1. Educación

´
TEOR´IA DE NUMEROS
II
Cristian Arturo Chaparro Acosta
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas
Proyecto curricular de Matem´
aticas
Bogot´
a D.C.
7 de octubre de 2014
1.
1.1.
Demuestre, refute o solucione:
Congruencias y aplicaciones
1. Hallar la soluci´
on general de las ecuaciones Diof´anticas
10x+14y=8.
20y-15x=100.
2. Una se˜
nora compro 100 frutas por $5000. Las ciruelas le costaron $25,
las manzanas $150 y las pitahayas $500. ¿Cuantas frutas de cada clase
compro?.
3. Demostrar que 6|n, si y solo si, 2|n y 3|n.
4. Expresando los enteros positivos en el sistema de numeraci´on con base
100, deducir un criterio de divisibilidad por 101.
5. En Z7 resolver las ecuaciones 3x + 4 = 1 y x2 + 2x + 6 = 0.
6. Si a ≡ 0(m´
od m) y b ≡ 0(m´od m), entonces ab ≡ 0(m´od m).
7. Si a2 ≡ 1(m´
od p) con p primo, entonces a ≡ ±1(m´od p).
8. Si ac ≡ bc(m´
od p) y p no divide a c donde p es un n´
umero primo, entonces
a ≡ b(m´
od p).
9. (a + b)p ≡ ap + bp (m´
od p) con p primo.
10. Sea f (x) un polinomio con coeficientes enteros y a ≡ b(m´od m). Entonces
f (a) ≡ f (b)(m´
od m).
11. Si f (x) es un polinomio con coeficientes enteros y f (a) ≡ k(m´od n), entonces f (a + tn) ≡ k(m´od n) para cada t entero.
1
12. Cada primo > 3 es congruente con ±1 m´odulo 6.
13.
2p
p
≡ 2(m´
od p), donde p > 2 y n´
umero primo.
14. Si a ≡ b(m´
od p) y a ≡ b(m´od q) donde p y q son n´
umeros primos. Entonces
a ≡ b(m´
od pq).
15. Si pn denota el n−esimo primo. Entonces p1 p2 . . . pn +1 no es un cuadrado.
16. Sea p2 ≡ p(m´
od p). Entonces p2n−1 + p2n−3 + . . . + p + n ≡ 0(m´od 3)
17. Encuentre los u
´ltimos tres d´ıgitos del numero 42076 .
18. Encuentre el u
´ltimo d´ıgito de la suma 1! + 2! + . . . + 100!.
19. Si 2n+1 es un primo entonces los n´
umeros 12 , 22 , 32 , . . . , n2 , tienen residuos
diferentes al dividirlos por 2n + 1.
20. Construir las tablas de adici´on y multiplicaci´on, m´odulo 1, m´odulo 2,
m´
odulo 5, m´
odulo 7 y m´odulo 17. Realizar un dise˜
no de colchas para el
modulo 21 con la tabla de multiplicaci´on.
Un conjunto C se llama un sistema completo de residuos m´
odulo n, si C
contiene exactamente un elemento de cada clase residual m´
odulo n.
21. Construir un sistema completo de residuos m´odulo 7 formado por n´
umeros
primos.
22. Un conjunto C de enteros es un sistema completo de residuos m´odulo n
si y solo si dos elementos cualesquiera de C no son congruentes m´odulo n
y C tiene n elementos.
23. Si C es un sistema completo de residuos m´odulo n y (a, n) = 1 entonces,
para cada b el conjunto C = {ax + b; x ∈ C} tambi´en es un sistema
completo de residuos m´odulo n.
24. Pruebe que rd(n) (e.d. ra´ız digital de n) es m´
ultiplo de tres si y solo si, n
es divisible por tres (No use congruencias).
25. Demuestre que la ra´ız digital de un n´
umero perfecto par diferente de 6 es
1.
1.2.
Sistemas de congruencias, teoremas cl´
asicos, funciones multiplicativas
1. Encuentre el menor entero positivo mayor a 10000 tal que 3|n, 4|n + 3,
5|n + 4, 7|n + 5, y 11|n + 7.
2. Encuentre el entero m´as peque˜
no n tal que 32 |n, 42 |n + 1, 52 |n + 2 y
2
7 |n + 3.
2
3. (p − 1)(p − 2) . . . (p − k) ≡ (−1)k k! (m´od p), donde 1 ≤ k < p
4. Un entero positivo n > 1 es primo si y solo si, (n − 2)! ≡ 1 (m´od n).
5.
np
p
≡ n (m´
od p)
6. Por inducci´
on pruebe que ap ≡ a (m´od p).
7. (a + b)p ≡ ap + bp (m´
od p).
8. si a y b son primos relativos, entonces aϕ(b) + bϕ(a) ≡ 1 (m´od ab).
9. Demuestre por medio de ϕ la generalizaci´on del Teorema Chino de los
Residuos.
10. Resolver los sistemas de congruencias
x ≡ 2(mod 3)
x ≡ 5(mod 7)
x ≡ 5(mod 8).
x ≡ 3(mod 5)
x ≡ 6(mod 7)
x ≡ 4(mod 9)
x ≡ 8(mod 11).
x ≡ 2(mod 7)
x ≡ 6(mod 9)
x ≡ 9(mod 14).
4x + 5y ≡ 7(mod 17)
7x + 12y ≡ 4(mod 17)
x + 2y + 16z ≡ 4(mod 19)
x + 3y + z ≡ 11(mod 19)
2x + 5y + 15z ≡ 9(mod 19).
11. Hallar el menor entero positivo que deja residuos 2, 7 y 10 cuando se divide
por 3, 10 y 13.
3
12. Hay una pila de ladrillos. Si se divide en dos partes sobra un ladrillo, si se
divide en tres partes sobran 2 ladrillos, cuando se divide en cuatro partes
sobran 3 ladrillos, si se divide en doce partes sobran 11 ladrillos, pero
cuando se divide en trece partes no sobran ladrillos. ¿Cu´al es el menor
n´
umero de ladrillos que puede haber en la pila?.
13. Probar que para todo entero positivo n, existen n enteros consecutivos a1 ,
a2 ,. . ., an tales que pi |ai donde pi representa el i−´esimo primo.
14. Demostrar que para cada entero positivo n, se pueden encontrar n enteros
consecutivos divisibles por cuadrados perfectos.
15. Sea p un n´
umero primo y a, b enteros no negativos tales que a + b = p − 1.
Demuestre que a!b! ≡ (−1)b+1 (mod p)
16. Encuentre el n tal que ϕ(n) = 12.
17. ϕ(2k ) = 2k−1 .
18. Si (m, n) = d entonces ϕ(mn) =
d
ϕ(d) ϕ(m)ϕ(n).
19. ϕ(nk ) = nk−1 ϕ(n)
20. Si n es el producto de k diferentes n´
umeros primos, calcule τ (n).
21. σ(pk ) − pk =
pk −1
p−1
22. Si n = 2p−1 (2p − 1) donde p y 2p − 1 son primos, calcule τ (n) y σ(n).
23. Si n es impar, entonces τ (n) es impar.
24. Si m|n entonces
σ(m)
m
≤
σ(n)
n .
25. Muestre que 210 (211 − 1) no es perfecto.
26. El producto de dos numeros perfectos pares no es perfecto.
27. Si (a, p) = 1 entonces aϕ(p
k
)
≡ 1(m´od pk ).
28. Hallar el n´
umero de divisores positivos de 4320 y calcular su suma.
29. Resolver la ecuaci´
on σ(x) = 36. Sugerencia: Descomponer 36 en factores
que se puedan expresar en la forma 1 + p + p2 + . . . + pk con p primo y
usar una formula conveniente.
30. Probar que todo n´
umero perfecto par se puede escribir en la forma 1 +
2 + 3 + . . . + n para alg´
un entero positivo n.
31. Sean a y n enteros positivos mayores que 1. Probar que si an − 1 es primo
entonces a = 2 y n es primo.
4
32. Si f es una funci´
on multiplicativa diferente de la funci´on 0, entonces f (1) =
1.
n
n
33. Si f es multiplicativa, m|n, y (m, m
) = 1. Probar que f ( m
)=
f (n)
f (n) .
34. Probar que para todo entero a, a561 ≡ a(m´od 561).
35. Si p y q son primos diferentes, probar que pq + q p ≡ (p + q)(m´od pq).
36. Si p es un primo impar y p no divide a a, probar que a
5
p−1
2
≡ ±1(m´od p).