1. Ciencia

Departamento de Qu´ımica F´ısica
Qu´ımica Cu´antica y Espectroscop´ıa
Problemas de Qu´ımica Cu´antica.
Tema 1. Problema 1:
¿Cu´ales de las siguientes funciones son funciones propias de los operadores
d/dx y d2 /dx2 ? Indique los correspondientes autovalores en su caso.
a) ekx
b) sen kx
d) xe−x
c) cos 4x
2 /2
Tema 1. Problema 2:
Demostrar que las funciones de onda Ψ y Ψ′ = cΨ (donde c es una constante)
representan el mismo estado del sistema.
Tema 1. Problema 3:
Tenemos la funci´on de onda Ψ =
que hΨi |Ψj i = δij .
P
i ci Ψ i .
Calcula el valor de hΨ|Ψi sabiendo
Tema 1. Problema 4:
Eval´ue los siguientes conmutadores:
a) xˆ, d/dx
b) xˆ, pˆx
c) xˆ, pˆ2x
d) xˆ, pˆy
ˆ con
ψ1 y ψ2 son dos funciones propias normalizadas del operador herm´ıtico A,
valores propios distintos a1 y a2 . Si el sistema viene descrito por la funci´on de onda
√
1
3
ψ2
Ψ = ψ1 +
2
2
Tema 1. Problema 5:
determina lo siguiente:
a) La probabilidad de obtener cada uno de los valores propios a1 y a2 .
b) El valor esperado de la medida de A.
Tema 2. Problema 6:
Para el estado fundamental de la part´ıcula en una caja monodimensional:
a) Calc´ulese el valor esperado de la posici´on y de su cuadrado.
b) Calc´ulese el valor esperado del momento lineal y de su cuadrado.
Tema 2. Problema 7:
Tenemos una part´ıcula macrosc´opica de masa 1 kg que se mueve a una velocidad de 1 m/s dentro de una caja
unidimensional de longitud 1 m.
a) Encuentra el n´umero cu´antico correspondiente al estado cu´antico con estas propiedades.
b) Calcula, para el n´umero cu´antico calculado en a), la diferencia energ´etica entre dos estados consecutivos.
Comenta la magnitud de dicha diferencia.
Tema 2. Problema 8:
Calcula las posiciones de m´axima probabilidad para un oscilador arm´onico
monodimensional en el estado v = 2.
Problemas de Qu´ımica Cu´antica.
Tema 3. Problema 9:
2
Comprueba que los dos lados de las dos relaciones siguientes son iguales,
?
ˆ C]
ˆ =
ˆ C]
ˆ + [B,
ˆ C]
ˆ
[(Aˆ + B),
[A,
? ˆ ˆ ˆ
ˆ =
ˆ B]
ˆ Aˆ
[Aˆ2 , B]
A[A, B] + [A,
ˆ x, L
ˆ y ] = i¯hL
ˆz,
Usando las relaciones de la pregunta anterior, y sabiendo que [L
ˆy, L
ˆ z ] = i¯hL
ˆ x y [L
ˆz, L
ˆ x ] = i¯hL
ˆ y , demuestra que L
ˆ2 y L
ˆ z conmutan.
[L
Tema 3. Problema 10:
Tema 4. Problema 11:
La parte del espectro at´omico del helio ionizado He+ correspondiente a saltos
entre el nivel n1 = 4 y los que est´an por encima de ´el (n2 = 5, 6, . . .) se conoce como serie de Pickering. Calcule
las diferencias energ´eticas entre niveles y la frecuencia de la luz emitida (en unidades del sistema internacional)
para las primeras tres l´ıneas de dicha serie y para el l´ımite de la misma (n2 → ∞).
Tema 4. Problema 12:
Considera un ´atomo de hidr´ogeno con un electr´on en un orbital 2p1 y otro
´atomo de hidr´ogeno con un electr´on en un orbital 2p−1 .
a) ¿Tienen ambos ´atomos la misma energ´ıa? Justifica la respuesta.
ˆ2 y L
ˆ z en cada caso?
b) ¿Cu´al es el autovalor, en unidades at´omicas, de L
Tema 5. Problema 13:
Aplica el m´etodo variacional lineal para determinar los coeficientes y las
energ´ıas de funciones de prueba del tipo Ψ = c1 f1 + c2 f2 para el caso particular en que f1 y f2 sean funciones
reales que satisfacen las siguientes condiciones:
H11 = H22 = α
H12 = H21 = β
S11 = S22 = 1
S12 = S21 = S
Tema 5. Problema 14:
Considera una part´ıcula en una caja de potencial monodimensional de longitud
a, sometida a la siguiente perturbaci´on:
H ′ (x) = kx(x − a)
0≤x≤a
donde k es una constante. Utilizando la part´ıcula en una caja monodimensional como sistema no perturbado,
calcula la correspondiente correcci´on de primer orden de la energ´ıa para el estado fundamental.
Tema 6. Problema 15:
Escribe lo m´as expl´ıcitamente posible la siguiente funci´on de onda dada en
notaci´on abreviada:
Ψ = |φ1 φ1 φ2 |
Utiliza las funciones de esp´ın adecuadas.
Tema 6. Problema 16:
Escribe la configuraci´on del estado fundamental del ´atomo de ox´ıgeno.
Escribe la configuraci´on del estado electr´onico excitado cuando promocionas un electr´on desde el orbital
2s a un orbital 2p.
Determina los niveles espectrosc´opicos tanto para el estado fundamental, como para el estado excitado.
Problemas de Qu´ımica Cu´antica.
3
Tema 7. Problema 17:
La curva de energ´ıa potencial de una mol´ecula diat´omica puede aproximarse
mediante el denominado potencial de Morse:
2
U (R) = a + b 1 − e−c(R−d) ,
donde R es la distancia internuclear.
Calcula la distancia de equilibrio Re y la energ´ıa de disociaci´on De para un potencial de Morse con los
siguientes par´ametros (en unidades at´omicas): a = −1,175; b = 0,175; c = 1,03 y d = 1,40.
Tema 7. Problema 18:
Considera la siguiente serie de parejas de mol´eculas diat´omicas: (i) Li2 y Li+
2;
+
(ii) C2 y
(iii) O2 y
(iv) F2 y F2 . Escribe la configuraci´on electr´onica de cada una de ellas, emple´andolas
para razonar qu´e especie de cada pareja tendr´a mayor energ´ıa de disociaci´on, indicando los correspondientes
´ordenes de enlace.
C+
2;
O+
2;
Tema 8. Problema 19:
Indica los elementos de simetr´ıa, las operaciones de simetr´ıa y el grupo puntual
al que pertenecen los is´omeros cis-1-2-dicloroeteno y trans-1-2-dicloroeteno:
H
H
C
Cl
H
C
Cl
C
Cl
Cl
C
H