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Tarea 2 - Vectorial 201510
1. Part 1: 5.1 - 7.2
1.1. Evaluar las siguientes integrales.
(1)
ZZ
sin(x2 + y 2 )dA,
R
donde R es la region del plano xy definida por π ≤ x2 + y 2 ≤ 2π.
(2)
ZZ
(xy)2 cos(x3 )dA,
R
donde R = [0, 1] × [0, 1].
1.2. Calentamos una placa en el punto A(2, 1), sabemos que la temperatura de los puntos
de la placa se describe mediante la funci´on T (M ) = 100 − k|AM |2 . Medimos la temperatura
en el punto B(3, 1) y vemos que T (B) = 99. ¿Cu´al es el punto m´as caliente del disco D dado
por la desigualdad x2 + y 2 ≤ 9? ¿Cu´al es el punto m´as fr´ıo del mismo disco D?
1.3. Demuestre la desigualdad
1
1
√ ≤
π
e
ZZ
exy−x+y−1 dA ≤
√
e,
D
donde D = {(x, y)|x2 + y 2 + 2x − 2y + 1 ≤ 0}.
1.4. Sea f (x, y, z) = xy + yz y sea R la regi´on definida por las ecuaciones x + 2y = 6 y
x − 3z = 0. Encuentre el valor m´aximo alcanzado por f en R y los puntos (x, y, z) en R
donde este m´aximo se alcanza usando los siguientes tres m´etodos distintos:
(1) Parametrizando la curva R y maximizando una funci´on de una variable.
(2) Utilizando la ecuacion x−3z = 0 para reducir el problema a uno con solo dos variables
y una restricci’on y usando multiplicadores de Lagrange usuales.
(3) Resolver el problema en tres variables utilizando multiplicadores de Lagrange con dos
restricciones de igualdad (en este caso habr´a dos multiplicadores λ1 y λ2 ).
1.5. La cantidad de un bien producido por una compa˜
nia manufacturera esta dado por la
funci´on de producci´on de Cobb-Douglas
3
1
f (x, y) = 100x 4 y 4 ,
donde x representa las unidades disponibles de trabajo y y representa las unidades disponibles
de capital (que obviamente deben ser n´
umeros no negativos). En miles de pesos, cada unidad
de trabajo vale 200 y cada unidad de capital vale 250. Cual es el valor m´aximo posible de la
producci´on si los costos totales de trabajo y capital no pueden exceder 50000?
2
1.6. Un esp´ıa est´a atrapado en la oscuridad en un cuarto circular, con ecuaci´on x2 +y 2 ≤ 60.
Su sensor infrarrojo le dice que la temperatura del piso del cuarto es T (x, y) = x2 + y 2 +
3xy + 5x + 15y + 130. Si hay una salida esta tiene que estar en el punto mas frio del cuarto
(porque afuera hace much´ısimo frio). D´onde deberia buscar la salida el esp´ıa?
1.7. Hallar m´ınimos y m´aximos locales y puntos de silla de las funciones:
(1) f (x, y) = x3 + y 2 − 6xy + 6x + 3y;
3
3
(2) f (x, y) = x2 y e−(x +y /3) .
1.8.
(1) Encontrar el promedio de la funci´on
f (x, y) = ey
2
en la regi´on D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 3x ≤ y ≤ 6}.
(2) Hallar la masa y el centro de masa de una placa plana en forma de la regi´on acotada
por las parabolas
y = x2 y x = y 2 , y con densidad de la masa dada por la funci´on
√
δ(x, y) = x.
1.9. Evaluar la integral
ZZ
cos
y−x
y+x
dA,
D
donde D es la regi´on trapezoidal con vertices (1, 0), (2, 0), (0, 2) y (0, 1).
1.10. Una bacteria tiene forma de cilindro con dos tapas semiesf´ericas. Si el volumen de
la bacteria esta fijo, que relaci´on debe haber entre el radio del cilindro R y la longitud de
la bacteria para que esta tenga la m´ınima area superficial posible? (para la bacteria esto es
muy importante pues pierde energia por su superficie).
2. Part 2: 8.1 - 9.3
p
2.1. Encuentre el valor promedio f¯ de la funci´on f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 definida en
todos los puntos de la regi´on: x2 + y 2 + z 2 ≤ 2 con z ≤ 0, y ≤ 0, x ≤ 0.
2.2. Sea Q el cuadril´atero en la esfera x2 +y 2 +z 2 = R2 acotado
por las lineas de intersecci´on
√
de la esfera con los planos: y = 0, x = y, z = 0 y z = R/ 2.
a) Hallar los a´ngulos del cuadril´atero Q.
b) Hallar los lados del cuadril´atero Q.
c) Hallar el a´rea del cuadril´atero Q.
d) Sea Q0 un trapecio en el plano con los lados iguales a los lados del cuadril´atero Q.
Comparar las a´reas de Q y de Q0 : ¿Cu´al es mayor?
2.3. Hallar el momento de inercia alrededor del eje y de la bola
B = {(x, y, z)| x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
si la densidad de masa es una costante µ.
3
2.4. Hallar
el volumen del solido S acotado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 y el cono
p
z = A x2 + y 2 .
2.5. Hallar el ´area de la parte del plano x + 2y − z + 5 = 0 dentro del cilindro y 2 + z 2 −
2y + 4z − 4 = 0.
2.6. Considere los dos cilindros en el espacio tridimensional:
x2 + y 2 = 1 y y 2 + z 2 = 1.
(1) Haga un bosquejo, a mano de la intersecci´on de los dos cilindros.
(2) Encuentre el volumen del s´olido acotado por los dos cilindros.
2.7. Considere los tres cilindros en el espacio tridimensional:
x2 + y 2 = 1, y 2 + z 2 = 1 y x2 + z 2 = 1.
(1) Haga un bosquejo, a mano de la intersecci´on de los tres cilindros.
(2) Encuentre el volumen del s´olido acotado por los tres cilindros.
2.8. Evaluar las siguientes integrales:
(1)
ZZZ
z dV
B
donde B es la regi´on dentro del cilindro x2 + y 2 = 1 sobre el plano xy y debajo del
cono z = (x2 + y 2 )1/2 ;
(2)
ZZZ
(x2 + y 2 + z 2 )−1/2 dV
D
donde D es la regi´on determinada por las condiciones
1
≤ z ≤ 1 y x2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
2
2.9.
(1) Encuentre el volumen que est´a dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y del cilindro
x2 + y 2 + 2y = 0.
(2) Hallar el volumen del s´olido
E = (x, y, z) | x2 + y 2 ≤ 2z 2 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0
2.10. Calcular el volumen de la regi´on solida acotada por los planos x = 1, x − y = 0,
x + y + 2z = 6, y z = −2.