1. Ciencia

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de F´ısica
Electrodin´
amica
Tarea No 3
Lunes 20 de Octubre de 2014
Profesor:
Ayudante:
Alejandro Valdivia
Jose Mella
1. Problemas conceptuales:
a) Considere una masa en una dimensi´on bajo la influencia de la fuerza F = kx−2 et . Escriba el
Lagrangiano y encuentre las ecuaciones de movimiento. Determine el Hamiltoniano y comp´arelo
con la energ´ıa total. ¿Qu´e pasa con la conservaci´on de energ´ıa?
b) Una masa m se mueve en una dimensi´on con un Lagrangiano de la forma
m2 4
x˙ + mx˙ 2 V (x) − V 2 (x) .
12
Encuentre la ecuaci´on de movimiento y una constante de movimiento.
L=
c) Partamos con el Lagrangiano (γ > ω)
1
L = m x˙ 2 − ω 2 x2 eγt .
2
Encontrar la ecuaci´on de movimiento. Encontrar el momento can´onico y H. (c) Es H una constante de movimiento? Se conserva la energ´ıa? (d) Dado x(0) = 0 y x(0)
˙
= Vo , encontrar
iλt
x(t → ∞) (ayuda x ∼ e )
2. Tomemos un anillo de masa M que adem´as es un p´endulo. En este
anillo hay una masa m que puede resbalar libremente (sin fricci´on)
a lo largo del anillo como se muestra en la Fig. 1
a) Encuentre el Lagrangiano del sistema.
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento
c) Encuentre los estados estacionarios.
d ) Cuales son las frecuencia de peque˜
nas oscilaciones y los modos
del sistema para los estados estables?
1
3. Tomemos 2 masas m puntuales conectados por 3 resortes de tama˜
no en equilibrio xo . El sistema esta
entre dos paredes separadas por una distancia L. Encuentre el punto de equilibrio y los modos de
oscilaci´on. Hay alguna diferencia entre L > 3xo y L < 3xo
4. Tomemos un p´endulo de masa m y largo R sobre un carro de masa
M que se puede desplazar en una dimensi´on sobre la superficie
como muestra la Figura. Encuentre las ecuaciones de movimiento.
¿Qu´e constantes de movimiento hay? ¿Son la energ´ıa y el Hamiltoniano constantes de movimiento? ¿Es el Hamiltoniano igual a la energ´ıa? Describa el movimiento cerca del punto de equilibrio estable.
¿A qu´e corresponden los modos? Construya la soluci´on completa
cerca del punto de equilibrio. Vea si su soluci´on tiene sentido en
l´ımite M
m.
5. Tomemos una masa m que cuelga de una cuerda de largo que esta
atada a un resorte (con largo de equilibrio E tal que E << L).
Este resorte esta atado a un eje que rota con frecuencia ω como
se muestra en la Figura. Encuentre las ecuaciones de movimientos. Encuentre el equilibrio relevante. Es estable? Encuentre la frecuencia de peque˜
nas oscilaciones para el caso = 3 E y L = 2 E .
¿Qu´e constantes de movimiento hay? ¿Son la energ´ıa y el Hamiltoniano constantes del movimiento? ¿Es el Hamiltoniano igual a la
energ´ıa?
θ
m
M
ω
L
θ
r
m
P´endulo con resorte rotando
a frecuencia ω
6. Un le˜
nador corta un ´arbol de masa M en su base y este empieza
a caer (asuma que no resbala). Asuma que el a´rbol tiene momento
de inercia I con respecto al eje de rotaci´on y que su centro de masa
esta a una altura h en el eje del a´rbol. El a´rbol parte en su posici´on
vertical en reposo y cae como se muestra en la Figura
a) Primero asumamos que el ´arbol no se despega del suelo y
escriba el Lagrangiano, el Hamiltoniano y la ecuaci´on de
movimiento para el ´angulo θ
b) Encuentre las fuerzas de restricci´on por el m´etodo de multiplicadores de Lagrange (ayuda: trabaje en (r, θ))
c) Para que a´ngulo se empieza a despegar del suelo?
2
g
θ
´
Arbol
sobre el suelo
7. Un auto en movimiento sobre un camino horizontal, con una puerta
accidentalmente abierta con un a´ngulo inicial φ0 (donde φ = 0
indica que la puerta est´a completamente cerrada. El movimiento
del carro est´a descrito la funci´on X(t). La puerta tiene masa M , un
ancho W y altura H, con espesor insignificante. La bisagra de la
puerta permite una rotaci´on completa de ´esta.
a) Escriba el Lagrangiano de la puerta , considerando que es un
cuerpo r´ıgido que rota.
b) Encuentre la ecuaci´on diferencial para el ´angulo de la puerta
respecto al auto, en t´erminos de X(t) (que se asume conocida).
c) Describa (sin una soluci´on anal´ıtica) el movimiento de la puerta cuando el auto se mueve con (a) velocidad uniforme, (b)
aceleraci´on positiva, (c) aceleraci´on negativa.
d ) Bajo qu´e condiciones la puerta puede tener peque˜
nas oscilaciones en torno a la posici´on equilibrio. ¿Cu´al ser´a la frecuencia de estas oscilaciones?
e) Encuentre el Hamiltoniano del sistema. ¿Esta conservado?,
¿es igual que la energ´ıa?, justifique.
8. Un semi-aro de masa M y radio R se puede deslizar sin rozamiento a
lo largo del eje x y girar en torno a este como se muestra en la figura.
Una part´ıcula tambi´en de masa m desliza sin rozamiento restringida
a moverse en el borde del semi-aro (suponga que m = M ).
a) Escriba el Lagrangiano.
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento.
c) Encuentre los equilibrios. ¿Puede existir un equilibrio con x˙ =
0?.
d) Perturbe sobre uno que tenga sentido perturbar. Encuentre
las frecuencias para peque˜
nas oscilaciones
Semi-aro
e) Encuentre los modos normales.
f) ¿A que corresponden?
3
9. Considere un sistema formado por un bloque de masa M que esta
conectado a un resorte de constante k y largo natural o = 0 fijo a
una muralla. Sobre este bloque rueda sin resbalarse una pelota de
radio R y momento de inercial I como se observa en la figura. Encuentre el Lagrangiano en variables generalizadas y las ecuaciones
de movimiento. Encuentre un equilibrio y calcule las frecuencias de
peque˜
nas oscilaciones y los modos normales. Grafique a que corresponden estos modos. Calcule el Hamiltoniano, la energ´ıa, se˜
nale
si son iguales y cuales son constantes. Use el m´etodo de multiplicadores de Lagrange encuentre las ecuaciones de movimiento y
calcule la fuerza de restricci´on. Describa cuando la pelota comienza
a deslizarse.
10. Tomemos un numero N de p´endulos de masa m y largo L, que se
mueven en forma transversal a una barra e interact´
uan con resortes
angulares a trav´es de una fuerza (k(θn+1 − θn ), con θn como la
desviaci´on angular con respecto a la vertical del p´endulo n.
a) Encuentre el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento
para este sistema.
b) Tomemos la distancia entre p´endulos como d y tomemos el
limite d → 0, m → 0, k → ∞, con ρ = m/d, η = kdconstante
y encuentre la ecuaci´on de sine-gordon para el a´ngulo θ(x, t).
c) Demuestre que la ecuaci´on tiene una soluci´on solit´onica con
|α| < 1

 ωx
+ αωt
v

θ(x, t) = 4 tan−1 Exp ± √
1 − α2
Que valor tienen θ, ν y α?
d ) Construya la simulaci´on num´erica para los pendulos discretos
y encuentre la soluci´on solit´onica.
2
4x (x − 1)
´
Util:
Sin [4T an−1 x] = −
(x2 + 1)2
4
k
m
M
P´endulo y dos masas