Transformaciones Lineales - Ing. Aldo Jiménez Arteaga

AL
2015
Transformaciones Lineales
1.
2.
Sea  = {̅1 , ̅2 , ̅3 } una base del espacio vectorial  de los polinomios de grado menor o igual a dos con
elementos en ℂ , donde ̅1 =  2 , ̅2 =  y ̅3 =  ; y sea :  → ℂ3 una transformación lineal tal que
(̅1 ) = (1, 0, 0), (̅2 ) = (0, 1 + , 0) y (̅3 ) = (0, 0, 1). Encuentra (̅ ) si ̅ = 4 2 + (3 − ) + 3.
Sean  el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con elementos complejos sobre el campo de
los reales y :  →  una transformación definida por
() =  − ∗ ,
donde ∗ es la matriz conjugada transpuesta de .
a.
b.
3.
4.
Determina si  es lineal.
Obtén el núcleo de .
Sean 1 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno con coeficientes reales sobre el
campo de los reales y : 1 → 1 la transformación lineal tal que
(1 + ) = 4 − 8,
Obtén ( + ).
(−2 + 2) = −8 + 12
Sean el espacio vectorial real 1 = { + |,  ∈ ℝ} y la transformación lineal : 1 → ℝ2 tal que
(2 − 1) = 4̂ − ̂,
Determina:
a.
b.
c.
5.
∀ ∈
(1) = −̂ + ̂ − ()
La regla de correspondencia de .
La dimensión del núcleo de .
El recorrido de .
 
Sean los espacios vectoriales reales  = ��
� �, ,  ∈ ℝ� y  = { 2 +  + |, ,  ∈ ℝ}, y los conjuntos
 
1 2
0 1
1 0
 = ��
�,�
�,�
�� y  = { 2 − 2,  + 1, − 2 + } bases de  y , respectivamente. La matriz
0 1
−1 0
3 1
asociada a la transformación :  →  respecto a las bases  y  es
1 0 1
 () = �1 0 1�
3 2 1
6.
Determina la regla de correspondencia de .
Sean el espacio vectorial real  = { 2 +  + |, ,  ∈ ℝ} y el operador lineal : ℝ3 →  tal que
a.
(, , ) = ( +  − 2) 2 + ( + 2 + ) + (2 + 2 − 3)
Determina la inversa de .
1
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AL
b.
7.
Obtén el núcleo y el recorrido de la inversa de .
Sean las transformaciones lineales : ℝ2 → ℝ2 y : ℝ2 → ℝ2 cuyas reglas de correspondencia son
(, ) = (, −),
8.
(, ) = (− + , )
respectivamente. Determina la regla de correspondencia de ( ∘ )−1 .
Sea el operador lineal : ℂ3 → ℂ3 cuya matriz asociada a la base  = {(1, 0, −1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} es
Determina:
a.
b.
c.
9.
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1+
=� 0
0
0
0
1
0 �
0 1−
los espacios característicos de .
los valores característicos de  −1.
la regla de correspondencia de .
4 1 −1
Uno de los valores característicos de la matriz  = �2 5 −2� es 1 = 3. Determina:
1 1 2
a.
b.
Todos los espacios característicos de .
Una matriz  tal que  −1  sea diagonal.
10. Sea  una matriz de  ×  con elementos en ℂ y () un polinomio no nulo diferente del polinomio
característico de , tal que () = 0. Demuestra que () es divisible entre el polinomio característico de .
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