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I. CONJUNTOS, COMPLEJOS Y MATRICES
1. Sea n = 20162017 + 2017 · 2018. ¿Es n múltiplo de 11? ¿Qué resto da al dividir n por 13?
Hallar la última cifra decimal del número n5 y el múltiplo de 7 más cercano a n3 .
2. Hallar el resto de la división de (116 + 117117 )2016 por 8, de la división de 142016 por 17,
de la división de 52016 + 32017 por 15, y de la división de 23102 − 54102 por 40.
3. Determinar los números naturales n tales que 3n +1 sea un múltiplo de 7 (respectivamente
de 11 y de 13). ¿Y que lo sea 2n − 1 ?
4. Sea n = c0 + c1 10 + c2 102 + . . . + cr 10r , donde ci ∈ N y 0 ≤ ci ≤ 9, la escritura en notación
decimal de un número natural n. Probar que
n ≡ c0 módulo 2, 5 y 10
n ≡ c0 + c1 + . . . + cr módulo 3 y módulo 9
n ≡ c0 − c1 + c2 − . . . + (−1)r cr módulo 11
5. Hallar el múltiplo de 11 (respectivamente 9) más cercano a n = 122333444455555.
6. El número 10a + b es múltiplo de 13 si, y sólo si, lo es a + 4b.
El número 10a + b es múltiplo de 7 si, y sólo si, lo es a − 2b.
7. Ningún número natural congruente con 2 ó 3 módulo 4 es un cuadrado perfecto.
8. La suma de los cuadrados de 4 números naturales consecutivos nunca es un cuadrado
perfecto.
9. Si un cuadrado perfecto c2 es suma de dos cuadrados perfectos, c2 = a2 + b2 , entonces a
ó b es múltiplo de 3.
10. Sea c = 3n un múltiplo de 3. Si c2 es suma de dos cuadrados perfectos, c2 = a2 + b2 ,
entonces n2 también es suma de dos cuadrados perfectos.
11. Ningún número natural congruente con 3 módulo 4 es suma de dos cuadrados perfectos.
12. Ningún número natural congruente con 7 módulo 8 es suma de tres cuadrados perfectos.
13. Si p1 , . . . , pn son los n primeros números primos (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7,...),
entonces 1 + p1 . . . pn no es suma de dos cuadrados perfectos.
14. La condición necesaria y suficiente para que un número natural n sea suma de tres cuadrados perfectos es que lo sea 4n.
15. Demostrar que si la ecuación x3 + y 3 = z 3 tuviera alguna solución entera, entonces x ó
y ó z serı́a múltiplo de 7.
16. Las siguientes ecuaciones carecen de soluciones enteras:
x2 − 13y 2 = 275
x2 − y 2 + 4z = 2
3x2 + 2 = y 2
x2 + 3 = 5y 2
2x3 − 7y 3 = 3
x2 + y 2 + z 2 = 8t + 7
x2 − 3y n = 2
7x3 + y 3 = 5
x2 + 2y 2 + 3 = 8z
x2 + y 2 + 1 = 4z
x2 + y 2 − 4z = 3
x2 − 17y = 855
3x2 − 7y 2 = 2
11x2 − 9y 2 = 6
3x2 − 14y 2 = 4
17. Hallar la parte real e imaginaria de (1 + i)/(2 − i), (2 + 3i)/(3 − 2i) y (1 + i)−2 .
18. √
Si z = a +√
bi un número complejo de módulo ρ, entonces una raı́z cuadrada de z es
ρ+a
ρ−a
±i
, donde el signo es el signo de b.
2
2
1
√
1+z
z=±
.
|1 + z|
20. Hallar las raı́ces cuadradas complejas de 1, −1, −2, i, −i, 3i, −4i, 1 + i, −2 + 3i, −2 − i.
(Indicación: Resolver la ecuación (x + yi)2 = a + bi, ó usar el ejercicio 18, ó la fórmula
general de las raı́ces n-ésimas de un número complejo).
19. Si un número complejo z ̸= −1 es de módulo 1, entonces
21. Determinar la parte real e imaginaria, el módulo y el argumento, de una raı́z cuarta
compleja de 1, de i, de −1 y de −i.
√
√
22. Determinar el módulo y el argumento
de 2 + 2i, 3 − 3i, −1 − i, 1 + 3i, −1 + 3i,
√
(1 + i)/(−2 + 2i), e1−i , eiπ/3 /(1 + 3i).
23. Hallar la parte real e imaginaria, el módulo y el argumento, de las raı́ces cúbicas complejas
de 1, i, −1, −i, 1 + i, 1 − i, −1 + i y −1 − i.
24. Hallar todas las raı́ces complejas de los polinomios x2 + 2x + 3, x2 + 1, x2 + 2, x3 − 1,
x3 − 2, x3 + 1, x3 + 2, x4 − 1, x2 − 2, x4 + 1, x4 + 2, x6 − 1 y x8 − 1.
25. Si z es un número complejo no nulo, el argumento de su conjugado z̄ coincide con el de
z −1 y es el opuesto del argumento de z.
Concluir que z/z̄ tiene módulo 1 y su argumento es el doble del argumento de z.
(Indicación: z z̄ es un número real positivo.)
26. Si un número complejo z ̸= −1 es de módulo 1, entonces existe un número real b tal que
z=
1 + bi
1 − bi
27. Probar que la ecuación x2 + y 2 = 1 tiene infinitas soluciones racionales. ¿Cuántos ángulos
hay que tengan seno y coseno racionales? (Indicación: Ejercicio 25).
28. ¿Existe algún número complejo z de módulo 1 tal que z n ̸= 1 para todo n ∈ N, n ≥ 1 ?
29. Si un número complejo z no es real, su argumento duplica al de z + |z|. (Indicación:
Elevar z + |z| al cuadrado).
(n−1)π
3π
30. Calcular sen nπ + sen 2π
.
n + sen n + . . . + sen
n
πi
(Indicación: Es la parte imaginaria de una suma de potencias de e n ).
31. Los centros de los cuadrados levantados sobre dos lados de un triángulo siempre forman
con el punto medio del tercer lado un triángulo rectángulo isósceles.
32. Tres números complejos z1 , z2 , z3 determinan un triángulo equilátero si y sólo si
z12 + z22 + z32 = z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 .
(Indicación: Tal condición significa que u = (z3 − z1 )/(z2 − z1 ) = e±
u2 − u + 1 = 0).
πi
3
es una raı́z de
33. Determinar la parte real e imaginaria de ln(−1), ln i, ln(1 + i), ln(1 − i).
34. Sean σ, τ ∈ Sn . Probar que (στ )−1 = τ −1 σ −1 .
35. Hallar el signo de σ = (126)(3854), su inverso σ −1 y una trasposición τ ∈ S8 tal que
στ ̸= τ σ. Descomponer σ en producto de trasposiciones. Calcular σ 2016 .
36. Hallar el signo de σ = (134)(2314), su inverso σ −1 y una trasposición τ ∈ S8 tal que
σ −1 τ ̸= τ σ −1 . Descomponer σ −1 en producto de trasposiciones. Calcular σ 2017 .
37. Sea σ ∈ Sn , n ≥ 3. Si στ = τ σ para toda permutación τ ∈ Sn , entonces σ es la identidad.
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II. ESPACIOS VECTORIALES
1. Sean e, v, vectores de un K-espacio vectorial E y λ, µ ∈ K. Probar que
(a) (λ − µ)e = λe − µe.
(b) Si λe = µe y e ̸= 0, entonces λ = µ.
(c) Si λe = λv y λ ̸= 0, entonces e = v.
2. Sea V un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial E. Probar que si λv + µv ′ ∈ V
para todo v, v ′ ∈ V y todo λ, µ ∈ K, entonces V es un subespacio vectorial de E.
3. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de K 3 son subespacios vectoriales?
(a) V2 = {(x, y, z) ∈ K 3 : x + y + z = 0}.
(b) V3 = {(x, y, z) ∈ K 3 : xy = 0}.
(c) V4 = {(x, y, z) ∈ K 3 : x = y = z}.
(d) V5 = {(x, y, z) ∈ K 3 : x2 + y 2 = 0}.
4. Probar que los únicos subespacios vectoriales de K son 0 y K.
5. Sea V un subespacio vectorial de un K-espacio vectorial E y e ∈ E. Si V ∩ Ke ̸= 0,
entonces e ∈ V .
6. Si Ke1 ∩ Ke2 ̸= 0, probar que Ke1 = Ke2 .
7. Si v1 , . . . , vm ∈ ⟨e1 , . . . , en ⟩, entonces ⟨e1 , . . . , en ⟩ = ⟨e1 , . . . , en , v1 , . . . , vm ⟩.
8. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas para cualesquiera subespacios
vectoriales V, V1 , V2 y V3 de un espacio vectorial E:
(a) V + E = E ; V + V = V ; V + 0 = V ; V1 ⊆ V1 + V2 .
(b) V1 + V2 = V1 ⇒ V2 = 0 ; V1 ⊆ V2 ⇔ V1 + V2 = V2 .
(c) (V1 + V2 ) ∩ V3 = (V1 ∩ V3 ) + (V2 ∩ V3 ).
(d) (V1 ∩ V2 ) + V3 = (V1 + V3 ) ∩ (V2 + V3 ).
9. Todo espacio vectorial no nulo tiene infinitos elementos.
10. El espacio vectorial K n , n ≥ 2, tiene infinitos subespacios vectoriales.
11. Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E y existen vectores
e1 , e2 ∈ E tales que e1 + V = e2 + W , entonces V = W .
12. Si dos subvariedades lineales paralelas X = p + V , Y = q + W se cortan, entonces son
incidentes; es decir, X ⊆ Y ó Y ⊆ X .
13. Si dos subvariedades lineales X = p + V , Y = q + W se cortan, entonces X ∩ Y es una
subvariedad lineal de dirección V ∩ W ; es decir, X ∩ Y = e + (V ∩ W ).
14. Sea V un subespacio vectorial de E. Probar que E/V = 0 si y sólo si V = E, y que la
aplicación π : E → E/V , π(e) = [e], es inyectiva si y sólo si V = 0.
15. Sean V1 y V2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E.
(a) Si V1 ∪ V2 = E, entonces V1 = E ó V2 = E.
(b) Si V1 ∪ V2 es un subespacio vectorial, entonces V1 ⊆ V2 ó V2 ⊆ V1 .
16. Consideremos los subespacios vectoriales V = {(x, y, z) ∈ C3 : x + y = 0} y W =
{(x, y, z) ∈ C3 : y + z = 0} de C3 . ¿Es cierto que V + W = C3 ? ¿y que V ∩ W = 0?
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17. Considérese en C2 el vector e = (1 + i, 1) y el subespacio vectorial V = Ce. Hallar otro
subespacio vectorial W tal que V + W = C2 y V ∩ W = 0.
18. Considérense en C2 los vectores e = (1 + i, 1 − i) y v = (1 + i, i − 1). ¿Es cierto que los
vectores e y v generan C2 ? ¿es cierto que son linealmente independientes?
19. Probar que si unos vectores e1 , . . . , en son linealmente independientes, entonces ei ̸= 0
para todo ı́ndice 1 ≤ i ≤ n, y también ei ̸= ej para todo par de ı́ndices 1 ≤ i < j ≤ n.
20. Demostrar que si unos vectores e1 , . . . , en ∈ E son linealmente independientes, entonces
⟨e1 , . . . , ei ⟩ ∩ ⟨ei+1 , . . . , en ⟩ = 0 para todo ı́ndice 1 ≤ i < n .
21. Probar que si unos vectores e1 , . . . , en son linealmente independientes y e ∈
/ ⟨e1 , . . . , en ⟩,
entonces los vectores e1 , . . . , en , e también son linealmente independientes .
22. Probar que si unos vectores e1 , . . . , en ∈ E son linealmente independientes y no generan
E, entonces existe e ∈ E tal que e1 , . . . , en , e son linealmente independientes .
23. Sean V y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, y v1 , . . . , vn un sistema de
generadores de V . Si V + W = E, probar que los vectores v̄1 , . . . , v̄n generan E/W .
24. Sean e1 , . . . , en vectores de un espacio vectorial E y sea V un subespacio vectorial de E.
Probar que si ē1 , . . . , ēn son linealmente independientes en E/V , entonces los vectores
e1 , . . . , en también son linealmente independientes.
25. Sean e1 , . . . , en vectores de un espacio vectorial E y sean v1 , . . . , vm vectores de un subespacio vectorial V de E. Probar que si e1 , . . . , en , v1 , . . . , vm forman un sistema de
generadores de E, entonces ē1 , . . . , ēn forman un sistema de generadores de E/V .
26. Sean V y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, y v1 , . . . , vn ∈ V vectores
linealmente independientes. Si V ∩ W = 0, probar que también los vectores v̄1 , . . . , v̄n ∈
E/W son linealmente independientes.
27. Sean e, v dos vectores no nulos de un espacio vectorial E de dimensión 2. Probar que
{e, v} es una base de E si y sólo si v ̸= λe para todo escalar λ.
28. Sea e1 , e2 , e3 , e4 una base de un espacio vectorial E. Probar que los vectores v1 = e1 +2e2 ,
v2 = 3e3 + 4e4 son linealmente independientes y determinar otros dos vectores v3 , v4 tales
que v1 , v2 , v3 , v4 sea una base de E.
29. Sea e1 , e2 , e3 una base de un espacio vectorial E. Hallar una base de E en la que las
coordenadas del vector e = e1 + 2e2 + 3e3 sean (0,1,2).
30. Sea e1 , e2 una base de un espacio vectorial complejo E. Determinar una nueva base en
que las coordenadas del vector v = ie1 + 2e2 sean (1, i).
31. Sea e1 , e2 , e3 una base de un espacio vectorial complejo E. Probar que los siguientes
vectores son linealmente dependientes,
v1 = e1 + e3 , v2 = ie2 − e1 , v3 = ie2 + e3 .
Hallar una relación de dependencia lineal λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 = 0.
32. Sea e1 , e2 , e3 una base de un espacio vectorial real E. Demostrar que los vectores v1 =
e1 + e2 , v2 = e2 + e3 , v3 = e3 − e1 , v4 = e1 + e2 + e3 forman un sistema de generadores
de E, y hallar una base de E contenida en tal sistema de generadores.
Hallar también una relación de dependencia lineal λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 + λ4 v4 = 0.
33. Sea e1 , e2 una base de un espacio vectorial E. Probar que v1 = e1 − 2e2 , v2 = 2e1 + e2
también es una base de E, y hallar las coordenadas de e1 y e2 en esta nueva base.
Hallar también una relación de dependencia lineal λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 e2 = 0.
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