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MATEMÁTICAS
Tarea no. 1. Transformada de Laplace
1. Usando los métodos de la transformada de Laplace, resuelva para t ≥ 0 las
siguientes ecuaciones diferenciales, sujetas a las condiciones iniciales
especificadas:
d 2 x dx
d 2x
dx
a) 2 +
− 2 x = 5e −t sent
b) 2 + 4
+ 4 x = t 2 + e −2 t
dt
dt
dt
dt
dx
dx
sujeta a x=1 y
= 0 en t=0.
sujeta a x=1/2 y
= 0 en t=0.
dt
dt
2. Usando los métodos de la transformada de Laplace, resuelva para t ≥ 0 las
siguientes ecuaciones diferenciales simultáneas, sujetas a las condiciones iniciales
dadas:
d 2 x d 2 y dx dy
dx
dy
2 2 − 2 −
−
= 3 y − 9x
+ 2 + x − y = 5sent
dt
dt
dt dt
dt
dt
a)
b)
dx
dy
d 2 x d 2 y dx dy
t
2
+3 + x − y = e
2 2 − 2 +
+
= 5y − 7x
dt
dt
dt
dt
dt dt
dx
dy
sujeta a x=0 y y=0en t=0.
sujeta a x=
= 1 y y=
= 0 en t=0.
dt
dt
1

0
,
0
≤
t
<
π

2 puede expresarse en la forma
3. Verifique la función f (t ) = 
 sen t , t ≥ 1 π

2
 1   1 
f (t ) = cos t − π u  t − π  . Luego resuelva la ecuación diferencial
 2   2 
2
d x
dx
dx
+ 3 + 2 x = f (t ) ,sujeta a x=1 y
= −1 en t=0.
2
dt
dt
dt
3, 0 ≤ t < 4
4. Exprese la función f (t ) = 
en términos de las funciones singulares
2 t − 5, t ≥ 4
y obtenga sus transformadas de Laplace. Obtenga la respuesta del oscilador
..
dx
armónico x + x = f (t ) para tal función de fuerza, dado que x=1 y
= 0 en t=0.
dt
5. La entrada θi(t) y la salida θo (t) de un servomecanismo están relacionadas por la
ecuación diferencial θ o + 8 θ o + 16θ o = θ i , t≥0 e inicialmente θ o (0 ) = θ o (0) = 0 .
1 − t , 0 < t < 1
s −1 1
Para θi=f(t), donde f (t ) = 
muestre que F ( s ) = 2 + 2 e −s y
s
s
0, t ≥ 0
luego obtenga una expresión para la respuesta del sistema en el tiempo t.
..
.
.
6. Obtenga la transformada inversa de Laplace de
2s 2 +1
(s + 2)(s + 3)
7. Resuelva para t≥0 las siguientes ecuaciones diferenciales sujetas a las condiciones
iniciales específicas:
d 2x
dx
d 2x
dx
a) 2 + 7 + 12 x = 2 + δ (t − 2 )
b) 2 + 6 + 13x = δ (t − 2π )
dt
dt
dt
dt
dx
dx
sujeta a x=0 y
= 0 en t=0.
sujeta a x=1/2 y
= 0 en t=0.
dt
dt
8. La respuesta x(t) de un sistema para una función de fuerza u(t) está determinada
por la ecuación diferencial
d 2x
dx
du
+2
+ 5x = 3
+ 2u
2
dt
dt
dt
a) Determine la función de transferencia que caracteriza al sistema
b) Determine los polos y ceros de la función de transferencia e ilústrelos con
un diagrama en el plano s.
9. Determine la respuesta al impulso del siguiente sistema lineal cuya respuesta x(t)
d 2x
dx
a una entrada u(t) está determinada por 2 + 8 + 25 x = u (t ) .
dt
dt
10. La respuesta de un sistema dado a un escalón unitario u(t) está dada por
7
3
1
x (t ) = 1 − e − t + e − 2t − e − 4t ¿Cuál es la función de transferencia del sistema?
3
2
6
11. La respuesta θo (t) de un servomecanismo a una fuerza de transmisión θi(t) está
d 2θ 0
dθ 0
dada por la ecuación diferencial de segundo orden
+
4
+ 5θ 0 = θ i , t≥0.
dt 2
dt
Determine la respuesta al impulso del sistema y después usando la convolución,
obtenga la respuesta del servomecanismo a una fuerza de transmisión escalón
unitario, aplicada en el tiempo t=0, dado que el sistema está inicialmente en
estado de reposo.