme σ = Cr, donde C es una constante
y r se mide a partir del centro del disco a un punto en la superficie del disco, ver figura (5). Determine por
integraci´on directa el potencial en P.
Figura 5. Disco de carga variable.
15. Dos varillas rectas y dos circulares esta unidas como se muestra en la figura (6). Las varillas tienen una
distribuci´on de carga lineal λ. Cual es el potencial en el punto P.
Figura 6. Combinaci´on de l´ıneas de carga.
16. Una varilla de longitud L como se muestra en la figura (7) yace a lo largo del eje x, con su extremo izquierdo
en el origen. Adem´as tiene una densidad de carga no uniforme λ = ax, donde a es una constante positiva. a)
¿Cu´ales son las unidades de a? b) Calcule el potencial el´ectrico en el punto A. b) Calcule el potencial el´ectrico
en el punto B. Calcule en cada caso el campo el´ectrico.
17. 4 varillas de longitud l forman un cuadrado. Las varillas tienen carga Q uniformemente distribuida en toda su
longitud. Determine el potencial en un punto a una distancia x de uno de los vertices del cuadrado. Ver figura
(8).
18. La figura (9) muestra cuatro cargas positivas q en los vertices de un tetraedro. Los lados del tetraedro son
d. Calcular la energ´ıa necesaria para mantener esta configuraci´on. Repita el calculo si las cargas est´an en las
esquinas de un cuadrado.
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Figura 7. L´ınea de carga finita.
Figura 8. L´ıneas de carga formando un cuadrado.
Figura 9. Cargas en las esquinas de un tetraedro regular.
19. En los vertices de un cubo se alternan cargas negativas y positivas Q como se muestra en la figura (10), los
lados del cubo son d. Calcule la energ´ıa de este arreglo.
Figura 10. Cargas en las esquinas de un cubo.
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20. Una esfera hueca de lat´on esta sumergida hasta la mitad en un aceite diel´ectrico de constante
fracci´on de la carga de la esfera esta en el hemisferio superior y en el inferior? Ver figura (11)
r
= 3. Que
Figura 11. Esfera sumergida en un diel´ectrico.
21. Una esfera met´alica de radio R esta rodeada por un dielectric conc´entrico que desde R hasta 23 R como se
muestra en la figura (12). Este sistema es conc´entrico a su vez con un cascaron esf´erico de radio 2R. La
constante diel´ectrica del material es . Calcule la capacitancia del sistema.
Figura 12. Sistema conc´entrico de esferas con diel´ectrico.
22. Un capacitor esf´erico esta formado por una esfera de radio R1 y un cascaron esf´erico de radio R2 . El espacio
del capacitor se llena con dos diel´ectricos tal que un hemisferio tiene diel´ectrico de constante 1 y el otro
constante 2 . Cual es la capacitancia del dispositivo? Ver figura (13).
Figura 13. Capacitor esf´erico con diel´ectrico.
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23. El circuito de la figura (14) est´a constituido por dos placas met´alicas paralelas id´enticas conectadas mediante
resortes met´alicos id´enticos a una bater´ıa de 100V . Cuando el interruptor est´a abierto, las placas no tienen
carga y se encuentran separadas una distancia d = 8mm, con una capacitancia C = 2mF . Si se cierra el
interruptor, la distancia entre placas disminuye en un factor de 0,5 a) ¿Cu´anta carga se acumula en cada una
de las placas?, y b) ¿Cu´al es la constante de resorte en cada uno de ellos?
Figura 14. Circuito de capacitor conectado a un par de resortes.
24. Dos esferas de radios a y b tienen sus centros separados una distancia d. Demuestre que la capacitancia de
4π 0
este sistema es C = 1 1 2 siempre y cuando d >> a y d >> b.
a + b − b
25. Considere dos alambres largos, paralelos y de cargas opuestas, de radios r y con una separaci´on D entre sus
centros, tal que D es m´as grande que r. Si la carga est´a distribuida uniformemente en la superficie de cada
uno de los alambres, demuestre que la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres es de:
π 0
C
=
.
L
ln D
r
26. Calcular la capacitancia para cada capacitor mostrado en la figura (15).
Figura 15. Capacitores de placas paralelas con diel´ectrico.
27. En un tubo de rayos cat´odicos, la corriente medida en el haz es de 30mA. ¿Cu´antos electrones chocan contra
la pantalla del tubo cada 40s?
28. Suponga que la corriente que pasa por un conductor se reduce de manera exponencial en funci´on del tiempo,
de acuerdo con la ecuaci´on I(t) = I0 e−t/τ , donde I0 es la corriente inicial y τ es una constante que tiene
dimensiones de tiempo. Considere un punto de observaci´on fijo dentro del conductor. a) ¿Cu´anta carga pasa
por este punto en el intervalo de tiempo [0, τ ]? b) ¿Cu´anta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo
[0, 10τ ]? c) ¿Cu´anta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo [0, ∞]?
29. La figura (16) representa una secci´on de un conductor circular de di´ametro no uniforme que porta una corriente
de 5A. El radio de la secci´on transversal A1 es r1 . a) ¿Cu´al es la magnitud de la densidad de corriente a trav´es
de A1 ? b) ¿El radio en A2 es mayor que el radio en A1 ?. ¿La corriente en A2 es mayor, menor o igual? ¿La
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densidad de corriente es mayor, menor o la misma? Suponga que una de estas dos cantidades es diferente en
A2 en un factor de 4 de su valor en A1 . Especifique la corriente, la densidad de corriente y el radio en A2 .
Figura 16. Conductor de radio variable
30. Se tiene un alambre de resistencia R. Suponga que se corta en 8 piezas iguales y cuatro de ellos se colocan
lado a lado para formar un nuevo alambre. Cual es la nueva resistencia? Cuanto vale la resistencia si los cuatro
segmentos de alambre se unen por los extremos?
31. Un capacitor de placas paralelas est´a constituido por placas cuadradas de bordes de longitud l separadas una
distancia d, donde d << l. Entre las placas se mantiene una diferencia de potencial ∆V . Un material de
constante diel´ectrica r llena la mitad del espacio entre las placas. Ahora la placa diel´ectrica se retira del
capacitor, como se observa en la figura (17). a) Determine la capacitancia cuando el borde izquierdo del
material diel´ectrico est´e a una distancia x del centro del capacitor. b) Si se va retirando el diel´ectrico a una
rapidez constante v, ¿cu´al ser´a la corriente en el circuito conforme se retira el diel´ectrico?
Figura 17. Capacitor con diel´ectrico movible
32. Se tiene un alambre de cierto metal de longitud 1,5m, y di´ametro 0,5mm. Se somete a un potencial V = 12V
y por el se genera una corriente de 4A. Cual es la resistividad del material?
33. Valor 1, 25. Un material con una resistividad uniforme ρ se modela en forma de cu˜na como se muestra en la
figura (18). Calcule la resistencia entre la cara A y la cara B.
34. Valor 1, 25 Un material de conductividad σ se modela como un cono truncado de altura h, seg´un se muestra en
la figura (19). El extremo inferior tiene un radio b, en tanto que el extremo superior tiene un radio a. Suponga
que la corriente est´a uniformemente distribuida en cualquier secci´on transversal circular del cono. Demuestre
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h
que la resistencia entre ambos extremos del cono queda descrita mediante la expresi´on: R =
πσ ab
35. Calcule la resistencia entre dos superficies esf´ericas conc´entricas de radio R1 y R2 si el espacio entre ellas
esta lleno con un material de resistividad ρ.
36. En la figura (20) se muestra una barra cuadrada esta formada por dos materiales. Cada lado de la secci´on
transversal de la barra mide 3cm. La resistividad del primer material es 4 × 10−3 Ωm y su longitud de 15cm
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Figura 18. Material en forma de cu˜na.
Figura 19. Cono truncado.
mientras que para el segundo material se tiene 6 × 10−3 Ωm y 25cm de longitud. Calcular la resistencia de la
barra. Si se somete a un potencial de 24V calcular la corriente que circula por la barra.
Figura 20. Barra cuadrada formada por dos materiales.
37. Un voltaje de corriente continua de 6V aplicado a los extremos de un alambre conductor de 1km de longitud
y 0,5mm de radio, produce una corriente de 61 A, calcular. a) La conductividad del alambre. b) La intensidad
de campo el´ectrico. c) La potencia disipada por el alambre. d) La densidad de corriente del alambre.
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38. Un alambre de radio a y conductividad σ esta recubierto por un material de conductividad 10
σ. Cual debe
ser el grosor del revestimiento para la resistencia del sistema se reduzca un 50 %? Suponga que una corriente
total I fluye por el alambre, calcule J y E en el alambre y en el material.
39. Suponga una arandela plana de un cuarto de circulo,ver figura (2). Los radio de la arandela internos y externos
son r1 y R2 respectivamente. Calcule la resistencia en a) Las caras planas de la arandela. b) Entre los radios
interno y externo.
Fuentes:
F´ısica Volumen II. Campos y ondas. Marcelo Alonso, Edward J. Finn.
F´ısica para ingenier´ıa y ciencias. Volumen II. Tercera edici´on. Hans Ohanian.
F´ısica para ciencias e ingenier´ıa Seaway. Volumen 2. S´eptima edici´on.
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EXITOS
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