1. No category

Escuela de Matem´
aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
´
Algebra
Lineal – Taller de repaso parcial 1
Taller de repaso
1.
Supongamos que



1
 0 



v=
 0  y w=
−1

0
−1 
.
1 
0
a) Encontrar projv (w), projw (v), kvk, kwk y el ´angulo entre v y w.
b) ¿Son los vectores projv (w) y projw (v) linealmente independientes?
c) Encontrar vectores unitarios en las direcciones de v y w.
2.
Consideremos los vectores


0
1
 −1
 1 


v1 = 
 0  , v2 =  1
0
−1


1
 

 y v3 =  0  .
 0 

1


a) D´e un sistema de ecuaciones lineales cuyo conjunto de soluciones sea gen {v1 , v2 , v3 }. En otras palabras,
determine gen {v1 , v2 , v3 } por medio de restricciones en las entradas.
 
1
 1 

pertenece a gen {v1 , v2 , v3 }.
b) Determinar si el vector b =  
1 
1
3.
Balancear la ecuaci´
on qu´ımica
H2 SO4 + Al(OH)3 → Al2 (SO4 )3 + H2 O.
4.
Supongamos que v y w son vectores no nulos en Rn que son ortogonales. Demostar que v y w son linealmente
independientes.
5.
Supongamos que A y B son dos matrices sim´etricas de tama˜
no n × n. Demostrar que la matriz AB es sim´etrica si
y solamente si AB = BA.
6.
Consideremos
A=
−1
1
0 3
1 0

1
, B= 2
0

2
1 
0


1
y u =  1 ,
−1
a) Encontrar el ´
angulo entre los vectores Au y B T u.
b) Determinar si la matriz AB es sim´etrica.
7.
Supongamos que A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con 3 ecuaciones y 3 inc´
ognitas.
Se sabe que Rango(A) = 2. ¿Cu´
al o cu´
ales de las siguientes afirmaciones son necesariamente correctas?
a) El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones
b) El sistema de ecuaciones tiene una u
´nica soluci´on.
c) El sistema de ecuaciones no tiene soluci´on.
d ) Ninguna de las anteriores.
8.
Considere el sistema de ecuaciones lineales
x1 + x2 − x3 = 1,
x1 + x3 = 5,
x1 + cx2 − x3 = 1,
donde c es una constante.
Escuela de Matem´
aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
a) ¿Para cu´
ales valores de c se tiene que el anterior sistema de ecuaciones tiene soluci´on u
´nica?
b) ¿Para cu´
ales valores de c se tiene que el anterior sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones?
9.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x + y + z = 1,
x + 2y − z = 2,
x − 5y + z = −5.
De una interpretaci´
on geom´etrica de esta soluci´on, es decir, determine si la soluci´on de este sistema corresponde a
un punto, una recta, un plano o todo R3 .
10.
De las definiciones de los siguientes conceptos.
a) Rango de una matriz.
b) Independencia lineal e independencia lineal de un conjunto de vectores en Rn .
c) Forma escalonada de una matriz n × n.
d ) Teorema del Rango.
11.
Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10
kg del compuesto A, 10 kg del B y 20 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo II requiere 30 kg del compuesto
A, 40 kg del B y 50 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo III requiere 20 kg del compuesto A, 10 kg del B y
50 kg del C. Si hay disponible 250,000 kg del compuesto A, 200,000 kg del compuesto B y 550,000 kg del compuesto
C. Se desea saber cu´
antas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir si se usa todo el material qu´ımico
disponible.
a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que permita resolver el problema. Defina claramente las variables a
utilizar.
b) Encuentre un intervalo, para cada variable libre, donde las soluciones tienen sentido.
c) Si se tiene la cantidad m´ınima del fertilizante del tipo III ¿Cu´antas unidades de cada tipo de fertilizante se
puede producir?
12.
Considere la red de tuber´ıas dada en la figura 1 (ver p´agina 3), donde los flujos de agua est´an medidos en litros por
hora.
a) Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los flujos posibles en la red de tuber´ıas
de la figura anterior.
b) Si se cierran las tuber´
as AC y AD, ¿es posible que el agua fluya respetando las direcciones indicadas en la
anterior figura? Explique sus respuestas.
c) Suponiendo que las direcciones de los flujos se respetan, y que la tuber´ıa BC se cierra, halle los valores de
x1 , x2 , x3 , x4 y x5 de tal forma que se obtenga el m´ınimo flujo de agua en la rama AC.
Escuela de Matem´
aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
Figura 1: Figura 1