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TRANSFORMACIONES LINEALES
ALGEBRA LINEAL
1. Sea G: R3  P3 tal que G(a, b, c) = (a  2b) x3 + (b + c) x2 + (a + 2c) x + (a – b + c), una
transformación lineal. Determinar el recorrido, el núcleo, sus respectivas bases y sus
dimensiones.
2.
Sea B = v1, v2, v3  una base del espacio vectorial P2 de los polinomios de grado menor o igual
a dos, con elementos en C, donde v 1 = x2, v2 = x, v3 = i. Sea T: P2  C3, una transformación
lineal, tal que T(v1) = (1, 0, 0), T(v2) = (0, 1 + i, 0), T(v3) = (0, 0, 1). Obtener la función
transformación lineal. Calcular T(v), si v = 4 x2 + (3  i) x + 3.
3. Sea T : R3  R3 tal que: T(k) = 2i + 3j + 5k , T(j + k) = i , T(i + j + k) = j – k, una
transformación lineal. Obtener la matriz asociada a la transformación lineal.
4. Sea B = v1, v2, v3 una base del espacio vectorial M de las matrices simétricas de orden dos,
1 0
1 1
1 1
con elementos reales, donde: v1  
,
v

,
v
3

2

1 0
1 1 y sea la
0 0




transformación lineal T : M  R3 , tal que T(v1) = (0, 0, 1) , T(v2) = (0, 1, 1), T (v3) = (1, 2, 1).
Obtener la regla de correspondencia de la transformación lineal. Determinar una base y
dimensión del recorrido y del núcleo.
5. Para las Transformaciones Lineales, ( T S H ) : R2  R2. tal que T(x , y) = (x  y, 3x + y)
S(x, y) = (y, x), H(x, y) = (x, y). Obtener la regla de correspondencia de la función
transformación lineal G, donde, 3 T – (S  G) = - (H + S).
6. Sea P1 el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a uno, con coeficientes reales
y las transformaciones lineales T:R2R3 y S : R3P1 , dados por T(x, y) = (x  y, 3x + y, y),
S(a, b, c) = (a  b)x – b + 2c. Obtener la regla de correspondencia de (S  T) –1.
7. Sean las transformaciones lineales U : R 2  R2 tal que U(x, y) = (x  y, x + y). V : R3  R2 tal
que V(x, y, z) = (x, 2z). W : R2  R3 tal que W(x, y) = (y, x + y, x). Obtener la regla de
correspondencia de la transformación T si: T  U + T  U-1 = 2 V  W + 3 U.
8. Sean las transformaciones lineales: F : R3  R3 F(x, y, z) = (x + y - z, x + y, y + z). G:
R2 R3 G (x, y) = (x + y, x, x + 3y). H : R3 R2 H (x, y, z) = (x + y, x + z). Obtener la regla
de correspondencia de la transformación lineal B tal que: 3 G  H + F  B = F.
9. Sea P2 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, con coeficientes
reales, sobre el campo de los reales y T: P2 P2 la transformación definida por T(p(x)) =P(1+x).
Obtener el recorrido y núcleo de la transformación y sus dimensiones.
10. Sea P2 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, con coeficientes
reales sobre el campo de los reales y T: P2  P2 la transformación definida por T( p(x) ) = p (1 +
x). Obtener el recorrido y el núcleo de la transformación y sus dimensiones.
11. Sea P1 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 1, con coeficientes reales
sobre los reales y T: P1  P1, tal que: T(1 + x) = -8 + 4x, T(2 + 2x) = 4  12x . Obtener
T(a + b x).
12. Sea T: R3  R3 no singular, tal que: T(i) = j , T(j) = k , T(k) = i , determinar T-1 y T  T.
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16/10/2014
TRANSFORMACIONES LINEALES
ALGEBRA LINEAL
13. Sea el operador lineal T:R 3R3 cuya matriz B asociada a la transformación lineal es
  1 2 0
B   4 5 0 . Referida a la base canónica. Determinar, los valores y vectores propios de
 4 2 3
T, una base del dominio formada por vectores propios de T, y una matriz que diagonalice a la
matriz B.
4  1
14. Sea G  
 la matriz (2 x 2) asociada a un operador lineal. Determinar k, tal que 3 sea un
1 k 
valor propio de G, con el valor calculado diagonalizar a la matriz G.
15. Sea T : R3 R3 la transformación lineal T(x, y, z) = (x + 2y  2z, 2y + 4z, 3z). Determinar los
valores y vectores eigen correspondientes. Diagonalizar la matriz asociada a la transformación.
16. Sea el espacio de las matrices de orden 2x2, y la transformación T: M  M, tal que T(A) = A AT. Obtener el recorrido de T, el núcleo de T, sus bases y sus dimensiones.
17. Sea M 2 el espacio vectorial real de las matrices cuadradas de orden dos, con elementos reales
qr 
 p  2q
3

.
y sea U : R  M 2 la transformación definida por U  p , q , r  


 q  r p  q  r 
Obtener:
El núcleo de U y una de sus bases. El recorrido de U y una de sus bases. Y sus dimensiones.
18. Sea el espacio de las matrices de orden 2x2, y la transformación T: M  M, tal que T(S) = S ST.
Determinar si la transformación S es lineal.
19. Obtener la regla de correspondencia de la transformación lineal T:R 2 R2, que cambia al
cuadrado unitario de vértices los puntos: O(0,0), A(1,0). B(1,1), C(0,1), en los puntos: O(0,0),
A(1,0), C(1,1), D(2,1).
20. Determinar s i existe una matriz diagonal asociada al operador lineal S: P2  P2 tal que
S(ax2 + bx + c) = (2a + 6b)x2 + (2a + 3b)x + (a + 2b - c), donde P2 es el espacio vectorial real de
los polinomios de grado menor o igual a dos. En caso afirmativo dar una matriz diagonal
asociada a S y la matriz diagonalizadora correspondiente. En caso negativo explicar por qué no
existe .
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