1. Internet

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Soluciones a desarrolla tus competencias
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LEE Y COMPRENDE
Una sucesión famosa
Las abejas macho nacen de huevos no fertilizados; es decir, tienen madre pero no padre.
Las abejas hembra nacen de huevos fertilizados.
El siguiente esquema nos permite observar el número de antepasados de una abeja macho en las distintas generaciones:
M
1
H
1
H
M
H
M
H
M
H
M
2
M
H
H
M
3
H
H
H
H
M
5
H
8
…………………………………………
• ¿Cuántos antecesores tiene una abeja macho en la décima generación de antepasados?
• La sucesión obtenida 1, 1, 2, 3, 5, … recibe el nombre de sucesión de Fibonacci (matemático italiano del siglo XIII). ¿Podrías encontrar su ley de formación?
• El número de antepasado en cada una de las diez primeras generaciones es:
1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89
• Ley de formación: Cada término se obtiene sumando los dos que le preceden:
a1 = 1; a2 = 2; an = an – 1 + an – 2
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CONJETURA Y GENERALIZA
= 1 8 12 = 12
• OBSERVA: 13
13 + 23
= 9 8 32 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33 = 36 8 62 = (1 + 2 + 3)2
• HAZ UNA CONJETURA: ¿Puedes predecir el valor de las siguientes expresiones?
13 + 23 + 33 + 43 = ?
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = ?
¡Compruébalo!
Unidad 3. Progresiones
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Soluciones a desarrolla tus competencias
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• GENERALIZA TUS CONCLUSIONES:
— ¿Cuál sería el valor de 13 + 23 + 33 + … + 103?
— Elabora una fórmula que te permita calcular:
Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3 cualquiera que sea el término natural n.
La observación de los primeros casos sembrará la sospecha de que se cumple lo siguiente:
13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100
(1 + 2 + 3 + 4)2 = 102 = 100
Se confirma lo supuesto. Y podemos seguir comprobando:
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225
(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 152 = 225
[
]
2
13 + 23 + 33 + 43 + … + n 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n)2 = (1 + n) · n
2
Es decir, la suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual al cuadrado de la suma de dichos números.
La demostración, aplicando el método de inducción, se puede encontrar en el CD-ROM
Recursos Didácticos.
UTILIZA TU INGENIO
¿Un negocio rentable? ¡Sí, para años bisiestos!
El día 1 de cierto mes, un amigo le propone a otro un trato.
“Cada día de este mes tú me das 100 000 € y yo duplico el dinero que hay en esta caja
que, a fin de mes, te podrás llevar” —le dijo, mostrando un céntimo que había dentro—. “Podemos empezar hoy, si quieres”.
El otro, después de pensar y echar cuentas con la calculadora, contestó riendo: “¿Por
qué no me lo propones dentro de un año, exactamente?”
Intenta averiguar en qué fecha pudo ser esa conversación y justifica la respuesta.
Era el día uno de febrero de un año anterior a un bisiesto. Es decir, el mes actual tiene
28 días y el del año que viene, 29.
Así, este año las cuentas salen como sigue:
— Una aportación de 100 000 € al día supone 100 000 · 28 = 2 800 000 €.
— Doblando cada día una cantidad inicial de 0,01 €, se obtiene:
0,01 · 228 = 2 684 354,56, cantidad inferior a la primera.
Sin embargo, febrero del año que viene tendrá un día más (29):
— Una aportación de 100 000 € al día supone 100 000 · 29 = 2 900 000 €.
— Doblando cada día una cantidad inicial de 0,01 €, se obtiene:
0,01 · 229 = 5 368 709 €, cantidad muy superior a la anterior.
Unidad 3. Progresiones