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˜
˜ 2015
SENALES
Y SISTEMAS - ANO
Ejercicios de Repaso de Probabilidades
1. Demostrar las siguientes afirmaciones:
¯
a) Si A ∩ B = ∅ entonces P (A) ≤ P (B).
b) Para cualquier A, B y C, se cumple:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
Generalizar para m´
as eventos.
c) Para cualquier A1 , . . . , An , se cumple:
P (A1 ∩ A2 ∩ . . . An ) = P (An /An−1 . . . A2 A1 ) · · · P (A3 /A2 A1 )P (A2 /A1 )P (A1 )
d) Si M1 , M2 , . . . , Mn son eventos mutuamente excluyentes y M = M1 ∪ M2 ∪ · · · ∪ Mn , entonces:
P (A/M ) = P (A/M1 )P (M1 )/P (M ) + P (A/M2 )P (M2 )/P (M ) + . . . + P (A/Mn )P (Mn )/P (M )
2. Una alarma puede dispararse accidentalmente si dos llaves (A y B) fallan simult´
aneamente. La probabilidad de que A falle es de 0,01 y de que B falle es 0,03. Se sabe tambi´en que la probabilidad de
que B falle si falla A es de 0,06.
a) ¿Cu´
al es la probabilidad de que se dispare accidentalmente la alarma?
b) ¿Cu´
al es la probabilidad de que A falle si falla B?
c) ¿Son los eventos: “La llave A falla” y “La llave B falla”, estad´ısticamente independientes?
3. Se tiene un canal binario (un canal binario es un medio por el que se transmiten dos s´ımbolos distintos:
0 y 1). Una manera de caracterizar dicho canal es la siguiente:
P00
0
m0
P0
1
Salida del Canal
Entrada del Canal
P10
1
P11
m1
donde pij es la probabilidad de recibir el s´ımbolo j habi´endose transmitido el s´ımbolo i.
a) ¿Cu´
al es la probabilidad de recibir m0 ? ¿y m1 ?
b) ¿Cu´
al es la probabilidad de error?
Tome p00 = 0,999, p01 = 0,001, p10 = 0,002 y p11 = 0,998, y suponga los s´ımbolos “0” y “1”
equiprobables y mutuamente excluyentes.
4. Se reciben dos env´ıos de resistencias de 1kΩ con una cantidad muy grande de unidades cada uno. El
fabricante estima que el 10 % de las resistencias del primer env´ıo son defectuosas, en tanto que para
el segundo la estimaci´
on es del 20 %.
a) De un env´ıo elegido al azar se extraen dos resistencias que resultan ser buenas. Calcular la
probabilidad de que las resistencias pertenezcan al primer env´ıo.
b) Hallar la probabilidad de que si se extrae una tercer resistencia del mismo env´ıo, esta tambi´en
sea buena.
Algunos resultados
2.
a) 6 × 10−4
3.
a) P {m0 } = 0,5005, P {m1 } = 0,4995
4.
a) 81/145
b) 0.02
b) 1241/1450
b) Pe = 0,0015