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RESPUESTAS
Examen UNI 2015 – I
Matemática
Pregunta 01
Semanalmente, un trabajador ahorra cierta
cantidad en soles, y durante 40 semanas
ahorra las siguientes cantidades:
35
25
29
41
33
29
31
19
30
10
31
26
36
18
28
23
24
23
39
20
22
27
18
15
27
28
27
46
24
17
33
33
12
4
31
Se construye una tabla de frecuencias de 7
intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es
la frecuencia acumulada del quinto intervalo
(ordenados los extremos de los mismos de
forma creciente), determine el valor de
(A+F5)-1
A) 30
1
.
12
III. Se lanzan dos dados normales, uno
cada vez, entonces la probabilidad de
que salga 3 dado que antes salió 1
es
1
.
36
A) V V V
B) V F V
C) F V V
D) F F V
E) F F F
Rpta: FFF
Pregunta 03
Sabiendo que K = ab(4)= cd(5) y
a+b+c+d=11 en el sistema decimal con
a≠0, c≠0. Determine K en el sistema decimal.
B) 32
C) 37
D) 38
A) 14
E) 39
B) 23
Rpta: 39
C) 32
D) 41
Pregunta 02
E) 51
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado:
I.
sea 7 es
Sean A ⊂ B ⊂ C ⊂ D, entonces la
probabilidad .
P(D)=P(D\A)+P(C\A)+P(B\
A)+P(A)
Rpta: 14
Pregunta 04
Se sabe que en una división entera el
divisor es 50 y el residuo es 15. ¿Cuántas
unidades como mínimo se le debe disminuir
al dividendo, para que el cociente disminuya
en 13 unidades?
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PROHIBIDA SU VENTA
21
28
37
26
25
II. Se lanzan dos dados normales,
entonces la probabilidad que su suma
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RESPUESTAS – Matemática
!
A) 614
A) 0, 61
!
B) 615
B) 1, 33
!
C) 616
D) 617
C) 2, 1 6
E) 618
D) 3, 1 1
!
Rpta: 616
E) 4, 16
!
Rpta: 3, 11
Pregunta 05
Sea el número E = 22001 + 32001. Calcule el
residuo de dividir E entre 7.
A) 0
Pregunta 08
Se tiene la siguiente igualdad
1/3
B) 1
_ aaa1_9ii
C) 2
= 1 _a + 2 i_9i
Entonces podemos decir que el conjunto
D) 3
E) 4
1/2
( a ! #1, 2, 3, ...8 - / a aaa1_9ik
existe 2
Rpta: 0
A) No posee elementos
Pregunta 06
B) Posee un solo elemento
¿Cuántos números de la forma (4a-3)(3b)(4a-3)
son primos?
A) 1
C) Posee dos elementos
D) Posee tres elementos
E) Posee cuatro elementos
B) 2
Rpta: Posee un solo elemento
C) 3
D) 4
Pregunta 09
E) 5
Rpta: 3
Pregunta 07
Sea la expresión
!=
!
0, a!b − 0, ba
0, 4 4 ; con b≠0
Entonces la suma de todos los valores posibles
!
!=
!
de 0, a b −que
satisfacen
0, ba
0, 4 4 la ecuación anterior es
Indique el intervalo al cual pertenece el valor de
m, para que la inecuación
4 + x − 4x 2
<m
x2 − x + 1
Se cumpla para todo x∈ R .
13
A) - 3, - 3
B)
1, + 3
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RESPUESTAS –Matemática
RESPUESTAS–
Matemática
2, + 3
D)
3, 9
E)
5, + 3
Pregunta 12
Sea f una función cuya regla de correspondencia
está dada por: f(x) = loga _x +
x2 + 1 i
Encuentre su función inversa
A) ax + a-x
Rpta: <5,+∞>
Pregunta 10
ax + a
2
−x
ax - a
2
ax
E) 2
-x
B)
Sea una función f: R →<0,+3> que cumple
C) ax - a-x
f(a+b)=f(a).f(b) ∀a, b∈ R . Calcule el valor de
f(a).f(-a)
D)
A) -1
B) 0
C) 1
Rpta:
D) 2
ax - a x
2
Pregunta 13
E) 3
Rpta: 1
Si A es una matriz invertible, despeje la matriz
X a partir de la expresión.
((AX)-1)t = 0,5 B-1
Pregunta 11
A) X = 0,5 A-1Bt
Considere la siguiente función: f: ∈ R →∈ R
definida por f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b
> 0.
B) X = 0,5 Bt A-1
C) X = 2 A-1B
Si: f(0) = 2 y Rang (f) = 6b ; + 3 , determine el
D) X = 2 B-1 At
E) X = 2 A-1 Bt
8a − b 2
siguiente valor M =
ab
Rpta: X= 2 A-1 Bt
Pregunta 14
A) 1
Determine el conjunto solución del sistema de
ecuaciones no lineales:
B) 2
C) 3
D) 4
x 2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0
x 2 − 2x − y + 1 = 0
*
E) 5
Rpta: 4
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C)
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RESPUESTAS – Matemática
A) {(3,1), (1,1), (-1,-1)}
A) 2081
B) {(2,-2), (2,1), (1,1)}
B) 2091
C) {(-1,0), (1,1) (1,2)}
C) 2991
D) {(1,0), (0,1), (2,1)}
D) 3001
E) {(1, -1), (1,0), (2,-1)}
E) 3163
Rpta: 3163
Rpta: {(1,0), (0,1), (2,1)}
Pregunta 17
Pregunta 15
Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que
puede sembrar maíz o trigo. Él calcula que
tiene 800 horas de trabajo disponible durante
la estación de verano. En el caso del maíz, el
trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene
una utilidad de S/.40 por acre, mientras que
en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la
utilidad es de S/.30 por acre. ¿Cuántos acres
de maíz y trigo debe plantar respectivamente,
para maximizar su utilidad?
Halle el menor grado del polinomio xn+ax+b,
a≠0, (n>1) para que x2–1 sea un divisor.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) (160, 320)
Rpta: 3
B) (140, 340)
Pregunta 18
C) (340, 140)
En el primer cuadrante del plano se forma el
conjunto A con los puntos con coordenadas
enteros positivos, esto es
D) (320, 160)
E) (180, 300)
Rpta: (320, 160)
Pregunta 16
A= {(m,n)/m∈ N , n∈ N }.
A cada punto (m,n) de A se le asigna el valor
Considere la sucesión
1
. Calcule la suma de todos los valores
2m + n
1 1
1
'1, 2 , 2 , ... , 2 , ... 1 .
2 3
n
de los puntos (m,n) de A con coordenadas m
Determine el menor valor de n∈ N , de modo
que se cumpla
1
<1×10–7
n2
$ n.
A)
1
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RESPUESTAS–
Matemática
A) V F V
2
3
B) V F F
C) 1
C) V V V
D) 2
D) F V V
E) +∞
E) F V F
2
Rpta:
3
Pregunta 19
Pregunta 21
Si S es el conjunto solución de la inecuación
x + 1 – x–2 <2 se afirma
I.
Rpta: V V V
En el gráfico AB = AD = DC, calcule a (en
grados)
<1/4,+∞>⊂S
B
II. S⊂<1/3,+∞>
7a
III. S∩<–∞,1/2>≠φ
D
¿Cuáles son afirmaciones correctas?
A
2a
A) Solo I
a
B) Solo II
C
C) Solo III
A) 8
D) I y II
B) 9
E) II y III
C) 10
Rpta: Solo II
E) 13
Pregunta 20
Respecto a la función f(x)=|x|–x, indique la
secuencia correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I.
D) 12
f(x+y) # f(x)+f(y); ∀x,y∈ R .
x2–2x–3
II. Si hacemos g(x)=
entonces
el conjunto solución de g(x)= f(x) es
{– 3 ,3}.
Rpta: 10
Pregunta 22
En la figura las circunferencias tienen radios
r =3u y R =6u respectivamente, C es punto
de tangencia y D es centro. Calcule producto
DA.DB (en u2).
III. Si hacemos h(x)= x2–3x+5 entonces
el conjunto solución de h(x)= f(x) es
vacío.
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PROHIBIDA SU VENTA
B)
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B
A) 2,14
C
B) 2,16
A
C) 2,25
D
D) 2,56
E) 2,82
r
Rpta: 2,56
Pregunta 24
R
En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u).
B
A) 18
I
B) 24
C) 30
A
D) 36
E
E) 40
Rpta: 36
Pregunta 23
B
B) 9
D) 11
E) 12
Rpta: 9
Pregunta 25
E
D
A) 8
C) 10
En la figura se muestra el triángulo rectángulo
ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD=3cm,
entonces la medida (en cm) del segmento EF
es:
A
C
D
F
En la figura AC=CD, AD= 6u y área (∆BCD)
=r (área ∆ABD). Halle r.
C
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RESPUESTAS–
Matemática
C
Rpta: arc tan (2)
Pregunta 27
a 2a
El punto P se encuentra situado sobre la altura
de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista
de cada vértice, calcule esta distancia.
B
A)
a 3
4
B)
a 2
3
C)
a 3
3
D)
a 6
4
E)
a 2
2
3a
2a
D
A
A) 1+ 3
B) 2+ 3
Rpta:
C) 2– 3
D) 1+2 3
a 6
4
Pregunta 28
Rpta: 1+ 3
Pregunta 26
ABCD es un cuadrado y desde su centro O
se traza un segmento OE perpendicular al
plano ABC, si OE=AB entonces la medida del
diedro E–DC–B es:
1
2
A) arc tan ` j
B) arc tan (1)
3
C) arc tan ` j
2
Un vaso de forma de prisma recto hexagonal,
con diagonal mayor de la base que mide 6 cm,
contiene agua “al tiempo”. Para enfriarla se
coloca un cubo de hielo y se observa que el
nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud
de la arista del cubo de hielo (en cm).
A) 3
B) 3 6 3
C) 3 4 3
D) 3 3 3
E) 3 3
Rpta: 3 6 3
D) arc tan (2)
5
2
E) arc tan ` j
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PROHIBIDA SU VENTA
E) 2 3 –1
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Rpta: 7 π
Pregunta 29
En un cilindro de revolución de 5 cm de altura
se inscribe un paralelepípedo rectangular
con superficie lateral de 250 cm2. Una de
sus aristas, ubicada en la base del cilindro,
mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el
volumen y el área lateral del cilindro.
A)
337
4
337
2
337
C)
4
337
D)
2
B)
E)
Pregunta 31
En un tronco de cono de revolución, el radio de
la base mayor es el doble del radio de la base
menor. Si el volumen del tronco de cono es
336 r cm3 y el radio de la base menor es 6 cm,
entonces el volumen de una esfera tangente a las
bases del tronco de cono (en cm3) es:
30
r
3
31
B)
r
3
32
C)
r
3
33
D)
r
3
34
E)
r
3
A)
337
Rpta:
337
4
Pregunta 30
En la Panamericana cerca de Casma se ha
formado una duna en forma de tronco de
cono de revolución. Las longitudes de las
circunferencias son 4 π m y 2 π m. Ver figura.
Halle el volumen de la duna en metros cúbicos.
10 m
Rpta:
32
r
3
Pregunta 32
En una pirámide cuadrangular regular, la arista
básica mide 8u y su altura mide 15 u. ¿A qué
distancia (en u) de la base de la pirámide se debe
trazar un plano paralelo a dicha base, para que
el volumen del prisma recto, que tiene por base
a dicha sección y por altura la distancia de la
3
sección al vértice de la pirámide, sea los
del
8
volumen de la piramide?
A) 9,5
A) 3 π
B) 8,5
B) 5 π
C) 7,5
C) 7 π
D) 6,5
D) 10 π
E) 5,5
E) 11 π
Rpta: 7,5
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RESPUESTAS–
Matemática
E) 4
Pregunta 33
Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es un
punto de tangencia, entonces el área sombreada
(en u2) es igual a : (O centro de la circunferencia
que pasa por A, T y D)
D
C
Rpta: 2
Pregunta 35
Al resolver la ecuación
sen (2x) –12( sen(x) –cos(x))+12 = 0,
obtenemos como soluciones:
A) kr , kd Z
1
j r , kd Z
2
C) 2kr y kr , kd Z
1
D) (2k+1)r y `2k + j r , kd Z
2
1
E) (3k+1)r y ` k + j r , kd Z
2
B) 2kr y ` k +
O
T
B
A
A) 0,57
Rpta: (2k+1)r y `2k +
1
j r , kd Z
2
Pregunta 36
B) 0,68
Del gráfico mostrado, el resultado de:
C) 0,79
E= tgθ+tgβ+tgΦ, es:
D) 0,81
y
E) 0,92
Rpta: 0,92
(-1;2)
θ
Pregunta 34
x
En todo triángulo ABC, la suma de los cuadrados de
sus lados es igual a K(bc cosA+ac cosB+ab cosC)
β
1
4
1
B)
2
C) 1
D) 2
(-4;-2)
PROHIBIDA SU VENTA
Φ
donde K vale:
(4;-2)
A)
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
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Examen UNI 2015 – I
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Pregunta 39
E) 4
Rpta: 2
Pregunta 37
Si x∈ r; 3r entonces determine los valores de
2
y= 4 – 9csc2 `x + 2r j .
3
Si x∈ 0; r y
2
1 + sen (x)
= tan ` x + r j
1 − sen (x)
a 2a
Calcula el valor de (a2+1)
A) 2
B) 3
C) 4
A)
- 3, - 12
D) 5
B)
- 3, - 11
E) 6
C)
- 3, - 10
D)
- 3, - 9
E)
- 3, - 8
Rpta: 5
Pregunta 40
Rpta: - 3, - 8
Pregunta 38
Sea la función f(x)=
3
x
arctan (x) - x
Dadas las siguientes proposiciones:
Al simplificar la expresión
2
2
K= ;cos ` r + x j − cos ` r − x j − 3 E(1 − sen (2x))
3
3
2
se obtiene:
IV. La función f es impar.
V. Si x∈Dom(f), entonces –x∈Dom(f).
VI. La gráfica de f corta a la curva y= x2
Son correctas:
A) Solo I
B) Solo II
A) – 3 cos2(2x)
2
B)
C) Solo III
D) I y II
3 sen2(2x)
2
E) II y III
C) – 3 sec(2x)
2
D)
3 csc(x)
2
E)
3
2
Rpta: Solo II
Rpta: – 3 cos2(2x)
2
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