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Álgebra
ÁLGEBRA
Sesión No. 6
Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas. Parte II.
Objetivo: al finalizar la sesión, el estudiante diferenciará entre una progresión
aritmética y una progresión geométrica, así mismo calculará el valor de un
elemento que ocupe una posición dada de cualquier progresión.
Contextualización
¿Qué son las progresiones y cómo nos pueden ser útiles?
Para muchas situaciones cotidianas como es el caso de las inversiones,
crecimiento o decrecimiento poblacional, el llenado de una presa debido a las
lluvias, etc., algunos fundamentos matemáticos son una parte muy importante,
ya que los cambios suelen tener comportamientos que llevan un patrón a través
del tiempo y es ahí donde las progresiones, tanto aritméticas como geométricas,
son la clave para su cálculo.
El conocer el comportamiento futuro de un fenómeno o situación de la vida diaria
nos permitirá tomar la mejor decisión ante una gama de oportunidades.
¿Sabes cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una
progresión geométrica?
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Introducción al Tema
¿Qué son las progresiones y cuántos tipos hay?
Una progresión es una sucesión de números reales ordenados, donde el valor
de un término depende del anterior (excepto el primer término) y de la suma o
producto de una cantidad.
En las progresiones aritméticas esa cantidad se suma o resta, y en el caso de
las progresiones geométricas se multiplica.
Sus aplicaciones son muy útiles y variadas, por ejemplo en el área financiera
donde nos permite estudiar el comportamiento del capital en operaciones
principalmente bancarias o bursátiles; o en el área de la física nuclear para el
estudio del comportamiento de los núcleos de un isótopo radiactivo que tienden
a desintegrarse de manera progresiva.
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Explicación
3.3 Progresiones aritméticas
¿A qué se les llama progresiones aritméticas?
Una progresión o sucesión, es un conjunto ordenado de números reales, donde
cada uno es llamado término.
a1, a2, a3, a4,… an
El término general de una sucesión es una expresión algebraica con la cual se
calcula el valor de un término dependiendo del lugar que ocupa.
En una progresión aritmética, a partir del segundo término, podemos conocer el
valor de cualquiera de ellos sumando una cantidad fija d, llamada diferencia, al
anterior.
Ejemplo:
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,. . .
Donde d = 4, ya que es la diferencia entre un término y el anterior.
Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula:
Si queremos calcular el valor del 5° y 27° términos de la progresión anterior:
A5 = 6 + (5 – 1) 4 = 22
A27 = 6 + (27 – 1) 4 = 110
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Para calcular la suma de los primeros n términos se aplica la fórmula:
Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, y dado que ya
tenemos calculados los términos a5 y a27, calcularemos la suma de los primeros
5 y 27 términos.
S5 = 5/2 (6 + 22) = 70
S27 = 27/2 (6 + 110) = 1 566
3.4 Progresiones geométricas
¿Qué es una progresión geométrica?
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales donde el valor
de cada término depende del anterior y el producto de una cantidad fija llamada
razón.
Existen fórmulas para calcular el valor del término que ocupa un lugar en
específico o para obtener la suma de los primeros n elementos de la progresión.
A partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos
multiplicando una cantidad fija r, llamada razón, al anterior.
Ejemplo:
4, 12, 36, 108, 324, 972,. . .
Donde r = 3, ya que si multiplicamos cualquier término por 3 obtenemos el
siguiente.
Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula:
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Si queremos calcular el valor del 6° y 18° términos de la progresión anterior:
a6 = 4 (36-1) = 972
a18 = 4 (318-1) = 516 560 652
La fórmula que nos permite calcular la suma de los n primeros términos es:
Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, calcularemos la
suma de los primeros 6 y 18 términos.
S6 = 4 (1 – 36) / (1 – 3) = 1 456
S18 = 4 (1 – 318) / (1 – 3) = 258 280 423
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Conclusión
Las progresiones aritméticas son sucesiones de números reales en la que
cada término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior llamada
diferencia.
Las progresiones geométricas son sucesiones de números reales donde
cada término se puede calcular multiplicando el anterior por un valor fijo que se
conoce como razón.
A partir de fórmulas se puede calcular el valor de un término o la suma de los
primeros n términos, conociendo el valor del primero y la diferencia o razón,
dependiendo del tipo de progresión que se trate.
¿Sabes qué es un sistema de ecuaciones lineales?
¿Conoces la utilidad de un sistema de ecuaciones?
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Para aprender más
¿Cómo trabajar con progresiones?
Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA.
¿Qué utilidad tienen las progresiones?
Díaz, J. (s/f). Progresiones. Información disponible en:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html
Tan, S. T. (2005). Matemáticas para administración y economía. México:
Thomson.
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, ahora tendrás que realizar una actividad en la cual resolverás
problemas relacionados con el tema de las progresiones, donde aplicarás los
conocimientos y habilidades obtenidos.
Desarrollo:
1.- Completa la siguiente sucesión si se sabe que el término general es:
an = 3n2
3, 24, ______, 192, 375, ________, 1029, _________, 2187, 3000
2.- Aplicando el concepto de una progresión aritmética resuelve:
Una persona realiza un depósito en una institución bancaria de $950,000 por el
cual recibirá mensualmente una cantidad fija de $23,750 como concepto de
intereses.
Calcula los intereses que acumulará después de un año de haber hecho el
depósito, si no realiza ningún movimiento durante ese tiempo y la cantidad total
que retiraría.
3.- Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente
progresión:
5, 30, 180, 1080,. . .
a5=
a7=
a10=
4.- Aplicando el concepto de una progresión geométrica resuelve:
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Un empresario tiene programado incrementar su producción en un 30% cada
mes respecto al anterior. Si su producción actual es de 200 piezas mensuales,
calcula el número de piezas que estaría produciendo después de:
a) Seis meses.
b) Nueve meses.
c) Un año.
Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del
conocimiento tanto de las progresiones aritméticas como de las progresiones
geométricas, lo cual te facilitará la comprensión de temas más complejos.
Guarda tu actividad en formato PDF y entrégala de acuerdo a las indicaciones
de tu profesor.
Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo
siguiente:
Carátula.
Desarrollo completo y correcto de los ejercicios.
Ortografía y redacción.
Respuestas completas y correctas.
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Bibliografía
Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA.
Tan, S. T. (2005). Matemáticas para administración y economía. México:
Thomson.
Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson.
Cibergrafía
Ayón, M. C. (s/f). Sucesiones y series. Información disponible en:
http://www.unidad094.upn.mx/revista/54/03.html
Díaz, J. (s/f). Progresiones. Información disponible en:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html
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