Primer Sumario de la Cinemática del Cuerpo Rígido.

Primer Sumario de la Cinem´atica del Cuerpo R´ıgido.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez.
jrico@ugto.mx
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Divisi´on de Ingenier´ıas, Campus Irapuato-Salamanca.
Universidad de Guanajuato.
Contenido
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Part´ıculas y Cuerpos.
1
2
Part´ıculas
Cuerpos
Cuerpos R´ıgidos
Cuerpos Deformables
Contenido
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica
Din´amica
1
2
Cinem´atica
Cin´etica
Contenido
1
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Sistemas de Referencia.
1
Sistemas de Referencia
Sistemas de Referencia Fijos
Sistemas de Referencia M´oviles
Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento de
Traslaci´on
Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento de
Rotaci´on
Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento General
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Sistemas Coordenados.
Un sistema de referencia puede asociarse con uno o
varios:
Sistemas Coordenados
1
Sistemas Coordenados Cartesianos
2
Sistemas Coordenados Cil´ındricos
3
Sistemas Coordenados Esf´ericos
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos
Determinar relaciones entre las velocidades y
aceleraciones de las diferentes part´ıculas que forman
parte de un cuerpo r´ıgido sujeto a los diferentes tipos de
movimiento que un cuerpo r´ıgido puede sufrir.
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido
1
Movimiento de Traslaci´on
2
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo
3
Movimiento Plano General
4
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Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Punto
Fijo
Movimiento Espacial
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Movimiento de Traslaci´on
Definici´on del Movimiento de Traslaci´on : Un cuerpo r´ıgido
est´a sujeto a movimiento de traslaci´on si, y s´olo si, todas las l´ıneas
del cuerpo conservan su orientaci´on.
Resultados: Sean P y Q dos part´ıculas arbitrarias del cuerpo
r´ıgido, B, tal como se observa desde un sistema de referencia
representado por O entonces:
O B
~vP
= O~vQB
y
O B
~aP
= O~aQB
(1)
Todas las part´ıculas del cuerpo r´ıgido tienen la misma velocidad y
aceleraci´on.
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on: Un cuerpo r´ıgido est´a sujeto a movimiento de rotaci´on
alrededor de un eje fijo cuando existe una l´ınea del cuerpo cuyos
puntos permanecen fijos.
1
La velocidad y aceleraci´on absolutas de todas las part´ıculas
que forman parte del eje son nulas.
2
Puesto que la distancia entre cualquier otra part´ıcula del
cuerpo y el punto, del eje fijo, m´as cercano a la part´ıcula
original, es tambi´en una distancia entre dos part´ıculas de un
cuerpo r´ıgido, entonces esta distancia debe permanecer fija.
3
Las trayectorias de las part´ıculas del cuerpo son c´ırculos
conc´entricos cuyos centros est´an localizados en el eje de
rotaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
La velocidad de un punto P de un cuerpo r´ıgido sujeto a
movimiento de rotaci´on alrededor de un eje fijo:
1
2
3
~ | Sen φ d θ
Magnitud | E~vBP |=| EP
dt
Direcci´on. La velocidad E~vBP es perpendicular al vector unitario
uˆ, a lo largo del eje de rotaci´on y es tangente a la trayectoria
circular y, por lo tanto, perpendicular a ~rP/Q y ~rP/E .
Sentido. El sentido de la velocidad E~vBP satisface la regla de la
mano derecha que corresponde al producto vectorial uˆ × ~rP/E .
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Definici´on del vector velocidad angular, O ω
~ B , del cuerpo r´ıgido B
respecto al sistema de referencia representado por el punto E, o el
punto O, de acuerdo con las siguientes reglas:
1
La magnitud del vector O ω
~ B est´a dada por
dθ
.
dt
2
La direcci´on del vector es la del eje de rotaci´on del cuerpo, en
este caso indicada por el vector unitario uˆ.
3
El sentido del vector velocidad angular, es tal que el vector
est´a dirigido hacia el extremo del eje de rotaci´on desde donde
se vea girar al cuerpo en sentido antihorario.
4
Conclusi´on
O B
~vP
= Oω
~ B × ~rP/E .
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
1
La aceleraci´on angular del cuerpo B respecto al sistema de
referencia O como
·
¸
O O B
d dθ
d2 θ
d ω
~
O B
=
uˆ = 2 uˆ,
α
~ =
dt
dt dt
dt
pues
E
dˆ
u
dt
= ~0.
2
La aceleraci´on del punto P est´a dada por
¡ B
¢
E B
~aP = O α
~ B × ~rP/E + O ω
~ B × Oω
~ × ~rP/E .
3
Esta aceleraci´on se descompone en una componente tangencial
y una componente normal.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
Concepto de Placa Representativa.
Una placa representativa de un cuerpo r´ıgido sujeto a rotaci´on
alrededor de un eje fijo es una placa o secci´on del cuerpo r´ıgido
perpendicular al eje fijo de rotac´on y de espesor despreciable que
permite determinar la velocidad y aceleraci´on de cualquier
part´ıcula del cuerpo, pues su localizaci´on en la direcci´on del eje de
rotaci´on no es importante. Bajo esas condiciones se tiene que
1
| E~vBP |=| O ω
~ B || ~rP/Q |
2
| E~aBPt |=| O α
~ B || ~rP/Q | y | E~aBPn |=| O ω
~ B |2 | ~rP/Q |
3
E B
~aPn
= − | Oω
~ B |2 ~rP/Q
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Part´ıculas y Cuerpos.
Din´amica: Cinem´atica y Cin´etica.
Sistemas de Referencia.
Sistemas Coordenados.
Objetivo Fundamental de la Cinem´atica de Cuerpos R´ıgidos.
Movimientos de un Cuerpo R´ıgido.
Movimiento de Traslaci´on.
Movimiento de Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Velocidad de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Definici´on del Vector Velocidad Angular.
Aceleraci´on de un Punto de un Cuerpo R´ıgido Sujeto a Movimiento de
Rotaci´on Alrededor de un Eje Fijo.
Concepto de Placa Representativa.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
An´alisis del Movimiento del Cuerpo R´ıgido Como un Todo.
La orientaci´on del cuerpo r´ıgido sujeto a movimiento de rotaci´on
alrededor de un eje fijo y, por lo tanto, la posici´on del cuerpo r´ıgido
est´a determinada por el a´ ngulo θ que forma una l´ınea fija al cuerpo
con respecto a otra l´ınea fija en el sistema de referencia, que para
el tiempo t = 0 es paralela a la l´ınea fija al cuerpo. Bajo estas
condiciones se tiene que
1
ω=
dθ
dt
2
α=
dω
dt
=
d2 θ
d t2
3
α=
dω
dt
=
dω
dθ
ω
=ω
dω
dθ
Existe una analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula sujeto a
movimiento de traslaci´on rectil´ınea y el movimiento de un cuerpo
r´ıgido, como un todo, sujeto a movimiento de rotaci´on alrededor de
un eje fijo.