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Topologia I
Tarea 2
Profesor: Jorge Marcos Martinez Montejano
Ayudante: Jorge Calderon Espinosa de los Monteros
1. a)Demuestra que si A⊆ X es abierto entonces la FrA es denso en ninguna parte.
b)Demuestra que Si A⊆ X es cerrado entonces la FrA es denso en ninguna parte.
2. Sea X=X1 ∪X2 y f:X→Y.Asumiendo que f restringida a X1 y f restringida X2 son funciones continuas.
Demuestra que si xX1 ∩X2 entonces f es continua en x.
3. Demuestra que todo espacio metrico separable es segundo numerable.
4. Para
n =R, wn =(0,1) y τn la topologia usual de R, donde τ es la topologia producto de
Qcada nN, sea XQ
X= neN Xn con W= neN wn .
a)Demuestre que W no es abierto en X.
b)Demuestre que W no es cerrado en X.
5. Espacios de Baire
a)Demuestra que Q no es de Baire.
b)Si U⊆ X es abierto y X es de Baire ⇒ U es de Baire.
c)Si A⊆ X es denso y A es de Baire ⇒ X es de Baire.
6. Sea f:X→Y y G(f)={(x,f(x))XxY|xX} la grafica de f. Demuestra que x→(x,f(x)) es un homeomorfismo si
solo si f es continua.
7. Pruebe que f:X→Y es abierta ⇔ f −1 (Fr(B))⊆Fr(f −1 (B)) ∀ B⊆ Y.
8. ¿Si XxY≈XxZ ⇒ Y≈Z?
9. Demuestre que las siguientes son equivalentes:
a)P:X→Y es cerrada.
b)Si U⊆ X es abierto ⇒ {y|P −1 ({y})⊆ U} es abierto en Y.
c)Si A⊆ X es cerrado ⇒ {y|P −1 ({y})∩ A6=∅} es cerrado en Y.
10. Demuestre la conmutatividad del producto topologico.
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