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Clase 2 – Sistemas Lineales
´
Algebra
Lineal
Escuela de Matem´aticas - Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Codigo
´
1000 003
1
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Definicion
´ 1 Una ecuacion
´ lineal en las n variables x1 , x2 , . . . , xn es una ecuaci´on de la forma
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
(1)
donde los coeficientes a1 , . . . , an y el te´ rmino constante b son constantes reales.
Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son lineales
3x + 2y + z = 1
π
tan(π ) x − 5y = cos( ).
2
y
Mientras que las ecuaciones
3xy + z + w = 2
3 tan( x) + w = 0
y
X
no son lineales.


s1


Definicion
´ 2 Una solucion
´ de una ecuaci´on lineal a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b es un vector  ...  cuyas entradas
sn
satisfacen la ecuaci´on cuando se sustituye x1 = s1 , x2 = s2 , . . . , xn = sn .
Definicion
´ 3 Un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal de m ecuaciones con n variables es un conjunto de la
forma
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.
am1 x1
+
am2 x2
+
···
+
amn xn
=
bm ,
donde los coeficientes aij (i = 1, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) , b1 , . . . , bm son constantes.
Una soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales es un vector que es simult´aneamente una soluci´on de cada ecuaci´on del
sistema. El conjunto solucion
´ de un sistema lineal es el conjunto de todas las soluciones del sistema.
Se entender´a por resolver el sistema a encontrar el conjunto solucion
´ de e´ ste. Un sistema lineal puede tener una
solucion
´ unica
´
o tener infinitas soluciones o no tener solucion.
´ En los dos primeros casos, diremos que el sistema es
consistente. Si el sistema no tiene soluciones, se dice que inconsistente.
Resolucion
´ de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Definicion
´ 4 Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto soluci´on.
Objetivo: Disenar
˜ un algoritmo para calcular el conjunto solucion
´ de cualquier sistema de ecuaciones lineales.
La idea para alcanzar esta meta es transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro que sea m´as f´acil de resolver. El siguiente ejemplo ilustra lo que significa f´acil de resolver.
Ejemplo. Resuelva el siguiente sistema
x + y +
y +
z =
5
z =
3
2z = −4
X
¿Hubo alguna dificultad?
1
2
M´etodos directos para resolver sistemas lineales
Matrices y forma escalonada
Definicion
´ 5 A todo sistema lineal
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
le asociaremos las siguientes dos matrices

a11
 a21

(a) Matriz de coeficientes :  ..
 .
:
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · ·
amn
a12
a22
..
.




(b) Matriz aumentada : 





a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
..
.
b1
b2
..
.
am1
am2
···
amn
bm
Denotaremos los sistemas lineales por [ A | b] .
Definicion
´ 6 Una matriz se encuentra en forma escalonada si satisface las siguientes condiciones
1. Las filas de ceros se ubican en la parte inferior.
2. En cada fila no nula, la primera entrada distinta de cero (denominada entrada principal ) se encuentra en una columna
a la izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella.
Notemos que, en una matriz escalonada, todas las entradas por debajo de una entrada principal son iguales a cero.
Ejemplo. Consideremos las siguientes matrices:



−2 1 5
1
3 0 8 −1
 0 0 5 −1
A =  0 0 2 16  ,
B=
 0 1 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0



0 1 0 0
C= 0 2 0 0 
0 1 1 0

,

A y D est´an en forma escalonada, mientras que B y C no lo est´an (¿Por qu´e?).
y


1 1
4 8
1 0 .
D= 0 1
0 0 −3 6
X
Operaciones Elementales de Fila
Definicion
´ 7 En cualquier matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales de
fila :
Operacion
´ elemental
Notacion
´
Ri ↔ R j
Intercambiar las filas i y j
Multiplicar la fila i por k 6= 0
Sumarle k veces la fila i a la fila j
kRi
R j + kRi
Definicion
´ 8 Dos matrices se dicen equivalentes por fila si una puede transformarse en la otra mediante un numero
´
finito
de operaciones elementales de fila.
2





Teorema 9 Dos matrices son equivalentes por fila si y s´olo si ambas pueden reducirse a la misma forma escalonada.
La forma escalonada de una matriz no es unica.
´
Por ejemplo,








1 0 2 0
1 0 2 0
1 0 2 3
1 0 2 3
R3 − R1
R1 ↔ R3
R3 − R1
y
A →  0 1 1 4  →  0 1 1 4 .
A= 0 1 1 4  →  0 1 1 4 
0 0 0 3
1 0 2 3
0 0 0 −3
1 0 2 0
Teorema 10 Sea [ A | b] un sistema lineal y sea [U | c] una matriz escalonada obtenida a partir de [ A | b] mediante un numero
´
finito de operaciones elementales de fila. Entonces [ A | b] y [U | c] son sistemas lineales equivalentes.
Ejemplo. Resuelva el siguiente sistema
5x1 + 3x2 + x3 = 2
10x1 + 5x2 + 3x3 = 5
5x1 + x2 + 4x3 = 5

5
Solucion.
´
La matriz aumentada asociada al sistema es: [ A | b] =  10
5

5
 10
5
3
5
1
1
3
4

2
5 
5
R2 −2R1
→

5
 0
5
3
−1
1
1
1
4


2
5
R −R
1  3→ 1  0
5
0
3
−1
−2
3
5
1
1
1
3
1
3
4

2
1 
3

2
5  . Por tanto,
5
R3 −2R1
→

5
 0
0
3
−1
0
1
1
1

2
1 .
1
As´ı, el sistema dado es equivalente al sistema
5x1 + 3x2 + x3 = 2
− x2 + x3 = 1
x3 = 1
Realizando sustitucion
´ regresiva, obtenemos que
x3 = 1,
x2 = 0
y
x1 =
1
.
5

1
5

Por el teorema 10, concluimos que el sistema inicial tiene una solucion
´ unica
´
dada por  0  .
1
3
X