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Universidad de los Andes
2015-I
Cálculo Diferencial
Quiz 1 - Prof. Sandor Ortegón
Agosto 3 de 2015
Versión 7:00am
1.
a) Halle el conjunto solución de la desigualdad 3 < |x + 2| ≤ 4
4
3
b) Halle el conjunto solución de la desigualdad 1 + ≥
x
x−1
2.
a) Dado que sec α = −3 y α está en el tercer cuadrante, calcule tan(α).
76π
b) Determine el valor exacto de cot
12
3.
a) Halle todos los valores de x entre 0 y 2π tales que
sen(2x) + 2 sen x − cos x − 1 = 0
sen 2x cos 2x
−
= sec x
sen x
cos x
√
x−3
a) Determine el dominio de la siguiente función: f (x) = √
7−x
b) Suponga que cuando x = 50, entonces y = 600. Ademas, por cada unidad que aumenta
x, el valor de y disminuye en 6. Dé una fórmula para y en función de x.
b) Verifique la identidad trigonométrica:
4.
Sugerencias y respuestas:
1.
a) Resuelva las dos desigualdades por aparte. La respuesta le debe dar [−6, −5) ∪ (1, 2]
b) Pase todo al lado izquierdo, opere la suma de tres fracciones y cuando tenga factorizado
numerador y denominador, haga tabla de signos, que si todo le sale bien involucra factores
x − 2, x − 1, x, x + 2. Le debe dar como conjunto solución [−∞, −2] ∪ (0, 1) ∪ [2, ∞)
2.
a) Elabore un triángulo rectángulo usando la información
dada, halle el valor del cateto restante
√
y use información de cuadrantes. Le debe dar 8
b) Puede dividir el ángulo entre 2π y convertir la fracción resultante como fracción mixta para
saber cuántas vueltas fueron dadas y qué fracción de la siguiente vuelta se dió. Ası́ puede
1
ubicar el ángulo. Finalmente, le resulta un ángulo conocido, cuya cotangente es √
3
a) Usando identidad de ángulo doble puede reemplazar sen(2x) y al manipular la expresión,
verá que se puede factorizar por agrupación y quedará que cierto producto es igual a 0, de
modo que analiza las posibilidades. Al mirar los casos y observar qué ángulos cumplen con
esas condiciones, resultarán tres soluciones: x = π, π/6, 5π/6
b) Sólo use identidades de ángulo doble y reemplace; manipulando la expresión llegará a una
igualdad obvia.
√
a) Para que un valor x esté en el dominio, se debe cumplir que la raı́z cuadrada x − 3 esté definida; eso significa que se cumple una desigualdad. Pero además, como la raı́z en el denominador
debe estar definida también, eso significa que se cumple otra desigualdad. Resultará que el
dominio es el intervalo [3, 7).
b) Si empieza a tabular algunos puntos en el plano cartesiano, obtiene que la gráfica pasa por
(50, 600), (51, ?), etc. Se dará cuenta de inmediato la forma que tiene la gráfica y ademas, que
la frase “por cada unidad que ...” se traduce en términos de pendiente de una recta. Si todo
le da bien, el resultado es y = 900 − 6x
3.
4.
1
Universidad de los Andes
2015-I
Cálculo Diferencial
Quiz 1 - Prof. Sandor Ortegón
Agosto 3 de 2015
Versión 10:00am
1.
a) Halle el conjunto solución de la desigualdad 3 < |x + 2| ≤ 4
4
3
b) Halle el conjunto solución de la desigualdad 1 + ≥
x
x−1
2.
a) Dado que sec α = −3 y α está en el tercer cuadrante, calcule tan(2α).
b) Halle todos los valores de x entre 0 y 2π tales que
sen(2x) + 2 sen x − cos x − 1 = 0
3.
√
x−3
a) Determine el dominio de la siguiente función: f (x) = √
7−x
b) Suponga que cuando x = 50, entonces y = 600. Ademas, por cada unidad que aumenta x, el
valor de y disminuye en 6. Dé una fórmula para y en función de x.
Sugerencias y respuestas:
1.
a) Resuelva las dos desigualdades por aparte. La respuesta le debe dar [−6, −5) ∪ (1, 2]
b) Pase todo al lado izquierdo, opere la suma de tres fracciones y cuando tenga factorizado
numerador y denominador, haga tabla de signos, que si todo le sale bien involucra factores
x − 2, x − 1, x, x + 2. Le debe dar como conjunto solución [−∞, −2] ∪ (0, 1) ∪ [2, ∞)
2.
3.
a) Elabore un triángulo rectángulo usando la información dada, halle el valor del cateto restante
y use información
de cuadrantes. Deberá usar fórmulas de ángulos dobles para completar. Le
√
−2 8
debe dar
7
b) Usando identidad de ángulo doble puede reemplazar sen(2x) y al manipular la expresión,
verá que se puede factorizar por agrupación y quedará que cierto producto es igual a 0, de
modo que analiza las posibilidades. Al mirar los casos y observar qué ángulos cumplen con
esas condiciones, resultarán tres soluciones: x = π, π/6, 5π/6
√
a) Para que un valor x esté en el dominio, se debe cumplir que la raı́z cuadrada adentro x − 3
esté definida; eso significa que se cumple una desigualdad. Pero además, como la raı́z en
el denominador debe estar definida también, eso significa que se cumple otra desigualdad.
Resultará que el dominio es el intervalo [3, 7).
b) Si empieza a tabular algunos puntos en el plano cartesiano, obtiene que la gráfica pasa por
(50, 600), (51, ?), etc. Se dará cuenta de inmediato la forma que tiene la gráfica y ademas, que
la frase “por cada unidad que ...” se traduce en términos de pendiente de una recta. Si todo
le da bien, el resultado es y = 900 − 6x
1
Universidad de los Andes
2015-I
Cálculo Diferencial
Quiz 1 - Prof. Sandor Ortegón
Agosto 3 de 2015
1.
2.
3.
Versión 11:30am
a) Halle el conjunto solución de la desigualdad 3 < |x + 2| ≤ 4
4
3
b) Halle el conjunto solución de la desigualdad 1 + ≥
x
x−1
a) Dado que sec α = −3 y α está en el tercer cuadrante, calcule tan(2α).
76π
b) Determine el valor exacto de cot
12
a) Halle todos los valores de x entre 0 y 2π tales que
sen(2x) + 2 sen x − cos x − 1 = 0
sen(2x) tan3 x = 2 tan2 x − 2 sen2 x
√
x−3
a) Determine el dominio de la siguiente función: f (x) = √
7−x
b) Suponga que cuando x = 50, entonces y = 600. Ademas, por cada unidad que aumenta x, el
valor de y disminuye en 6. Dé una fórmula para y en función de x.
b) Verifique la identidad trigonométrica:
4.
Sugerencias y respuestas:
1.
a) Resuelva las dos desigualdades por aparte. La respuesta le debe dar [−6, −5) ∪ (1, 2]
b) Pase todo al lado izquierdo, opere la suma de tres fracciones y cuando tenga factorizado
numerador y denominador, haga tabla de signos, que si todo le sale bien involucra factores
x − 2, x − 1, x, x + 2. Le debe dar como conjunto solución [−∞, −2] ∪ (0, 1) ∪ [2, ∞)
2.
3.
4.
a) Elabore un triángulo rectángulo usando la información dada, halle el valor del cateto restante
y use información
de cuadrantes. Deberá usar fórmulas de ángulos dobles para completar. Le
√
−2 8
debe dar
7
b) Puede dividir el ángulo entre 2π y convertir la fracción resultante como fracción mixta para
saber cuántas vueltas fueron dadas y qué fracción de la siguiente vuelta se dió. Ası́ puede
1
ubicar el ángulo. Finalmente, le resulta un ángulo conocido, cuya cotangente es √
3
a) Usando identidad de ángulo doble puede reemplazar sen(2x) y al manipular la expresión,
verá que se puede factorizar por agrupación y quedará que cierto producto es igual a 0, de
modo que analiza las posibilidades. Al mirar los casos y observar qué ángulos cumplen con
esas condiciones, resultarán tres soluciones: x = π, π/6, 5π/6
b) Sólo use identidades de ángulo doble y reemplace; manipulando la expresión llegará a una
igualdad obvia.
√
a) Para que un valor x esté en el dominio, se debe cumplir que la raı́z cuadrada x − 3 esté definida; eso significa que se cumple una desigualdad. Pero además, como la raı́z en el denominador
debe estar definida también, eso significa que se cumple otra desigualdad. Resultará que el
dominio es el intervalo [3, 7).
b) Si empieza a tabular algunos puntos en el plano cartesiano, obtiene que la gráfica pasa por
(50, 600), (51, ?), etc. Se dará cuenta de inmediato la forma que tiene la gráfica y ademas, que
la frase “por cada unidad que ...” se traduce en términos de pendiente de una recta. Si todo
le da bien, el resultado es y = 900 − 6x
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