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Álgebra
ÁLGEBRA
Sesión No. 7
Nombre: Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Parte I.
Objetivo: al finalizar la sesión, el estudiante identificará correctamente un
sistema de ecuaciones lineales, así como los sistemas de ecuaciones lineales de
dos y de tres variables.
Contextualización
¿Para qué existen los sistemas de ecuaciones?
Las matemáticas son fundamentales en la vida diaria y todo lo que nos rodea
está regido por ellas. Para aplicarlas, el primer paso es plantear el problema y
ser entendido dentro de un contexto cotidiano. El segundo paso es plantear la
situación o el problema como expresiones algebraicas, atendiendo a las
condiciones que se establecen.
Muchas veces para una situación hay que generar más de una expresión
matemática, pero todas ellas deben llevar a una sola solución del problema, la
que se busca. A ese conjunto de ecuaciones se les suele llamar Sistema de
ecuaciones.
¿Sabes cuántos tipos de sistemas de ecuaciones existen?
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Introducción al Tema
Te has preguntado ¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Una ecuación lineal es aquella que tiene la forma de un polinomio de
primer grado y su gráfica está representada por una recta.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que, el
resolverlo consiste en calcular el valor de todas las variables, de tal manera que
cumplan todas las ecuaciones del sistema de manera simultánea.
Una primera condición que se debe cumplir para que un sistema de ecuaciones
lineales pueda resolverse, es que el número de ecuaciones debe ser igual o
mayor al número de variables.
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Explicación
4.1 Sistemas de ecuaciones lineales
¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer
grado que involucran las mismas variables, de tal manera que el resolverlo
consiste en calcular el valor de las variables para que se cumplan de manera
simultánea todas las ecuaciones del sistema.
El número de ecuaciones debe ser igual o mayor al número de variables, de otra
manera se considera que el sistema no es posible que tenga solución.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar en:
Incompatibles: No tienen solución.
Compatibles: Tienen solución.
o Determinados: Única solución.
o Indeterminados: Infinitas soluciones.
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4.2 Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
¿Para dos incógnitas qué características tiene?
Cada una de las ecuaciones representa una recta, la solución del sistema sería
el punto donde se cortan las dos rectas en el plano cartesiano. Pero si las rectas
resultan ser paralelas, entonces el sistema no tiene solución y, en caso de que al
trazar una recta esta que sobre la otra, entonces el sistema tendría un número
infinito de soluciones.
Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas, sin embargo con todos ellos se debe llegar a una misma solución, los
más habituales son:
Método gráfico.
Método de sustitución.
Método de igualación.
Método de eliminación.
Método de determinantes.
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4.3 Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Con tres incógnitas, ¿cómo se puede resolver?
Cada ecuación del sistema representa una recta, la solución única del sistema
sería el punto donde coinciden las tres rectas en el plano cartesiano. Si al menos
dos de las tres rectas son paralelas el sistema no tiene solución y, si al trazar las
tres rectas en el plano cartesiano, quedan sobrepuestas una sobre otra,
entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.
Para la solución de este tipo de sistema existen varios métodos, algunos de ellos
son:
Método de eliminación.
Método de Gauss.
Método de determinantes.
Aplicando matrices.
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Conclusión
El número de ecuaciones en un sistema de
ecuaciones lineales debe ser al menos igual al
número de variables.
Existen varios métodos para resolver un sistema
de ecuaciones lineales, entre ellos el gráfico,
donde la solución del sistema está dado por las
coordenadas del punto donde se intersectan las rectas descritas por cada una
de las ecuaciones.
Cualquier método que se aplique debe llevar siempre a una misma solución, la
cual consiste en obtener el valor de cada una de las variables, que al ser
sustituidas de manera simultánea en las ecuaciones se debe cumplir con todas
las igualdades.
¿A qué se le llama determinante?
¿Cuáles son las reglas de Sarrus y de Kramer?
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Para aprender más
¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales?
Pascual, J. (s/f). Sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicios resueltos.
Documento disponible en:
http://matematicasjjp.webcindario.com/sistemas_lineales_resueltos.pdf
¿Cuántos tipos de ecuaciones lineales hay?
S/a, (s/f). Sistemas de ecuaciones lineales. Documento disponible en:
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, ahora tendrás que realizar una actividad en la cual resolverás sistemas
de
ecuaciones
lineales
por
diferentes
métodos,
donde
aplicarás
los
conocimientos y habilidades obtenidos.
Desarrollo:
1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por método gráfico
utilizando un plano cartesiano para cada sistema:
a)
2x – 5y = 11
– x + 2y = - 5
b)
3x – y = 10
– 6x + 2y = 15
2.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de
sustitución o método de igualación:
6x – 2y = 12
4x + 4y = 16
3.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de
eliminación:
0.2x – 0.4y = – 16
– 0.5x + 0.2y = 0
4.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de
eliminación:
2 y + 3z = 7
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3x + 6y ─ 12z = ─ 3
5x ─ 2y + 2z = ─ 7
Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del
conocimiento del concepto de los sistemas de ecuaciones lineales, el cual te
facilitará su aplicación en temas más complejos.
Guarda tu actividad en formato PDF y entrégala de acuerdo a las indicaciones
de tu profesor.
Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo
siguiente:
Carátula.
Desarrollo completo y correcto de los ejercicios presentados.
Ortografía y redacción.
Representación gráfica.
Respuestas completas y correctas.
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Bibliografía
Rees, P. (1991). Álgebra. México: Mc Graw Hill.
Cibergrafía
Diez, C. (1998). Fundamentos de álgebra. Documento disponible en:
http://www.uamenlinea.uam.mx/materiales/matematicas/alg_basica/ADALID_DIE
Z_DE_U_CLARAMARTHA_Fundamentos_de_algebra.pdf
Pascual, J. (s/f). Sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicios resueltos.
Documento disponible en:
http://matematicasjjp.webcindario.com/sistemas_lineales_resueltos.pdf
S/a, (s/f). Sistemas de ecuaciones lineales. Documento disponible en:
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf
S/a (s/f). Sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. Información
disponible en:
http://facultad.bayamon.inter.edu/NTORO/sistemaseclineales2variables.htm
S/a (s/f). Sistemas de ecuaciones lineales. Documento disponible en:
http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0014_Sistemas_Lineales.pdf
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