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Universidad de Los Andes.
Núcleo Universitario Rafael Rangel.
Departamento de Física y Matemáticas.
Trujillo- Venezuela.
PROGRAMA DE CÁLCULO 20
Ciclo Básico de Ingeniería (Todas las menciones)
DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA:
Unidad Curricular:
Código:
Unidades de crédito:
Cálculo 20
Régimen:
81005
Modalidad:
Semestral
5
Carácter:
Presencial
Obligatorio
Ubicación:
Segundo Semestre del Plan de Estudio del Ciclo Básico de Ingeniería.
Prelaciones:
Horas de clases
Cálculo 10 semanales:
6
Distribución de Horas:
HT: 4h HP: 2h
JUSTIFICACIÓN:
Durante los siglos XVI y XVII, surgió la necesidad de establecer la forma en que
varía una cantidad a otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en
donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el
tiempo. Por esto, se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función.
Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas,
entre la que está el cálculo diferencial (derivadas), que básicamente estudia la
variación y los procesos de cambio. Así pues, cuando vas en un auto y éste
acelera, esa variación de velocidad en un tiempo determinado la puedes
representar por una derivada. Así mismo, al estudiar las derivadas surge un
concepto íntimamente relacionado que es el de Integrales, estos dos conceptos
junto a sus aplicaciones en el entorno cotidiano de un ingeniero, conforman una
las bases fundamentales para la formación en la carrera, es por ello la presencia
de esta materia y su importancia en el pensum de estudio, ya que esta materia se
centra en el estudio del cálculo diferencial e integral.
REQUERIMIENTOS:
El requerimiento principal es la materia de Cálculo 10 del mismo plan de estudio,
debido a que los estudiantes deben llegar a cursar esta materia con conocimientos
elementales acerca de los números reales y su utilidad en la modelación de
problemas de la vida cotidiana, así como también identificar, manejar y conocer la
importancia de las funciones reales de variable real, y tener los conocimientos
básicos acerca de la grafica de funciones elementales, límites y continuidad de
funciones.
OBJETIVO GENERAL:
Reconocer el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral como herramientas para el
estudio de las variaciones de una función real de variable real, e incentivar al
estudiante para que valore la importancia de la derivada en la resolución de
problemas de la vida cotidiana.
CONTENIDOS Y OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Unidad de Aprendizaje 1: Derivadas.
Objetivos Específicos:
1. Calcular la derivada de una función a partir de la definición como límite y
aplicando las reglas, tablas y propiedades básicas.
2. Establecer la relación entre razón de cambio, recta tangente, recta normal y
derivabilidad para modelar problemas.
3. Valorar la importancia de la utilización de las derivadas en algunos
problemas de la vida cotidiana.
Contenido:
Derivada en un punto. Derivabilidad. Derivadas laterales. Interpretación
geométrica de la derivada: Recta tangente y recta normal. Relación entre
funciones continuas y funciones derivables. La función derivada. Derivada de las
funciones elementales (tabla de derivadas). Propiedades de la derivada. Derivada
de la función compuesta (regla de la cadena). Interpretación de la función derivada
evaluada en un punto. Signo de la derivada en un punto: Crecimiento y
decrecimiento. Derivada de la función inversa. Derivación implícita. Derivadas
aplicando propiedades logarítmicas. Derivadas de orden superior. Diferencial y
Diferenciabilidad. Razón de cambio. Interpretación mecánica de la derivada:
velocidad y aceleración.
La siguiente tabla muestra una relación entre los objetivos específicos
correspondientes al tema y las estrategias metodológicas y de evaluación a
implementar en el desarrollo del mismo.
Objetivos
Específicos
Estrategias Metodológicas
Exposición interactiva sobre
derivadas: definición, ejemplos e
interpretación geométrica.
Resolución de una práctica
guiada sobre aplicaciones.
1
2
3
Discusión guiada en clases
Estrategias de Evaluación
Técnicas
Instrumento
Cuestionariopruebas
Análisis de
Contenido
Análisis de
Contenido
Prueba Escrita
Trabajo
Escrito
Ensayo
Tiempo de Ejecución: 3 semanas.
Unidad de Aprendizaje 2: Teoremas sobre funciones
derivables.
Objetivos Específicos:
1. Sintetizar los teoremas principales sobre funciones derivables, como
Teorema de Rolle, Teorema de Valor Medio y Regla de L´Hopital.
2. Aplicar los teoremas de Rolle, de Valor Medio, y de Taylor sobre funciones
derivables en un intervalo.
3. Reconocer la importancia de estos teoremas para la solución de relevantes
problemas matemáticos.
Contenido:
Teorema de Rolle e interpretación geométrica. Teorema del Valor Medio e
interpretación geométrica. Teorema de Cauchy. Indeterminaciones. Regla de
L´Hopital. Polinomio de Taylor. Teorema de Taylor.
Objetivos
Específicos
1
2
3
Estrategias Metodológicas
Clase guiada con resolución de
ejemplos y elaboración de
esquemas con ideas claves.
Resolución
de
ejercicios
prácticos
en
clases
y
comprensión lectora de los
enunciados.
Debate grupal en clases.
Tiempo de Ejecución: 2 semanas.
Estrategias de Evaluación
Técnicas
Instrumento
Cuestionariopruebas
Prueba Escrita
Técnica
pedagógica
Prueba de
desarrollo.
Análisis de
Contenido
Ensayo
Unidad de Aprendizaje 3: Gráfica de Funciones.
Objetivos Específicos:
1. Calcular utilizando las nociones básicas de derivadas: crecimiento,
decrecimiento, concavidad; convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de
una función.
2. Aplicar los conocimientos obtenidos para graficar detalladamente una
función no elemental.
3. Analizar los problemas de optimización de funciones y su aplicación en la
vida cotidiana.
Contenido:
Simetrías con los ejes. Puntos de corte con los ejes. Puntos Críticos de una
función: estacionarios, singulares y frontera. Intervalos de crecimiento y
decrecimiento. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Asíntotas verticales y asíntotas oblicuas. Cortes con las asíntotas. Bosquejo de la
gráfica de una función no elemental. Problemas de optimización de funciones
aplicada a otras áreas.
Objetivos
Específicos
1
2
3
Estrategias Metodológicas
Estrategias de Evaluación
Técnicas
Instrumento
Clase guiada con resolución de
ejemplos y elaboración de
esquemas con ideas claves.
Elaboración
de
ejemplos
guiados y aplicaciones. Lectura
y comprensión de problemas de
aplicación y modelado.
Debate grupal en clases
discusiones generales.
y
Cuestionariopruebas
Prueba Corta
Técnica
pedagógica
Prueba Escrita
Técnica
pedagógica
Prueba con
posibilidad de
revisar
bibliografía.
Tiempo de Ejecución: 3 semanas.
Unidad de Aprendizaje 4: Integral Indefinida
Objetivos Específicos:
1. Definir la Antiderivada de una función, así como describir las propiedades
básicas y la tabla de integrales elementales.
2. Identificar y diferenciar los diversos métodos de integración detalladamente.
3. Identificar el significado geométrico de la integral.
Contenido:
Antiderivadas (integrales indefinidas). Antiderivadas de funciones elementales
(integrales inmediatas). Propiedades de la antiderivada. Técnicas de integración:
sustitución, por partes, funciones racionales, funciones trigonométricas y de
algunas funciones irracionales.
Objetivos
Específicos
Estrategias Metodológicas
Exposición con resolución de
1
ejemplos y elaboración de
esquemas con ideas claves.
Discusión guiada a través de
2
la resolución de ejercicios y
análisis del enunciado.
Debate grupal en clases y
3
discusiones generales.
Tiempo de Ejecución: 4 semanas.
Estrategias de Evaluación
Técnicas
Instrumento
Análisis de
Contenido
Trabajo
Escrito
Técnica
pedagógica
Prueba
Escrita
Análisis de
Contenido
Ensayo
Unidad de Aprendizaje 5: Integral Definida y Aplicaciones de
la Integral.
Objetivos Específicos:
1. Describir la integral definida a partir del cálculo de Antiderivadas de
funciones y calcular área de regiones limitadas por curvas y volúmenes de
Sólidos en Revolución.
2. Evaluar integrales indefinidas utilizando el Segundo Teorema Fundamental
del Cálculo y explicar el significado de las Sumas de Riemann.
3. Reconocer y valorar la importancia de la Integral Definida como un método
que permite calcular área de regiones y volumen de sólidos en revolución.
Contenido:
La integral definida: sumas de Riemann. Interpretación geométrica de la integral
definida de una función continua. Condiciones necesarias y suficientes de
integrabilidad. Propiedades de la integral definida. Primer teorema fundamental del
Cálculo. Segundo teorema fundamental del cálculo. Área bajo la curva. Área entre
curvas. Volúmenes de sólidos de revolución: Método del disco, arandelas y
cascarones cilíndricos. Longitud de arco. Aplicaciones físicas: Centro de masa y
trabajo.
Objetivos
Específicos
Estrategias Metodológicas
Exposición y elaboración de
esquemas con ideas claves.
Discusión guiada a través de la
2
resolución de ejercicios y
análisis del enunciado.
Debate grupal en clases y
3
discusiones generales.
Tiempo de Ejecución: 4 semanas.
1
Estrategias de Evaluación
Técnicas
Instrumento
Técnica
Prueba Oral
pedagógica
Técnica
pedagógica
Prueba Escrita
Análisis de
Contenido
Informe
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
•
Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2000). Cálculo (8va ed). México:
Pearson.
•
Sáenz J, (2005). Cálculo Diferencial (1era ed). Venezuela: Editorial
Hipotenusa.
•
Sáenz J. (2009). Cálculo Integral (2da ed). Venezuela: Editorial Hipotenusa.
•
Salas S,. Hille, Etgen. (2002). Cálculus. Una y varias variables. Volumen
I. (4ta ed). España: Editorial Reverté, S.A..
•
Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. (2005). Cálculo Diferencial e Integral.
México: Mc Graw Hill.