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C Á LC U LO DIFEREN CIAL para cursos con enfoque p o r competencias
A C T IV ID A D IN T E G R A D O R A U N ID A D 4
Resuelve los siguientes ejercicios según se indique.
PARTE I
Deriva mediante la definición formal de la derivada.
1. f ( x ) = - x 2 + 5
3. f ( x ) = x2 +Sx
5. / ( :
2. / ( * ) = 5x2
4. f ( x ) = - 5 x 2 +8x
6. / ( ;
= jc2 -IO jc
3*
7
PARTE II
Aplica directamente las fórmulas de las derivadas.
1. f ( x ) = x 3- 2 x 2- S x + 2
19. / ( ;
*
2. / ( * ) = l n ( 2 x + l)
^
11. f ( x ) = - 2 x 2 + 5 x :
3. f ( x ) = ( x 2 + 2)3
12. / ( * ) =
4. f ( x ) = J x 2 - 2
5.
= sec > ( * ) )
15a:4 -
20. / ( ;
1
ta n (jc )
13- / ( * ) =
/ ( x ) = 2x 3- 5 x + \ 6
-5 *
21. / ( ;
U * +3*/
22. / ( ;
- c o t -1 (ln(x)j
sec(x)
|senh(3:c)
23.
f{>
- sen (x) tan (x)
14. / ( * ) =
cosh(3:c)
6. f { x ) = ( x 2 + 2 * ) (* + l)
7. / (x ) = sen-1(3x)
15. f ( * ) = J x 3 - 7)
16. / ( * ) =
-3x +2
24. / ( :
= ( 2 - ,• ) ’ .« «
25. / ( :
= - 6 x 3 + 15x 2 - 4
26. / ( ;
= ln
27. / ( ;
- (_ 3jt2 + 2 j*
, \l\-x3 )
8. f { x ) = l f *
9- / ( x ) =
222
3x2 - 1
x 3 +3
17. f { x ) = ¿ - X
- x +3
18. / ( * ) = — ^ s e n ( x )
w
sec(*J
w
4 x 2 +1
x-2
x+3
C A PÍTU LO 4
28. / ( * ) = ( 2 - x 2 ) - ( X + 2)
-3 x + 2
35. / (
jc) = ( jc2 +
2 jc)4
42. / ( x ) = ( x 2 + s ) V 7 + 5
36. / ( x ) = t a n h _l(3x3)
43. f ( x ) = tlxi +3x2 - x
30. f ( x ) = s e n - '( Æ )
37. / ( x ) = cos3(2;t)sen2(3;c)
4 -1
44. / ( * ) = ^ r
31. / ( x ) = ln (Va:2 + 2JC -3Ì
38. f ( x ) =
29. / ( x ) = ln
5x + l
Derivadas
sen ( 2 . )
45. f ( x ) = \ Í 2 5 - x :
cos(2x)
sec(*)
46. / ( * ) = «■
32. / ( x ) = ln
*2 - 2
3 9 '
33. / ( x ) = ln(cos(x))
40. / ( * ) = cosh2 (3x)csch2 (3*)
34. f { x ) = ( - l x 2 + 2) ^
41. / ( x ) = ln
x
47. / ( j c ) = coth_l (e*)
3- 2 x
x 2+ \
PARTE III
Obtén las derivadas implícitas.
= exy
l. hí|3x2^ j “ ln
X
3. sen(jc-^) = l
/
= 3
/ ( 1+ , )
PARTE IV
Demuestra o comprueba.
1. Comprueba la derivada de / ( * ) = c o t h '(jt) derivando su fórmula
£X COS ( j^ J - Qy
2. Encuentra que la derivada de ex c o sfy ) = xi/ es igual a --------.
xey + e*sen(j>)
3. Comprueba que la derivada de cosh-1 (*) mediante su fórmula ln|jc + \lx2 - l j es igual a
cosh_1(jc) = - p ^ = .
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4. Demuestra por medio de límites que la derivada de coseno es menos seno.
5. Demuestra que la derivada de seno hiperbólico es coseno hiperbólico derivando su fórmula
senh(jc) =
y c o sh (* ) = ^
^
.
PARTE V
Encuentra las derivadas sucesivas.
1. Encuentra la segunda derivada de / ( * ) = cosh-1 (x).
2. Encuentra la segunda derivada implícita de:
x 2 + xy + y 2 = 6
3. Deduce la derivada 21 de:
/ ( x ) = cos(x)
4. Encuentra la segunda derivada de:
/ ( * ) = 3csc(2x)
5. Encuentra la segunda derivada implícita de:
x 3- y 2 = 5
PA RTE VI
Utiliza la regla de L’Hópital para encontrar los siguientes límites.
1.
sen(jt)
lím — M
x->0 ex+1 _ e
4 -3 *
2. l í m ------—
x-*- - *-*3 X 3
se n f* )-*
3. lím
V'
*-*°C O s(x)-l
P R O B L E M A S D E A P U C A C IÓ N
P ro b le m a s d e d e m o g ra f ía o d e c re c im ie n to
4.1. Se agrega un antibiótico experimental a un cultivo de Síaphylococcus aureus para probar
su eficacia in vi tro. El tamaño inicial de la población en t (horas) es de S(t) = 105 + 204/ 173 t 2. Halla las razones del decrecimiento para / = 0, / = 6 y / = 8.
4.2. Un paciente tiene un tumor de forma esférica alojado en el cerebro. Si el radio del tumor
mide 0.8 cm, y éste crece a razón de 0.002 cm al día, ¿cuál es la intensidad de crecimiento
del volumen del tumor en ese momento?
224
F O R M U L A R IO
Derivadas de funciones
logarítmicas
D E R IV A D A S
- r n i k
Ax-»0
Ax
Derivadas de funciones básicas
16 ¿/(logw) _ u log g
6¿r
£¿r
m
dx
18.
4. ^ ) = c
ly.
dx
=
dx
_ d
du
7. — CM= C—
dx
dx
21
22
d /
x du dv
8. x ( M±v) = X
dx ± X
dx
23
d \lu
r = u'
>. —
^
Derivadas de funciones
fur
trigonométricas inversas
i\
2 síu
d_
,0- xdx( u)" =
_ i
25.
dx
12 .
vw' - v' m
f ifr
26.
v2
27.
Derivadas de funciones exponenciales
,3
,4 «
í/( mV)
=^
n—
1 v^V,
15. - V z = vm” +m — lnw
dx
dx
278
.
d( sen” [u)
dx
i- í
"(")
vi
t/(senw)
i4u
— - = eos w—
—
dx
dx
¿(cosa)
(cosw)
du
—^—
=—
-sen
—
---:---awi uu—
—
dx
^
dx
dx
¿(tanu)
2 du
sec u —
dx
dx
rf(cot»)
2 du
-e se u —
ífc
dx
du
d{secu)
sec « tan « —
dx
dx
du
d (c sc u )
—ese u cot u ——
dx
dx
i/
diese'1
dx
cosh (m) = senh (m)- m'
33. -^coth(w) = -csch2 («)■«'
34. ^sech(M ) = -sech(w) tanh(M) V
35.
csch (w) = -csch(«)• coth(w)w'
senhfw) =
é 1- e
csch(w) =
e "-e -"
cosh (m) = ^ + e
sech (w) =
Vi - « 2
w'
1 + M2
(? + e u
36. senh-1 («) =
\lu2+1
i/
1- u ‘
39. coth-1 (w) = i/
1- u ‘
-i/
40. sech- , (tt) =
|m| n/T v
41. csch“1(m) =
í/
-
é‘+ e u
é‘+ e u
Derivadas de funciones hiperbólicas
inversas
1 + M2
|m |V m 2
coth(w) =
w
tanh(w) =
2
y fü ^ i
w'
d( cot-1
dx
d( sec"1
28.
dx
31.
V i- « 2
d(co$T[ u)_
dx
d( tan-1
dx
senh (w) = cosh (m) •u'
37. cosh-1 («) =
- it
\u\yf]1+ u
i
i/
K>
1
dx
2Q
30.
32. -^tanh(w) = sech2 (w)w'
Derivadas de funciones
trigonométricas
3 .- * g = 0
6 «
ln(io).«
|? ¿(ln») _ u'
¿fe
M
g
w
dx
«
i
U
Derivadas de funciones hiperbólicas
Derivadas de funciones implícitas
_S_
±= _Sx
dx
Sy
8x