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ESTAD´ISTICA
Grado en Ingenier´ıa Qu´ımica
Curso 2014/2015
Relaci´
on 2 de problemas
probabilidad
1. Se lanza un dado (“equilibrado”) 10 veces. Calcular la probabilidad de que
a) salga al menos un 6;
b) nunca aparezca ni el 2 ni el 3;
c) salga exactamente un 6.
2. El temario de una oposici´on consta de 71 temas. En el examen se eligen dos temas al azar
y el opositor tiene que desarrollar uno a su elecci´on.
a) Si el opositor se sabe 30 temas, ¿cu´al es la probabilidad de aprobar?
b) ¿Cu´antos temas hay que preparar para que la probabilidad de aprobar sea del 90 %?
3. Sabemos de que entre los vacunados contra la gripe, un 10 % enferma; y de entre los no
vacunados, enferma un 30 %. Este a˜
no se ha vacunado el 40 % de la poblaci´on.
a) Calcula la proporci´on de enfermos que esperamos tener.
b) ¿Con qu´e tasa de vacunaci´on enfermar´ıa un 15 % de la poblaci´on?
4. Se ha hecho un estudio de 100 000 coches utilitarios de tres marcas A, B y C durante un
a˜
no, resultando los siguientes datos:
Tuvieron un accidente
No tuvieron un accidente
A
B
C
650
200
150
49350 19800 29850
(a) ¿Cu´al de las tres marcas ha resultado ser m´as segura?
(b) Calcular la probabilidad de que si un coche ha sufrido un accidente sea de la marca A.
5. Tenemos una prueba de diagn´ostico para un cierto tipo de c´ancer. La prueba da positivo
con probabilidad 96 % si el paciente tiene c´ancer; y da positivo con probabilidad 5 % si el
paciente no tiene c´ancer. Solo un 0.5 % de la poblaci´on tiene dicho tipo de c´ancer.
Se elige un individuo al azar en la poblaci´on. Calcular:
(a) La probabilidad de que el individuo d´e positivo y tenga c´ancer.
(b) La probabilidad de que el individuo d´e positivo y no tenga c´ancer.
(c) Si sabemos que el individuo ha dado resultado positivo, ¿cu´al es la probabilidad de
que tenga realmente c´ancer?
modelos y variables discretas
6. Suponiendo que la probabilidad de que un ni˜
no que nace sea var´on es 51 %, hallar la
probabilidad de que una familia de 6 hijos tenga
a) por lo menos una ni˜
na,
b) por lo menos un ni˜
no,
c) por lo menos dos ni˜
nos y una ni˜
na.
7. Una compa˜
n´ıa de seguros con 10000 asegurados halla que el 0,005 % de la poblaci´on fallece
cada a˜
no de un cierto tipo de accidente.
a) Hallar la probabilidad de que la compa˜
n´ıa tenga que pagar a m´as de tres asegurados,
por dicho accidente, en un a˜
no determinado.
b) ¿Cu´al es el n´
umero medio de accidentes por a˜
no?
8. La probabilidad de que una pieza tenga un fallo durante el primer a˜
no de funcionamiento
es 0,001. Halla la probabilidad de que, entre 2000 piezas, presenten un fallo (a) exactamente
tres, (b) m´as de 2.
9. Un emisor env´ıa se˜
nales una vez cada hora, y en media, es capaz de enviar se˜
nales durante
5 horas.
a) Calcula la probabilidad de que siga emitiendo tras 8 horas.
b) Un sistema consta de 10 emisores. El sistema se considera operativo si al menos cuatro
de los emisores est´an funcionando. Calcula la probabilidad de que el sistema siga operativo
tras 8 horas.
10. El n´
umero de bacterias por cm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria X con
distribuci´on de Poisson de par´ametro λ = 0,5.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un cm3 de agua del estanque no haya ninguna
bacteria?
(b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 cm3 de agua en
cada tubo). ¿Qu´e distribuci´on sigue la variable Y que representa el n´
umero de tubos de
ensayo, entre los 40, que no contienen bacterias? Calcula P(Y ≥ 20).
(c) Si sabemos que en un tubo hay bacterias, ¿cu´al es la probabilidad de que haya menos
de tres?
modelos y variables continuas
11. Tras un estudio estad´ıstico, una compa˜
n´ıa de transportes urbanos sabe que el tiempo
en minutos que invierte cada uno de sus veh´ıculos en efectuar un recorrido completo es una
variable aleatoria con funci´on de densidad:
f (x) =
120
,
x2
si 40 ≤ x ≤ 60.
(a) Por t´ermino medio, ¿cu´anto tardan los veh´ıculos en completar el recorrido?
(b) Calcula la probabilidad de que un veh´ıculo invierta m´as de 55 minutos en hacer el
recorrido.
(c) El 50 % de los recorridos duran menos que T y el 50 % restante duran m´as. Determina
razonadamente si T es menor, mayor o igual a 50 minutos (no es necesario calcular T ).
12. El tiempo de vida activa de un plaguicida (en d´ıas) es una variable aleatoria X con
funci´on de densidad
1 −x/500
e
, si x ≥ 0
500
f (x) =
0,
si x < 0
(a) Calcula el valor m tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que m es 0.5.
Interpreta el resultado obtenido.
(b) Si al cabo de 800 d´ıas el plaguicida ya no estaba activo, ¿cu´al es la probabilidad de
que tras 600 d´ıas todav´ıa lo estuviera?
13. El tiempo (medido en horas) hasta la evaporaci´on completa de un cierto compuesto viene
dado por
1 − x/2 si 0 ≤ x ≤ 2
f (x) =
0
en otro caso
a) Calcula el tiempo medio de evaporaci´on.
b) Calcula la probabilidad de que la evaporaci´on se complete antes de 1 hora.
14. Una f´abrica produce una pieza en dos calidades diferentes: el 60 % de la producci´on es
de calidad A. La duraci´on (en a˜
nos) de una pieza de esta calidad viene dada por la funci´on
de densidad
−x
e
si x > 0
fA (x) =
0
en el resto.
El 40 % restante es de calidad B. La duraci´on viene dada, en este caso, por la funci´on de
densidad
−2x
si x > 0
2e
fB (x) =
0
en el resto.
(a) Calcula la probabilidad de que una pieza de calidad A dure m´as de 1 a˜
no.
(b) Si tomamos una pieza al azar de toda la producci´on, ¿cu´al es la probabilidad de que
dure m´as de 1 a˜
no?
15. El tiempo (en minutos) que tarda un is´otopo radiactivo de Bismuto-214 en decaer a
Polonio-214 sigue una distribuci´on exponencial con funci´on de densidad
f (x) =
1 −x/20
e
, si x > 0,
20
y f (x) = 0, si x ≤ 0.
(a) Calcula la probabilidad de que un is´otopo tarde en decaer m´as de 20 minutos.
(b) Calcula la probabilidad aproximada de que, en una muestra de 100 is´otopos, al
menos 40 de ellos tarden en decaer m´as de 20 minutos.