1. Internet

M´
etodos Estad´ısticos en la Ingenier´ıa
Pr´
acticas 7 y 8
Variables Aleatorias
Objetivos
En esta pr´actica utilizaremos el SPSS como herramienta para calcular probabilidades
de distribuciones, probabilidades inversas y generar n´
umeros aleatorios.
´Indice
1. Generaci´on de muestras aleatorias.
2. Probabilidad de una variable aleatoria. Funci´on de distribuci´on. Funci´on de distribuci´on inversa. Funciones de probabilidad y densidad.
3. Dibujar una funci´on de densidad.
4. Teorema Central del L´ımite.
C´
omo hacer
Generar muestras aleatorias: Desde Transformar/Calcular se pueden utilizar las funciones que generan valores aleatorios. Estas funciones empiezan por las letras RV.
(Random Value). Si queremos generar una variable con n valores aleatorios tendremos primero que indicarle al SPSS que queremos n. Para ello basta con que
nos situemos en la casilla correspondiente a la columna 1 y fila n y poner alg´
un
valor. En Transformar/Generadores de n´
umeros aleatorios ... podemos fijar
la semilla aleatoria.
Calculo de Probabilidades de Distribuciones: Desde Transformar/Calcular se pueden
utilizar las funciones de distribuci´on. Estas funciones empiezan por las letras CDF.
(Cumulative Distribution Function). Recuerda que F (x) = P (X ≤ x). Para las v.a.
discretas mediante las funciones que empiezan por PDF. se pueden calcular P (X =
k) (es decir son funciones de probabilidad). Para las distribuciones continuas PDF.
representan la funci´on de densidad. En este caso pueden ser u
´tiles esta funci´on para
representarlas gr´aficamente (utilizando la variable $casenum que nos da el n´
umero
de caso).
C´alculo de cuantiles: El cuantil Cα de una v.a. X representa un valor que verifica
P (X ≤ Cα ) = α (para ser m´as estrictos representa que P (X ≤ Cα ) ≥ α y P (X ≥
Cα ) ≥ 1−α). Para el c´alculo de cuantiles (o valores a partir de una probabilidad) el
SPSS utiliza las funciones que empiezan por IDF. (Inverse Distribution Function).
Ejercicios
1. Genera muestras aleatorias de tama˜
no 100 para las siguientes distribuciones: N(0,1),
t(10) (t-Student con 10 grados de libertad) y B(8,0.3). ¿Cu´antos valores hay fuera
del intervalo [-2,2] en la N(0,1), es razonable ese n´
umero? ¿Cu´antos valores iguales
a 8 hay en la B(8,0.3), es razonable?
2. Genera muestras aleatorias de tama˜
no 500 de una N(5,2) y una Exp(λ = 1).
Representa los datos mediante un histograma para cada variable que incluya la
curva normal. ¿Se ajustan los histogramas a la curva normal?
3. Calcula
Las probabilidades P (X ≤ 3), P (X ≤ 5) y P (X = 9) si X ∼B(20,0.3).
Las probabilidades P (X ≤ −1), P (X ≥ 1), P (X ≤ 2) y P (X < 2) si X ∼
N(2,3).
Los percentiles 90, 5 y 50 de una distribuci´on N(0,3) y de una Beta(1,2).
4. Vamos a representar la funci´on de densidad de una Exp(1). Para ello sigue los
siguientes pasos.
Crea una variable valor con 100 valores desde Transformar/Calcular a˜
nadiendo la siguiente expresi´on ($casenum − 1)/20. La variable $casenum es una
especial del SPSS que devuelve el n´
umero de caso. ¿Qu´e has obtenido?
Crea una nueva variable Exp 1 que va a tener la expresi´on PDF.EXP(valor,1).
Es decir la imagen de la funci´on de densidad de una exponencial con par´ametro
λ = 1 para cada valor de la variable valor.
Representa gr´aficamente la variable Exp 1 mediante un gr´afico de l´ıneas con
valores individuales de los casos y utiliza la variable valor en etiquetas
de categor´ıas.
¿Es parecido este gr´afico al gr´afico obtenido en el ejercicio 2?
Utilizando esta misma t´ecnica, representa la funci´on de densidad de una Beta(2,3).
5. El promedio de part´ıculas radioactivas que pasan por un contador durante un
milisegundo es 4. Se pide: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un determinado
milisegundo pasen 6 part´ıculas por el contador? b) ¿Cu´al es la probabilidad de
que en cierto segundo pasen entre 3975 y 4050 part´ıculas? (Calcula este u
´ltimo
apartado de forma exacta y aproximando por una normal).