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Práctico 17
Números complejos
Cálculo 1 Anual 2016
Ej1 Determinar los valores de ik para todo k ∈ Z.
Ej2 (Ejercicio 1 – Sección 9.6) Expresar los números complejos siguientes en la forma a + bi:
a) (1 + i)2
e)
b)
1+i
1 − 2i
1
i
c)
f) i5 + i16
1
1+i
d) (2 + 3i)(3 − 4i)
g) 1 + i + i2 + i3
h)
1
(1 + i)(1 + i−8 )
2
Ej3 (Ejercicio 2 – Sección 9.6) Calcular el módulo de los siguientes complejos:
a) 1 + i
b) 3 + 4i
d) 1 + i + i2
e) i7 + i10
1+i
1−i
f) 2(1 − i) + 3(2 + i)
c)
Ej4 (Ejercicio 3 – Sección 9.6) Calcular el módulo y el argumento principal de cada uno de los siguientes
números complejos:
a) 2i
1+i
f) √
2
b) −3i
c) −1
d) 1
g) (−1 + i)3
h) (−1 − i)3
i)
√
e) −3 + 3i
1
j)
(1 + i)2
1
1+i
Ej5 (Ejercicio 4 – Sección 9.6) En cada caso, determinar todos los números reales x e y que satisfacen
la realción dada.
a) x + iy = x − iy
d) (x + iy)2 = (x − iy)2
b) x + iy = |x + iy|
x + iy
e)
= (x − iy)
x − iy
c) |x + iy| = |x − iy|
Ej6 Demostrar que:
a) z + w = z + w
2
e) z.z = |z|
b) z.w = z.w
c) z n = z n
f) z + z = 2 Re(z)
g) z − z = 2i Im(z)
d) z = z
Ej7 Sea P (z) un polinomio con coeficientes reales.
C
a) Probar que P (z) = P (z) para todo z ∈ .
b) Probar que si z0 es raı́z de P (z), entonces z0 también es raı́z de P (z).
c) Sabiendo que 3 + 2i es raı́z del polinomio P (z) = z 4 − 8z 3 + 21z 2 − 10z − 22, encontrar las
raı́ces restantes.
Ej8 (Ejercicio 5 – Sección 9.6) Construir una representación del conjunto de todos los z del plano
complejo que satisfagan cada una de las condiciones siguientes:
a) |z| < 1
b) z + z = 1
c) z − z = i
d) |z − 1| = |z + 1|
e) |z − i| = |z + i|
f) z + z = |z|2
1
Ej9 (Ejercicio 11 – Sección 9.6) Representar el conjunto de todos los complejos z que satisfacen cada
una de las condiciones siguientes:
a) |2z + 3| < 1
b) |z + 1| < |z − 1|
c) |z − i| ≤ |z + i|
d) |z| ≤ |2z + 1|
Ej10 (Ejercicio 1 – Sección 9.10) Expresar cada uno de los siguientes números complejos en la forma
a + bi:
πi
a) e 2
b) 2e
e) i + e2πi
f) e
−πi
2
d) −e−πi
c) 3eπi
πi
πi
4
g) e
πi
4
πi
− e− 4
h)
1−e 2
πi
1+e 2
Ej11 (Ejercicio 2 – Sección 9.10) En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relación
dada:
a) x + iy = xeiy
b) x + iy = yeix
c) ex+iy = −1
d)
1+i
= xeiy
1−i
Ej12 Dado un complejo z 6= 0 se llaman raı́z cuadrada compleja de z (y se representa como
√
z) a los
DOS complejos w tales que
w2 = z
a) Hallar los dos complejos
b) Hallar los dos complejos
c) Hallar los dos complejos
Ej13 Calcular en C:
a)
√
5
1
r √
e) 6 8
3−i
Ej14
a) Sea la función F :
b)
f)
√
√
√
i expresados en forma binómica y en forma polar.
−9 expresados en forma binómica y en forma polar.
3 − 4i expresados solamente en forma binómica.
√
5
√
9
√
3
i
c)
1+i
−27i
g) (1 + i)7
d)
√
6
−64
h) (−1 + 3i)−151
C 7→ C dada por la fórmula
F (z) = z + (3 + 4i) ∀ z ∈
C.
Probar que, en el plano complejo, F es la traslación de vector (3, 4). Es decir, F lleva el punto
z del plano complejo, al punto w = F (z) que se obtiene trasladando el punto z 3 unidades de
longitud hacia la derecha y 4 unidades de longitud hacia arriba.
b) Sea la función G :
C 7→ C dada por la fórmula
G(z) = i · z
∀z∈
C.
Probar que en el plano complejo, G es la rotación de centro en el origen y ángulo π/2 en
sentido antihorario. Es decir G lleva el punto z del plano complejo, al punto w = G(z) que se
obtiene girando el punto z alrededor del origen en sentido antihorario un ángulo de 90 grados
= π/2 radianes.
C
C
c) Encontrar la fórmula H(z) con H :
7→
de modo que H en el plano complejo sea una
rotación alrededor del punto 2+i en sentido horario y ángulo igual a 60 grados = π/3 radianes.
d ) Problema del Pirata En una isla oceánica un pirata esconde su tesoro siguiendo el siguiente
procedimiento:
1) La isla tiene dos árboles A1 y A2 y una horca H. El pirata se para en la horca H, camina
hasta A1 , gira en sentido antihorario 90 grados, camina otro tanto y clava una estaca E1
de modo que distancia(A1 , E1 ) = distancia(H, A1 ).
2
2) Repite el procedimiento con A2 , pero girando ahora en sentido horario y clava una estaca
E2 .
3) En el punto medio del segmento E1 E2 entierra el tesoro.
Al cabo de un tiempo el pirata vuelve a la isla y la horca y las estacas han desaparecido.
Decidir si puede encontrar el tesoro o no, explicando por qué.
Ej15 Una partı́cula cargada se mueve en un plano. En cada instante t ∈ R, la posición z(t) de la partı́cula
es el punto del plano representado por el complejo:
z(t) = 2 + 3e4it
a) Representar gráficamente en el plano, el recorrido de la partı́cula cargada al transcurrir el
tiempo. (Este recorrido, se llama “órbita”).
b) Encontrar cuánto tiempo T > 0 debe transcurrir como mı́nimo para que la partı́cula cargada
vuelva a la misma posición que tenı́a inicialmente. (Este tiempo T se llama “perı́odo”de la
órbita)
c) Encontrar con qué frecuencia la partı́cula cargada vuelve a estar en el mismo punto que tenı́a
incialmente (Nota: la frecuencia medida en Hertz es por definición la cantidad de veces por
segundo que la partı́cula retorna al mismo punto. Es decir: 1 Hertz = 1 vez por segundo).
Ejercicios opcionales
Ej16 (AIME 2000) Considere una función f : C → C tal que f (z) = (a + bi)z, donde a, b ∈ R+ . Aparte
se sabe que f (z) equidista de z y de (0, 0) para todo z. Sabiendo que |a + bi| = 8, hallar b2 .
Ej17 (AIME 1992) Considere la región del plano complejo que consiste en los puntos tales que ambos
y
40
z
z
40
tienen parte real e imaginaria entre 0 y 1. ¿Cuál es el entero que mejor aproxima esa área?
3