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Torsión de barras
Ignacio Romero
[email protected]
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad Politécnica de Madrid
Curso 2015/16
Tracción de barras, Resistencia de Materiales. Curso 2015/16
I. Romero
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Definiciones
• Una sección de un sólido prismático está sometida a torsión
cuando la componente x del momento interno, que llamamos Mt ,
es no nula.
• Si un sólido prismático está sometido a Mt = constante y el resto
de esfuerzos son nulos, decimos que está a torsión pura.
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1. Teorı́a de Coulomb
Tensión y equilibrio
Las tensiones sobre una sección debidas al momento torsor son
τ=
Mt
r
Io
Ecuación del equilibrio:
dMt (x)
+ m(x) = 0
dx
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Deformación
La medida de deformación relevante para una barra sometida a
torsión es el giro alrededor de la directriz por unidad de longitud
dθ(x)
dx
ϑ(x) =
Una barra recta sometida a torsión experimenta un giro total
Z
θ − θo =
`
ϑ(x) dx
0
Si y sólo si ϑ es constante
ϑ=
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θ − θo
`
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Relación constitutiva
Una sección de momento polar de inercia Io , material con módulo
de cortante G, sometida a un momento torsor Mt
ϑ=
Mt
GIo
La cantidad GIo es la rigidez a torsión de la sección.
Si una barra está sometida a torsión pura y tiene sección
homogénea entonces
Mt `
θ − θo =
GIo
La cantidad GIo /` es la rigidez a torsión de la barra.
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Energı́a
Energı́a de una barra sometida a torsión
Z
U=
0
`
Mt2
dx
2GIo
Si la barra está sometida a torsión pura y la rigidez a torsión de la
sección es constante
M 2`
U= t
2GIo
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2. Teorı́a de Saint Venant
Clasificación
1. Secciones circulares (macizas o huecas) →
Teorı́a de Coulomb (sin alabeo)
2. Alabeo, pero el mismo para todas las
secciones → Teorı́a de Saint Venant
3. Alabeo, y distinto para todas las secciones →
Torsión no uniforme
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Teorı́a de la torsión de Saint Venant
En este modelo las secciones no permanecen planas (se alabean),
girando alrededor de un punto y alabeándose todas por igual.
Saint Venant demostró que el albeo se puede calcular exactamente:
uz = ϑ ψ(y, z), siendo ψ la función de alabeo que satisface
4ψ = 0
en S,
(ψ,y − z)ny + (ψ,z + y)nz = 0
en ∂S,
y el giro por unidad de longitud ϑ satisface
Z
Mt
,
It = (y 2 + z 2 + yψ,z − zψ,y ) dS
ϑ=
GIt
S
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Teorı́a de Prandtl
Si se encuentra la función de Prandtl φ que satisface
−4φ = 2Gϑ
en S,
ϑ = constante en ∂S
se puede demostrar que |τ | = |∇φ| y τ · ∇φ = 0.
x2
∇φ
x1
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Analogı́as
Las lı́neas de nivel de la función de Prandtl son idénticas a:
1. las lı́neas de corriente de un fluido incompresible, invı́scido
circulando en una cavidad S
2. Las lı́neas de nivel del campo eléctrico en un dielétrico sometido a
carga distribuida con el contorno a un potential fijo.
3. Las lı́neas de nivel de temperatura de un material sometido a un
aporte de calor por unidad de área y con el contorno a
temperatura fija
4. Las lı́neas de nivel de una membrana, sujeta por el contorno, y
soplada con una presión fija.
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Sección rectangular
Para la sección rectangular de dimensiones a × b,
It = β b a3 ,
Wt = α b a2
siendo
ϑ=
Mt
,
GIt
τmáx =
Mt
Wt
(It : inercia a torsión, Wt : módulo resistente a torsión) y las
constantes:
b/a
α
β
1
0.208
0.141
3
0.267
0.263
10
0.312
0.312
∞
0.333
0.333
Para una sección con a b,
It =
1 3
ba ,
3
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Wt =
1 2
ba
3
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3. Secciones de pared delgada
Torsión de secciones de pared delgada
Clasificación:
• Abiertas
. Ramificadas
. Sin ramificar
• Cerradas
. De una celda
. De varas celdas
En todos los casos:
ϑ=
Mt
,
GIt
τmáx =
Mt
Wt
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Secciones abiertas, sin ramificar
La función de Prandtl no cambia casi nada respecto a la de la
sección rectangular delgada.
Si tiene espesor e y longitud s,
1
1 3
se ,
Wt = s e2
3
3
Dibujo de la distribución de tensiones
It =
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Secciones abiertas, ramificadas
La función de Prandtl no cambia casi nada respecto a la de la
sección rectangular delgada, excepto en las bifurcaciones.
Suponemos que el par torsor se reparte entre las ramas y que el
giro es común
It =
X1
i
3
si e3i ,
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Wt =
It
máxi ei
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Secciones cerradas de una celda
El flujo de cortante q = τ e es constante
τ1
e1
e2
Wt = 2A∗ emı́n ,
τ2
4 A2
It = H d`∗
e
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