Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Matem´ aticas y M´ usica. El c´ odigo oculto de J. S. Bach Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Pablo Pedregal, UCLM ESTALMAT, Castilla-La Mancha Albacete, Octubre, 2014 Planteamiento Proporciones e intervalos El problema Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA EXACTA (!!!). Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA EXACTA (!!!). Antes del barroco: ninguna dificultad. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA EXACTA (!!!). Antes del barroco: ninguna dificultad. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA EXACTA (!!!). Antes del barroco: ninguna dificultad. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on La m´ usica de J. S. Bach era mucho m´as exigente. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema (continuaci´on) Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Andreas Werckmeister desarroll´ o un nuevo m´etodo de afinaci´on. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema (continuaci´on) Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Andreas Werckmeister desarroll´ o un nuevo m´etodo de afinaci´on. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema (continuaci´on) Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Andreas Werckmeister desarroll´ o un nuevo m´etodo de afinaci´on. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Entusiasmo de Bach. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El problema (continuaci´on) Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Andreas Werckmeister desarroll´ o un nuevo m´etodo de afinaci´on. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Entusiasmo de Bach. Compone “El clave bien temperado” con preludios y fugas en todas las tonalidades. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El c´odigo oculto de J. S. Bach El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El c´odigo oculto de J. S. Bach Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Pregunta ¿En qu´e consist´ıa este nuevo modo de afinaci´ on? Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El c´odigo oculto de J. S. Bach Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Pregunta ¿En qu´e consist´ıa este nuevo modo de afinaci´ on? Bradley Lehman: c´odigo oculto en la portada Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” El c´odigo oculto de J. S. Bach Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Pregunta ¿En qu´e consist´ıa este nuevo modo de afinaci´ on? Bradley Lehman: c´odigo oculto en la portada Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba) Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba) PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a 440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava (dividiendo entre 2), a 660, o proporci´ on 3/2? Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba) PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a 440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava (dividiendo entre 2), a 660, o proporci´ on 3/2? LA QUINTA: MI, proporci´ on 3/2. Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba) PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a 440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava (dividiendo entre 2), a 660, o proporci´ on 3/2? LA QUINTA: MI, proporci´ on 3/2. MI LA LA → → 440 660 880 Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba) PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a 440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava (dividiendo entre 2), a 660, o proporci´ on 3/2? LA QUINTA: MI, proporci´ on 3/2. MI LA LA → → 440 660 880 LA CUARTA: MI-LA, proporci´ on 880/660 = 4/3. Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien M´ usica Pablo Pedregal LA: 440 vibraciones/segundo → 1 Planteamiento Proporciones e intervalos LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba) Soluciones El “clave bien temperado” LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba) PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a 440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava (dividiendo entre 2), a 660, o proporci´ on 3/2? LA QUINTA: MI, proporci´ on 3/2. LA LA RE MI MI LA LA → → → → → 440 440 587 660 660 880 880 LA CUARTA: MI-LA, proporci´ on 880/660 = 4/3. Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n quinta: 3n/2 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n quinta: 3n/2 cuarta: 4n/3 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n quinta: 3n/2 cuarta: 4n/3 segunda: 9n/8 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n quinta: 3n/2 cuarta: 4n/3 segunda: 9n/8 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on tercera: 5n/4 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n quinta: 3n/2 cuarta: 4n/3 segunda: 9n/8 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on tercera: 5n/4 sexta: 8n/5 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Nota base con frecuencia: n. octava: 2n quinta: 3n/2 cuarta: 4n/3 segunda: 9n/8 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on tercera: 5n/4 sexta: 8n/5 s´eptima: 16n/9 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Cada intervalo tiene su proporci´on PROBLEMA Nota base con frecuencia: n. Serieoctava: de quintas 2n quinta: 3n/2 cuarta: 4n/3 segunda: 9n/8 El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on tercera: 5n/4 sexta: 8n/5 s´eptima: 16n/9 Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Cada intervalo tiene su proporci´on PROBLEMA Nota base con frecuencia: n. Serieoctava: de quintas 2n quinta: Re La Do3n/2 Sol → → → → cuarta:n 4n/3(3/2)n (3/2)2 n (3/2)3 n Mi 9n/8 Si Fa# Do# segunda: → → → → 4 5 6 (3/2) 5n/4 (3/2) n (3/2) n (3/2)7 n n tercera: Re# La# Fa Do Sol# sexta:→8n/5 → → → 8 9 10 11 (3/2) n (3/2) n (3/2) n (3/2) n (3/2)12 n s´eptima: 16n/9 Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Cada intervalo tiene su proporci´on Planteamiento quinta: Re La Do3n/2 Sol → → → → cuarta:n 4n/3(3/2)n (3/2)2 n (3/2)3 n Mi 9n/8 Si Fa# Do# segunda: → → → → 4 5 6 (3/2) 5n/4 (3/2) n (3/2) n (3/2)7 n n tercera: Re# La# Fa Do Sol# 132sexta:→8n/5 CHAPTER AS→ INTERVALS →11. RATIONAL →NUMBERS 8 9 10 11 (3/2) n (3/2) n (3/2) n (3/2) n (3/2)12 n s´eptima: 16n/9 C G D B A E E A D Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal PROBLEMA Nota base con frecuencia: n. Serieoctava: de quintas 2n F Breve conclusi´ on G B 12-octave clock with tempered fifths Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Coma pitag´orica Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Coma pitag´orica El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Deber´ıamos tener 3 12 = 27 2 pues 7 es el n´ umero de octavas recorridas. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Coma pitag´orica El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Deber´ıamos tener 3 12 = 27 2 pues 7 es el n´ umero de octavas recorridas. ¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Coma pitag´orica El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Deber´ıamos tener 3 12 = 27 2 pues 7 es el n´ umero de octavas recorridas. ¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ???? Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Coma pitag´orica El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Deber´ıamos tener 3 12 = 27 2 pues 7 es el n´ umero de octavas recorridas. ¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ???? 219 = 524288, 312 = 531441. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento F Proporciones e intervalos B Coma pitag´orica C Soluciones G D A E E A Deber´ıamos tener El “clave bien temperado” If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervals add up to slightly more than one wrapping around the clock and = 312 ???? ¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 rotation, ending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma of 219 = 524288, 312 below. = 531441. Pythagoras, as shown Thus the tuning of C would be problematic. F C C B G D A E A E D G B Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal 3D 12G B7 =2 2 with tempered fifths 12-octave clock pues 7 es el n´ umero de octavas recorridas. DESAJUSTE: Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos La soluci´on equitativa Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on equitativa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos: Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on equitativa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos: CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA ´ 21/12 (¡n´ PROPORCION umero irracional!). Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on equitativa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos: CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA ´ 21/12 (¡n´ PROPORCION umero irracional!). La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ... Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on equitativa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos: CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA ´ 21/12 (¡n´ PROPORCION umero irracional!). La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ... ¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !! Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on equitativa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos: CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA ´ 21/12 (¡n´ PROPORCION umero irracional!). La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ... ¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !! Es la soluci´on electr´onica: la usan los teclados electr´ onicos. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on equitativa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos: CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA ´ 21/12 (¡n´ PROPORCION umero irracional!). La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ... ¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !! Es la soluci´on electr´onica: la usan los teclados electr´ onicos. Nuestro o´ıdo est´a acostumbrado a esta soluci´ on. Permite esencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no se favorece ninguna. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on mesot´onica Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u ´ltima quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan pr´acticamente de manera exacta. Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on mesot´onica Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u ´ltima quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan pr´acticamente de manera exacta. Proporciones e intervalos El temperamento usado antes del barroco por los afinadores de clavicordios. Breve conclusi´ on Soluciones El “clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on mesot´onica Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u ´ltima quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan pr´acticamente de manera exacta. Proporciones e intervalos El temperamento usado antes del barroco por los afinadores de clavicordios. Breve conclusi´ on Para J. S. Bach no era una soluci´ on v´alida por la complejidad de su m´ usica. Soluciones El “clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” La soluci´on mesot´onica Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u ´ltima quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan pr´acticamente de manera exacta. Proporciones e intervalos El temperamento usado antes del barroco por los afinadores de clavicordios. Breve conclusi´ on Para J. S. Bach no era una soluci´ on v´alida por la complejidad de su m´ usica. No existe una soluci´on ideal: cualquier soluci´ on ser´a defectuosa. Soluciones El “clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Idea de B. Lehman Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Idea de B. Lehman Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Idea de B. Lehman Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Idea de B. Lehman Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on C´odigo oculto de Bach Once volutas encima del t´ıtulo: Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Idea de B. Lehman Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave bien temperado” Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on C´odigo oculto de Bach Once volutas encima del t´ıtulo: once son las quintas que hay que determinar en la serie de quintas!! Planteamiento Proporciones e intervalos Descripci´on Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Descripci´on Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Descripci´on Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Descripci´on Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; tres volutas con un lazo sencillo en su interior; El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Descripci´on Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; tres volutas con un lazo sencillo en su interior; cinco volutas con un lazo doble. El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Descripci´on Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; tres volutas con un lazo sencillo en su interior; cinco volutas con un lazo doble. INTERPRETACION DE LEHMAN El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Descripci´on Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; tres volutas con un lazo sencillo en su interior; cinco volutas con un lazo doble. INTERPRETACION DE LEHMAN 1 las volutas simples: quintas puras; El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Descripci´on Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; tres volutas con un lazo sencillo en su interior; cinco volutas con un lazo doble. INTERPRETACION DE LEHMAN 1 las volutas simples: quintas puras; 2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden un sexto de la coma pitag´ orica; El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Descripci´on Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Observamos: tres volutas simples; tres volutas con un lazo sencillo en su interior; cinco volutas con un lazo doble. INTERPRETACION DE LEHMAN 1 las volutas simples: quintas puras; 2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden un sexto de la coma pitag´ orica; 3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo de la coma pitag´orica. El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Todav´ıa una pregunta importante El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Todav´ıa una pregunta importante El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal ¿Qu´e nota corresponde a qu´e voluta? Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Todav´ıa una pregunta importante El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal ¿Qu´e nota corresponde a qu´e voluta? Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones Todav´ıa una pregunta importante El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal ¿Qu´e nota corresponde a qu´e voluta? Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos No solo teor´ıa Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” No solo teor´ıa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Buen resultado Lehman ha grabado discos con ese temperamento. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” No solo teor´ıa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Buen resultado Lehman ha grabado discos con ese temperamento. Idea hermosa Bach, el compositor m´as matem´atico, nos dej´ o en un c´odigo secreto una indicaci´on sobre la afinaci´ on del clavicordio. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” No solo teor´ıa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Buen resultado Lehman ha grabado discos con ese temperamento. Idea hermosa Bach, el compositor m´as matem´atico, nos dej´ o en un c´odigo secreto una indicaci´on sobre la afinaci´ on del clavicordio. No es un problema grave Afortunadamente, la mayor´ıa de entre nosotros podemos disfrutar de la m´ usica de Bach sin preocuparnos demasiado por la afinaci´on. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” No solo teor´ıa Breve conclusi´ on Matem´ aticas y M´ usica Pablo Pedregal Buen resultado Lehman ha grabado discos con ese temperamento. Idea hermosa Bach, el compositor m´as matem´atico, nos dej´ o en un c´odigo secreto una indicaci´on sobre la afinaci´ on del clavicordio. No es un problema grave Afortunadamente, la mayor´ıa de entre nosotros podemos disfrutar de la m´ usica de Bach sin preocuparnos demasiado por la afinaci´on. ´ ´ NO SE LAS MATEMATICAS EXPLICAN POR QUE PUEDE AFINAR EXACTAMENTE UN TECLADO. Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusi´ on
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