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LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CONTEO DE FIGURAS
CUATRO OPERACIONES
1.
Por cada cuatro docenas de
manzanas que un comerciante
compra,
le
obsequian
dos
manzanas.
¿Cuántos
son
de
obsequio si llevó 4800 manzanas?
A) 240
D) 192
B) 176
E) 184
C) 222
RESOLUCIÓN
4 doc <> 12 x 4 + 2 = 50 manz.
3.
Calcular el máximo
cuadriláteros.
número
de
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
RESOLUCIÓN
Por codificación literal:
a
En los 4800 que llevo hay:
c
b
4800
=96 grupos de 50 ,
50
donde habrá:
2 x 96 = 192
2.
manz. de obsequio.
RPTA.: D
Juan es el doble de rápido que
Pedro. Si juntos pueden hacer una
obra en 10 días, cuánto tiempo le
tomará a Juan hacerlo solo?
A) 13 días
C) 15 días
E) 17 días
B) 14 días
D) 16 días
Con 1
Con 2
Con 3
Con 4
Con 7
Total
letra
letras
letras
Letras
letras
g
e
d
f
:
:
:
:
:
:
1
3
1
1
1
7
RPTA.: D
1. Calcular el máximo
Hexágonos.
número
RESOLUCIÓN
Juan hace: 2 K
Pedro hace: 1 K
Juntos hacen 3 K
En 10 días hacen 30 K
Juan lo haría solo en
30 K
= 15 días
2K
RPTA.: C
A) 21
D) 34
B) 24
E) 42
C) 30
de
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RPTA.: E
RESOLUCIÓN
Contabilizando los espacios, en la
base, que generan hexágonos,
tenemos:
 5 6 

  15 x 2
 2 
SITUACIONES LÓGICAS
4.
30
RPTA.: C
Hay dos pares de niños entre 2
niños; un niño delante de 5 niños y
un niño detrás de 5 niños ¿Cuántos
niños hay como mínimo?
A) 12
D) 6
OPERADORES
MATEMÁTICOS
B) 10
E) 4
C) 8
RESOLUCIÓN
1. En la tabla:
 a b
a a b
c
c
2 pares de niños
Un niño
detrás de 5
b b a c
c c c a
RPTA.: D
5.
Reducir:
E
a  b  c  a
A) a
D) c
a  b  c 
B) 0
E) 1
C) b
RESOLUCIÓN
 a  b   c   a
E 
a  (b  c)
b  c   a  c  1
E
ac
c
2.
RPTA.: E
C) 6
RESOLUCIÓN
H + C
C) 25
RESOLUCIÓN
E  81 & 27 & 16
1 3
4  32
2
1 2
32 & 16=25 & 24  5  12, 5
2
81 & 27=34 & 33 
B) 5
E) 7
P; L
Halle: E  81 & 27 & 16
B) 32
E) 12,5
Un león, un carnero y un paquete
de pasto desea pasar un hombre
por un puente, donde el peso de
cada uno, incluyendo al del hombre
varía entre 70 y 80 kilos. Si el
puente resiste solamente 200 kg,
cuántas veces cruzaría el hombre el
puente para pasar todo? (no puede
dejar al león y al carnero juntos, ni
al carnero y el pasto juntos).
A) 4
D) 8
Si an & an1  0, 5na
A) 16
D) 81
Un niño
delante de 5
L
C
H
H + P
H +C
H +L
H
H + C
C
P
L
RPTA.: E
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PLANTEO DE ECUACIONES
6.
Halle el número cuyo quíntuplo,
3
disminuido en los
del mismo, es
4
igual al triple, de la suma de dicho
número con cinco.
A) 10
D) 13
B) 11
E) 14
EDADES
8.
Teófilo tiene el triple de la edad de
Pedro. Cuando Pedro tenga la edad
de Teófilo, este tendrá 75 años.
¿Cuál es la edad de Teófilo?
A) 30
D) 45
C) 12
Sea “x” el número
3
5x  x  3  x  5
4
Por (4):
20x  3x = 12x + 60
17x 12x = 60
5x = 60
x = 12
B) 81
E) 3
C) 71
=
=
=
=
=
=
3x
75
Pedro
x
3x
RPTA.: D
9.
Hace (a + b) años, Martín tenía 2a
años, ¿Qué edad tendrá dentro de
(a – b) años?
A) 4a
D) 3a - 2b
600x
0
600
0
0
20
x=0
0, 1, 2 
 3
x = 23
23, 24, 25
  72
x = 26
26, 25, 24
  75
RPTA.: E
Teófilo
Teófilo tiene 45 años
RESOLUCIÓN
(x) (x+1) (x+2)
X[(x+1)(x+2)  600]
x = 0  (x+1) (x+2)
x = 0  x² + 3x  598
(x23) (x+26)
x = 0  x = 23  x
Futuro
3x  x  75  3x
5x  75
x  15  3(x)  45
El producto de tres números
enteros consecutivos es igual a 600
veces el primero. ¿Cuál es la suma
de dichos números?
A) 76
D) 73
Presente
La diferencia de edades siempre es
la misma.
RPTA.: C
7.
C) 40
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN

B) 35
E) 50
B) 2a - 2b C) 3a
E) 2a + 2b
RESOLUCIÓN
a+b
Martín
a-b
Tendrá
Pasado
Presente
Futuro
2a
2a +(a+b)
3a+b+a-b
= 4a
3a + b
RPTA.: A
MÓVILES
10.
Dos móviles están separados x2x 2
metros el uno del otro. Si parten
simultáneamente uno al encuentro
del otro, con una rapidez de xx y
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2xx
metros
por
segundo,
respectivamente, se encontrarán al
cabo de un minuto con 21 segundos
¿Qué distancia recorre el más veloz
en xx 1 segundos?
A) 486 m
C) 864 m
E) 468 m
20 t  30t  60
50t  600
t  12s
B) 648 m
D) 684 m
Luego: t total  24  12
t  36s
RPTA.: C
RELOJES
RESOLUCIÓN
VA  x x
VB  2x x
x2x  2
A
tE 
12.
B
d
x2x 2
 1 min 21s  x
VA  VB
x  2xx
81 
xx xx x2
3xx
A) 9 a.m.
C) 2 p.m.
E) 9 pm.
243 = x . x²
35  xx 2  x  3
El más veloz
t  33 1  32  9s
ab
d  VBt
B) 42 s
E) 12 s
luego: ab  21  H: 9 p.m.
RPTA.: E
13.
1200
1200

 24 segundos
20  30
50
30t
AB
600 m
11  a  b  33  a  b  3  a  2 b  1
C) 36 s
RESOLUCIÓN
A
H.F.T
ab  ba  9  24
100 a  b  10b  a  37
Dos móviles separados 1200 m van
al encuentro uno del otro, en
sentidos opuestos, con rapidez de
30 m/s y 20 m/s. ¿En que tiempo
estarán separados 600 m por
segunda vez?
20t
ba  9
24 h
RPTA.: A
tE 
H
H.T
m

d   54  9s   486 m
s

A) 45 s
D) 24 s
B) 11 a.m.
D) 7 pm.
RESOLUCIÓN
 
VB  2 33  54 m / s
11.
Las horas transcurridas del día
están representadas por un número
de dos cifras y el exceso de dicho
número con las cifras invertidas
sobre nueve, representa las horas
que faltan transcurrir. ¿Qué hora
es, si no son las 12m.?
B
Un barco que zarpa del Callao, llega
a Paita un día sábado a las 11 a.m.,
después de emplear 130
horas.
¿Qué día y hora salió del Callao?
A) Martes a las 5 a.m.
B) Miércoles a las 9 a.m.
C) Martes a las 11 a.m.
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D) Jueves a la 1 a.m.
E) Jueves a las 8 a.m.
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2.
RESOLUCIÓN
505 404
T   0! 1! 2! 3! ...  100!
Paita
Lu
Ma
10 h
Mi
10
Ju
10
Sab
Vi
10
A) 6
D) 8
11 am
10

B) 4
E) 0
0! 1
0! 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 6040
8! = 40320
9! = ……..0
100!=……0
…..4
130 h = 5 D + 10 h
Lunes a la 1 a.m.
RPTA.: D
HABILIDAD OPERATIVA
1. En cuántos ceros termina 60!
A) 9
D) 13
B) 11
E) 14
C) 12
505404
T  .....4
RESOLUCIÓN
60
C) 2
RESOLUCIÓN
130 24
10 5

Calcule la cifra de unidades que se
obtiene al efectuar:
T  .....4
5
 Impar
Impar
T  ..........4
12 5
2 2
RPTA.: B
Total 14 ceros
RPTA.: E
ÁLGEBRA
TEORÍA DE EXPONENTES
ECUACIÓN DE 1º GRADO
RESOLUCIÓN
1
1
1
* 27 3 
* 362 
3
6
1. Efectuar:
4
* 
3
E  27
A) 3
D) 1
31
 36
B) 6
E) 0
21
4
 
3
1

3
4
* 22 
1
4
E  1  1
1
 22
C) 2
1
RPTA.: D
2.
Simplificar:
2
5


4 

E   27 3   27 3  2 3 


0,2
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2
3
A)
3
2
B)
D) 3
RESOLUCIÓN
C) 2
E) 1
RESOLUCIÓN
*  27 

*  27 

* 3
4
2
3
5
3

1


1
3
3
27
1
27
2
1
9
5

1
243
16.
1
2
0,2
 27  1  6 


 243 
0,2
0,2
 243 


 32 
0,2
2
 3 5  10
   
 2  
3
2
Si
1
3
7
343
322
RPTA.: D
¿Cuál
será
aquel
polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por 2x  1
y que al ser evaluado en (2) toma
el valor de 5?
A) 4x2  4x  3
B) 4x2  4x  3
C) 4x2  4x  3
D) 4x2  4x  2
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
Px  4x2  ax  b :
x2 y2

 3x  y , halle
y
x
Por condición:
4x2  ax  b  2x  1 .q' x 
4
 xy yx 
W   x  y  x  0, y  0
x 
y
A) 16
D)  24
=
=
=
=
=
E) 4x2  4x  2
PRODUCTOS NOTABLES
14.
a²  2 + a2
a² + a2
a4 + a4
12
12
a + a + 3(7)
a12 + a12
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
1
81
 32 
E

 243 
RPTA.: B


E   


 9 243 81 
E 
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B) 23
E) 161 / 2
2
 1 
 1 
4
 a

b  0
 2 
 2 
-a+2b=-2.............................(1)
C) 42
Además:
4x2  ax  b  (x  2)q'' x  5
RESOLUCIÓN
x3  y3  3xyx  y
x  y3  3xyx  y  3xyx  y
x  y3  0

De: 2(1)+(2)
: 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4
Conclusión: P x  4x2  4x  3
4
x
 x

x  y  W   xx  xx   16
x
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b =  11 .........................(2)
x 
RPTA.: C
RPTA.: A
15.
Si a  a1  1 , halle W  a12  a12
A)256
D)322
B)306
E)196
C) 343
17.
Busque la relación que debe existir
entre “p” y“q” a fin de que el
polinomio:
P x  x3  3px  2q
Resulte ser divisible por x  a
2
A) P 3  q2
B) P 2  q3
C) P  q
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D) P.q  1
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E) P  q2
1
1
 p  x2  2  p2  2
x
x
2
2
c(x)  x 12p  4p  65
x
RESOLUCIÓN
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
1
c(x)  6p  13 2p  5

-a
 a2  3ap
-a a2
1 -a (a2  3p) 3ap  2q  a3
-a
-a
2a2
2
1 -2a 3a  3P

P(x)   x  13x  22x  32x  1 x  2

R1  0
Factorizando Q:
Q(x)  2x4  5x3  8x2  17x  6
Q(x)   x  1 x  2 x  32x  1
R1  0
Si: 3a  3P  0

c(x)  6x2  13x  6 2x2  5x  2
2q
0 -3P
2
 
a2  P  a2
Por tanto:
3
 P3
Reemplazando en: R1  0 
MCD(P,Q)   x  1  x  2
3a3  2q  a3  0  a3  q
RPTA.: B
a    q
3 2
2
Conclusión: P  q .
3
2
19.
Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
RPTA.: A
MCD – MCM - FRACCIONES
18.
P(x)  x7  8x6  17x5  9x4  9x3  17x2  8x  1
Q(x)  x5  5x4  x3  x2  5x  1
A) 3
D) 6
Halle el MCD de los polinomios P(x)
y Q(x).
P(x)= 12x5  8x4  45x3  45x2  8x  12
Q(x)= 2x4  5x3  8x2  17x  6
A) x+1
C) (x-2)(2x-1)
E) (2x+3)(2x-1)
Factorizando P (x); el polinomio es
recíproco.
1
-1
Factorizando P(x)
1
12
-1
8 -45
-12
12
4
-4 -41
-45
41
-4
8
12
4 -12
12
0
Luego el cociente c(x)
c(x)  12x4  4x3  41x2  4x  12
 

1 
1

c (x)  x2 12  x2  2   4  x    41
x
x 

 

C) 5
RESOLUCIÓN
B) (x+1)(x-2)
D) 3x+2
RESOLUCIÓN
B) 4
E) 7
8
17
9
-1
-7
-10
7
10
-1
9
17
8
1
1 -10
-7
-1
0
10
7
1
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:

1
1
1 


c (x)  x3  x3  3   7  x2  2   10  x   1 
x 
x 
x 



Haciendo:
x
1
1
 m  x2  2  m2  2
x
x
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x3 
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1
 m3  3m
3
x
RESOLUCIÓN
 P (x)   x  1  x2  3x  1 x2  5x  1 x2  x  1
Factorizando Q(x) similarmente:




Q  x    x  1 x2  5x  1 x2  x  1
Por tanto:



RPTA.: C

MCM   x  1 x  5x  1 x  x  1 x  3x  1
2
2
2
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
RPTA.: E
TEORÍA DE ECUACIONES
20.
Calcule “k” para que la ecuación se
reduzca a una de primer grado.
2k  3 3kx  2

 2k  3
x 1
x 1
A) -2
D) 2
B) -3
E) 3
C)1
RESOLUCIÓN
2k  3x  1  3kx  2x  1  2k  3 x2  1
2kx2  2kx  3x  3kx2  3kx  2x  2
= 2kx2  2k  3x2  3
5kx2  kx  5x  1  2kx2  3x2  2k  3
3kx2  3x2  k  5 x  2k  2  0
3k  3 x2  k  5 x  2k  2  0
 3k  3  0  k  1
RPTA.: C
21.
Calcule el valor de x en:
x n x m

1
n
m
A) m
mn
m  n
n
E)
nm
C)
B) n
D)
m
nn
xm  mn  nx  mn  mn
x(m  n)  mn
mn
mn
x

m  n m  n
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GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS I
1. En la
“x”
c
figura, calcule el valor
b
de
2xº
x
a
A) 10º
D) 40º
100°
B) 20º
C) 30º
E) 22º 30´
RESOLUCIÓN
Si: a + b + c = 130°
2
2
c°
A) 40°
D) 60°
B) 45°
E) 80°
c) 50°
b°
a°
RESOLUCIÓN
De la figura:
x°
P

100°
2
2
C
2x°
3x°
Luego:
 +  +x = 100°
40 +x = 100  x = 60°
22.
RPTA.: D
2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”
130º = 2x + 90º
2x = 40º
RPTA.: D
POLÍGONOS Y
CUADRILÁTEROS
APC: 2 + 2 + 100 = 180°
 +  = 40°
:
x°
Propiedad del cuadrilátero:
a + b = 2x + 90º .................e
a  b  c  2x  90º
B
A
2x°
Calcule el número de diagonales
medias de un polígono, en donde el
número de diagonales es el
cuádruple del número de ángulos
internos.
A) 20
D) 44
B) 27
E) 55
C) 35
RESOLUCIÓN
Dato: NºDiag.= 4(Nº
s internos)
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Piden: NºDiag.Medias=
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PROPORCIONALIDAD Y
SEMEJANZA
n(n  1)
?
2
Reemplazando en el dato:
n n  3
 
4 n
2
n  3  8  n  11
D.M. =
23.
11 11  1
24.
En
la
figura
si: x.y  x  y 
 55 RPTA.: E
2
Un icoságono regular ABC… y un
pentadecágono
regular
ABMN…
están
ubicados
en
distintos

semiplanos respecto a AB Calcule:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
calcule
z,
x
, L1 // L 2 // L 3
y
L1
6x
z-1
L2
y+5
z+1
L3
m MCB
A) 72º
D) 69º
B) 36º
E) 60º
C) 24º
RESOLUCIÓN
1) Dato: x.y  x  y 
RESOLUCIÓN
x
y
Resolviendo:
15 LADOS
x
N
1
, y =-1...
2
(I)
2) Teorema de Thales
M
6x
z 1
...

y 5 z 1
x
e2
B e1
A
3) (I)en (II)
x
C
6 1 / 2
1  5
*
*
Piden: x=?
360
 18º
20
360
e2 
 24º
15
e1 
z 1
z 1
4z  4  3z  3
z=7
RPTA.: D
e1  e2  42º e
 BMC 2x  e1  e2   180º
42º


4 z 1

3 z 1
20 LADOS
*
(II)
x = 69º
RPTA.: D
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AE 3
 ,
EC 2
25. En la figura, calcule BF si:
CD=6
B
F
45º
45º
D
A


C
E
A) 6 2
B) 7 2
D) 9 2
E) 12 2
C) 8 2
RESOLUCIÓN
1) Corolario de Thales:
AE BD
...

EC CD
(I)
2) Reemplazando los datos en (I):
3 BD
(II)

 BD  9 .....
2
6
3)
BDF (notable)
BF  BD 2 ...
(III)
4) (II) en (III)

BF  9 2
RPTA.: D
FÍSICA
CINEMÁTICA
25.
A partir del instante mostrado,
determine
cuántos
segundos
transcurren hasta que el auto A
pase completamente al auto B.
Considere que los autos se mueven
en vías paralelas realizando un
M.R.U.
(A)
3m
(B)
12 m/s
10 m
3m
4 m/s
A) 1 s
D) 4 s
B) 2 s
E) 5 s
C) 3 s
RESOLUCIÓN
El auto “A” pasa al auto “B” cuando
la partícula posterior del auto “A”
alcanza a la partícula delantera del
auto “B”.
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V + 5 = 2v  10
t AL 
t AL 
d
VA  VB
V = 15 m/s
L = (15 + 5) (100)
L = 2000 m
RPTA.: B

16
 2s
12  4
TRABAJO, POTENCIA Y
ENERGÍA MECÁNICA
RPTA.: B
26.
Sobre las aguas de un río de orillas
paralelas se desplaza una lancha
con una rapidez constante. Si en ir
de un punto a otro del río tarda 100
s (cuando viaja en la dirección de la
corriente) y cuando regresa al
punto de partida tarda 200 s.
Determine la rapidez de la lancha
en aguas tranquilas y la distancia
entre los dos puntos, si las aguas
del río tienen una rapidez de 5 m/s.
1.
Un automóvil de 1 500 kg de masa
acelera desde el reposo hasta
alcanzar una rapidez de 20 m/s,
recorriendo una distancia de 200 m a
lo largo de una carretera horizontal.
Durante este período, actúa una
fuerza de rozamiento de 1 000 N de
magnitud. Si la fuerza que mueve al
automóvil es constante, ¿Cuál es el
trabajo que ella realiza?
A) 10 m/s ; 2 000 m
B) 15 m/s ; 2 000 m
C) 20 m/s ; 2 000 m
D) 11 m/s ; 1 600 m
E) 15 m/s ; 1 500 m
RESOLUCIÓN
A) 100 kJ
D) 500 kJ
B) 200 kJ
E) 800 kJ
C) 300 kJ
RESOLUCIÓN
V0  0 mg
V = rapidez de la lancha
m
Vf  20m / s
F
a
fk  1000N
N
Cálculo
d = 200 m
WF
de
(Trabajo
realizado por la fuerza F)
Se sabe:

WF = F . d
WF = F . (200 m) ...............(1)
Hallo “F” aplicando 2da. ley de
Newton.
Es decir:
La figura muestra la velocidad
resultante de la lancha con respecto
a un observador ubicado en tierra.
Por M.R.U.: d = vt
L = (v+5) (100) = (v5) (200)
V + 5 = (v5)2
FR = ma
 Vf2  V02 

 2d 
F  fk   m  
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
2.
 202  0 
F  100N  1500 
N
 2  200 
F = 2500 N
Reemplazando “F” en (1):
WF = 2500 N . 200 m = 500 kJ
RPTA.: D


Una fuerza F  (300 i)N
bloque de 200 kg de
distancia de 25 m
superficie horizontal. Si

arrastra un
masa, una
sobre una
la fuerza de

fricción es f K  (200 i) N , ¿cuál es el
trabajo neto realizado sobre el
bloque?, ¿cuál es la magnitud de la
aceleración del bloque?
A) 2 500 J ; 0,1 m/s2
B) 2 500 J ; 0,5 m/s2
C) 7 500 J ; 0,5 m/s2
D) 6 000 J ; 1,5 m/s2
E) 250 J ; 0,5 m/s2
RESOLUCIÓN
300N
mg
a
m
m
200N
N
d = 25 m
Cálculo de WNeto(Trabajo Neto)
Se cumple: WNeto = FR . d
Donde: FR  300N  200N  100N
Luego:
WNeto  100N
25m  2500 J
Cálculo de “a”
(magnitud de la aceleración)
a
FR
100N
m
a
 0,5 2
m
200kg
s
RPTA.: B
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