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UNLPam - Facultad de Ingeniería
ANÁLISIS III
Trabajo Práctico No 3:
Transformada de Laplace
1. Hallar usando la de…nición, la transformada de Laplace L(f )(s) de las siguientes funciones
f (t). Especi…car los valores de s para los cuales L(f )(s) existe.
1
2
(a) f (t) = t
(b) cos(at)
2t
1
(c) f (t) =
0 t
t>5
5
2. Probar que si f es OE ( ) y continua por tramos en [0; 1) entonces existen ; M 2 R tales
que jf (t)j M e t 8 t 0.
(Hint: como f es de orden exponencial existen 1 ; M1 ; T tales que jf (t)j M1 e 1 t 8 t T;
y como es continua por tramos en [0; T ] existe M2 tal que jf (t)j M2 8 t 2 [0; T ]: Además,
para t 2 [0; T ] vale 1 e t si
0 y 1 e (t T ) si < 0; usar todo eso y pensar).
3. (a) Probar
que si f es OE ( ) y continua por tramos en [0; 1) entonces la función g (t) =
Rt
f
(x)
dx es OE (max (0; )) :
0
(b) Probar que si f (t) es OE ( ) y p (t) es un polinomio, entonces la función g (t) =
f (t) p (t) es OE ( ) 8 > :
4. Encontrar L(f ) y L(f 0 ) para
2t
t
f (t) =
¿Es L(f 0 ) (s) = s L(f ) (s)
0 t
t>1
1
f (0)?, ¿debería serlo?
5. Hallar L(f ) para las siguientes funciones f (t):
(a) 2e4t
(d) 2t2
(b) 3e
e
t
(g) cosh(at)
(j) e
(m) e
t
4t
cosh(2t) + (1 + te t )3
6. Si L(f )(s) =
e
1=s
s
(c) 5t
3
(e) sin(6t)
(f) (t2 + 1)
(h) sinh(at)
(i) t
(k) 2e
cos(2t)
2t
3t
(n) 3t4
1
+ t2
(l) et (t + 2)2
sin(4t)
2t3 + 4e
1
2
2
3t
2 sin(5t) + 3 cos(2t)
; hallar L(e t f (3t)) (s).
7. Hallar f (t) si L(f )(s) es igual a:
(a)
(c)
5
s+3
s 4
s2 4
(b)
(d)
2
s2 +16
s
(s 1)2 4
8. Usando la fórmula para L(f 0 )(s); calcular L(sin2 (t))(s):
9. Veri…car que:
Transformada de Laplace
9
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(a) L
(b) L
Rt
0
Rt
0
(u2
u+e
u)
(1 e
u
u
ANÁLISIS III
)du (s) = 1s L(t2
t + e t )(s)
du (s) = 1s ln(1 + 1s )
10. Hallar f (t) si L(f )(s) es igual a:
(a)
(c)
1
s2 +s
1
s3 4s
4
s3 +4s
8
s4 4s2
(b)
(d)
11. (a) Tomamos una función f (t) continua por tramos en [0; 1) y OE ( ) ; y de…nimos
Z t Z r
f (u) du dr
g (t) =
0
Rr
(o sea h (r) = 0 f (u) du y g (t) =
calcular L (g) (s).
(b) Generalizar el hecho anterior para
Z t Z v1
g (t) =
0
0
Rt
0
h (r) dr). Mostrar que g es OE (max (0; )) y
Z
0
vn
1
f (vn ) dvn
dv2 dv1 .
0
12. Expresar en términos de la función de Heaviside ua (t):
2
(a) f (t) =
t
4t
8
< sin(t)
sin(2t)
(b) f (t) =
:
sin(3t)
0<t<2
t>2
0<t<
<t<2
t>2
13. Trazar la grá…ca de las siguientes funciones y hallar su transformada de Laplace.
(a) (t
(b) t u (t)
)u (t)
(c) u (t) sin(t)
(d) e
2
(e) t u2 (t)
2t
u1 (t)
(f) La función de (a) del ejercicio 12.
(g) La función de (b) del ejercicio 12.
14. Hallar f (t) si L(f )(s) es igual a:
(a)
se s
s2 +4
(b)
e 2s
s 2
(c)
e
2s
s2
:
15. Hallar L(f ) (s) para las siguientes funciones f (t):
(a) t cos(at)
(b) t2 sin(t)
(c) sinh(t)=t
(d)
(e) (t2
e
at
e
bt
t
3t + 2) sin(3t)
16. Usando los teoremas de transformadas de Laplace de derivadas e integrales, calcular:
Transformada de Laplace
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s+1
1
(a) L
ANÁLISIS III
1
(b) L
(s2 +2s+2)2
s+2
s+1
ln
(c) L
1
1
s
s2 +a2
s2 +b2
ln
17. Usando la función de Heaviside, hallar L(f )(s) para las siguientes funciones periódicas f (t):
3t
6
(c) f (t) =
0<t<2
2<t<4
0
(d) f (t) =
sin(t)
donde f tiene período 4:
0<t<
<t<2
donde f tiene período 2 :
18. Veri…car el teorema del valor inicial para las funciones:
(a) 3
(b) (2t + 3)2
2 cos(t)
19. Veri…car el teorema del valor …nal para las funciones:
(a) 1 + e
t
(b) t3 e
(sin (t) + cos (t))
2t
20. Si f (t) = cos (t) entonces el teorema del valor …nal falla, pues limt!1 f (t) no existe y
2
lims!0 s2s+1 = 0. ¿Por qué?
21. Evaluar las siguientes integrales:
(a)
R1
0
t
t3 e
sin (t) dt
(b)
R1
0
e
t
sin(t)
dt
t
(c)
R1
e
0
t
e
t
3t
dt
22. Usando convolución, calcular L 1 (F ) para las siguientes funciones:
(a) F (s) =
1
(s+3)(s 1)
(b) F (s) =
1
(s+1)(s2 +1)
(c) F (s) =
s2
.
(s2 +4)2
23. Hallar f (t) si L(f )(s) es igual a:
(a)
(d)
3
s+4
p
(
s 1)
s
(g)
3s 8
s2 +4
(j)
e 3s
s2 2s+5
1
(s+1)s3
(m)
(b)
8s
s2 +16
(c)
1
s7=2
(e)
2s+1
s(s+1)
(f)
5s+10
9s2 16
(h)
s
(s+1)5
(i)
se 2s
s2 +3s+2
(k)
1
s5
s+2
s2 (s+3)
(l)
3s+2
4s2 +12s+9
1
(s+2)(s 1)5
2
4s 24
s2 16
(n)
(o)
Transformada de Laplace
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ANÁLISIS III
24. De la necesidad de tener una función que represente pulsos de carga constante y de brevísima
duración (tal que ningún aparato pueda distinguir entre él y algo más breve) nace la “función”impulso (x) (que NO es una función). Queremos
Z 1
(x) = 0 8 x 6= 0
y
(x) dx = 1
1
y por lo tanto podemos aproximar a
ciones fp" (x) ; " > 0g; que cumplan
tanto como queramos con cualquier familia de fun-
p" (x) = 0 8 x 2
= I"
Z
y
1
p" (x) dx = 1
1
donde I" es un intervalo que contiene a 0 y cuya longitud tiene a 0 cuando " ! 0. En el
contexto de Transformada de Laplace, se suele usar las siguientes funciones:
1
"
h" (t) =
0 t
t>"
0
"
:
(a) Dibujar h" (t) y veri…car que tienen las propiedades adecuadas para aproximar (x).
(b) Probar que si f : [0; 1) ! R es una función continua (a derecha) en 0 entonces
Z 1
lim+
h" (x) f (x) dx = f 0+ :
"!0
Esta situación se denota
Z
1
1
(x) f (x) dx = f (0). (Hint: si mf y Mf son el mínimo y
1
máximo de f en el intervalo [0; "], respectivamente, entonces mf h" (x)
Mf h" (x), integrar y tomar lim).
f (x) h" (x)
"!0
(c) Hallar L (h" ) (s) y demostrar que lim L (h" ) (s) = 1 8 s: Esta situación se denota por
"!0
L ( ) (s) = 1 8 s (notar que, puesto que lim"!0 h" (t) no es una función, no tiene sentido
hacer L (lim"!0 h" ) (s)).
(d) Calcular, como en el item anterior, L ( (t
signi…ca L ( (t a)) :
(e) Calcular (f
a)) (s), interpretando adecuadamente qué
) (t), donde f (t) es una función continua y de orden exponencial.
(f) Veri…car que L (f
) (s) = L (f ) (s) L ( ) (s) :
25. Supongamos que f (t) es continua por tramos en [T0 ; T1 ] (con T0 > 0) y f (t) = 0 8 t 2
=
[T0 ; T1 ]:¿Qué valor puede tomar para que f sea de orden exponencial con exponente ?
Mostrar que L (f ) (s) es una función con in…nitas derivadas en R.
26. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
y 00 (t) + 4y (t) = 9t
y 00 (t) 3y 0 (t) + 2y (t) = 4t + 12e
y 00 (t) 4y 0 (t) + 5y (t) = 125t2
y 000 (t) y (t) = et
y 0000 (t) + 2y 00 (t) + y (t) = sin (t)
y 00 (t) + 4y 0 (t) + 5y (t) = f (t)
t
y (0) = 0
y (0) = 6
y (0) = 0
y (0) = 0
y (0) = 0
y (0) = 0
y 0 (0) = 7
y 0 (0) = 1
y 0 (0) = 0
y 0 (0) = 0
y 00 (0) = 0
y 0 (0) = 0
y 00 (0) = 0
y 0 (0) = 1
y 000 (0) = 0
Transformada de Laplace
12
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1
0
con f (t) =
ANÁLISIS III
0<t<1
t>1
27. De nuevo, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace:
(a) y 00 (t) + ty 0 (t) y (t) = 0
y(0) = 0 y 0 (0) = 1
(b) ty 00 (t) + (1 2t) y 0 (t) 2y (t) = 0
y (0) = 1 y 0 (0) = 2
28. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:
(a)
y 0 (t) + 2z 0 (t) = t
y 00 (t) z (t) = e
(b)
y 0 (t) z 0 (t) 2y (t) + 2z (t) = sin (t)
y 00 (t) + z 0 (t) + y (t) = 0
t
y (0) = 3
z(0) = 0
y 0 (0) =
2
y (0) = 0
z(0) = 0
y 0 (0) = 0
29. Supongamos que una masa m está adherida a un resorte ‡exible …jado a una pared, y que
tal masa puede desplazarse sobre el piso sin rozamiento (ver dibujo). Si una fuerza f (t)
actúa sobre la masa en el sentido del desplazamiento, y x (t) denota el desplazamiento de
m, entonces
mx00 (t) = kx (t) + f (t)
donde k es una constante que depende del resorte.
Hallar x (t) en los siguientes casos, con condiciones iniciales x (0) = x0 ; x0 (0) = 0:
(a) f (t) = f0 constante.
(b) f (t) = f0 e
(c) f (t) = f0 sin (!t) :
(d) f (t) = 1
t
;
> 0:
u2 (t) :
30. Si se conectan en serie una resistencia R y un capacitor C con un generador E (ver dibujo),
diferentes leyes experimentales muestran que
dQ
(t) = I (t)
dt
R
dQ
1
(t) + Q (t) = E (t)
dt
C
donde Q = Q (t) = carga eléctrica del capacitor en el instante t y I = I (t) = corriente del
circuito en el instante t. Hallar la carga y la corriente en cualquier tiempo t > 0 si:
(a) E (t) = E0 constante, Q (0) = 0.
(b) E (t) = E0 sin (!t) ; Q (0) = Q0 .
Transformada de Laplace
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