1. Ciencia

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UNIVERSIDAD METROPOLITANA
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA
Fecha: 2009
GUIA COMPLEMENTARIA DE VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS Y CONTINUAS
1) Tenemos una urna con dos esferas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos esferas
simultáneamente. Recibimos 200 $ si las dos esferas son blancas, 100$ si las dos son verdes y 10$ si
una es roja y la otra verde, en los demás casos no recibimos nada.
¿Cual es el valor esperado de los premios?
Resp. 14,4
2) En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios iguales A, B y C. Si la rata elige A vuelve al
punto de partida después de recorrer dos metros. Si elige B recorre cinco metros y vuelve al mismo
punto. Si elige C sale al exterior recorriendo un metro. ¿Por término medio que distancia recorre una
rata antes de salir, si siempre elige un orificio distinto de los seleccionados en veces anteriores?
Resp. 4,5
3) Consideremos un experimento de Bernuilli y sea X la variable aleatoria que representa el número de
intentos necesarios para obtener 5 éxitos. Determinar la función de probabilidad de X.
Resp. ¿?
4) Un juego de azar consiste en lanzar tres dados, de manera que el jugador elige un número entre 1 y 6 y
recibe una cantidad “a”, si su número aparece una vez, el doble si aparece dos
veces y el triple si aparece tres veces. Si el número elegido no figura entre los resultados,
pierde “a”. Calcula el beneficio esperado del jugador.
Resp. −0.0787a
5) El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por
experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el
restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas
las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
Resp. 0,5799
6) Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un
proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin
reemplazo.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?
Resp. 0,0119 0,408 0,196
7) Una muestra con reposición de tamaño n=2 se selecciona aleatoriamente de los
números 1 al 5. Esto produce entonces el espacio equiprobable S conformando por todos los 25 pares
de ordenados (a,b) de números del 1 al 5. Es decir,
S={(1,1),(1,2),….,(1,5),(2,1),….,(5,5)}
Sea X=0 si el primer número es par y X=1 de lo contrario; sea Y=1 si el segundo número es impar y
Y=0 de lo contrario.
(a) Encuentre las distribuciones de X y Y.
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(b) Encuentre la distribución conjunta de X y Y.
(c) Determine si X y Y son independientes.
Resp. a) P(X=0)=0,4 P(X=1)=0,6 P(Y=0)=0,4 P(Y=1)=0,6
b) P(0,0)=0,14 P(0,1)=0,24 P(1,0)=0,24 P(1,1)=0,36
c) Son independientes
8) El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que
el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto .Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15
elementos. Calcular la probabilidad de que una caja contenga:
a) 2 elementos defectuosos
b) Menos de 3 elementos defectuosos
c) Entre 3 y 5 elementos defectuosos (ambos incluidos)
Resp. 0,135
0,9637 0,03536
9) Un complejo sistema electrónico está construido con cuatro componentes idénticas, cada una con
una probabilidad de 0,2 de fallar en menos de 1000 horas. El sistema funciona si dos componentes
cualesquiera de los cuatro trabajan en forma adecuada. Se supone que los componentes operan
independientemente.
a) Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de cuatro componentes resisten mas de 1000
horas
b) Encuentre la probabilidad de que el sistema funcione por más de 1000 horas.
Resp. a) 0,1536 b) 0,9728
10) Al examinar pozos de agua en un distrito con respecto a dos impurezas encontradas en el agua, se
encontró el 25% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la impureza A, y el 50% la
impureza B, Si se escoge un pozo del distrito al azar, encuentre la distribución de probabilidad para X,
esto es, el número de impureza encontrado en el pozo.
Resp. P(X=0)=0.25 P(X=1)=0.60 P(X=2)=0.15
11) Se estima que el 60% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de
dientes A, ¿Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que
entrevistar a exactamente tres personas, para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A?
¿Al menos tres personas?
Resp. a) 0,096 b) 0,16
12) Una empresa produce un producto y se sabe que el 5% de sus productos tienen defectos de
fabricación. Estos productos se empacan en lotes de 50 unidades. Un comprador toma una muestra de
cuatro producto y si resulta que dos o mas están defectuosos rechaza el lote. Calcular la probabilidad de
no rechazar el lote.
Resp. 0,986
13) En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan
positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan abrovechado el cinturón de
seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de
conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía
al hacer la selección.
a) Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las
dos infracciones.
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b) Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido
alguna de las dos infracciones.
Resp. a) 0,0223 b) 0,543
14) El volumen de líquido que una máquina deposita en latas de una cierta bebida gaseosa es una
variable aleatoria normal para la cual μ = 12.4 onzas y σ = 0.1 onzas
Determine la probabilidad de que el volumen depositado sea menor a 12 onzas
Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas, ¿cuál es la proporción de
latas desechadas?
¿Cómo debe ser ajustado el promedio en este proceso si se quiere que el 99.9 % de todas las latas
contengan más de 12 onzas?
Si la desviación estándar puede reducirse a 0.05 onzas, ¿cómo debe ser ajustado el promedio en este
proceso si se quiere que el 99.9 % de todas las latas contengan más de 12 onzas?
Resp. 3.167*10-5 2,41% 12,31 12,15
15) Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14
ohms. Las resistencias reales de los alambres producidos por la compañía A siguen una distribución
normal con μ = 0.13 ohms y σ = 0.005 ohms
¿Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A
satisfaga las especificaciones?
Si se utilizan cinco de estos alambres en el sistema y se seleccionan de la compañía A, ¿cuál es la
probabilidad de que tres de ellos satisfagan las especificaciones?
Resp. 0.9545
0,0189
16) Se procede a detener el funcionamiento de una máquina para repararla si en una muestra aleatoria
de 200 artículos de la producción diaria se encuentran por lo menos 15 % de artículos defectuosos. Si
se sabe que la máquina realmente produce 10 % de artículos defectuosos, encuentre la probabilidad de
detener la máquina un día cualquiera.
Resp. 0,00921
17) Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y
varianza 36. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación
superior a 72?
b) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco
puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el
25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).
c) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la prioridad de que su
calificación sea, de hecho, superior a 84?
Resp. a) 0,5636 b)70,19% c) 0,774
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18) Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y
desviación típica 15.
a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
c) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente
superior a 125?
Resp. a) 0,3779 b)(90 ; 110) c) 119
19) Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución
una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general,
de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la
población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan
el paso de un grupo al otro?
Resp. Baja cultura hasta 49 puntos. Cultura aceptable entre 50 y 83. Excelente cultura a partir de
84 puntos.
20) un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos
televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos
televisores?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos dos televisores?
Resp. a) 0,9981 b) 0,0716
21) Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0,5 años.
Suponiendo que la duración de las baterías es una variable normal:
a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años?
b) Si una batería lleva funcionando 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que dure menos de 4.5 años?
Resp. a) 0,9544 b) 0,4987
22) Una empresa realiza un test de satisfacción en el trabajo cuyos resultados se puntúan entre 0 y 100.
La puntuación obtenida por cada empleado puede considerarse que sigue aproximadamente una
distribución normal de media 45 y desviación típica 10. Se pide:
a) Determinar el porcentaje de empleados que han sacado una puntuación entre 50 y 80 puntos.
b) La empresa sólo quiere admitir como válidos los resultados del test del 90% de los empleados que
hayan obtenido la puntuación más alta. Determinar ¿cuál debe ser la puntuación mínima para ser
admitido un test como válido?
c) Se sabe que hay 20 empleados que han sacado una puntuación comprendida entre 30 y 45 puntos,
¿cuántos empleados han realizado el test?
d) La empresa estima que la probabilidad de que un empleado no diga la verdad en el test es del 10 %.
Si se hubiese realizado el test a 46 empleados, ¿cuál es la probabilidad de que al menos un empleado
mienta en el test?
Resp. a) 30,83% b) 32,2 c) 46 d) 0,9922
23) Una oficina de defensa del consumidor recibe en promedio 25 llamadas por día con una desviación
estándar de 40. Si se selecciona una muestra de 64 días, calcula la probabilidad de que el promedio de
llamadas recibidas en un día este entre 20 y 30.
Resp. 0,6826
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24) Un vendedor contacta telefónicamente con clientes potenciales para estudiar si merece la pena una
visita a domicilio. Su experiencia le indica que en promedio 40 de sus contactos por teléfono vienen
seguidos por una visita a domicilio y se tiene una desviación estándar de 50. Si selecciona una muestra
de 100 personas contactadas por teléfono ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen entre 45 y 50
visitas como resultado?
Resp. 0,0394