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GUÍA DE ESTUDIO DE
MATEMÁTICAS III
TURNO MATUTINO
ELABORÓ: ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
1
ÍNDICE
Propósito
3
Competencias Genéricas
4
Competencias a desarrollar
5
Bloque I Lugares geométricos
6
Bloque II Segmentos rectilíneos y
polígonos
8
Bloque III Una recta como lugar
geométrico
11
Bloque IV Distintas formas
ecuación de una recta.
de
la
14
Bloque V Los elementos y las ecuaciones
de una circunferencia.
17
Bloque VI Los elementos y las ecuaciones
de la parábola.
19
Bloque VII Los elementos y las
ecuaciones de la elipse
22
Bibliografía sugerida
24
2
Propósito
Específicamente, la asignatura de matemáticas III permitirá al estudiante enlazar los
objetos de estudio de dos ramas de la matemática que son la base del componente de
formación básica, el álgebra y la geometría, mediante la modelación algebraica de las
relaciones y formas geométricas que ha explorado desde otros puntos de vista, así como
reconocer a partir de registros algebraicos formas geométricas como son las rectas y las
circunferencias, con otras formas nuevas como la parábola y elipse.
Esta asignatura está organizada en siete bloques, con el objeto de facilitar la formulación
y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar
el desarrollo gradual y sucesivo de distintas competencias en el estudiante. Los bloques
son:
Bloque I Reconoces lugares geométricos.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permiten reconocer las
características matemáticas que definen un lugar geométrico.
Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.
En este bloque el alumnado alcanzará desempeños que le permiten explorar las
posibilidades analíticas para realizar cálculos métricos de segmentos rectilíneos y
polígonos.
Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico.
Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta.
En los bloques III y IV el alumnado alcanzará desempeños que le permiten realizar un
estudio de las propiedades geométricas de la recta y de sus posibilidades analíticas.
Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia.
En este bloque alumnado alcanzará desempeños que le permiten realizar un estudio de las
propiedades geométricas de la circunferencia y de sus posibilidades analíticas.
Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permiten realizar un estudio de las
propiedades geométricas de la parábola y de sus posibilidades analíticas.
Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permiten analizar las características
de elipses e hipérbolas y se destacan los casos con ejes paralelos a los ejes cartesianos.
3
Competencias Genéricas.
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la
capacidad de desempeñar, y les permitirán comprender su entorno (local, regional,
nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar
aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos
social, profesional, familiar, etc.; por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del
Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones
en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región,
México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
4
Competencias a desarrollar.
1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y
gráficas, asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
2. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como
cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
3. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
4. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
5. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia confiablidad.
6. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
7. Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
9. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo
5
Bloque I Lugares geométricos
Objetivo: Identificar las características de un sistema de coordenadas rectangulares.
Interpretar la información a partir de la noción de parejas ordenadas. Y reconocer las
relaciones entre variables que conforman los pares ordenadas para determinar un lugar
geométrico.
Investigar. Las características de un plano cartesiano, y explica porqué también se le
conoce como sistema de coordenadas rectangulares.
Localización de puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo Los siguientes pares ordenados se encuentran ubicados en el plano cartesiano.
,
,
,
.
Ejercicios:
a) Localiza los siguientes pares ordenados en un plano cartesiano.
i.
,
,
,
.
ii.
,
,
.
iii.
iv.
,
,
,
.
,
.
b) Determina los pares ordenadas de las figuras siguientes y trazar segmentos de
líneas entre ellos.
6
i.
ii.
Igualdad de pares ordenados1. Dos puntos
sus coordenadas son iguales, es decir,
y
Ejemplo: Demostrar que
Los puntos
y
y
son iguales si
y
.
son iguales.
y
Entonces,
son iguales si y sólo si
, es decir, cuando
cuando
par ordenado es
y
.
, por tanto, el
.
Ejercicios: Demuestra si los siguientes pares ordenados son iguales.
a)
b)
c)
y
yN
y
d)
e)
y
y
Lugares geométricos. Es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una ecuación,
también se le llama gráfica de una ecuación.
Ejemplo: Encontrar el lugar geométrico de la ecuación
.
Una manera de encontrar dicha gráfica es tabular valores, es decir, darle valores a para
encontrar valores de . PRESTAR ATENCIÓN en aquellos valores, donde el par
ordenado se encuentre sobre alguno de los dos ejes cartesianos, que será la intersección
con dicho eje, siempre y cuando existan.
1
En el plano cartesiano, los puntos
coordenadas rectangulares.
se les puede llamar parejas o puntos ordenados, además de
7
Par ordenado
Intersección
con el eje
Intersección
con el eje
Ejercicios: Encontrar el lugar geométrico de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
Bloque II Segmentos rectilíneos y polígonos
Objetivo. Identificar las características de un segmento rectilíneo. Aplicar las propiedades
de dichos segmentos y polígonos. Además, construir e interpretar modelos relacionados
con segmentos rectilíneos y polígonos.
Distancia entre dos puntos
8
Sean dos puntos
y
, para encontrar la distancia entre ellos, se utiliza la
siguiente fórmula:
Ejemplo: Encontrar la distancia entre los puntos
Respuesta: La distancia entre los puntos
(
y
y
.
es de
significa aproximado, aproximadamente)
Ejercicios: Encontrar la distancia entre los siguientes puntos:
a)
b)
y
c)
y
d)
e)
y
y
y
Perímetro y área de un triángulo.
Sean
,
yC
tres puntos en el plano cartesiano que forman entre sí un
triángulo. Encontrar su perímetro y área.
El perímetro de un triángulo se calcula sumando las longitudes de sus lados, así que se
debe de encontrar las distancias
,
,
. Se deja como ejercicio para el
lector.
El área de un triángulo se calculará con una determinante, acomodando las coordenadas en
contra de las manecillas del reloj, conforme se localizan en el plano coordenado, como se
muestra a continuación (el primer punto se vuelve a repetir al final de la determinante):
El área del triángulo formado por los puntos
es
.
9
Ejercicios: Encontrar el perímetro y área de los siguientes triángulos formados por los
puntos dados.
a)
b)
c)
d)
e)
,
,
,C
,R
,
,
,
,C
,R
,R
Punto de división de un segmento. Dados dos puntos
y
se puede
trazar el segmento de recta entre ellos dos, y dividir el segmento de acuerdo a una razón
dada y obtener el punto de división
. Cuando la razón es igual a uno (
), el
segmento se divide en dos partes iguales, obteniendo el punto medio de dicho segmento,
por ejemplo. Se tendrá que tener cuidado en el momento de sustituir los valores, ya que no
es lo mismo ir de
a
que de
a
(Investigar sobre segmentos dirigidos y no
dirigidos).
Encontrar el punto de división
del segmento formado por los puntos
2
en una razón igual a 3. También da su punto medio.
y
=
=
2
Si la razón es positiva, el punto de división se encuentra dentro del segmento comprendido entre
los extremos (puntos extremos) del segmento.
Si la razón es negativa, el punto de división se encuentra en la prolongación del segmento de recta
que se forma por esos dos extremos.
Si la razón es uno, el punto de división es el punto medio del segmento.
10
El punto de división para
es
Para encontrar el punto medio:
=
=
El punto medio es
.
Ejercicios: Localizar los siguientes puntos en el plano cartesiano y determinar las
coordenadas del punto que divide al segmento de
en la razón dada:
a)
b)
,
,
,
c)
,
,
,
d)
,
,
e)
,
,
f) En cada uno de los casos anteriores, encontrar el punto medio de dichos segmentos.
Bloque III Una recta como lugar geométrico
Objetivo: Reconocer la recta como lugar geométrico. Identificar la pendiente de una recta
como la inclinación de la misma con una razón de cambio. Conocer las condiciones de
paralelismo y perpendicularidad entre dos o más rectas.
El lugar geométrico o gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que
satisfacen dicha ecuación.
Ejemplo: En la ecuación
que satisface la ecuación
, cuando
es
.
, el valor de
Para encontrar más puntos de la ecuación, dar más valores a
. Representando dichos valores en una tabla:
. Entonces, un punto
para obtener más valores de
Par ordenado
Intersección
con el eje
Intersección
con el eje
11
El lugar geométrico de la ecuación
es la
gráfica de la izquierda. Observa el comportamiento de
los puntos y la inclinación de la recta.
Ejercicios: Encontrar el lugar geométrico de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
Pendiente de una recta
Dados dos puntos cualesquiera
y
, podemos trazar una línea recta, la
cual tiene una pendiente
que puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de
inclinación de la recta. También, la pendiente se define como la razón de cambio entre los
dos puntos con la fórmula siguiente:
.
Ejemplo. Hallar la pendiente de la recta formada por los puntos
y
.
12
Ejercicios:
Encontrar las pendientes correspondientes que pasan por los siguientes puntos:
a)
b)
c)
,
d)
,
e)
,C
,C
,
Paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales
.
Ejemplo: Mostrar que la recta , que pasa por los puntos A
recta
que pasa por los puntos C
yD
.
yB
es paralela a la
Se obtienen las pendientes de ambas rectas:
;
Observando ambas pendientes
paralelas).
, entonces
Dos rectas son perpendiculares (
Si
, entonces
(las rectas
y
son
) si el producto de sus pendientes es igual a
. Por tanto,
o
Ejemplo: Demuestra que la recta
que pasa por los puntos A
perpendicular a la recta , que pasa por los puntos C
yD
.
y B
, es
Se obtienen las pendientes de las rectas:
13
Pendiente de la recta
Pendiente de la recta
=
=
=
Para que ambas rectas sean perpendiculares,
Entonces, la recta
es perpendicular a la recta
. Veamos,
.
Ejercicios: Según sea el caso, averiguar si las rectas que se forman con los siguientes
puntos, son paralelas, perpendiculares o ninguno de los dos casos.
a) Recta
puntos
b) Recta
puntos
que pasa por los puntos
yD
.
que pasa por los puntos
yD
.
y
y
y recta
que pasa por los
y la recta
que pasa por los
Determina si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de los dos
casos, dando las pendientes de las rectas correspondientes.
a)
b)
c)
Bloque IV Distintas formas de la ecuación de una recta .
Objetivo: Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. Transforma ecuaciones de
una forma a otra.
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Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
su forma: a) pendiente y ordenada al origen; b) ecuación general.
y
en
a) Para encontrar la ecuación de la recta en su forma pendiente y ordenada al origen
(
), primero será necesario conocer los valores de
y . Primero
utilizar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos
y
sustituir las coordenadas en dicha fórmula.
Los valores de
y
=
pendiente-ordenada al origen es
. Por tanto, la ecuación de la recta en su forma
.
b) Para encontrar la forma ecuación general de la recta
.
Nuevamente, primero utilizar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos
y sustituir las coordenadas en dicha fórmula.
Por tanto, la ecuación general de la recta que pasa por los puntos
) es
.
y
15
Ejercicios:
a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
y
forma
b) Una recta pasa por el punto
y es paralela a la recta con ecuación
en su
c) Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los puntos
y
.
d) Transforma la ecuación
a su forma pendiente-ordenada al origen.
Ejemplo. Encontrar la ecuación general de la recta con
y que pasa por el punto
.
Si la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente al origen es
sólo basta con sustituir el valor de y
Es decir, la ecuación de la recta con
y que pasa por el punto
,
es
Ecuación general de la recta que pasa por
y
.
Ejercicios: Conociendo la pendiente de la recta y un punto de la misma, dar la ecuación de
la recta en su forma pendiente-ordenada al origen o en su forma ecuación general.
a) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto
? (Dar forma pendiente-ordenada al origen)
y tiene pendiente
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b) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto
y tiene pendiente ?
(Dar forma ecuación general)
c) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto
y tiene pendiente
? (Dar forma pendiente-ordenada al origen)
d) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto
y tiene pendiente
? (Dar forma pendiente-ordenada al origen y su forma ecuación general)
Ejercicios: Indagar cuál es la distancia de un punto a una recta. Resolver.
a) Encuentra la distancia del punto
b) Encuentra la distancia del punto
c) Encuentra la distancia del punto
d)
a la recta
a la recta
a la recta
a la recta 4
Bloque V Los elementos y las ecuaciones de una circunferencia .
Objetivo: Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia e identifica sus
elementos.
Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en
y radio 6.
Para resolver lo pedido, se utiliza la siguiente ecuación de la circunferencia
Sustituyendo los valores dados:
Entonces, la ecuación de la circunferencia con centro en
y radio 6 es
, llamada la ecuación general de la circunferencia.
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Ejercicios: Encontrar la ecuación general de la circunferencia con centro y radio dados.
a)
b)
c)
y radio de 4 unidades.
y
.
y
.
d)
y
.
e)
y
.
Ejemplo Encontrar los elementos de la siguiente circunferencia
Se pueden utilizar las siguientes fórmulas:
y
Recuerda que la ecuación general de la circunferencia es
Entonces,
.
y
Por tanto, el centro de la circunferencia
es
y
18
Ejercicios: Encontrar el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bloque VI Los elementos y las ecuaciones de la parábola.
Objetivo: Identificar los elementos asociados a la parábola. Reconocer la ecuación
ordinaria y general de la parábola.
Ejemplo Encontrar la ecuación general, el lado recto y la directriz de la parábola cuyo
vértice es
y
.
Al graficar los datos se observa que la parábola abre hacia arriba (vertical), por tanto su
ecuación es de la forma
, donde
, y la ecuación
de la directriz es
. La longitud del lado recto es
Primero encontremos el valor del parámetro , dado que sabemos quién es el foco
. Entonces,
y la longitud del lado recto es
Y la ecuación de la
directriz es
Al sustituir los valores correspondientes en la ecuación, se obtiene:
19
Por tanto, la ecuación general de la parábola con
y
es:
En caso de que la parábola fuera horizontal, la ecuación de la parábola que se utilizaría es
, con
y ecuación de la directriz
Ejercicios: Encuentra la ecuación general de la parábola que cumple con los siguientes
datos:
a)
b)
c)
y
.
y
y
d)
y
e) Vértice en (
f) Foco en (
.
.
.
) y extremos del lado recto
) y directriz
y
.
Ejemplo Encuentra las coordenadas del vértice, foco, directriz, lado recto y la gráfica de la
siguiente parábola
.
Para ello será necesario transformar la ecuación general de la parábola a su forma
ordinaria. Observando, el término cuadrático es , de ahí que sea una parábola horizontal
(abre hacia la derecha o izquierda).
20
La ecuación obtenida es de la forma
coordenadas
,
donde
, de ahí que el vértice tenga
. Entonces, el lado recto es 12.
Se sustituyen los valores correspondientes para los elementos de la parábola horizontal:
Foco:
=
Directriz:
Ejercicios: Dadas las ecuaciones de las parábolas siguientes, determinar sus elementos:
vértice, foco, directriz y lado recto.
a)
b)
c)
d)
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Transformar las siguientes ecuaciones ordinarias de las parábolas a su forma general y
encontrar sus los elementos:
a)
b)
c)
d)
e)
Bloque VI Los elementos y las ecuaciones de una elipse.
Objetivo: Identificar los elementos asociados a la elipse. Reconocer la ecuación canónica
de elipses horizontales y verticales con centro en el origen.
Ejemplo: Escribe la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen de coordenadas y tiene
vértices
y
, así como el eje menor que mide 6 unidades. Determina también
las coordenadas de los focos, la longitud de cada uno de sus lados rectos y su
excentricidad. Traza la gráfica correspondiente.
Con los datos dados se trata de una elipse horizontal cuyo eje focal se encuentra sobre el
eje de coordenadas , y cuyo eje mayor de la elipse es
ya que
y
es decir,
.
Al sustituir en la ecuación correspondiente, se tiene que:
Ecuación de la elipse horizontal.
Las coordenadas de los focos se determinan a través de la relación entre las longitudes de
los ejes mayor y menor de la elipse y la distancia focal:
, donde
(Comprobar sustituyendo los valores de
y
).
Por consiguiente, las coordenadas de los focos, son:
y
Las coordenadas
del eje menor son:
y
Los lados rectos son iguales y su longitud se
calcula mediante la fórmula:
Lado recto:
La excentricidad:
22
Ejercicios: Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen a partir de los
siguientes datos. Trazar la gráfica correspondiente.
a) Vértices (
)y(
b) Vértices (
)y(
), y focos (
)y(
y excentricidad .
c) Focos (
) y ( ), y longitud del eje mayor 16
d) Eje mayor coincide con el eje de coordenadas y es de longitud 6, además, la
longitud del eje menor es 4.
e) Vértices (
) y ( ), y longitud del eje menor 10
Transforma las siguientes ecuaciones de las elipses a su forma canónica, y determina
las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor,
dando el valor de los lados rectos y la excentricidad. Trazar la gráfica correspondiente.
f)
g)
h)
23
Bibliografía:
Méndez, A. Matemáticas 3. México: Santillana.
Salazar V, P. Matemáticas 3. México: Nueva Imagen.
Pimienta, J. H., Acosta, V., Ramos, O., Villegas, G. (2010). Matemáticas III. Naucalpan de
Juárez, Estado de México: Pearson Educación.
Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3. México: ST Editorial.
Fuenlabrada, S. Analítica, México: Mc Graw Hill.
Cuellar, J, A. Matemáticas III, México: Mc Graw Hill.
Lehmann, Charrles. Geometría Analítica, México, Limusa.
Kindle, Joseph. Geometría Analítica. México. Mc. Graw Hill.
Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. México. Ed. Publicaciones Cultural.
Fuller, George. Geometría Analítica. México. Pearson.
Anfossi. Geometría Analítica. México. Progreso
Guzmán, Abelardo. Cien problemas resueltos de Geometría Analitica. México.
Publicaciones Cultutral.
Oteyza de Oteyza. Geometría Analítica. México. Pearson.
Caballero, Caballero. Geometía Analitica. México. Esfinge
Conamat. Geometría Analitica. México. Pearson.
24