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Esperanza Matemática
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Esperanza Matemática
Definición: Sea X una variable aleatoria con distribucion de
probabilidad f (x). La media o valor esperado de X es
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥
𝑥
Si X es discreta, y
∞
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
Si es continua
Ejemplo 1
Un inspector de calidad obtiene una muestra de
un lote que contiene 7 componentes; el lote
contiene 4 componentes buenos y 3
defectuosos. El inspector toma una muestra de
3 componentes. Calcule el valor esperado del
numero de componentes buenos en esta
muestra.
Ejemplo 1
Solución:
¿De cuántas manera diferentes podemos
obtener 3 de 7 componentes?
7
𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = N
3
Ejemplo 1
Solución:
Sea x el número de componentes buenos en la
muestra, como existen 4 componentes buenos
se puede obtener
4
𝑥 = 0,1,2,3 = 𝑛1
𝑥
como existen 3 componentes defectuosos e
puede obtener
3
𝑥 = 0,1,2,3 = 𝑛2
3−𝑥
Ejemplo 1
Solución:
Donde
𝑛1𝑛2
𝑃 𝑋=𝑥 =
𝑁
Entonces:
4
𝑥
𝑓 𝑥 =
3
3 − 𝑥 𝑥 = 0,1,2,3
7
3
Ejemplo 1
Solución:
Como X es discreta el valor esperado se obtiene
de la siguiente fórmula:
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥
𝑥
Como X= 0,1,2,3
μ = 𝐸 𝑋 = 0𝑓 0 + 1𝑓 1 +2𝑓 2 +3𝑓 3
Ejemplo 1
Solución:
μ=𝐸 𝑋 =0
1
35
12
35
+1
12
μ=
7
+2
18
35
+3
4
35
μ = 1,7
De esta manera, si de un lote de 4 componentes
buenos y 3 defectuosos, se seleccionara al azar, una
y otra vez, una muestra de tamaño 3, esta
contendría en promedio 1.7 componentes buenos.
Ejemplo 2
Cierto día un vendedor de una empresa de
aparatos médicos tiene dos citas. Considera que
en la primera cita tiene 70 por ciento de
probabilidades de cerrar una venta, por la cual
podría obtener una comisión de $1000. Por otro
lado, cree que en la segunda cita sólo tiene 40
por ciento de probabilidades de cerrar el trato,
del cual obtendría $1500 de comisión. ¿Cuál es
su comisión esperada con base en dichas
probabilidades? Suponga que los resultados de
las citas son independientes.
Ejemplo 2
Solución: En primer lugar sabemos que el
vendedor, en las dos citas, puede obtener 4
comisiones totales: $0, $1000, $1500 y $2500.
Necesitamos calcular sus probabilidades
asociadas.
Sea X el valor de comisión que recibe
Es decir:
Ejemplo 2
$0 : No recibe comisión en ninguna de las dos
citas
$1000: Recibe comisión en la primera cita y no
en la segunda
$1500: No recibe comisión en la primera cita
pero recibe en la segunda cita
$2500 : Recibe comisión en ninguna de las dos
citas
Ejemplo 2
$0 : No recibe comisión en ninguna de las dos
citas
P(X= $0)=P(No recibe comisión en ninguna de
las dos citas)
P(X= $0)=P(No en la 1a) P(No en la 2da)
P(X= $0)=P(S en la 1a)c P(Si en la 2da)c
P(X= $0)=(1-0.7) (1-0.4) =0.18
Ejemplo 2
$1000: Recibe comisión en la primera cita y no
en la segunda
P(X= $1000)=P(Si en la 1a) P(No en la 2da)
P(X= $1000)=P(S en la 1a) P(Si en la 2da)c
P(X= $1000)=(0.7) (1-0.4) =0.42
Ejemplo 2
$1500: No recibe comisión en la primera cita
pero recibe en la segunda cita
P(X= $1500)=P(No en la 1a) P(Si en la 2da)
P(X= $1500)=P(S en la 1a) c P(Si en la 2da)
P(X= $1500)=(1-0.7) (0.4) =0.12
Ejemplo 2
$2500 : Recibe comisión en ninguna de las dos
citas
P(X= $2500)=P(Si en la 1a) P(Si en la 2da)
P(X= $2500)=(0.7) (0.4) =0.28
0.18
𝑥 = $0
0.42 𝑥 = $1000
𝑓 𝑥 =
0.12 𝑥 = $1500
0.28 𝑥 = $2500
Ejemplo 2
Utilizando
μ=𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓 𝑥
𝑥
E (X) =($0)(0.18) + ($1000)(0.42) + ($1500)(0.12)
+ ($2500)(0.28)
• = $1300.
Ejemplo 3
Sea X la variable aleatoria que denota la vida en
horas de cierto dispositivo electrónico. La
función de densidad de probabilidad es,
𝑓 𝑥 =
20000
,
3
𝑥
𝑥 > 100
0,
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule la vida esperada para esta clase de
dispositivo.
Ejemplo 3
Solución: Como x es continua utilizamos:
∞
μ=𝐸 𝑋 =
∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞
20000
μ=
𝑥
𝑑𝑥 =
3
𝑥
100
∞
20000
μ=
𝑑𝑥 = 200
2
100 𝑥
Gracias