tarea 7
Lista de ejercicios # 7
Para entregar el martes 22 de marzo
1. Sea f una función de clase C1 tal que f (0) = 0. Muestre que existe g
continua tal que
f (x) = xg(x).
.
Enuncie un resultado análogo para funciones de clase Ck .
2. Sea f : [0, 1] → IR continua con f (t) > 0 para todo t ∈ [0, 1]. Calcule
s n
1
2
f
···f
lim n f
n→∞
n
n
n
3. Muestre que la serie
∞
X
sen nx
n2
n=1
es absoluta y uniformemente convergente. Llamamos f a su lı́mite. Calcule
Z π
f (x)dx.
0
4. Sea {an }n una sucesión de números reales positivos tal que
lim
n→∞
an+1
an
existe y lo llamamos R. Muestre que
lim
n→∞
√
n
an = R.
5. Sean {xn }n y {an }n sucesiones de números reales positivos tales que la
primera converge a x y la segunda satisface
lim sup an = R < ∞.
n→∞
Muestre que
lim sup xn an = xR.
n→∞
6. Dé el radio de convergencia y la suma de las series de potencia
P∞
n=1
xn
2n+2
7. Sea a > 0. Dé la serie de Taylor de
P∞
n=0
f (x) = ax
y calcule su radio de convergencia.
(−1)n x4n
n!
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